u u Ê É Îf ÈÉ uõòñõçí uõòñõëêi oy * ÎÏ Ó ÏÕ( ) **Ï ÓÐ ÕÖ *** ÎÏ Ó ÏÕ( ) APÑÖÕ ÑÕ { itot, inoue, furuhata} @trl.ibm.co.jp shimada@cmu.edu Automated Conversion of Triangular Mesh to Quadrilateral Mesh with Shape and Directionality Control of Quadrilateral Elements *IBM Research, Tokyo Research Laboratory **Carnegie Mellon University, Mechanical Engineering ***IBM Japan, AP Solution Development u ÉÊÂ uõòñõçíêi ÊÍÉÉÂ u u ÊÈÉjzÊ uõòñõîi ÈÍ Î ÈÍÂ ÉÊÂ uõòñõêõòñõ}î Ê ÈÂ ÈÍÉ}Î ÈÍ 2 Ê u u Î u u Ê ÈÍ ÇÉÉÂ uõòñõî uõòñõê}èíâõòñõ}ê ÊÂ u u Ê É Îf ÈÉ ÈÍÍÂ 1. ÊÈÌÊ Ì ÊÊÊ ŠÎv É Ê ÌÍ u ÉÊÂuÊ É Êu ÊÆÆÉÂ uõòñõíí Ì uõòñõç ÎÉ ÆÍÍÍÇÉÇ ÆÂÈÇÈÂ uõ ÒÑÕÉ ËÍÉÂ uõòñõîi ÈÍÇÉÊ ÈÇÂ ÆÌÌ Ê Ç~ÌÍÍÉÆÍÂ ÉÇÍÉÂ ÇÊ u u ÊÆÆÉÂ uõòñõêê ÊÍÆÊu Ç ÌÍÍÍÂ [u 1] t Ê ÊÆÆÉÌi ÉÇÍÇÉÂ [u 2] u u Ê ÇÈÎi Ê ÉÇÍÇÉÂ uê ÉÊ ÈÊ u u ÎÂÈÍ Ê ÉÊ Æ u u Î ÉÇÍÇÉÇ ÌÈÆÂ [u 3] jzê Ê u u Ç ÈÍÍÇÉÂÇÇÉÆÆ jzê ÉÊÃ uê}æãéææ Î ÈÂÉÌÍÂ Ì Ê}Æ Ê u u ÎÃjzÊ Ê u u ÃÉÈÍÂ [u 4] Ê ÌÂ Ê dê ÊÊÂu f Ê ÈÍ Ê ÇÊ u u Ç ÈÍÇÉÂ Êi uõòñõ Ê ÊÊÂ[u 4] Î ÉÈ ÊËÉÎÊu ÉÍÊÆÂÈÍÊ ÈÉ fíêâ vêu ÎÈËÉ ÉÈi uõòñõ ÊÉÆÉ ÈÉ ÆÍÂÈÊÿ ÉÈÉ fíêâjzê uõòñõî ÈÍ ÉÌÊÕÒÑÕ 1)2) Î ÈÉÆÍÂÇÊ Ê ÍÉÉ ÈÍÉÕÒÑÕ Î Ê ÉÇÍÊÂ vêu Î ÉÈ uõòñõîi ÈÍÇÉÇÉÇÍÂÈÇÉ fíêâ 1) 2) Ê È ÊÍÉÉ ÈÍÉÕÒÑÕ Î ÈÉ uõòñõî ÈÂÈÍÎ uõòñõêi ÈÍ ÊÉÆÉ ÈÉÆÍ 3) Â ÉÊÂ vêu Î ÉÈ uõòñõîi ÈÍ ÉÌÊÂ u u Ê É Îf ÈÊÇÍ uõòñõ Î uõòñõê ÈÍ Î ÈÍÂ 2. É ÈÍ uõòñõ Ê u ÉÊÂ uõòñõ ÊÉÌÊÂ Ê Ò ÑÇ ÆÍÍÍÇÉÎ ÈÍ ( 1(a)(b) )Â dìéê dé ÈÉ Â ÕÒÑÕu Ê ÇÈÎsÈÑÏÖ Â ÕÒÑÕu Ê ÎsÈÔÐÑ Â (a) ÉÑÏÖ (b) ÉÔÐÑ 1 Ç ÈÍ Ò Ñ fíê téêâçê Ò ÑÎ ÆÉÂÌÈ uõò ÑÕ ( 2(a) ) Îi ÈÍÂ ÆÉÂ uõòñõ Ê u u Î ÊÔÎÊÈÉÂÈÊ }Î ÈÉ u u Ê ÈÍÂÈËÉÊ u u ÎÔÎÊÈÍÇÉÊ ÊÊÉÂ Ê u u Ç ÈÍ u u ÕÒÑÕ
( 2(b) ) Ç ÈÍÍÂ u u Ê ÉÊÂÇÊÍ ÆÊ u u ÕÒÑÕÎÈÊÌÌ ÉÉÆÍ Ì ÆÂ ÇÊ Â ÈÍ u u Ê ÊÂ ÊÇÍÊ ÊÆËÊ ÌÈÆÂ u u ÉÇÉ ÈÍÍ uõòñõî ÈÍÊÊÂ u u ÕÒÑÕÊ ÌÍÍ u u ÆÍË u u ÎÂ 2(c) Ê ÈÒ ÔÖ ÒÊÍÉÉ ÈÍÊÇÿj ÉÆÍÂ ÇÊÉÇÌÂ u u ÕÒÑÕ Ê u u Ê Ç Ê ÆËÆÇÂjzÊ uõòñõî ÉÇÍÂ ÇÍÂt Ê ÊÆÆÉÌjzÊ uõòñõî ÈÍÇÉ ÇÉÇÍÂÈÇÈ 2) ÉÊÂÕÒÑÕ Î ÈÍ Ê ÉÆÉÊvÈÇxwÈÍÉÆÊÆÂ C Ê ÊÍÍ uõòñõ D u Ê ÊÍÍ uõòñõ 3 Ê ÉÕÒÑÕ (a) uõòñõ (b) u u ÕÒÑÕ (c) uõòñõ ÊÉÌÊÒ ÔÖ Ò 2 ÊÍÍ uõòñõ Ê 3. uõòñõ ÊÉÌÊÕÒÑÕ ÿj ÊÂÕÒÑÕ ÊÕÒÑÕ Ê eê ÇÇ ÈÍÍÂ fíêâjzê uõòñõî ÈÍÉÌÊÕ ÒÑÕ e ÉÈÉÂ Ê ÕÒÖÎ ÉÉ 4) Î ÈÉÆÍÂÇÊ ÉÊÂ ÎÌÉ Î Ê ÈÈÂ ÑÕÕÖ ÑÕ ÊÍÉÉ ÈÍÂ 3(a) Ê ÈÍÆÊÂ ÈÍÉ Ê Î ÈÍÇÉÊÍÍÂ u Ê}Æ ÊÕÒÑÕu Î ÈÍ ÇÉÇÉÇÍÂÇÇÉ Ê Ì ÊÂ ÇÍÊ{ Ê ( 4(a) ) Î ÆÉ ÈÍÍÂ ÇÊ Î ÈÉ ÉÈÉÂ fíêâ ÎÌÉ u Î ÑÕÕÖ ÑÕ ÊÍÉÉ ÈÂÈÊ u Ê Î ÈÍ ( 3(b) ) ÇÉÉjzÊ uõò ÑÕÎ ÈÍÂSquare Packing Î ÈÉÆÍÂÇÊ 2) ÊÆÇÍ u Ê Ì Ê ÊÊÂ u Ê ÇÍÊ{ Ê ÉÂ u Ê ÇÍÊ{ Ê Î ÊÆÍÈÉÂ 4(b) Ê ÈÍÆÊ Î ÆÍÂ u Ê}Ê ÈÊÂ Ò ÑÉÆÍÑÏÖ ( 1(a) ) Ç Í ÌÍÍÍÂ u Ê}Ê ÊÂ Ò ÑÉÆÍÔÐ Ñ ( 1(b) ) ÇÍ ÌÍÍÍÂ Square Packing Ê s Î 5 Ê ÈÂSquare Packing ÉÊÂ ÑÕÕÖ ÑÕ É u Ê ÎÂ v ÊÍÉÉsÆÂÈÊ Â 5(a) Ê È u Ê eê ÇÍÂ 5(b)Ê ÈÍÆÊ Î ÍÇÉÇÉ ÇÍÂÇÊ ÉÊÂ u ÇÑÏÖ Ê È Ê É É ÉÂÈÇÌÔÐÑ Ê ÉÉ Êu Ê ÈÊÇÍ ÈÍÉÆÍÇÉÇÍÇÍÂÇÊ u Ê ÎÕÒÑ Õ ÉÌÊÈÉÂÈÍÎ Ê ÈÉ u u Î ÈÍ ÇÆÍÊÂÕÒÑÕu Ê ÇÈÌ Îi Ê ÈÊ (a) Ê (b) u Ê 4 É u Ê (a) u Ê e (b) u Ê 5 u Ê Ê 4. ÊÕÒÑÕ ÊÕÒÑÕ Ç ÈÍÉ ÊÂÈÍÎ È É uõòñõî ÈÍ ÊÂ ŠÇ ÈÍÉÆÍÂÈ ÇÈÈÊ ÇÊÂ tçt ÉÆÍÂv ÇÇÇÍÂÕÒÑ Õu Ê ÇÈÊ ÇÉÇÊÆÂt Ê ÊÆÆÉ uõò ÑÕÊ Ê ÈÍÂÉÆÆÍÆÊ Š Î ÈÉÆÉÂÈÊ É Ì Ê ÉÈÉÂÌÈÕÒÑÕ Î ÈÉ uõ ÒÑÕÎi ÈÂÈÍÎ uõòñõêi ÈÍÂÉÆ Æ Ê ÊÍÉÉ uõòñõî ÈÍ 5)6)7)8)9) Ç Ç ÈÍÉÆÍÂ uõòñõ ÉÊÕÒÑÕu Ê Ç ÈÎi Ê ÉÇÍ Ç ÆÊÉÂÈÍÊÍÉÉ ÈÍÉ uõòñõçíê ÊÍÉÉÂÕÒÑÕu Ê ÇÈÎi Ê ÈÉ uõòñõî ÉÇÍÂ ÕÒÑÕ ÊÍÉÉ ÈÍÍ uõòñõê ÊÂ u u Î u u Ê ÈÍ ÊÍÉÉ ÈÍÍÂ Î u u Ê É ŠÈÍÉÂ Ê 3 ~ÍÊ ŠÈÍÍÂ [ 1] jzê Ê u u Î Ç ÈÍÍÆÊ Î ÈÍ 6)9) Â [ 2] uõòñõî ÊÐÖ Ô ÈÍÇÉÉ
u u Êu Î ÌÍ 8) Â [ 3] u u Ê Î ÍÈÍÆÊ Î ÈÍ 5)7) Â ÈÇÈÂÇÍÍÊ Î Êf ÈÊÇÍ uõòñõî uõòñõê ÈÍ Êu ÉÍÊÆÂ 5. u u Ê É Â u u Ê h Î Êf ÈÉÕÒÑÕ ÉÊÂ Ê Î Êf ÈÊÇÍ uõòñõî u u ÕÒÑÕÊ ÈÍ Î ÈÍÂ [ 1] jzê Ê u u Î Ê ÈÍÂ [ 2] 4 }Ê Çu fê ÈÍ Ê}Æ u u Î Ê ÈÍÂ [ 3] u u Î ÈÍÍÆÊ u u Î ÈÍÂ ÊÆÂ É ÈÉ u u ÕÒÑÕÊ ÈÉÂ 2(c)Ê ÈÍÆÊÒ ÔÖ ÒÎ ÈÍÇÉÉÂ u u É ÇÉ ÈÍÍ uõòñõî ÉÇÍÂ ÉÊÂ[ 1][ 2][ 3] Î ÈÍÉÌÊv ÎvÇÂ uõòñõêõòñõ}ê ÈÉ Î ÈÂ ÈÊ Ê ÇÆ ÊÕÒÑÕ}Î ÈÉÂÈÊÕÒÑÕ} Î ÈÍ u u Î u u Ê ÈÍÂ vê Î ÈÍÉÌÊ ÉÊÂ [ 1] u u Ê Î È Fa [ 2] u u Ê Î È Fb [ 3] u u Ê h Î È Fc Ê 3 ÉÊ Î ÆÍÂÇÇÉ Fa ÆÍË Fb ÊÕÒÑÕ Ê~ ÊÆÆÉ ÉÆÍÊÉÂÕÒÑÕ Î ÌÍ Ê 5.1 ÌÉÊ 5.2 ÊÆÈÍÇÊ É 1 ÉÇ ÈÍÂFc ÊÕÒÑ Õ Ê~ ÊÆÆÉ Ê ÈÍÊÉÂ5.3 Ê È ÊÈÉÇÉÉ Ê ÈÍÍÂ ÉÊÂÇÊ 3 ÉÊ Ê ÇÍ ÈÍÍ 2 ŠÊ F1, F2 Î ÆÉÂÕÒÑÕ} Ê Î ÈÍÂ F1 = a Fa + b Fb, F2 = F1 + c Fc ÇÇÉÂa,b,c Ê fç fèí ÉÆÍÂ 5.1 ÕÒÑÕu Ê ÈÉ Fa ÆÍË Fb Ê u u T1 É T2 ÎÔÎÊÈÉ ÈÍÍ u Î Q ÉÈÂÈÊ }Î E ÉÈÍÂÇÊÉÇÂQ Ê4 Êu ÇÆÈÍÌ 90 Ê}ÇÍÊÂÇÊ u Ê ÊjzÉÆÍ Év ÈÍÍÂÌÉÂQ Ê 4 }ÇÔÐÑ Ê ÈÉ sìéê Ê}ÇÍÊÂÇÊ u Êu fê ÈÍ Ê ÉÉÆ ÍÉv ÈÍÍÂ ÉÊÂÇÍÍÊv Î ÊÍÆÊ ÈÍÂÌÈ Q Ê k (k=1,2,3,4) Ê Êu Î k ÉÈÍÂ ÆÉÂQ Ê ÊÆÇÍ d Î Vn ÉÈÂÔÐÑ Ç ÈÔÐÑÎ Va ÉÈÂVn É Va Ê ÔÐÑÎ Vb ÉÈÍÂQ Ê k (k=1,2,3,4) Ê}É Va ÌÉÊ Vb ÉÊu ÊÆÉÂ ÈÆËÆ Î k ÉÈÍÂÇÊÉÇ Fa ÆÍË Fb Ê ÎÂ Fa = (1.0 - cos k ), Fb = ( cos k ) ÊÍÉÉ ÈÍ ( 6(a) )ÂÇÊ Fa ÆÍË Fb Î ÆÉ ÈÍÉ F1 Ê Î Q Ê } E Ê ÆÍÂÇÊ Ç Ç ÆËÊÂE Ê Ê ÈÍÂQ Ê Ê u u Ê ÈÍÍÂ ÊÆÂÇÊ t ÊÆÆÉÂ a=1.0, b=0.0, c=0.0 ÉÈÍÊ [ 1] É Ê Ç ÍÍÍÂ ÊÂa=0.0, b=0.0, c=1.0 ÉÈÍÊ [ 3] É Ê Ç ÍÍÍÂ 5.2 ÕÒÑÕ Ê ÈÉ Fa ÆÍË Fb Ê uõòñõêõòñõ N Ê ÈÍ n ÊÕÒÑÕ }Î Ek (k=1,,n) ÉÈÍÂÇÊÉÇÂEk Ê ÇÍ (n-4) Î ÈÉÂ N Ê ÈÍjzÊ u u Î 4 ÈÍ ÇÉÎfÆÍÂ Ek Ê ÇÍ Ê 4}Î ÈÂÈÊ 4}ÇÉÇÍuÊÆÉ Ê k (k=1,2,3,4) Êu Î k ÉÈÍÂ ÆÉÂN ÊÆÇ Í d Î Vn ÉÈÂÔÐÑ Ç ÈÔÐÑÎ Va ÉÈÂVn É Va Ê ÔÐÑÎ Vb ÉÈÍÂ ÈÍÉ}ÊÆÉ k (k=1,2,3,4) Ê}É Va ÌÉÊ Vb ÉÊu ÊÆÉÂ ÈÆËÆ Î k ÉÈÍÂÇÊÉÇ Fa ÆÍË Fb Ê ÎÂ Fa = (1.0 - cos k ), Fb = ( cos k ) ÊÍÉÉ ÈÍ ( 6(b) )ÂFa Ê Ç ÇÆËÊÂ ÈÍÉ 4}Ê N Ê }Ê uê}æuîéçíâfb Ê Ç ÇÆËÊÂ ÈÍÉ }Êu fê ÈÍ Ê ÉÉÆÍÂ ÇÊÍÆÊ ÊÂ ÈÍÉ 4 }ÊjzÊ u u ÎÉÇ ÍÌÈÆÂÇÊ Fa ÆÍË Fb Î ÆÉ ÈÍÉ F1 Ê ÎÂ Ek Ê ÇÍ}Î4 ËÈËÉÊÓÑ Ê ÈÉ ÊsÆÂ Ì F1 Ê Ê ÇÆÓÑ Î ÈÍÂÈÊÓÑ Ê ÌÍÊÆ (n-4) ÊÕÒÑÕ}ÊÂF1 Ê Î ÆÍÂ ÇÊ Ç ÆÍÍÉÕÒÑÕ}ËÊ Ê ÈÍÂÈÍÎ ÈÍ u u Ç Ê u u Ê ÈÍÍÂÊÆÂÕÒÑÕ Ç Ê d ÊÆÍ ÊÂ ÈÍ}Ê Î 4 Ê ÈÊÆ (2 Ì 3 É ÈÍ ÌÆÍ)Â 8D 3 0 8C (a) ÕÒÑÕu Ê (b) ÕÒÑÕ Ê 6 Fa ÆÍË Fb Ê 5.3 Fc Ê ÉÕÒÑÕ}Ê u u Ê É Îf ÈÊÇÍÂ ÆÍÍÉ uõ ÒÑÕÇÍ Ê ÇÊ u u Î u u Ê ÈÍu ÊÿÉÉÈÉÂ ÔÒÒ Ð ŠÎuÇÎÖÐÖÑÕÎ ÈÍÇÉÇfÆÍÍÍÂ u u ÎÓ ÒÂ u u Ê }ÉÎ ÐÉÌÊÈÂFa ÆÍË Fb Ê F1 Ê ÉÎ ÐÎ Ì ÇÈÉÐÖÔÊ ÈÉÂÉÇÍÉÇ ÇÊÓ ÒÎÔÒÒ ÐÈÍÇÉÉÂjzÊ u u ÕÒÑÕÎ ÉÇÍÉ ÈÍÍÂÈÇÈÂ ÌÉÇ ÐÖÔÊ ÔÒÒ Ð Š ÎuÇÊÊÂÓ Ò Î n ÉÈÍÉ O(n 2 ) ÎzÆÍv Î uèíéæííéæíâèçé ÉÊÂÈÍÍÍÌv Ê ÊÆ t Î ÈÍÉÌÊÂ u u Ê h Î 8D 8C
Èv FcÎ ÈÍ u u Ê Î ÍÈÇÉÊ ÈÉÕÒÑÕ 5)7) ÉÊ u u T1 Ê u u Ç T2 ÉÇÊÊÉÉ ÉÇÂT1 É T2 Î Ê u u Ê ÈÍÂÈÌÊÆÉ T2 Ç T1 Ê u u ÉÔÎÊÊÉÉÉÇÂT1 Ç È ÍÇÉÇ ÉÊÉÉÈÌÆÇÍÉÆÍ ÉÊÂÇÊf Æ Î ÈÉv Fc Î ÆÍÂÇÇÉ u u T1 Ê u u ( u u Ê ÊÌÊÎ Ç) Ê Î Nt ÉÈÍÂNt = 1 ÉÊÉÉÉÇÂT1 ÉÈÊ u u T2 Ê } E ÊÆÇÍ Fc Ê Î Fc = 1.0 ÉÈÍÂÈÍ Ê ÊÊ Fc = 0.0 ÉÈÍÂNt Ê ÊÕÒÑÕ Ê~ ÊÆ ÆÉ Ê ÈÍÊÉÂFc Ê Ì Ê ÈÍ ÆÉ ÊÍÍÕÒÑÕ}Ê ÊÉÆÉ È ÉÊ ÊÂÈËÉÊÕÒÑÕ}Ê ÈÉ F1 Ê Î ÈÂÈÊ Î ÇÆ ÊÑ ÒÈÉÖÑÒ L1 Ê ÈÍÂÈ ÍÉ ÊÂNt 1 ÉÆÍ u u Î ÈÂÈÍÊ È Í u u É ÈÍÍÕÒÑÕ}Ê ÈÉ F2 Ê Î ÈÂÖÑÒ L2 Ê ÈÍ ÆÉÂL1 Ê Ê ƒèíéõ ÒÑÕ}Î ÈÍ ÊÂL2 Ê ƒèíéõòñõ}êæ É F2 Ê Ç ÉÆÍÌÊÎ ÈÍ fê F1Ê F1max É fê F2 Ê F2max Î È ÇÆ ÎÌÉÕÒÑÕ } E Î ÈÂE Î L1 ÌÉÊ L2 ÇÍ ÈÍÂE Î ÈÍ u u T1 ÆÍË T2 ÇÊÉÍÌ u u Ê È ÍÉÆÊÇÍÊÂE Î ÈÉ T1 É T2 Î u u Ê ÈÍÂÈÍÊÂT1 ÆÍË T2 Ê 4 Ê u u Ê ÈÉ Nt Ê Î ÈÍÂNt = 1ÉÆÍ u u Tp ÇÆ ÍÊÂTp ÉÈÊ u u Tq Ê }Ê ÈÉÂF2 Ê Î ÈÉ L2 Ê ÈÍÂ Ê ÎÂL1 ÆÍË L2 Ç ÊÊÍÌÉ ÈÍÇÉÉÂ Ê u u Î u u Ê ÈÍÇÉÇ ÍÂ Ê Ê ÍÎ 7Ê È ÈËÉÊÕÒÑÕ}Ê ÈÉ(Î ÈÂÑ ÒÈÉ.Ê (ÆÍË(Ê Ç ÉÆÍÕÒÑÕ}' Î È.ÌÉÊ. ÇÍ 01.ÆÍË.Ç ;'5 0VÉÆÍÕÒÑÕ }Ê ÈÉ(Î ÈÂ.Ê 'Î ÈÍ u u 6É6Î u u Ê h 7 Ê Ê Í 5.4 a,b,c Êv [ 1] [ 2] [ 3] Ê ÂÊ u Ê u u ÊÍÉÉ ÊÍÈÂu y ÊÍÉÉÌ ÊÍ a,b,c Ê ÊÂÈÊ u Îf ÈÉ É tféææííu fê ÍÉÉ ÈÍÍÇÉÇ ÌÈÆ ÆÊÂSquare Packing 01 6É6Ê u u Ê É0VÉÆ ÍÌÊÊ ÈÉ(Î ÈÉ.Ê ;'5 6É6Î u u Ê 2) ÊÍÆÊ uõòñõêéìêõòñõ Î ÈÉÉÈÉÌ ÈÈÌjzÊ u u ÉÇÇ ÉÇÍÉ Ê ÍÊÆÂÇÊÍÆÊ Ê a,b,c Êv Ê uê ÎÌÉ ÆÊ 8(a) ÊÍÆÊ uõòñõçæéééçâçíî u u ÕÒÑÕÊ ÈÍÉ a,b,c Ê ÊÍÉÉ 8(b)(c) Ê Ê ÇzÇÍ ÍÂÇÊ ÊÊÉÍÇ Ì ÈÆÇÊÂu Ê ŠÊÍÉÉ ÊÍÊÉÂÿ ÊuÆÊÆÂ~ ÊuÆÊÂu fç ÌÈÆÉ ÈÍÍÆÊ Ç ÍÍÍÍ ÆÂu fi Ç a,b,c Ê Îw ÈÍÇÉÇ ÌÈÆ 8(d)(g) ÊÍÆÊ uõòñõêææéì ÊÂÕÒÑÕ Ê È ÈÊÿ ÊuÆÊÆÂÈÇÌÂ Ê uõòñ ÕÉÆÍÊÇÍÂà 8(d) Ê uõòñõê 8(f)ÊÍÆÊ ÈÍÉ ÈÆÇ 8(g) Ê uõòñõê 8(h)ÊÍÆÊ ÈÍÉ ÈÆÃÉÆÆt Êu ÌfÆÍÍÍ ÉÊ a,b,c Î Çw ÈÍÇÉÉÂÇÊÍÆÊt Êu Ê Ì ÆÍÇÉÇ héêíâçíê Ê ÇÊ ÉÆÍ 8 a,b,c Êv ÊÍÍÕÒÑÕ Ê ÔÐÑ C uõòñõ ÔÐÑ F uõòñõ ÔÐÑ I uõòñõ D CÇ ÇÆ ÉÇÊ E DÌÉÊEÇ ÇÆÉÇÊ G CÌÉÊDÇ ÇÆÉÇÊ H EÇ ÇÆ ÉÇÊ J CÌÉÊDÇ ÇÆÉÇÊ K EÇ ÇÆ ÉÇÊ 6. s Î tèéõòñõî ÈÉ Î ÈÂÈÊ Î Êv ÈÍÂÊÆ ÉÊÂÕÒÑÕÊ zç Ê ÍÌÈÆÉÆÆ ÊÍÍ uõòñõéêêç u u ÕÒÑÕÎ Ê ÆÉ ÊÆÇÍ v ÉÊ u u ÕÒÑÕ Ê u u Ê ÈÉÂ5.1 É ÈÉv Fa ÆÍË Fb Ê Î ÈÂÈÊ (Average) ÆÍË (Worst) Î È ÉÂÌÉÂÕÒÑÕ Êu Ê ÈÍ u u Ê (Quad. ratio) Î ÈÉ ÌÈÂ5.1 ÆÍË 5.2 Ê 2 ŠÊ t ÎÂ2 ŠÊ Ò ÑÊ ÈÉ ÈÉ Îs 1 Ê ÈÂÇÊ ÇÍ f
Ɉ ÊŠ ÈÉ Ç ÍÍÉÆÍÇÉÇÍÇÍ ÊÆÇÉ ÇÊ Ò ÑÉÌvÈÉÌÉÉÇÍÂ Ê ÉÈÉÊ 5.2 Ê È têíí ÊËÆÇÂ Ê ÉÊÌÌj Ê Î ÈÉÆÍ s1 5.1 É 5.2 Ê t Ê Ò Ñ A Ò Ñ B t 5.1 t 5.2 t 5.1 t 5.2 Average Fa 3.5668 3.5684 3.5051 3.5072 Worst Fa 1.9364 1.9369 2.0766 1.8099 Average Fb 3.9698 3.9711 3.9509 3.9584 Worst Fb 3.6491 3.7852 3.1875 3.5088 Quad. ratio 0.9109 0.9109 0.8431 0.8456 ÆÉ uõòñõêzê Ê ÈÍÕÒÑÕ Ê Î ÈÉ Îs 2Ê ÈÂSquare Packing Î ÈÉ ÕÒÑÕ Î ÈÍ ÊÊ v Ê Ç ÇÆËÊ ÕÒÑÕ Ç Ê eèííêéâõòñõê zç È Í ÊÆÍÂÇÊ ÉÊÂSquare Packing Ê v Ê Î 5,30,100,1000 É ÈÈÉÉÇÊ u u ÕÒÑÕËÊ Î ÈÍÂÌÉÂÇÊÕÒÑÕ Î 9 Ê ÈÂ Ò ÑÉÆÍÑÏÖ ÊÊ 1(a) Ê È ÉÌÊÎÂÔÐÑ ÊÊ 1(b) Ê ÈÉÌÊÎ ÆÉÂs 2 ÍÍÂÕÒÑÕ Ê v Î ÇÇÈÍËÊ u u ÕÒÑÕÊzÇ ÈÍ ÊÆÍÇÉÇÍÇÍ 9ÇÍÌ ΠÇÇÈÍËÊ u u Ç Í u u Ê Ì Ì ÈÉÆÍÇÉÇuÍÍÍ s2 uõòñõêzê ÈÍÕÒÑÕ Ê 5 30 100 1000 Average Fa 3.3636 3.4079 3.4585 3.5072 Worst Fa 1.2994 1.0668 1.0280 1.8099 Average Fb 3.8890 3.9228 3.9507 3.9584 Worst Fb 3.0326 3.2389 3.3556 3.5088 Quad. ratio 0.8129 0.8234 0.8400 0.8456 ÆÉ a,b,c Ê Ê Ê ÈÍÕÒÑÕ Ê Î ÈÉ Îs 3 Ê ÈÂÇÊ ÉÊÂ Ê 4 ~Í Ê Ê Ì ÍÈÎ ÆÉ [ A] a = 0.5, b = 1.0, c = 0.0 [ B] a = 1.0, b = 0.5, c = 0.0 [ C] a = 0.5, b = 1.0, c = 1.0 [ D] a = 1.0, b = 0.5, c = 1.0 ÌÉÂÇÊ 4~ÍÊ ÊÍÍÕÒÑÕ Î 10 Ê ÈÂ Ò ÑÉÆÍÑÏÖ ÊÊÿ Î ÆÂÔÐÑ Ê Ê ˆÊ Êÿ ÊÔÐÑÎ ÆÉÂs 3 ÇÍÂa Î ÇÇÈÍÊ u u Ê ÇÍÇÊÍÂb Î ÇÇÈÍÊ u u Ê ÇÍÇÊÍÂc Î ÇÇÈÍÊ u u Ê Ç ÈÉÆÍÇÉÇÍÇÍ 10ÇÍÌÇÊ Î vè ÍÇÉÇÉÇÍ ÆÊÂ Ê ÉÊÂ[ A] [ C] ÉÊ Î uèéâ Ê u u Ê Ê Ê u u Ç ÈÍÉÆÍÂÿ [ B] [ D] ÉÊ Î uèéâ Ê Ê}Æ Ê u u Ç ÈÍÉÆ ÍÂÌÉÂ Ê Æ zéêâ[ A] [ B] ÉÊ Ì Î uèéâ Ê u u Î ÌÕÒÑÕÇ ÈÍÉÆÍÂÿ Â[ C] [ D] ÉÊ u u Ê Î uèéâ zêì u u Ç ÈÍÉÆÍ s 3 a,b,c Ê Ê ÈÍÕÒÑÕ Ê A B C D Average Fa 3.3049 3.3575 3.1877 3.3075 Worst Fa 1.1716 2.1570 1.1716 1.3421 Average Fb 3.8889 3.8709 3.8797 3.8527 Worst Fb 2.8284 2.8284 3.4142 2.8284 Quad. ratio 0.6550 0.6453 0.6946 0.6746 7. ÌÈË ÉÊ u u ÊÈÉjzÊ uõòñõîi ÈÍÉÌÊ u u Ê Â Â u u Ê h ÂÊ 3 ÉÊ Î Êf ÈÊÇÍ uõòñõî uõòñõêi ÈÍ Î ÈÉ ÉÊÂ3ÉÊ Î ÈÍv Îv È uõòñõêõòñõ}ç ÉÊv Î ÈÂÈÊ Ê Æ ÊÕÒÑÕ}Î È ÍÂ3ÉÊ Ê u Îw ÈÍÇÉÊÍÍ ÇÈÌÈÌ Ê ŠÊu ÊÈÉ uõòñõîi ÈÍÇÉÇ h ÉÆÍ x} ÇÍ ÊvwÆÉÉÇ ÎÏ Ó ÏÕ( ) ˆ   Ê xê ÎsÈÌÈ f 1) o,,,,, ÓÔÖ ÕÒÑÕ Î ÆÉi uõòñõ ÐÖÔÏÐÑÉ CAD, Vol. 97-CG-87, pp. 7-12 (1997). 2) Shimada K., Liao J., and Itoh T., Quadrilateral Meshing with Directionality Control through the Packing of Square Cells, Proceedings of 7 th International Meshing Roundtable, pp. 61-75 (1998). 3) Itoh T., Shimada K., Inoue K., Yamada A., and Furuhata T., Automated Conversion of 2D Triangular Mesh into Quadrilateral Mesh with Directionality Control, Proceedings of 7 th International Meshing Roundtable, pp. 77-86, 1998. 4), ÕÒÖÊÍÍi ÕÒÑÕ, ÑÕÕÖ ÑÕ, Vol. 12, No. 1, pp. 11-20 (1993). 5) Heighway E. A., A Mesh Generator for Automatically Subdividing Irregular Polygons into Quadrilaterals, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. Mag-19, pp. 2535-2538 (1983). 6) Lo S. H., Generating Quadrilateral Elements on Plane and over Curved Surfaces, Computer and Structures, Vol. 31, No. 3, pp. 421-426 (1989). 7) Johnston B. P., Sullivan J. M., and Kwasnik A., Automatic Conversion of Triangular Finite Element Meshes to Quadrilateral Elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 31, pp. 67-84 (1991). 8) Shimada K., and Itoh T., Automated Conversion of 2D Triangular Mesh into Quadrilateral Mesh, Proceedings of
International Conference on Computational Engineering Science 95, pp. 350-355 (1995). 9) Borouchaki H., Frey P. J., and George P. L., Unstructured Triangle-Quadrilateral Mesh Generation. Application to Surface Meshing, Proceedings of 5 th International Meshing Roundtable pp. 229-242 (1996). (a) 5 (a) A (b) 30 (b) B (c) 100 (c) C 9 (d) 1000 Ê ÉÕÒÑÕ (d) D 10 a,b,c Ê ÉÕÒÑÕ