熱 力 学 009 冬 休 み 解 答 例 熱 力 学 の 第 法 則 比 熱 内 部 エネルギ 仕 事 問 題 華 厳 の 滝 で 水 が 鉛 直 に0m 落 下 し 滝 壷 の 岩 に 当 った この 時 の 運 動 エネルギーが 総 て 熱 に 変 るとすると 水 の 温 度 上 昇 は 何 度 か 水 の 比 熱 は.86 kj/(kg Kとする 運 動 エネルギーが 熱 エネルギーに 変 化 し 運 動 エネルギーはポテンシャル( 位 置 エネルギーから 生 じるとする 質 量 m (kgの 水 がΔh (mの 高 さに 位 置 するときのポテンシ ャル エネルギー は mgδh ここで g は 重 力 加 速 度 9.8 m/s Δt (Kの 温 度 上 昇 が 生 じる 場 合 の 熱 エネルギー は C mδt ここで C は 水 の 比 熱.86 kj/(kg K したがって より Δt(mgΔh/(C mgδh/c9.8*0/.86*0 0.070 K 問 題 質 量 0.5 kg 温 度 500 の 鉄 片 を 熱 量 計 内 の 質 量 5Kgの 水 中 に 入 れ よく 撹 拌 し 平 衡 状 態 になった 時 の 温 度 は0 であった この 時 の 水 の 温 度 上 昇 は 何 度 か ただし 水 鉄 の 比 熱 はそれぞれ.86, 0.5 kj/(kg Kであり 熱 量 計 容 器 の 熱 容 量 は 無 視 でき る 鉄 片 の 有 する 熱 エネルギ i Ci mi i 0.5 (kj/(kg K *0.5 (kg*(500+7 (K 7. kj 水 の 有 する 熱 エネルギ w Cw mw w.86 (kj/(kg K * 5 (kg * (K 0.9 熱 平 衡 後 の 熱 エネルギ f( Ci mi+ Cw mw*f (0.5*0.5 +.86*5 (0+7 698.56 +より (698.56-7./0.9 87.7 (K.8 ( したがって 温 度 上 昇 Δ 0.0-.8 5. 問 題 完 全 な 断 然 容 器 内 に 温 度 5 の 水 ( 重 量 0.8 kgと 温 度 08 のアルミニウム( 重 量 0. kgを 入 れた 熱 平 衡 に 達 した 時 の 温 度 は9. であった アルミニウムの 比 熱 を 求 めよ ただし 容 器 の 初 期 温 度 比 熱 質 量 はそれぞれ5 0.09 kj/(kg K 0.055 kgとする アルミニウムの 熱 エネルギ Al C Al m Al Al C Al *0./g*(08+7 7.78 C Al kj ここで 重 量 0.Kg に 注 意 水 の 熱 エネルギ w C w m w w.86 *0.8/g*(5+7 98. kj
容 器 の 熱 エネルギ V C V m V V 0.09*0.055*(5+70.757 kj 熱 平 衡 後 の 熱 エネルギ f ( C Al m Al + C w m w +C V m V * f (0./g*C Al +.86*0.8/g +0.09*0.055* (9.+7 ++より 7.78*C Al +98.+0.757(0./g*C Al +.86*0.8/g+0.09*0.055*9. (7.78-0./9.8*9.*C Al (.86*0.8/g+0.09*0.055*9.-98.- 0.757.86*C Al.55 C Al 0.80 kj/(kg K 問 題 ある 動 作 流 体 ( 重 量 5 kgに kcalの 熱 量 と 圧 縮 仕 事 000 kg f mを 加 えた 時 の 内 部 エネルギ の 増 加 量 uを 求 めよ 加 熱 量 h *.86.558 (kj 圧 縮 仕 事 -000 kg f m -000*9.8-9.8 kj kg f m 9.8 J 教 科 書.9 第 基 礎 式 より h ΔU + ΔU h +.588-(-9.8.88 kj 比 内 部 エネルギ Δu ΔU/M.88/5.78 kj/kg 問 題 5 断 面 積 S0.m のピストン 上 に.0トンの 錘 が 乗 せられている いま 大 気 圧 が kgf/cm で シ リンダ 内 の 流 体 に0 kcalの 熱 が 加 えられた 時 内 部 エネルギの 増 加 は7 kcalであった このときのピ ストンの 上 昇 距 離 を 求 めよ 第 基 礎 式 d du +dv より d 0 kcal, du 7 kcal ピストンに 掛 かる 圧 力 錘 の 重 量 / 断 面 積 + 大 気 圧 ただし 質 量 ton 000 kg と すると.0*000 (kg *9.8 (m/s /0. (m + *0 kgf/m.06*0 5 kgf/m したがって dv (d-du/ (0-*7/(.06*0 5 0.05 m dv S dl とすると dldv/s0.05/0.0.5 m カルノーサイクル
問 題 6 カルノー 機 関 が 温 度 l (Kと 温 度 (K ( l > の 間 で 動 作 している 一 方 このカル ノー 機 関 の 発 生 した 仕 事 により カルノー 冷 凍 機 が 温 度 (Kと 温 度 (K ( l > > の 間 で 作 動 している 熱 機 関 での 加 熱 量 を としたとき 冷 凍 機 の 放 熱 量 を 求 めよ カルノー 熱 機 関 の 熱 効 率 ηt は t (, η, カルノー 冷 凍 機 の 成 績 係 数 εc は c (, ' ' ε より, 問 題 7 カルノーサイクルにおいて 気 体 l kgが 温 度 9 と5 との 間 で 働 いている 最 高 圧 力 を7 kgf/cm absとし 等 温 膨 張 では はじめの 倍 まで 体 積 を 膨 脹 させる このときの 各 過 程 の 終 りの 状 態 (B,C,Dを 求 めよ ただし 気 体 は 空 気 とし R air87.0 J/(kg K.とする 状 態 点 A,B,C,D をⅠ Ⅱ Ⅲ Ⅳと 表 し 与 えられた 条 件 を 整 理 すると 高 熱 源 温 度 9+7 K, 低 熱 源 温 度 5+788 K, I での 圧 力 7x0 kgf/m abs. Ⅰ Ⅱの 変 化 において ガス 定 数 ( 空 気 R air 87.0 J/(kg K9.7 kgf/(kg K 断 熱 指 数. l I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
i Ⅰ Ⅱは 等 温 変 化 のため Ⅱの 状 態 は 7 0.5 0 kg /m abs., f R / 9. 7 /(. 5 0 0. 59 / 0. 766 m m, ii Ⅱ Ⅲは 断 熱 変 化 のため Ⅲの 状 態 は const. より,., 0. 59 88. 0. 59 k. 5 0 9. 906 0 kg f / 0. 97 0. 0. 97m m iii Ⅲ Ⅳは 等 温 変 化 のため Ⅳの 状 態 は 9. 906 0. 88 0 kg / 0. 97 / 0. 586 m, f /m abs., 以 上 より Ⅰ(,,(7x0 kgf/m, 0.765 m, K(686 kpa, 0.765 m, K Ⅱ(,,(.5x0 kgf/m, 0.59 m, K ( kpa, 0.59 m, K Ⅲ(,,(0.99x0 kgf/m, 0.97 m, 88 K (90. kpa, 0.97 m, 88 K Ⅳ(,,(.88x0 kgf/m, 0.586 m, 88 K (80. kpa, 0.586 m, 88 K 問 題 8 逆 カルノーサイクルを 用 いた 冷 凍 機 において 毎 時 000 kcalの 熱 量 を0 の 室 内 か ら 汲 み 上 げ 5 の 屋 外 に 放 熱 する 時 の ( 冷 凍 稜 の 所 要 動 力 ( 放 熱 量 を 求 めよ
l 題 意 より 5+708 K 0+79 K 000 kcal/h カルノー 冷 凍 機 より ε c ( 冷 凍 機 の 所 要 動 力 は 000 5. 6. 86 5. 6 kacl / hr 0. 78k 9 600 08 9 ( 放 熱 量 は +5.6+0005.6 kcal/h 0 kj/h 問 題 9 は 気 体 分 子 の 原 子 数 によって 決 り 原 子 分 子.67 原 子 分 子.0 原 子 分 子.となる そこで 窒 素 ガス(N 分 子 量 8.6のC Cを 求 めよ C C, C C R より C R, C R, RR0/m, ここで m: 分 子 量 R0: 一 般 ガス 定 数 8. (J/(kmol K したがって R 窒 素 8./8.695.5 (J/(kg K 窒 素 ガスは 原 子 分 子 だから 0.. C R 95. 5. 0 kj /( kgk,. C R 95. 5 0. 78 kj /( kgk. 問 題 0 等 温 等 容 等 圧 の 各 変 化 におけるエントロピーの 変 化 の 式 を 求 めよ (ヒント 状 態 から 状 態 への 変 化 として S を 求 める ( 等 温 変 化, d0 と 第 基 礎 式 より dq S ds R ln( / R ln( / ( c d + d d d R[ ln( ] R
( 等 容 変 化, d0 と 第 基 礎 式 より dq S ds C ln( / C ln( / ( c d + d C C [ ln( ] d ( 等 圧 変 化, d0 と 第 二 基 礎 式 より d ( c d d C C [ ln( ] dq S ds C ln( / C ln( / 問 題 ポリトロープ 変 化 におけるエントロピSの 変 化 式 を 求 め 前 問 の 答 えと 比 較 しなさ い ポリトロープ 変 化 は ポリトロープ 比 熱 Cn を 用 いると d Cn d, したがって n ただし Cn n dq Cn d d S [ ln( ] ds C C n n n C ln( / C ln( / ( n C ln( / n n ここで 等 容 変 化 : n の 場 合 S C ln( / 等 圧 変 化 : n 0の 場 合 S C ln( / C ln( / 等 温 変 化 : n の 場 合 R S ( n C ln( / ( ln( / Rln( / となり 問 題 0 の 解 答 と 一 致 する C
問 題 問 題 6 での 系 全 体 のエントロピー 変 化 を 求 めなさい l 各 温 度 場 でのエントロピーの 生 成 と 消 失 を 考 える 温 度 場 では 放 熱 のため ΔS - / 温 度 場 では 加 熱 と 放 熱 が 共 に 生 じているため ΔS / +(- / / +(- / ( +- / ( - / 温 度 場 では 加 熱 が 生 じているため ΔS / 以 上 より 系 全 体 でのエントロピー 変 化 ΔS は ΔSΔS +ΔS +ΔS - / + ( - / + / + + 0 問 題 いま S の 状 態 の 完 全 ガスがあり 加 熱 により エントロピを 増 大 させる このと き 等 温 等 圧 等 圧 条 件 下 で 変 化 を 起 こさせた 場 合 エントロピの 増 加 量 Sが 等 しいとき 各 変 化 において 到 達 した 温 度 の 大 小 関 係 を 比 べなさい 各 変 化 でのエントロピー 変 化 は 等 容 変 化 : ' C ln( '/ 等 圧 変 化 : S" C ln( "/ C ln( "/ 等 温 変 化 : S '" Rln( "'/, '" であり 題 意 より S S S とすると C ln( / C ln( / C >C より ln( / >ln( / ゆえに > となり 等 容 変 化 の 場 合 の 到 達 温 度 は 等 圧 変 化 の 場 合 よりも 高 い また 加 熱 のため 等 圧 変 化 では 温 度 上 昇 となるため > となる
したがって 到 達 温 度 は 等 容 変 化 > 等 圧 変 化 > 等 温 変 化 の 順 となる 問 題 電 動 機 にブレーキを 設 置 して 出 力 試 験 を 行 う 場 合 軸 端 出 力 0 kの 状 態 で0 分 間 運 転 し その 摩 擦 熱 を5 の 周 囲 に 放 熱 する 際 のエントロピー 変 化 はいくらか 発 生 する 摩 擦 熱 は 0 k * 0 min 0 kj/s * 0*60 s.6000 0 kj 温 度 の 環 境 を 加 熱 することになるので エントロピー 変 化 ΔS/.6 0 0 /(5+75 kj/k 問 題 5 ガス 機 関 が5000 kcalの 熱 エネルギーを 受 け. 0 5 kgf mの 仕 事 をした 時 の 熱 効 率 を 求 めなさい 5 5. 0 kgf m. 0 9. 8J ηt 0. 966 0. 5000kcal 5000 0. 86 J 熱 効 率 は 約 0% 問 題 6 理 想 気 体 では 定 容 比 熱 Cと 定 圧 比 熱 Cとの 間 にMayerの 関 係 式 (CC+Rが 成 立 す ることを 第 基 礎 式 と 状 態 方 程 式 から 導 きなさい 理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 R の 全 微 分 形 は d + d R d これより d R dt d となり これを 第 基 礎 式 dq C d + dに 代 入 す る dq C d + (R d d (C + R d d このとき 定 圧 での 加 熱 を 考 えると 一 定 のため d 0 dq (C + R d となるが 定 圧 状 態 で dq の 加 熱 により d の 温 度 上 昇 がえられ 定 圧 比 熱 の 定 義 は(dq/d であるから dq C d となり の 対 比 から C C + R, すなわち C C R となり Mayer の 関 係 式 が 得 られる [ 教 科 書.- に 説 明 あり]