開水路の水理学

水 理 学 の 復 習 (3) 管 路 定 常 流 の 解 析 法 ( 管 網 計 算 )

給 水 所 では 消 毒 のための 塩 素 の 注 入 も 行 われる

水 道 の 設 計 における 管 網 計 算 の 主 な 目 的 は 各 家 庭 が 水 を 最 も 使 う 時 間 帯 での 給 水 量 を 給 水 した 場 合 においても 配 水 管 に 十 分 な 水 圧 が 確 保 されて いるかどうかを 調 べ そのような 水 圧 が 確 保 されるように 各 配 水 管 の 管 径 を 決 めることである 給 水 栓 ( 蛇 口 ) 配 水 圧 最 低 でも5 m 最 高 でも 50 m 量 水 器 止 水 弁 給 水 管 地 盤 高 取 付 口 * 注 + 配 水 圧 は 給 水 管 取 付 口 で 最 低 でも 水 頭 で 5 m ( 約 0.5 M Pa) なければならないとされている この 水 圧 は 水 道 管 網 に 設 けた 消 火 栓 に 消 防 ホースを 繋 ぐだけ2 階 家 の 火 災 を 消 火 出 来 る 水 圧 に 相 当 する

隣 接 管 路 網 からの 流 入 水 道 管 路 網 図 の 例 節 点 番 号 給 水 量 m 3 / 日 工 業 団 地 へ の 送 水 浄 水 場 隣 接 配 水 池 凡 例 総 水 頭 地 盤 高 水 圧 流 量 m 3 / 日 ( 損 失 水 頭 m) ( 管 番 号 ) 管 径 mm - 管 長 m * 註 + 給 水 は 数 百 m 間 隔 に 設 けた 節 点 (node)に 集 中 して 行 れるものと 想 定 し て

v2 2g D p ρg z 管 網 計 算 の 基 本 式 2 4Q p z 2 エネルギー H 勾 配 線 2g πd ρg 2 4Q p2 H S Y( h z L ) 2g πd2 ρg 損 失 水 頭 動 水 勾 配 線 Q L z 2 p2 ρg 2 2 Y h H H L 2 p p z z L ρ ρ S g g YとQとの 関 係 式 () Darcy-Weisbach 式 からの 表 現 Y k Q Q (2) Hazen-Williams 式 からの 表 現 0.85 Y k Q Q ここで 絶 対 値 記 号 を 用 いるのは YとQの 正 負 記 号 を 合 致 させるためである 流 量 は 本 来 はスカラー 量 であるが 管 網 計 算 では 事 前 に 定 めた 方 向 に 流 れた 場 合 を 正 方 向 の 流 量 として 計 算 の 結 果 Q が 負 の 値 になれば 水 は 定 めた 方 向 とは 逆 の 方 向 に 流 れたと 判 断 する

Hardy Cross 法 (ループ 流 量 補 正 法 ) Hardy Cross (885-959) was structural engineering professor at University of Illinois. Development of moment distribution method is one of his greatest contributions to structural engineering. He held that a university is a place to make intellectual mistakes, many mistakes, and to rectify them.

管 網 計 算 の 基 本 式 ( 続 き) 0.85 水 道 実 務 では 伝 統 的 にHazen Williams 式 から 導 かれる Y k Q Q この 場 合 の 抵 抗 係 数 k は 次 式 で 与 えられる k C 0. 7 L. 85 4. 87 D が 使 われている C は 流 速 係 数 と 呼 ばれ 管 内 壁 面 の 粗 さに 依 存 する 値 である 粗 面 の 管 材 では C=00 程 度 滑 面 の 管 材 では C= 30 程 度 になる 水 理 学 では 一 般 的 に 管 路 流 れの 損 失 水 頭 は Darcy-Weisbach 式 で 表 現 される この 場 合 には Y k Q Q の k は L 4 8 L k λ λ D 2g πd gπ D と 計 算 され 更 に Manning 式 から 導 かれる 2 2 2 2 2 5 8gn 8gn λ の 関 係 を 使 えば /3 /3 R ( D/ 4) /3 2 2 (4) 64 n L n L k 0.7 π D D 2 5/3 5.33 と 表 現 される 以 下 の 説 明 では このように k 値 を 求 めることを 前 提 に Darcy Weisbach 型 の Y k Q Q を 用 いることにする

ループ 状 管 路 系 における 連 続 の 式 R 4 4 Q R 3 + 3 4 Q 4 2 節 点 給 水 量 と 管 流 量 の 方 向 に 関 する 約 束 事 () 節 点 でループから 抜 取 られる 水 量 ( 給 水 量 ) R i はループから 出 る 場 合 を 正 とする (2) 管 を 流 れる 流 量 Q i は 時 計 まわりの 方 向 を 正 とする Q 2 2 3 従 って R i が 所 与 の 値 である 場 合 Q 全 て 自 動 的 に 決 定 される R Q 3 dq dq ループ 全 体 での 水 量 収 支 式 i R R R R R i 2 3 4 0 各 節 点 での 水 量 収 支 式 Q Q R 2 4 また x Q と おけば Q x + 定 数 なので i R 2 Q3 Q2 R3 Q R3 R4 Q4 Q3 R2 Q R2 R3 R4 を 決 めれば ループ 内 の 管 流 量 Q i は dqi ( i=~ 4) dx

ループ 状 管 路 系 での 各 管 損 失 水 頭 和 に 関 する 制 約 Y k Q Q 4 Y2 k2 Q2 Q2 + 2 3 3 Y4 k4 Q4 Q4 4 2 Y3 k3 Q3 Q3 節 点 j での 総 水 頭 を Y H H 従 って ループ 一 周 の 損 失 水 頭 和 は 3 4 Y H H Y H H 2 4 3 2 Y H H 4 2 3 Hj Y Y Y Y Y と すると 右 図 において i 2 3 4 0 でなければならない x Q と おけば Yi ki Qi ( x) Qi ( x) なので 上 の 制 約 式 は F(x) Yi ki Qi Qi 0 と なる ただし Qi Q i(x) である こ の Fx ( ) 0 を 満 たす x をニュート ン 法 で 求 めれば 全 ての 流 量 が 求 まる

ニュートン 法 によるループ 共 通 の 管 流 量 補 正 値 を 求 める 方 法 (X2 F(X2)) y = F(X) (X F(X)) 傾 き F(X ) F'(X ) = 従 って X - X 2 F( x) Y Y ( x) i dyi dyi dqi dyi F( x) dx dq dx dq ただし 2 k Q 2 P i i i i i i k Q P i Yi Q i i 解 X 補 正 量 X2 X F(X ) X X - X 2 = F'(X ) Δ = 従 って 補 正 量 は Δx F( x) F( x) 2 Yi P i F( x) x( 新 ) x +Δ x x x F( x) 2 Yi P i

計 算 の 手 順 節 点 流 量 収 支 が 成 立 するよ うに 各 管 の Q i を 仮 定 する P Y k Q i i i k Q Q i i i i k i D i Li n から を 計 算 し ておく Yi x 2P Δx 許 容 誤 差? i No Q Q x i i 与 えられた 情 報 の 整 理 Q i i Yes Y の 決 定 pj H j の 計 算 / ρg の 計 算 必 要 な 事 前 情 報 各 管 の 情 報 : 管 長 (L) 管 径 (D) 粗 度 (n) 上 流 側 節 点 番 号 下 流 側 節 点 番 号 ( 配 属 ループ 番 号 ) 各 節 点 の 情 報 : 給 水 量 (R) 地 盤 高 (z) 各 ループの 情 報 : 所 属 管 数 所 属 管 番 号 ( 反 時 計 まわりに 並 べる) 基 準 となる 節 点 の 総 水 頭

2つのループにまたがる 管 の 流 量 補 正 I II I II + + + + 複 数 個 のループからなる 管 網 は ループごとに 補 正 していけば 良 いが 2つ のループに 共 通 の 管 での 流 量 は 最 初 のループから 見 て 正 方 向 の 流 量 は2 番 目 のループから 見 ると 負 方 向 の 流 量 になる 従 って そのような 管 の 流 量 の 補 正 は こ こ で Δx = Δx - Δx Δx Δx の 式 に 従 って 行 う () I ( II) : : ( I) ( II) 最 初 のループに 対 する 補 正 量 2 番 目 のループに 対 する 補 正 量

定 水 頭 の 節 点 が 複 数 個 ある 管 網 への 適 用 方 法 H A Y Y 5 2 Y 4 Y 2 Y 3 Y 7 H B 右 図 のような 水 位 が 一 定 の2つの 貯 水 池 に 接 続 している 管 網 では 2つの 貯 水 池 の 間 に 仮 想 の 管 を 考 え その 損 失 水 頭 Y は 常 に Y4 ( HA HB) 一 定 として 補 正 計 算 を 行 う Y 6 すなはち 第 ループに 対 しては F x Y Y Y H H ( ) 2 3 A B を 満 たすように 流 量 補 正 を 行 い 第 2ループに 対 しては 通 常 とおりに F( x) Y Y Y Y 0 5 6 7 2 を 満 たすように 流 量 補 正 を 行 なえば 良 い

例 題 表 のような 情 報 が 与 えられている 下 図 の 管 網 において 基 準 点 (= 節 点 0)の 水 圧 が 水 頭 で 28.0 mであるときに 各 節 点 の 水 圧 ( 圧 力 水 頭 )を 求 めなさい ただし 管 内 面 の 粗 さはマニング 式 の 粗 度 で 0.0 に 相 当 するとする.00 m 3 /s 3 0.7 m 3 /s 20.0 m 4 0 2 0.2 m 3 /s 節 点 地 盤 高 22.0 m 8.0 m 2 0.3 m 3 /s 3 6.0 m 6 5 4 4.0 m 0.40 m 3 /s 管 に 関 する 情 報 管 番 号 管 径 管 長 D m L m 0.35 200 2 0.45 250 3 0.40 00 4 0.30 50 5 0.30 75 6 0.25 50 節 点 に 関 する 情 報 節 点 番 号 給 水 量 地 盤 高 R m3/s Z m 0 -.00 22.0 0.7 20.0 2 0.2 8.0 3 0.3 6.0 4 0.40 4.0

解 答 *+ エクセルの 表 計 算 機 能 を 利 用 して 与 えられた 管 情 報 から 抵 抗 係 数 K を 計 算 する 計 算 式 K=0.3*L*N^2/D^5.33 : N=0.0 管 番 号 管 径 管 長 抵 抗 係 数 D m L m K 0.35 200 67 2 0.45 250 22 3 0.40 00 6 4 0.30 50 4 5 0.30 75 34 6 0.25 50 302 *2 + 反 時 計 回 りなるように 流 量 の 方 向 を 定 め 各 節 点 で 水 量 収 支 が 成 り 立 つように 仮 定 流 量 を 決 める(この 計 算 手 順 はきわめて 単 純 である が ここで 間 違 えると 以 下 の 計 算 はまったく 無 駄 にな るので 十 分 に 注 意 するこ と) 0.7 Q(3) =.00 3 Q(4) =0.83 数 値 の 単 位 は m 3 /s 4 0 0.2.00 2 Q()= 0.3 2 Q(5) =0.40 Q(2) =0.00 5 2 4 0.3 3 6 Q(6) =0.00 0.40

*3 + ハーディ クロス 法 の 実 行 (ペースト 機 能 を 利 用 して 繰 り 返 し 計 算 を 行 わせる) 第 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 0.30 20.80 6.45-0.30 20.80-6.45 2 0.000 0.00 0.00 5 0.400 53.42 2.37 3.000 6.47 6.47 6 0.000 0.00 0.00 4 0.830 95.00 78.85 Σ 32.27 0.77 Σ 74.22 4.92 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.385 Δ Q = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.00 第 2 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 0.026.73 0.04-0.026.73-0.04 2-0.385 8.45-3.25 5 0.300 40.00.98 3 0.65 0.3 6.23 6-0.00 30.40-3.05 4 0.445 50.97 22.70 Σ 7.29 25.73 Σ 72.2 8.88 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.80 Δ Q(2) = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.062 ここだけ Q() - Q(2) で 補 正 第 3 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q -0.093 6.25-0.58 0.093 6.25 0.58 2-0.565 2.42-7.02 5 0.238 3.78 7.56 3 0.435 7.6 3. 6-0.62 49.02-7.94 4 0.265 30.32 8.03 Σ 56.4 3.55 Σ 87.04 0.20 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.032 Δ Q(2) = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.00

第 4 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q -0.24 8.29 -.02 0.24 8.29.02 2-0.597 3. -7.82 5 0.237 3.62 7.49 3 0.403 6.64 2.68 6-0.63 49.36-8.06 4 0.233 26.70 6.23 Σ 54.75 0.06 Σ 89.27 0.46 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.00 Δ Q(2) = -0.5*(Σ Y/Σ P) = -0.003 第 5 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q -0.22 8.5-0.99 0.22 8.5 0.99 2-0.597 3.2-7.84 5 0.234 3.28 7.33 3 0.403 6.63 2.67 6-0.66 50.4-8.3 4 0.233 26.64 6.20 Σ 54.55 0.04 Σ 89.57 0.0 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = 0.000 Δ Q(2) = -0.5*(Σ Y/Σ P) = 0.000 第 6 回 計 算 ループ ループ 2 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q 管 番 号 Q P=K Q Y=P*Q -0.22 8.8 -.00 0.22 8.8.00 2-0.598 3.3-7.85 5 0.234 3.28 7.32 3 0.402 6.63 2.67 6-0.66 50.5-8.3 4 0.232 26.60 6.8 Σ 54.53 0.00 Σ 89.60 0.0 Δ Q() = -0.5*(Σ Y/Σ P) = 0.000 Δ Q(2) = -0.5*(Σ Y/Σ P) = 0.000

*4 計 算 結 果 の 整 理.000 + 0.402 両 端 の 節 点 番 号 損 失 水 頭 流 量 0 0.598 管 番 号 上 流 下 流 Y m Q m3/s 3 2 3 -.00-0.22 2 水 量 収 支 2 3 0-7.85-0.598 ( m 3 /s) 3 0 2.67 0.402 0.70 4 0.22 4 2 6.8 0.232 5 2 4 7.32 0.234 6 4 3-8.3-0.66 0.232 2 節 点 番 号 給 水 量 水 頭 地 盤 水 圧 R m3/s H m Z m P m 0 -.000 50.00 22.00 28.00 0.70 47.33 20.00 27.33 2 0.20 4.5 8.00 23.5 3 0.30 42.5 6.00 26.5 4 0.400 33.83 4.00 9.83 47.33 27.33 50.00 28.00 Y=6.8 0.20 0 Y=2.67 2 0.234 5 Y=7.85 節 点 の 総 水 頭 と 圧 力 水 頭 (m) Y=.00 4 0.30 3 6 0.66 0.400 42.5 26.5 3 Y=8.3 * 注 + 最 終 桁 に 若 干 の 齟 齬 が 見 られるのはエクセルが 自 動 的 に 行 う 四 捨 五 入 表 示 の 結 果 である 4.5 23.5 Y=7.32 4 33.83 9.83

Excel VBA を 利 用 する Hardy Cross 法 の 計 算 教 科 書 の 演 習 問 題 に 出 題 されているような 数 個 のループで 構 成 されている 管 網 計 算 であれば あえて 電 算 プログラムを 利 用 しなくても エクセル 表 計 算 だけで 管 網 計 算 はできる しかし 多 数 のループからなる 管 網 を 扱 う 実 際 の 水 道 業 務 では 市 販 の 電 算 プログラムを 利 用 して 管 網 計 算 が 行 われている 現 在 市 販 されている 水 道 管 網 計 算 用 電 算 プログラムの 大 部 分 は Hardy Cross 法 よりも 後 述 する 節 点 水 頭 法 に 基 づいているが ここでは Hardy Cross 法 による 管 網 計 算 プログラムを 紹 介 する 本 来 であれば Hardy Cross 法 の 計 算 第 一 手 順 の 仮 定 流 量 の 計 算 も 電 算 機 で させたほうが 良 いのであるが 視 覚 的 判 断 ができない 電 算 機 にこの 操 作 を 行 わせるためには かなり 手 の 込 んだ 長 たらしいプログラムをコーディングし なければならない ここでは 仮 定 流 量 は 事 前 に 手 計 算 で 定 めておくことを 前 提 にして 所 与 情 報 としてプログラムを 作 ることとする

事 前 に 表 に 書 き 込 んでおく 内 容

青 色 : 約 束 語 えんじ 色 : 数 字 & 演 算 記 号 黒 色 : 使 用 者 自 作 語 緑 色 :コメント VBA では 幾 つもの Sub にまたがる 変 数 は すべ ての Sub に 先 立 って 変 数 宣 言 をしておく このような 変 数 に 対 して ある Sub で 代 入 された 数 値 は 記 憶 され 別 の Sub で 使 われた 場 合 にも その 数 値 が 反 映 する

このプログラムを 実 行 した 結 果

電 算 ソフトウエアとしての ハーディ クロス 法 の 欠 点 ハーディ クロス 法 は 電 算 機 が 発 達 する 以 前 に 手 計 算 を 前 提 として 管 網 の 水 理 諸 元 を 数 値 的 に 求 める 方 法 として 提 案 されたものである この 方 法 は 理 論 そのものは 合 理 的 であるが 水 道 管 網 計 算 の 商 業 用 電 算 ソフトウエアの 方 法 論 として 使 うには 致 命 的 な 欠 点 を 持 っている 水 道 管 網 計 算 のような 簡 単 な 計 算 の 場 合 の 電 算 ソフトウェアの 良 悪 は 電 算 機 への 記 憶 量 負 担 や 計 算 に 要 する 時 間 の 長 さよりも データ 入 力 者 への 負 担 の 大 小 によって 決 まる ハーディクロス 法 では 各 管 の 情 報 と 節 点 の 情 報 に 加 えて 各 管 がどのように 配 置 されてループを 構 成 しているかということを 事 前 に 入 力 しなければならない 管 情 報 と 節 点 情 報 は 簡 単 にデジタル 化 でき るが データ 入 力 者 がループ 情 報 は 管 の 配 置 図 ( 地 図 情 報 )を 見 ながら 入 力 する 必 要 があり それだけデータ 入 力 者 に 負 担 を 強 いることになる 次 に 述 べる 節 点 水 頭 法 は 連 立 方 程 式 を 繰 り 返 して 解 く 点 では 電 算 機 に 負 担 をかけるが 事 前 に 与 える 情 報 は ディジタル 化 が 簡 単 な 管 情 報 と 節 点 情 報 だけであり データ 入 力 者 への 負 担 は 軽 く その 点 でハーディ クロス 法 よりも 優 れている

節 点 水 頭 法 ( 水 頭 補 正 法 )の 原 理 総 水 頭 H(J 2 ) 対 節 点 J 2 対 節 点 J 3 総 水 頭 H(J 3 ) Q(J 2, I) Q(J 3, I) 給 水 量 対 節 点 I J 総 水 頭 H(J ) Q(J, I) 総 水 頭 H(I) 計 算 対 象 節 点 R( I) 各 管 のベルヌーイの 式 ハーディ クロス 法 では 各 管 の 流 量 を 補 正 する 変 数 とし その 流 量 を 求 めてから 総 水 頭 未 定 の 節 点 の 総 水 頭 を 求 めた これに 対 して 水 頭 未 定 節 点 の 総 水 頭 を 直 接 に 補 正 するべき 変 数 としている 右 図 のように ある 水 頭 未 定 の 節 点 I を 考 え それと 隣 接 している 節 点 J n から 節 点 Iに 向 かう 流 量 を Q(J n, I) とする( 注 : 対 象 節 点 に 向 かう 場 合 を 正 値 とする) 節 点 I での 連 続 の 式 ( 水 量 収 支 ) Q( Jn, I) R( I) () n Y( J, I) H( J ) H( I) K( n) Q( J, I) Q( J, I) n n n n (2) 節 点 水 頭 法 とは () 式 と (2) 式 を 同 時 に 満 たすように 各 節 点 の 総 水 頭 H(I) (あるいは H(J n ) )を 探 す 方 法 である

流 量 Q(J n, I) に 対 する 補 正 量 をΔQ(J n,i) とすると () 式 より n n { Q( J, I) Δ Q( J, I)} R( I) n Δ Q( J, I) R( I) Q( J, I) n n n また H(I) H(J n ) がそれぞれ 微 小 量 ΔH(I) ΔH(J n ) した 場 合 の Q(J n, I) の 増 加 量 ΔQ(J n, I) は Q(J n, I) が Y(J n, I)= H(J n ) - H(I) の 関 数 であるの で dq( Jn, I) dq( Jn, I) Δ Q( Jn, I) Δ Y( Jn, I) Δ H( Jn ) Δ H( I) dy( J, I) dy( J, I) ところが n dq( Jn, I) dy( Jn, I) dy( J, I) dq( J, I) 2 K( J, I) Q( J, I) 2 P( J, I) n n n n n n n (3) 従 って ただし P( J, I) K( J, I) Q( J, I) Δ Q( Jn, I) Δ H( Jn) Δ H( I) 2 P( J, I) n n n n (4) である

Δ Q( Jn, I) R( I) Q( Jn, I) (3) n n Δ Q( Jn, I) Δ H( Jn) Δ H( I) (4) 2 P( J, I) n (3) に (4) を 代 入 すれば Δ H( I) Δ ( ) (, ) ( ) H J n 2 Q J n I R I n P( J, I) P( J, I) n n n n (5) このような 方 程 式 が 総 水 頭 未 定 の 節 点 の 数 だけ 立 てられる すなはち 行 列 ベクトル 記 号 を 使 って 書 けば 未 知 総 水 頭 の 補 正 量 X=( ΔH(), ΔH(2), ΔH(3), ΔH(4),...) を 未 知 数 とする 次 の 連 立 方 程 式 が 立 てられる A ( X) ( B)

連 立 方 程 式 A ( X) ( B) 行 列 *:+の 要 素 対 角 要 素 : a( I, I) JIP( J, I) J Iは 節 点 J が 節 点 I の 対 節 点 になってしいることを 意 味 する 非 対 角 要 素 : ベクトル (B) の 要 素 2 () Jが I の 対 節 点 でしかも 水 頭 未 知 の 節 点 である 場 合 a( I, J) P( J, I) (2) それ 以 外 の 場 合 a( I, J) 0 b( I) Q( J, I) R( I) JI

節 点 水 頭 法 のアルゴリズム 水 頭 未 定 節 点 の H(I) を 仮 定 Y = H( J) - H( I) /2 Q = ア ( Y / K) P = K Q Q の 正 負 記 号 は Y にあわせる 連 立 方 程 式 係 数 a(i, J), b(i) の 作 成 連 立 方 程 式 の 解 き 方 は 何 でも 良 い 連 立 方 程 式 を 解 いて X() I を 求 める H( I) = H( I) ( 新 ) NO 計 算 終 了 YES すべての 節 点 について X(I) 許 容 誤 差? ( 新 ) = + H( I) H( I) X( I)

EXCEL の 逆 行 列 計 算 関 数 と 行 列 積 計 算 関 数 を 組 み 合 わせた 連 立 方 程 式 の 解 き 方 この 状 態 で *Shift+キーと*Cntrl+キーを 同 時 に 押 しながら *Enter+キーを 押 す

ハーディ クロス 法 で 解 いた 例 題 を 節 点 水 頭 法 で 解 いてみる * 問 題 + 表 のような 情 報 が 与 えられている 下 図 の 管 網 において 基 準 点 (= 節 点 0)の 水 圧 が 水 頭 で 28.0 mであるときに 各 節 点 の 水 圧 ( 圧 力 水 頭 )を 求 めなさい ただ し 管 内 面 の 粗 さはマニング 式 の 粗 度 で 0.0 に 相 当 するとする 総 水 頭 が 既 知 の 節 点 3 0.7 m 3 /s 20.0 m 4.00 m 3 /s 0 2 0.2 m 3 /s 8.0 m 節 点 地 盤 高 22.0 m 圧 力 水 頭 28.0 m 2 5 0.3 m 3 /s 4 0.40 m 3 /s 3 6 6.0 m 4.0 m 管 に 関 する 情 報 管 番 号 管 径 管 長 D m L m 0.35 200 2 0.45 250 3 0.40 00 4 0.30 50 5 0.30 75 6 0.25 50 節 点 に 関 する 情 報 節 点 番 号 給 水 量 地 盤 高 R m3/s Z m 0 -.00 22.0 0.7 20.0 2 0.2 8.0 3 0.3 6.0 4 0.40 4.0

与 えられた 情 報 管 の 数 6 K=0.3*L/D^5.33 : N=0.0 管 番 号 内 径 延 長 抵 抗 係 数 両 端 の 節 点 流 量 D m L m K 上 流 下 流 Q m3/s 0.35 200 67 2 3? 2 0.45 250 22 3 0? 3 0.40 00 6 0? 4 0.30 50 4 2? 5 0.30 75 34 2 4? 6 0.25 50 302 4 3? 節 点 の 数 5 節 点 番 号 給 水 量 総 水 頭 節 点 に 接 続 する 管 R m3/s H m 管 数 2 3 0 -.000 50.00 2 2 3 0.70 未 定 2 3 4 2 0.20 未 定 3 4 5 3 0.30 未 定 3 2 6 4 0.400 未 定 2 5 6 R(0) = R() + R(2) + R(3) + R(4)

繰 り 返 し 計 算 Y(J, I)=H(J)-H(I) Q(J, I) = sign(y(j, I))* Y(J, I)/K(J, I) ^0.5 P(J, I) = K(J, I)* Q(J, I) 注 最 初 の 仮 定 水 頭 には 相 互 に 一 致 しないような 数 値 を 適 当 に 選 ぶ 繰 返 回 数 0 仮 定 水 頭 節 点 番 号 H m 管 番 対 節 点 K Y Q P 48.33 3 0 6.67 0.38 5.24 4 2 4-2.33-0.43 6.33 2 46.00 3 67 -.45-0.47 9.86 4 4 2.33 0.43 6.33 5 4 34-3.75-0.68 22.38 3 44.55 2 67.45 0.47 9.86 2 0 22 5.45 0.498 0.94 6 4 302-2.30-0.087 26.38 4 42.25 5 2 34 3.75 0.68 22.38 6 3 302 2.30 0.087 26.38 連 立 方 程 式 節 点 番 号 A(I,J) 2 3 4 B(I) X(I) H(I)+X(I) 0.259-0.062 0 0 0.02 -.26 47.07 2-0.062 0.2073-0.04-0.0447-0.584-5.39 40.6 3 0-0.04 0.2307-0.0379 0.496 -.38 43.7 4 0-0.0447-0.0379 0.0826-0.290-7.06 35.9

繰 返 回 数 仮 定 水 頭 節 点 番 号 H m 管 番 対 節 点 K Y Q P 47.07 3 0 6 2.93 0.422 6.95 4 2 4-6.45-0.237 27.8 2 40.6 3 67 2.56 0.95 3.0 4 4 6.45 0.237 27.8 5 4 34-5.43-0.202 26.92 3 43.7 2 67-2.56-0.95 3.0 2 0 22 6.83 0.558 2.25 6 4 302-7.98-0.62 49.4 4 35.9 5 2 34 5.43 0.202 26.92 6 3 302 7.98 0.62 49.4 連 立 方 程 式 節 点 番 号 A(I,J) 2 3 4 B(I) X(I) H(I)+X(I) 0.807-0.0368 0 0 0.029 0.3 47.38 2-0.0368 0.503-0.0763-0.037 0.222 0.74 4.35 3 0-0.0763 0.783-0.0203-0.220 -.05 42.2 4 0-0.037-0.0203 0.0575-0.072 -.5 34.04

繰 返 回 数 2 仮 定 水 頭 節 点 番 号 H m 管 番 対 節 点 K Y Q P 47.38 3 0 6 2.62 0.399 6.57 4 2 4-6.03-0.229 26.27 2 4.35 3 67 0.77 0.07 7.8 4 4 6.03 0.229 26.27 5 4 34-7.3-0.234 3.24 3 42.2 2 67-0.77-0.07 7.8 2 0 22 7.88 0.599 3.6 6 4 302-8.08-0.63 49.43 4 34.04 5 2 34 7.3 0.234 3.24 6 3 302 8.08 0.63 49.43 連 立 方 程 式 節 点 番 号 A(I,J) 2 3 4 B(I) X(I) H(I)+X(I) 0.903-0.038 0 0-0.00-0.04 47.34 2-0.038 0.2093-0.392-0.0320-0.035-0.9 4.6 3 0-0.392 0.2354-0.0202 0.037 0.03 42.5 4 0-0.0320-0.0202 0.0522-0.005-0.20 33.84

繰 返 回 数 3 仮 定 水 頭 節 点 番 号 H m 管 番 対 節 点 K Y Q P 47.34 3 0 6 2.66 0.402 6.62 4 2 4-6.7-0.232 26.58 2 4.6 3 67 0.98 0.2 8.3 4 4 6.7 0.232 26.58 5 4 34-7.33-0.234 3.28 3 42.5 2 67-0.98-0.2 8.3 2 0 22 7.85 0.598 3.4 6 4 302-8.3-0.66 50.4 4 33.84 5 2 34 7.33 0.234 3.28 6 3 302 8.3 0.66 50.4 連 立 方 程 式 節 点 番 号 A(I,J) 2 3 4 B(I) X(I) H(I)+X(I) 0.886-0.0376 0 0 0.000 0.00 47.33 2-0.0376 0.927-0.23-0.0320-0.002-0.0 4.5 3 0-0.23 0.29-0.099 0.002 0.00 42.5 4 0-0.0320-0.099 0.059 0.000 0.00 33.83

繰 返 回 数 4 仮 定 水 頭 節 点 番 号 H m 管 番 対 節 点 K Y Q P 47.33 3 0 6 2.67 0.402 6.63 4 2 4-6.8-0.232 26.59 2 4.5 3 67.00 0.22 8.7 4 4 6.8 0.232 26.59 5 4 34-7.32-0.234 3.27 3 42.5 2 67 -.00-0.22 8.7 2 0 22 7.85 0.598 3.3 6 4 302-8.32-0.66 50.6 4 33.83 5 2 34 7.32 0.234 3.27 6 3 302 8.32 0.66 50.6 連 立 方 程 式 節 点 番 号 A(I,J) 2 3 4 B(I) X(I) H(I)+X(I) 0.885-0.0376 0 0 0.000 0.00 47.33 2-0.0376 0.99-0.223-0.0320 0.000 0.00 4.5 3 0-0.223 0.284-0.099 0.000 0.00 42.5 4 0-0.0320-0.099 0.059 0.000 0.00 33.83 全 てのX(I) がほぼ ゼロになったの で 繰 り 返 し 計 算 終 了

計 算 結 果 の 表 示 節 点 番 号 給 水 量 総 水 頭 地 盤 高 圧 水 頭 R m3/s H m Z m P/W m 0 -.000 50.00 22.00 28.00 0.70 47.33 20.00 27.33 2 0.20 4.5 8.00 23.5 3 0.30 42.5 6.00 26.5 4 0.400 33.83 4.00 9.83 管 番 号 抵 抗 係 数 両 端 の 節 点 損 失 水 頭 流 量 K 上 流 下 流 Y m Q m3/s 67 2 3 -.00-0.03 2 22 3 0-7.85-0.573 3 6 0 2.67 0.374 4 4 2 6.8 0.206 5 34 2 4 7.32 0.208 6 302 4 3-8.32-0.43

簡 単 な 管 網 であれば 節 点 水 頭 法 はEXCELの 表 計 算 機 能 でも 実 行 できるが 下 図 のような 少 し 複 雑 な 管 網 の 場 合 には 面 倒 でもVBAプログラムを 作 っ て それを 実 行 したほうが 楽 である 5 6 2 8 3 7 4 2 6 9 0 7 8 2 9 3 4 3 0 5 6 2 4 7 5 5 6 3 8 4

前 掲 図 の 管 網 計 算 を VBA プログラムで 実 行 するために あらかじめ EXCEL の 表 に 書 き 込 んでおくデータの 例 管 の 数 8 粗 度 係 数 0.0 節 点 の 数 6 管 番 号 管 径 管 長 流 れ 方 向 の 仮 定 節 点 の 給 水 量 地 盤 高 総 水 頭 節 点 番 号 D m L m 上 流 下 流 種 類 R m3/s Z m H m 0.55 500 2 配 水 池 78.00 2 0.40 450 2 6 2 給 水 0.045 52.50 3 0.35 540 6 0 3 給 水 0.070 47.00 4 0.25 600 0 5 4 給 水 0.022 62.50 5 0.20 480 5 6 5 配 水 池 87.00 6 0.50 200 5 4 6 給 水 0.55 45.00 7 0.35 740 4 3 7 給 水 0.07 45.00 8 0.30 450 2 3 8 給 水 0.000 42.00 9 0.25 700 3 7 9 給 水 0.055 40.00 0 0.35 560 6 7 0 給 水 0.022 4.00 0.30 700 7 8 給 水 0.064 43.00 2 0.25 900 8 9 2 給 水 0.03 50.00 3 0.20 580 8 2 3 給 水 0.020 55.00 4 0.35 700 7 4 配 水 池 75.00 5 0.25 60 0 5 給 水 0.025 38.00 6 0.35 700 2 6 給 水 0.05 32.00 7 0.35 000 3 2 8 0.45 700 4 3

前 掲 の 問 題 を 解 くVBAプログラムの 一 例

計 算 結 果 管 抵 抗 実 流 れ 方 向 損 失 水 頭 流 量 節 点 の 給 水 量 総 水 頭 地 盤 高 圧 水 頭 節 点 K 上 流 下 流 m m3/s 種 類 m3/s m m m 45 2 3.48 0.277 配 水 池 -0.277 78.00 2 74 2 6 5.82 0.280 2 給 水 0.045 74.52 52.50 22.02 3 8 6 0 0.72 0.063 3 給 水 0.070 75.32 47.00 28.32 4 20 0 5.94 0.040 4 給 水 0.022 84.29 62.50 2.79 5 380 5 6 0.72 0.05 5 配 水 池 -0.22 87.00 6 60 5 4 2.7 0.22 6 給 水 0.55 68.70 45.00 23.70 7 248 4 3 8.98 0.90 7 給 水 0.07 67.97 45.00 22.97 8 343 3 2 0.79 0.048 8 給 水 0.000 67.37 42.00 25.37 9 42 3 7 7.34 0.072 9 給 水 0.055 6.88 40.00 2.88 0 88 6 7 0.73 0.062 0 給 水 0.022 67.98 4.00 26.98 534 7 8 0.6 0.034 給 水 0.064 67.98 43.00 24.98 2 85 8 9 5.49 0.055 2 給 水 0.03 69. 50.00 9. 3 3842 2 8.74 0.02 3 給 水 0.020 72.72 55.00 7.72 4 235 7 0.0 0.006 4 配 水 池 -0.24 75.00 5 230 0 0.00 0.00 5 給 水 0.025 66.05 38.00 28.05 6 235 2.3 0.069 6 給 水 0.05 65.33 32.00 33.33 7 336 3 2 3.60 0.04 8 49 4 3 2.28 0.24

流 量 収 支 図 単 位 :m 3 /s 5.277.048.070.90 6.22.045 2 8 3 7 4.022.280 2.072 9.07.034.055.055.55 6 0 7 8 2 9.063 3.062 4.006 3.02.022 0 5 6 2.03.040.025 4 5.00 5.069.064 7.04 6 3 8 4.05.05.09.24

節 点 の 総 水 頭 と 圧 力 水 頭 および 管 の 損 失 水 頭 78.00 単 位 :m 87.00 5 3.48 74.52 22.02 5.82 68.70 23.70 0.72 2 8 3 7 4 2 6 3 0.79 0.73 75.32 28.32 4 0.0 8.98 6 3 2.7 84.29 2.79 7.34 9 67.97 0.6 67.37 5.49 22.97 25.37 0 7 8 2 9.74 6.88 2.88 67.98 26.98.94 66.05 28.05 0 4 5 5 0.00 5 0.72 67.98 24.98 6 2.3 7 3.60 75.00 6 3 8 4 65.33 33.33 72.72 7.72 69. 9. 2.28

補 正 する 変 数 補 正 計 算 のゴール Hardy Cross 法 各 管 の 流 量 各 ループの 周 回 損 失 水 頭 和 がゼロになる 節 点 水 頭 法 各 節 点 での 総 水 頭 各 節 点 で 水 量 収 支 式 が 満 たされる 管 網 計 算 の 主 目 的 は 各 節 点 の 水 圧 を 求 めることである ことを 考 えると 節 点 水 頭 法 のほうがより 直 接 的 な 方 法 であると 言 える また 事 前 情 報 として 地 図 情 報 を 必 要 とせず デジタル 化 可 能 な 管 情 報 と 節 点 情 報 だけで 計 算 を 行 える 点 も 節 点 水 頭 法 の 利 点 である