中 学 中 間 期 末 試 験 問 題 集 ( 過 去 問 ): 数 学 2 年 http://www.fdtext.com/dat/ 係 数 の 決 定 1 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) ax by 11 連 立 方 程 式 の 解 が x 3, y 4 になるという a, b の 値 を 求 めな bx ay 2 さい ax by 11 3a 4b 11 に x 3, y 4 を 代 入 すると, これを a, b の 連 立 bx ay 2 3b 4a 2 方 程 式 として 解 く 3a 4b 11 1 4a 3b 2 2 加 減 法 で 解 く( 代 入 法 は 不 適 当 ) b の 係 数 を12 にそろえるために1 3,2 4 9a 12b 33 1 16a 12b 8 2 b を 消 去 するために1 +2 9a 12b 33 ) 16a 12b 8 ゆえに a 25 25 1 25a 25 a 1 を2に 代 入 すると, 4 1 3b 2, 3b 6, b 2 よって, a 1, b 2 答 [ 解 説 ] 3x 2y 23 1 例 えば, 連 立 方 程 式 の 解 は x 3, y 7 であるので, 5x 2y 29 2 1,2の 式 に x 3, y 7 を 代 入 して( 左 辺 )=( 右 辺 )がなりたつ 1
1に x 3, y 7 を 代 入 すると,( 左 辺 )= 3 3 2 7 23 =( 右 辺 )がなりたつ 2に x 3, y 7 を代 入 すると,( 左 辺 )= 5 3 2 7 29 =( 右 辺 )がなりたつ これは, 係 数 に a, b 等 の 文 字 が 使 われている 場 合 も 同 様 である この 問 題 についてい ax by 11 3 えば, 連 立 方 程 式 の 解 が x 3, y 4 であるので,3,4 の bx ay 2 4 式 に x 3, y 4 を 代 入 しても( 左 辺 )=( 右 辺 ) がなりたつ 3に x 3, y 4 を代 入 すると, a 3 b 4 11, 3a 4b 11 5 4に 3, y 4 を 代 入 すると, x b 3 a 4 2, 3b 4a 2 がそれぞれなりたつ 6 5,6を 同 時 に 満 たす a, b を 求 めるためには,5,6を a, b についての 連 立 方 程 式 として 解 けばよい [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) ax 2by 5 連 立 方 程 式 bx ay 8 めなさい の 解 が, y 1, 2 x であるとき, の 値 を 求 a, b ax 2by 5 a 4b 5 1 に x 1, y 2 を 代 入 すると, bx ay 8 b 2a 8 2 これを a, b についての 連 立 方 程 式 として 代 入 法 で 解 く 1より, a 4b 5 1 1 を2に 代 入 すると, 4b 5 8, b 8b 10 8, 9b 18, b 2 b 2 b 2 を1 に 代 入 すると, a 4 2 5 3 よって, a 3, b 2 答 2
[ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 連 立 方 程 式 ax 2by 5 の 解 が x 1, y 2 のとき, a, b の 値 を 求 めなさい bx ay 8 ax 2by 5 a 4b 5 1 に x 1, y 2 を 代 入 すると, bx ay 8 b 2a 8 2 これを a, b についての 連 立 方 程 式 として 代 入 法 で 解 く 1より a 4b 5 1 1 を2に 代 入 すると, b 2 4b 5 8, b 8b 10 8, 9b 18, b b 2 を1 に 代 入 すると, a 4 2 5 3 よって, a 3, b 2 答 2 [ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) ax by 11 x, y の 二 元 一 次 連 立 方 程 式 の 解 が bx ay 10 a, b の値 を 求 めなさい x, y 1, 2 であるとき, 3
ax by 11 a 2b 11 1 に x 1, y 2 を 代 入 すると, bx ay 10 b 2a 10 2 これを a, b についての 連 立 方 程 式 として 代 入 法 で 解 く 1より, a 2b 11, a 2b 11 1 1 を 2 に 代 入 す る と, 2b 11 10, b 4b 22 10, 3b 12, b 4 b 2 b 4 を1 に 代 入 すると, a 2 411 3 よって, a 3, b 4 答 [ 問 題 ](1 学 期 中 間 ) 連 立 方 程 式 なさい ax by 10 bx ay 5 の 解 が x 2, y 1 であるとき, a, b の 値 を 求 め ax by 10 2a b 10 1 に x 2, y 1 を 代 入 すると, bx ay 5 2b a 5 2 これを a, b についての 連 立 方 程 式 として 代 入 法 で 解 く 2より a 2b 5 2 2 を 1 に 代 入 す る と, 2b 5 b 10, 4b 10 b 10, 5b 20, b 4 2 b 4 を2 に 代 入 すると, a 2 4 5 3 よって, a 3, b 4 答 4
[ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) x と y についての 連 立 方 程 式 ax 4y 17 2x by 4 の 解 が x 3, y 2 である a, b の 値 を 求 めなさい ax 4y 17 x 3, y 2 を 連 立 方 程 式 に 代 入 すると, 2x by 4 1より, 3a 9, a 3 2より, 2b 10, b 5 よって, a 3, b 5 答 3a 8 17 6 2b 4 1 2 5
係 数 の 決 定 2 [ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 3x y a 連 立 方 程 式 の 解 のうち, x の 値 は5 です このとき y の 値 を 求 めな 5x y 4a さい 3x y a 15 y a 1 に x 5 を 代 入 すると, 5x y 4a 25 y 4a 2 これを, y, a についての 連 立 方 程 式 として 解 く 1+2より, 15 y 25 y a 4a, 40 5a, a 8 1に a 8 を 代 入 すると, 15 y 8, y 8 15 7 よって, y 7 答 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 2 組 の 連 立 方 程 式 4x 7y 1 ax by 10 が 同 じ 解 をもつとき, 次 の 問 いに 答 えなさい (1) 解 を 求 めなさい (2) a, b の 値 を 求 めなさい 5x 2y 12 bx ay 5 6
x, y は, 4x 7y 1, 5x 2y 12 (1) 同 じ解 をもつので, をともに 満 たす これ を 連 立 方 程 式 として 解 く 4x 7 y 1 1 5x 2y 12 2 加 減 法 で 解 く( 代 入 法 は 不 適 当 ) y の 係 数 の 絶 対 値 を14 にそろえるために1 2,2 7 8x 14y 2 1 35x 14y 84 2 y を 消 去 するために1 +2 43x 86, x 2 x 2 を2に 代 入 すると, 5 2 2y 12, 10 2y 12, 2y 2, y 1 よって, x 2, y 1 答 ax, bx ay 5 の x, y は x 2, y 1 (2) by 10 2a b 10 3 2b a a, 5 b 4 これを について の 連 立 方 程 式 として 代 入 法 で 解 く 3より, b 2a 10 3 なので, 代 入 して 3 を4に 代 入 すると, 2 2a 10 a 5, 4a 20 a 5, 5a 15, a 3 a 3 を3 に 代 入 すると, b 2 3 10 4 よって, a 3, b 4 答 7
[ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 4x 3y 17 2ax by 5 2 つの 連 立 方 程 式, は 同 じ 解 をもつという ax 2by 20 2x 5y 11 このとき, a, b の 値 を 求 めなさい 同 じ 解 をもつので, x, y は, 4x 3y 17, 2x 5y 11をともに 満 たす これ を 連 立 方 程 式 として 解 く 4x 3y 17 1 2x 5y 11 2 加 減 法 で 解 く( 代 入 法 は 不 適 当 ) x の 係 数 の 絶 対 値 を 4 にそろえるために2 2 4x 3y 17 1 4x 10y 22 2 x を 消 去 するために,1-2 13y 39, y 3 y 3 を2に 代 入 すると, 2x 5 3 11, 2x 15 11, 2x 4, x 2 よって, x 2, y 3 次 に, ax 2by 20, 2ax by 5 の x, y は x 2, y 3 なので, 代 入 して 2a 6b 20 3 4a 3b 5 4 これを a, b の 連 立 方 程 式 として加 減 法 で 解 く b の 係 数 の絶 対 値 を 6 にそろえるために4 2 8
b 2a 6b 20 3 8a 6b 10 4 を 消 去 するために3+ 4 10a 10, a 1 a 1 を3に 代 入 すると, 2 6b 20, 6b 18, b 3 よって, a 1, b 3 答 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 3x 2y 4 連 立 方 程 式 ax 4y a 5 さい の 解 が 4x 3y 11 を 満 たすとき,a の 値 を 求 めな この 連 立 方 程 式 の 解 x, y は 3x 2y 4 と 4x 3y 11 をともに 満 たす そこで, まず 3x 2y 4 1 連 立 方 程 式 を 解 く 4x 3y 11 2 加 減 法 で 解 く( 代 入 法 は 不 適 当 ) x の 係 数 の 絶 対 値 を 6 にそろえるために1 3,2 2 9x 6y 12 1 8x 6y 22 2 y を 消 去 するために1 +2 17x 34, x 2 x 2 を1に代 入 すると, 2 y 4, 6 よって, x 2, y 1 9 3 2 2y 4, 2y 2, y 1
この x, y を ax 4y a 5 に 代 入 すると, 2a 4 a 5 よって, a 9 答 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) ax by 1 連 立 方 程 式 を P さんは 正 しく 解 いて, 解 は x 4, y 3 になった cx 7y 13 Q さんは c を 書 き 間 違 えたために, 解 は x 1, y 1になった a, b, c の 値 を 求 めなさい ax by 1 cx 7y 13 の 正 しい 解 は, x 4, y 3 なので,これを 代 入 して, 4a 3b 1 1 4c 21 13 2 2より, 4c 13 21, 4c 8, c 2 Q さんは c を 書 き 間 違 えたが, a, b は 間 違 っていないので, x 1, y 1は ax by 1の 式 を 満 たすはずである ax by 1に x 1, y 1を 代 入 すると, a b 1 3 1,3を a, 3より, b についての 連 立 方 程 式 として 解 く b 1 a これを1に 代 入 すると, 1 a 1, 4a 3 3a 1, a 4 4a 3 したがって, b 1 a 1 4 5 以 上 より, a 4, b 5, c 2 10
数 の 問 題 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) 大 小 2 つの 数 がある 小 さい 方 の 数 の 2 倍 に 大 きい 方 の 数 を 加 えると 81 になる また, 大 きい 方 の 数 の 2 倍 から 小 さい 方 の 数 の 3 倍 をひくと 1 になる このとき, 大, 小 2 つの 数 を 求 めなさい 大 きい 方 の 数 を x, 小 さい 方 の 数 を y とする 小 さい 方 の 数 y の 2 倍 に 大 きい 方 の 数 x を 加 えると 81 になるので, 2y x 81 1 大 きい 方 の 数 x の 2 倍 から 小 さい 方 の 数 y の 3 倍 をひくと 1 になるので, 2x 3y 1 2 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 1より, x 81 2y 1 1 を2に 代 入 すると, 2 81 2y 3y 1, 162 4y 3y 1, 7 y 161, y y 23 を1 に 代 入 すると, x 81 2 23 35 ゆえに, x 35, y 23 23 これは 問 題 にあてはまる よって, 大 きい 方 の 数 は 35, 小 さい 方 の 数 は 23 答 11
[ 問 題 ](3 学 期 ) 兄 と 弟 は 貯 金 をいくらかしている 兄 が 5000 円 貯 金 をすると, 兄 の 貯 金 が 弟 の 貯 金 の 3 倍 になる 逆 に 弟 が 5000 円 貯 金 すると 弟 の 貯 金 が 兄 の 貯 金 の 2 倍 になる 現 在 の 兄 と 弟 の 貯 金 額 をそれぞれ 求 めなさい 現 在 の 兄 の 貯 金 額 を x 円, 弟 の 貯 金 額 を y 円 とする 兄 が 5000 円 貯 金 をすると, 兄 の 貯 金 が弟 の 貯 金 の 3 倍 になるので, x 5000 3y 1 弟 が 5000 円 貯 金 すると 弟 の 貯 金 が 兄 の 貯 金 の 2 倍 になるので, y 5000 2x 2 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 2より y 2x 5000 2 2 を1に 代 入 すると, x 5000 32x 5000, x 5000 6x 15000, 5x 20000, x 4000 x 4000 を2 に 代 入 すると, y 2 4000 5000 3000 ゆえに, x 4000, y 3000 これは 問 題 にあてはまる よって 兄 の 貯 金 は 4000 円, 弟 の 貯 金 は 3000 円 である 答 12
[ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) 兄 弟 で 貯 金 をしています いま,2 人 がともに 500 円 貯 金 すると, 兄 の 貯 金 額 は 弟 の 3 倍 になるそうです また, 弟 だけが 1000 円 貯 金 すると, 弟 の 貯 金 額 は 兄 の 半 分 になるそうです 兄 の 現 在 の 貯 金 額 を x 円, 弟 の 現 在 の 貯 金 額 を y 円 として, 連 立 方 程 式 をつくり, 答 えを 求 めなさい 2 人 がともに 500 円 貯 金 すると, 兄 の 貯 金 額 は x 500 ( 円 )となり, 弟 の 貯 金 額 y 500 ( 円 )の 3 倍 になるので, x 500 3y 500 1が 成 り 立 つ 弟 だけが 1000 円 貯 金 すると, 弟 の 貯 金 額 は y 1000 ( 円 )となり, 兄 の 貯 金 額 x 円 の 半 分 になるので, y 1 1000 2 x 2が 成 り 立 つ 2の 両 辺 を 2 倍 すると, x 2y 2000 2 これを1に 代 入 すると, 2y 2000 500 3 y 500, 2y 2500 3y 1500, 2y 3y 1500 y 1000, y 1000 y 1000 x 2 1000 2000 4000 を2 に 代 入 すると, これは 問 題 に 当 てはまる 2500 よって, 兄 の 現 在 の 貯 金 高 は 4000 円, 弟 の 現 在 の 貯 金 高 は 1000 円 である 答 13
[ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) 現 在,まさや 君 の 父 親 の 年 齢 は,まさや 君 の 年 齢 の 3 倍 より 1 歳 年 上 です 13 年 後 に は, 父 親 の 年 齢 はまさや 君 の 年 齢 の 2 倍 になります 現 在 の 父 親 とまさや 君 の 年 齢 は, それぞれ 何 歳 ですか 現 在 の 父 親 の 年 齢 を x 歳,まさや 君 の 年 齢 を 歳 とする 現 在,まさや 君 の 父 親 の 年 齢 は,まさや 君 の 年 齢 の 3 倍 より 1 歳 年 上 なので, x 3y 1 1 13 年 後 の 父 親 の 年 齢 x 13 ( 歳 )は,13 年 後 のまさや 君 の 年 齢 y 13 ( 歳 )の 2 倍 にな るので, x 13 2 y 13 2 1を2に 代 入 すると, 3y 113 2y 13, 3y 14 2y 26, 3y 2y 26 14, y 12 y 12 を1に 代 入 すると, x 312 1 37 これは 問 題 にあてはまる よって, 現 在 の 父 親 は 37 歳,まさや 君 の 年 齢 は 12 歳 である 答 y 14
2 けた(3 けた)の 自 然 数 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 2 けたの 自 然 数 があります この 数 の 十 の 位 の 数 字 と 一 の 位 の 数 字 の 和 は 10 になり ます また, 十 の 位 の 数 学 と 一 の 位 の 数 字 を 入 れかえてできる 数 は,もとの 数 より 18 大 きくなります もとの 自 然 数 を 連 立 方 程 式 を 用 いて 求 めなさい 十 の 位 の 数 学 を x, 一 の 位 の 数 字 を y とする 数 字 の 和 は 10 なので, x y 10 1 もとの 数 は10 x y, 十 の 位 の 数 学 と 一 の 位 の 数 字 を 入 れかえてできる 数 は10y x 入 れかえてできる 数 はもとの 数 より 18 大 きいので, (いれかえてできる数)=(もとの 数 )+18 10y x 10x y 18 2 連 立 方 程 式 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 1より y 10 x 1 2より, 10y x 10x y 18, 9x 9y 18, x y 2 2 1 を2 に 代 入 すると, x 10 x 2, 2x 8, x 4 x 4 を1 に 代 入 すると, y 10 4 6 ゆえに, x 4, y 6 これは 問 題 にあてはまる よって,もとの 自 然 数 は 46 となる 答 [ 解 説 ] 2 けたの 自 然 数 の 表 しかた 例 ) 58 : 十 の 位 が 5, 一 の 位 が8 なので, 58 50 8 10 5 8 十 の 位 が x, 一 の 位 が y の 数 A:A=10 x y 15
A の 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えた 数 B:B=10 y x 数 の 大 小 の 表 しかた: 文 章 を 機 械 的 に 式 に 直 す 例 ) 56 は30 より 26 大 きい 56 30 26 A は B より5 大 きい A=B+5 A は B より5 小 さい A=B-5 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) 2 けたの 自 然 数 がある 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 9 で, 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れかえてできる 数 は,もとの 数 よりも 27 大 きくなるという もとの 自 然 数 を 求 めなさい もとの 数 の 十 の 位 の 数 を x, 一 の 位 の 数 を y とする 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の和 は 9 なので, x y 9 1 もとの 数 は10x y, 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れかえてできる 数 は10 y x 入 れかえてできる 数 は, もとの 数 よりも 27 大 きくなるので, (いれかえてできる 数 )=(もとの 数 )+27 10y x 10x y 27 2 連 立 方 程 式 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 1より, y 9 x 1 2より, 9x 9y 27, x y 3 2 1 を2 に代 入 すると, x 9 x 3, 2x 6, x 3 x 3 を1 に 代 入 すると, y 9 3 6 16
ゆえに, x 3, y 6 これは 問 題 にあてはまる よって, もとの 自 然 数 は 36 [ 解 説 ] 2 けたの 自 然 数 の 表 しかた 例 ) 58 : 十 の 位 が 5, 一 の 位 が8 なので, 58 50 8 10 5 8 十 の 位 が x, 一 の 位 が y の 数 A:A=10 x y A の 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えた 数 B:B= 10 y x 数 の 大 小 の 表 しかた: 文 章 を 機 械 的 に 式 に 直 す 例 ) 56 は30 より 26 大 きい 56 30 26 A は B より5 大 きい A=B+5 A は B より 5 小 さい A=B-5 [ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 2 けたの 正 の 整 数 がある この 整 数 は, 各 位 の 数 の 和 の 5 倍 よりも 3 小 さい また 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れかえてできる 2 けたの 整 数 は,もとの 整 数 よりも 18 大 きくな る もとの 整 数 を 求 めなさい もとの 整 数 の 十 の 位 を x, 一 の 位 を y とすると,この 整 数 は10x y と 表 すことがで きる この 整 数 は, 各 位 の 数 の和 の 5 倍 よりも 3 小 さいので, (この 整 数 )=( 各 位 の 数 の 和 ) 5-3 17
y5 3 10x y x 1 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れかえてできる 2 けたの 整 数 は 数 よりも 18 大 きいので, ( 入 れかえてできる 2 けたの 整 数 )=(もとの 整 数 )+18 10y x 10x y 18 2 1より, 10x y 5x 5y 3, 5x 4y 3 1 2より, 9x 9y 18, x y 2, y x 2 2 1,2 を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 2 を1 に 代 入 すると, x 2 3, 5x 4x 8 3, x 5 5x 4 10y x で, 10y x x 5 を2 に 代 入 すると, y 5 2 7 ゆえに, x 5, y 7 これは 問 題 にあてはまる よって,もとの 整 数 は 57 答 [ 解 説 ] 2 けたの 自 然 数 の 表 しかた 例 ) 58 : 十 の 位 が5, 一 の 位 が8 なので, 58 50 8 10 5 8 十 の 位 が x, 一 の 位 が y の 数 A:A=10 x y A の 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えた 数 B:B=10 y x 数 の 大 小 の 表 しかた: 文 章 を 機 械 的 に 式 に 直 す 例 ) 56 は30 より 26 大 きい 56 30 26 A は B より 5 大 きい A=B+5 A は B より 5 小 さい A=B-5 がもとの 整 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 2 けたの 自 然 数 がある この 数 の 十 の 位 の 数 の 5 倍 から 一 の 位 の 数 をひいたら 2 に なる また, 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えてできる 数 は,もとの 数 の 3 倍 より 2 小 さく なる もとの 自 然 数 を 求 めなさい 18
もとの 数 の 十 の 位 を x, 一 の 位 を y とする 十 の 位 の 数 x の 5 倍 から 一 の 位 の 数 をひいたら 2 になるので, x もとの数 は10 x y, 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えてできる 数 は10 y x y 5 y 2 入 れ 替 えてで きる 数 は, もとの 数 の 3 倍 より 2 小 さくなるので, ( 入 れ 替 えてできる 数 )=(もとの 数 ) 3-2 10y x 310x y 2 2 1より, y 5x 2, y 5x 2 1 2より, y x 30x 3y, 29x 10 2 7y 2 1,2 を代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 19 2 1 を2 に 代 入 すると, 29x 75x 2 2, 29x 35x 14 2, 6x 12, x 2 x 2 を1 に 代 入 すると, y 5 2 2 8 ゆえに, x 2, y 8 これは 問 題 にあてはまる よって,もとの 数 は 28 答 [ 解 説 ] 2 けたの 自 然 数 の 表 しかた 例 ) 58 : 十 の 位 が5, 一 の 位 が8 なので, 58 50 8 10 5 8 十 の 位 が x, 一 の 位 が y の 数 A:A=10 x y A の 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えた 数 B:B= 10 y x 数 の 大 小 の 表 しかた: 文 章 を 機 械 的 に 式 に 直 す 例 ) 56 は30 より 26 大 きい 56 30 26 A は B より 5 大 きい A=B+ 5 A は B より 5 小 さい A=B- 5 1
[ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 2 けたの 自 然 数 がある この 自 然 数 の 十 の 位 の 数 は 一 の 位 の 数 より 4 小 さい また, 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れかえてできる 数 は,もとの 数 の 2 倍 より 1 小 さい こ の 2 けたの 自 然 数 を 求 めなさい 十 の 位 の 数 学 を x, 一 の 位 の 数 字 を y とする 十 の 位 の 数 x は 一 の 位 の 数 y より 4 小 さいので, x y 4 1 この 自 然 数 は10x y で, 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の数 を 入 れかえてできる 自 然 数 は 10y x である 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れかえてできる 数 10y x は,もとの 数 10x y の 2 倍 より 1 小 さいので,10y x 10x y 2 1 10y x 20x 2y 1, 10y x 20x 2y 1, 19x 8y 1 2 1を2に 代 入 すると, 19 y 4 8y 1, 19y 76 8y 1, 11y 77, y 77 11 よって, y 7 これを1に 代 入 すると, x 7 4 3 これは 問 題 に 当 てはまる よって, 求 める 自 然 数 は 37 である 答 [ 解 説 ] 2 けたの 自 然 数 の 表 しかた 例 ) 58 : 十 の 位 が 5, 一 の 位 が8 なので, 58 50 8 10 5 8 十 の 位 が x, 一 の 位 が y の 数 A:A=10 x y A の 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ 替 えた 数 B:B=10 y x 数 の 大 小 の 表 しかた: 文 章 を 機 械 的 に 式 に 直 す 例 ) 56 は30 より 26 大 きい 56 30 26 A は B より 5 大 きい A=B+5 A は B より5 小 さい A=B-5 20
割 合 1: 定 価 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) ある 店 で,シャツとパンツを 1 組 買 った 定 価 どおりだと, 合 計 金 額 は 4500 円 だ ったが,シャツは 定 価 の 20% 引 き,パンツは 定 価 の 15% 引 きだったので, 合 計 金 額 は 3700 円 になった シャツとパンツそれぞれの 定 価 を 求 めなさい シャツの 定 価 を x 円,パンツの 定 価 を y 円 とする 定 価 どお りだと, 合 計 金 額 は 4500 円 なので, x y 4500 1 シャツは 定 価 の 20% 引 きなので, 買 値 は x 1 0.2 0. 8x ( 円 ) パンツは 定 価 の 15% 引 きなので, 買 値 は y 1 0.15 0. 85y ( 円 ) 買 値 の 合 計 は 3700 円 なので, 0.8x 0.85y 3700 両 辺 を 20 倍 すると, 16x 17y 74000 2 1より, y 4500 x 1 1 を2に 代 入 すると, 16x 174500 x 74000 16x 76500 17x 74000, 16x 17x 74000 76500, よって, x 2500 x 2500 を1 に 代 入 すると, y 4500 2500 2000 x 2500 これは 問 題 に 当 てはまる ゆえに,シャツの 定 価 は 2500 円,パンツの 定 価 は 2000 円 となる 答 21
[ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) サッカーボールとソフトボールを 1 個 ずつ 買 いました 定 価 の 合 計 は 4000 円 でし たが,サッカーボールは 定 価 の 80%で,ソフトボールは 定 価 の 60%で 売 っていたので, 代 金 の 合 計 は 3000 円 でした サッカーボールとソフトボールの 定 価 はそれぞれいく らですか サッカーボールの 定 価 を x 円,ソフトボールの 定 価 を y 円 とする 定 価 の 合 計 は 4000 円 なので, x y 4000 1 サッカーボールの 買 値 は, 定 価 の 80%なので, x 0.8 0. 8x ( 円 ) ソフトボールの 買 値 は, 定 価 の 60%なので, y 0.6 0. 6y ( 円 ) 買 値 の 合 計 は 3000 円 なので, 0.8x 0. 6y 3000 両 辺 を 5 倍 すると, 4x 3y 15000 2 1より, y 4000 x 1 1 を2に 代 入 すると, 4x 3 4000 x 15000, 4x 12000 3x 4x 3x 15000 12000, x 3000 x 3000 を1 に 代 入 すると, y 4000 3000 1000 これは 問 題 に 当 てはまる 15000 よって,サ ッカーボールの 定 価 は 3000 円,ソフトボールの 定 価 は 1000 円 である 答 22
割 合 2: 人 数 の増 減 [ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 次 の 問 題 を 連 立 方 程 式 をつくって 解 きなさい ある 中 学 校 のテニス 部 の 昨 年 の 部 員 数 は, 男 女 あわせて 40 人 でした 今 年 は 昨 年 と 比 べて, 男 子 は 20% 増 え, 女 子 は 10% 減 ったので, 男 女 あわせて 39 人 になった 今 年 の 男 子 と女 子 の 部 員 数 をそれぞれ 求 めなさい 昨 年 の 男 子 の 人 数 を x 人, 女 子 の 人 数 を y 人 とする 昨 年 の 部 員 数 は, 男 女 あわせて 40 人 だったので, x y 40 1 今 年 は 男 子 は 20% 増 えたので,( 今 年 の 男 子 数 )=( 昨 年 の 男 子 数 )+( 増 加 した 男 子 数 ) ( 今 年 の 男 子 数 )= 20 x x x 0.2x 1. 2x 100 女 子 は 10 % 減 ったので,( 今 年 の女 子 数 )=( 昨 年 の 女 子 数 )-( 減 少 した 女 子 数 ) 10 ( 今 年 の 女 子 数 )= y y y 0.1y 0. 9y 100 今 年 の 人 数 は 39 人 なので, 1. 2x 0.9y 39 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) y 40 x 23 人 人 2 1より, 1 2より, 12x 9y 390, 4x 3y 130 2 1 を2 に 代 入 すると, 4x 3 40 x 130, 4x 120 3x 130, x x 10 を1 に 代 入 すると, y 40 10 30 ゆえに, 10 x 10, y 30
これは 問 題 にあてはまる よって, 今 年 の 男 子 は, 10 1.2 12 人, 女 子 は30 0.9 27 人 答 [ 解 説 ] 連 立 方 程 式 では, 通 常 求 めるものを x, y とおくが,このタイプの 人 数 の 増 減 の 問 題 では 昨 年 の 人 数 を x, y とおく ( 今 年 の 人 数 を x, y とおくと, 式 を 立 てるのがわ かりにくく,かつ 計 算 も 非 常 に 面 倒 になる) 次 のように表 を 使 って 考 えることもできる 男 子 女 子 合 計 昨 年 x 人 y 人 40 人 20 %, 0.2x 人 増 加 10 %, 0.1y 人 減 少 今 年 1.2x 人 0.9y 人 39 人 最 後 に 計 算 の 結 果 求 めた x, y の 値 を 一 応, 吟 味 する x, y から 今 年 の 人 数 を 計 算 する [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) ある 町 の 図 書 館 では,7 月 と 8 月 について, 中 学 生 と 高 校 生 の 利 用 者 数 を 調 査 しま した 7 月 は 中 学 生 と 高 校 生 合 わせて 580 人 が 利 用 していました 8 月 は,7 月 より 中 学 生 が 20% 増 え, 高 校 生 が 10% 減 ったので, 中 学 生 が 高 校 生 より 3 人 多 く 利 用 して いました 7 月 の 中 学 生 の 人 数, 高 校 生 の 人 数 を 求 めなさい 7 月 の 中 学 生 の 利 用 者 数 を x 人, 高 校 生 の 利 用 者 数 を y 人 とする 7 月 は 中 学 生 と 高 校 生 合 わせて 580 人 が 利 用 したので, x y 580 1 24
増 えたので, 中 学 生 の 利 用 者 数 は x 1 0.2 1. 2x 8 月 は 7 月 より 中 学 生 が 20% ( 人 ), y 1 0.1 0.9y 高 校 生 は 10% 減 ったので ( 人 ) 8 月 の 中 学 生 の 利 用 者 数 は,8 月 の 高 校 生 の 利 用 者 数 より 3 人 多 いので, 1.2x 0.9y 3, 12x 9y 30, 4x 3y 10 1より, y 580 x 1 1 を2に 代 入 すると, 4 3580 10 x x 2, 4x 1740 3x 10 4x 3x 10 1740, 7x 1750, x 1750 7 250 x 250 を1 に 代 入 すると, y 580 250 330 これは 問 題 に 当 てはまる よっ て,7 月 の 中 学 生 の利 用 者 数 は 250 人, 高 校 生 の 利 用 者 数 は 330 人 である 答 [ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) あ る 中 学 校 の 合 唱 部 の 去 年 の 部 員 は, 男 女 合 わせて 32 人 であった 今 年 は, 去 年 より 男 子 部 員 は 25%, 女 子 部 員 は 15%それぞれ 増 加 し, 増 加 した 人 数 は 男 女 とも 同 じ であった 去 年 の 男 子 部 員 を x 人, 去 年 の 女 子 部 員 を y 人 として 次 の 問 いに 答 えな さい (1) 去 年 の 部 員 の 人 数 の 関 係 から 方 程 式 をつくりなさい (2) 今 年, 増 加 した 人 数 の 関 係 から 方 程 式 をつくりなさい (3) (1),(2)を 連 立 方 程 式 として 解 き, 今 年 の 男 子 部 員 と 女 子 部 員 の 人 数 を 求 めなさ い (1) (2) x y 32 (1) (2) [ 解 説 ] 0.25x 0. 15y 25 (3) 男 子 :15 人, 女 子 :23 人 (1) 去 年 の 部 員 は, 男 女 合 わせて 32 人 であったので, ( 去 年 の 男 子 部 員 数 )+( 去 年 の 女 子 部 員 数 )=32 で, x y 32 (2) 男 子 x 人 の 25%は 0.25x 人, 女 子 y 人 の 15%は 0. 15y 人 増 加 した 人 数 が 等 し いことから, 0.25x 0. 15y
x y 32 1 (3) 連 立 方 程 式 を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 も 可 ) 0.25x 0.15y 2 1より, 0.25x 0.15 32 x y 32 x 1 これを2に 代 入 すると, 両 辺 を 100 倍 すると, 32 x, 5x 332 x, 5x 96 3x, 5x 3x 96 25x 15 8x 96, x 12 x 12 を1 に 代 入 すると, y 32 12 20 0.25x 0.2512 3 なので, 男 女 3 人 ずつ 増 加 従 って, 男 子 は 12+3=15 人, 女 子 は 20+3=23 人 これは 問 題 にあてはまる [ 問 題 ](3 学 期 ) はやとさんは 毎 週,スチール 缶 とアルミ 缶 を 集 めるリサイクル 活 動 をしています 先 週 は,スチール 缶 とアルミ 缶 をあわせて 40kg 回 収 しました 今 週 は 先 週 に 比 べて, スチール 缶 が 10% 減 り,アルミ 缶 が 20% 増 えたので, 全 体 で 45kg 回 収 できました 先 週 のスチール 缶 とアルミ 缶 の 回 収 量 はそれぞれ 何 kg だったでしょうか 先 週 のスチール 缶 の 回 収 量 を x kg,アルミ 缶 の 回 収 量 を y kg とする 先 週 は,スチール 缶 とアルミ 缶 をあわせて 40kg 回 収 したので, x y 40 1 今 週 は 先 週 に 比 べて,スチール 缶 は 10% 減 なので, x アルミ 缶 は 20% 増 えたので, y 1 0.2 1. 2y (kg) 26 1 0.1 0.9x 今 週 は, スチール 缶 とア ルミ缶 をあわせて 45kg 回 収 したので, 0.9x 1.2y 45, 9x 12y 450, 3x 4y 150 2 (kg)
1より, y 40 x 1 を2に 代 入 すると, 1 40 x 150, 3x 160 4x 150, 3x 4x 150 160, x 10 3x 4 よって, x 10 x 10 を1 に 代 入 すると, y 40 10 これは 問 題 に 当 てはまる ゆえに, 先 週 のスチール 缶 の 回 収 量 は 10kg,アルミ 缶 の 回 収 量 は 30kg である 答 30 27
割 合 3: 濃 度 の 問 題 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 5%の 食 塩 水 と 10%の食 塩 水 をまぜて 8%の 食 塩 水 を 200g つくりたい 5%と 10% の 食 塩 水 はそれぞれ 何 g まぜればよいですか 5%の 食 塩 水 を x g と 10%の 食 塩 水 を y g とする 200g の 食 塩 水 をつくるので, x y 200 1 5 5%の 食 塩 水 x g の 中 にある 食 塩 は, 100 10%の 食 塩 水 y g の 中 にある 食 塩 は, x g, 10 y 100 また,8%の 食 塩 水 200g の 中 にある 食 塩 は, 混 ぜる 前 後 で, 食 塩 の 量 は 変 わらないので, 5x 10y 100 100 1600 100 2 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 1より, 2の 両 辺 を 28 g である 8 200 g 100 y 200 x 1 100 倍 して, 5x 10y 1600, x 2y 320 2 1 を2 に 代 入 すると, x 2 200 x 320, x 400 2x 320, x 80, x x 80 を1 に 代 入 すると, y 200 80 120 ゆえに, x 80, y 120 80
これは 問 題 にあてはまる よって,5%の 食 塩 水 は 80g,10%の 食 塩 水 は 120g 答 [ 解 説 ] まず 求 めるものを x, y とおく 5%と 10%の 食 塩 水 はそれぞれ 何 g まぜればよいですか とあるので, 5%の 食 塩 水 を x g と 10%の 食 塩 水 を y g とする 食 塩 水 の 問 題 では, 混 ぜる 前 後 の 食 塩 水 の 量 と 食 塩 の 量 に 注 目 して 式 を 立 てる 食 塩 水 については,(5%の 食 塩 水 の 量 )+(10%の 食 塩 水 の 量 )=(8%の 食 塩 水 の 量 )な ので, x y 200 ( 濃 度 %) 食 塩 は, ( 食 塩 の 量 ) ( 食 塩 水 の 量 ) で 求 める 100 10 100 例 えば,10%の 食 塩 水 200g の 中 に 含 まれる 食 塩 の 量 は, 200 20 g である 混 ぜる 前 後 の 食 塩 の 量 は 同 じなので, (5%の 食 塩 水 の 食 塩 の 量 )+(10%の 食 塩 水 の 食 塩 の 量 )=(8%の 食 塩 水 の 食 塩 の 量 ) 5 10 8 x y 200 100 100 100 最 後 に 計 算 の 結 果 求 めた x, y の 値 を 一 応, 吟 味 する 計 算 間 違 え 等 がなくて, 出 てきた 答 えが 負 の 数 に な ったとしたら, 解 なし が 正 解 になる 中 学 数 学 では,この ような 解 なし の 問 題 はほとんど出 題 されないため, 通 常 は, これは 問 題 にあては まる と 書 いておけばよい 29
[ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 果 汁 50%のジュースと 果 汁 10%のジュースを 混 ぜて, 果 汁 40%のジュースを 1kg 作 ります それぞれ 何 g 必 要 ですか 果 汁 50%のジュースを x g, 果 汁 10%のジュースを y g とする あわせて 1kg=1000g なので, x y 1000 1 50 果 汁 50%のジュース x g の 中 の 果 汁 の 量 は, x 100 10 果 汁 10%のジュース y g の 中 の 果 汁 の 量 は, y 100 果 汁 40%のジュース 1000g の 中 の 果 汁 の量 は, 混 ぜる 前 と 後 の 果 汁 の 量 は 同 じなので, x 50 100 y 10 100 1000 40 100 2 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) y 1000 x 30 g g 1000 40 100 1より, 1 2の 両 辺 を 100 倍 して, 50x 10y 40000, 5x y 4000 2 1 を2 に 代 入 すると, 5x 1000 x 4000, 4x 3000, x 750 x 750 を1 に 代 入 すると, y 1000 750 250 ゆえに, x 750, y 250 これは 問 題 にあてはまる よって, 果 汁 50%のジュースは 750g, 果 汁 10%のジュースは 250g である 答 g
割 合 4:その 他 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) 姉 はもっていたお 金 の 80%を, 妹 はもっていたお 金 の 70%を,それぞれ 出 しあっ て,5300 円 の 品 物 を 買 いました 2 人 の 残 ったお 金 をくらべたら, 妹 の 方 が 100 円 多 くなっていました 2 人 がはじめにもっていたお 金 は,それぞれいくらですか 姉 の もっていたお 金 を x 円, 妹 のもっていたお 金 を y 円 として 連 立 方 程 式 をつくり 答 えを 求 めなさい 姉 のお 金 の 80%と 妹 のお 金 の 70%の 合 計 が 5300 円 なので, 0.8 x 0.7 y 5300 1 姉 の 残 ったお 金 は 0.2x 円, 妹 の 残 ったお 金 は. 妹 の 方 が 100 円 多 いので 0.3 y 0.2x 100 2 1,2を 整 理 すると, 31 0 3y 円 で, 8x 7 y 53000 1 2x 3y 1000 2 加 減 法 で 解 く ( 代 入 法 は 不 適 当 ) x の 係 数 の 絶 対 値 を8 にそろえるために2 4 8x 7 y 53000 1 8x 12y 4000 2 x を 消 去 するために1 +2 19y 57000, y 3000 y 3000 を2 に 代 入 すると, 2x 3 3000 1000, 2x 8000, x 4000 ゆえに, x 4000, y 3000
これは 問 題 にあてはまる よって, 姉 のもっていたお 金 は 4000 円, 妹 のもっていたお 金 は 3000 円 答 [ 問 題 ](1 学 期 期 末 ) バスケットボールの 試 合 で,A さんは 3 点 シュートと 2 点 シュートを 合 わせて 35 回 シュートをしました そのうち 成 功 したのは 3 点 シュートが 20%,2 点 シュートが 40%で,A さんがあげた 得 点 の 合 計 は 26 得 点 でした A さんは,3 点 シュート,2 点 シュートをそれぞれ 何 回 成 功 させたのでしょうか 3 点 シュートを x 回, 2 点 シ ュートを y 回 行 ったとする 合 わせて 35 回 シュートを 行 ったので, x y 35 1 得 点 は 26 点 なので, 3 0. 2x 2 0.4y 26 2 1,2を 代 入 法 で 解 く( 加 減 法 でも 可 ) 1より, 2より, y 35 x 1 0.6x 0.8y 26, 3x 4y 130 2 1 を2 に 代 入 すると, 3x 4 35 x 130, 3x 140 4x 130, x 10, x x 10 を1 に 代 入 すると, y 35 10 25 ゆえに, x 10, y 25 10 これは 問 題 にあてはまる 3 点 シュートの 成 功 回 数 は 10 0.2 2 回, 2 点 シュートの 成 功 回 数 は 25 0.4 10 回 答 32
[ 問 題 ](2 学 期 期 末 ) ある 店 では,パンとドーナツを 合 わせて 350 個 作 りました そのうち,パンは 90%, ドーナツは 80% 売 れ, 合 わせて 300 個 売 れました パンとドーナツをそれぞれ 何 個 作 ったでしょうか パンを x 個,ドーナツを y 個 作 ったとする x y 350 合 わせて 350 個 作 ったので, 1 パン x 個 の 90%は 0.9x,ドーナツ y 個 の 80%は で, 合 わせて 300 個 売 れたの 0.8y で, 0.9x 0.8y 300 2 連 立 方 程 式 1,2を 代 入 法 で 解 く 1より y 350 x 1 これを2に 代 入 すると, 0.9x 0.8350 x 300 両 辺 を 10 倍 すると, 9x 8350 x 3000, 9x 2800 8x 3000, x 200 x 200 を1 に 代 入 すると, y 350 200 150 よって, x 200, y 150 これらは 問 題 にあてはまる ゆえに,パンを 200 個,ドーナツを 150 個 作 った 答 33
その 他 [ 問 題 ](2 学 期 中 間 ) 碁 石 を 右 の 図 のように 並 べて, 正 方 形 と 正 三 角 形 をつくります いま,98 個 の 碁 石 を A, B2 つのグループに 分 け,A のグループの 碁 石 で 1 つの 正 方 形 を,B のグループの 碁 石 で 1 つの 正 三 角 形 をそれぞれつくったら,どちらのグル ープも 余 りなく 並 べることができました このとき, 正 方 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 は, 正 三 角 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 の 3 倍 でした この 場 合 の 正 方 形 と 正 三 角 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 を 求 めなさい 正 方 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 を x 個, 正 三 角 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 を y 個 とする 正 方 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 x は, 正 三 角 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 y の 3 倍 なので, x 3y 1 正 方 形 の碁 石 の 総 数 は x 1 4 4x 4, 正 三 角 形 の 碁 石 の 総 数 は y 3y 3 1 3 碁 石 の 合 計 は 98 個 なので, 4x 4 3y 3 98, 4x 3y 105 2 4 3y 3y 105, 15y 105, y 105 15, y y 7 を1に 代 入 すると, x 3 7, x 21 1を2に 代 入 すると, 7 これは 問 題 に 当 てはまる よって, 正 方 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 は 21 個, 正 三 角 形 の 1 辺 の 碁 石 の 数 は 7 個 答 34
[ 解 説 ] 右 図 の A のように 1 辺 に 3 個 の 碁 石 を 並 べる 場 合, 碁 石 の 総 数 は,(3-1) 4 ( 個 ) B のように 1 辺 に 4 個 の 碁 石 を 並 べる 場 合, 碁 石 の 総 数 は,(4-1) 4 ( 個 ) C のように 1 辺 に 5 個 の 碁 石 を 並 べる 場 合, 碁 石 の 総 数 は,(5-1) 4 ( 個 ) したがって,1 辺 に x 個 の 碁 石 を 並 べる 場 合, 碁 石 の 総 数 は,( x -1) 4 ( 個 ) 正 三 角 形 の 場 合 も 同 様 で,1 辺 に y 個 の 碁 石 を 並 べる 場 合, 碁 石 の 総 数 は,( y -1) 3 ( 個 )となる 35
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