利得を指定して IIR フィルタ ( 感度関数も含む ) を設計する方式の SCILAB 用プログラムの紹介 木坂正志 MK サーボ開発 2010/3/16 NSS2

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1 利得を指定して IIR フィルタ 感度関数も含む を設計する方式の SCIAB 用プログラムの紹介 木坂正志 MK サーボ開発

2 最近の発表との関係 FIR による位相設計 Fterex MS IIR による位相設計 最小位相関数による利得の設計 最小位相関数を使ったサーボ設計 SISO 木坂正志 : GKY 補題を使った感度関数設計 第 8 回計測自動制御学会制御部門大会 8.3 安定多項式の実数表現 適応制御 木坂正志 : 必ず安定となる IIR フィルタとそのハードディスク装置の外乱に対する適応抑制への応用 第 6 回制御部門大会資料 Vo. 469/4746 木坂正志 : 最小位相関数による適応制御とその位置決め制御への応用 平成 年電気学会産業応用部門大会

3 SCIAB 5.. アプリケーションモジュール管理 ATOMS Mphse インストールすると Scb ヘルプの中に phse のヘルプが入る Scb デモのなかに phse が入る og_fr: 最小位相関数の周波数特性を求める pr: ナイキスト周波数で進まない位相特性から安定な IIR フィルタを得る ソースコードは ATOMS に og するととれる

4 アプリケーションを選ぶ Mphse を選びインストール

5 最小位相関数とサーボの関係 C W p p Õ Õ b Õ Õ b は積分器のように決まった関数 C を求める の分子の次数は 分母より低いとする

6 感度関数 S を求める C p C S º º を求めそこから C を解く 分母の は で消去できるので安定な関数ならなんでも良い p p C S C は安定なので は分母 分子安定でなければならない 任意の対象で安定な C が得られるわけではない参考文献 は最小位相関数 ただし 以下の二つの制約条件が付く b b b b ³ b b b 等式条件 C p f f

7 は最小位相関数なので 単位円外にゼロ 極はない og º jðs 感度関数の利得は og S og S e より og をとった実部に対応するので og S og reog og w w 3 3 w og SU 3 w og ³ w w 3w.. S U ω: 感度関数の上限とする.. 位相の仕様がある場合は以下の式により同様に不等式を得られる Ð S Ð gog Ð sw s w 3 s 3w..

8 og reog w w 3 3w.. og 利得 周波数軸を時間軸とみるとフーリエ級数表現といえる 利得を表す任意の連続関数を近似できるといえる 位相だけ与えた場合もそれを近似可能といえる π 周波数 感度関数の制約である面積公式は 直流成分がゼロとみなせる 不安定極がある場合も このとき 3 º exp.. 3

9 og SU 3 w og ³ w w 3w.. b b b b b b サーボ設計のまとめ 最小位相関数の特別な場合といえる S U ω: 感度関数の上限の仕様 b ³ ロバスト条件がある場合 S gry S S ÐS re C exp p p を有理多項式であらわせるなら コントローラ

10 本題 : 最小位相関数の伝達関数を求める 一般の話 最小位相関数 Fの利得の仕様から 以下の式で係数を得る og F 3 U ³ og F reog F w w 3w.. ³ og F 位相を含めた周波数特性を og F で得る º 係数を得る方法は Ree 法が有名 サーボを考えると 等式条件があるので 他の方法が望ましい

11 G º og F G G * GKY 補題で扱える サイズの大きなマトリクスをつかうので計算たいへん 木坂正志 : GKY 補題を使った感度関数設計 第 8 回計測自動制御学会制御部門大会 8.3

12 og_fr でやってること いくつかの周波数で以下を指定 g 目標 err 許容誤差 ³ g / g err ³ F w err MI で以下の線形不等式を解く og g og err ³ w w 3 3w.. ³ og g og err この解は無限にあるので 微分と差分の差を表す以下の評価関数 E を最小にするようにしている これで 点間をなだらかに結ぶようにしている og F º G E G e º jw T G e w T jw T jwt e G wt

13 関数の引数 og_frt,forer,fe,err t: spe te forer: e 級数の次数 fe: 仕様を書いた外部ファイル名 err: 許容誤差 fe.. f g p f g p 周波数 f H で 利得が g B ではない と指定している p は使っていない G º expg を 3 個の周波数で計算した pg.txt を出力する MI がとまる場合は次数を上げるか err を大きくする

14 pr でやってること木坂正志 : IIR フィルタによる同定問題とそのサーボ設計への応用 第 36 回制御理論シンポジウム 7.9 º b g f p º º Ð Ð Ð Ð Ð t t t Z x b g f g f p / [ ] x x x x.. º [ ] t Z.. º ナイキスト周波数で進まない位相が与えられたとき それを満たす安定な IIR フィルタを得る RG はナイキスト周波数の条件を Chec してはいない 等価な位相を持つ関数を定義

15 é é w é s w w s w Z º.... j.. º C w s w ë ë w ë s w j S º f g/ Z h 仕様 各周波数で定義された θ に誤差 α> で近似する Ðh w e j < p / ベクトル º [ C S ] との内積で仕様を表す é > s ë t t AB A B ÐA ÐB

16 s > ë é t t t U U ë é º s s U ë é ë é ë é ë é s s s s s s t U U ë é ë é s s s s s s ë é s s s s s s s s s s ë é s s s s [ ] I ë é ë é s s s s s s > ø ö ç ç è æ ë é t t

17 U º [ u v] és ë éu ëv [ u v] > u s u s v u s v > v u é t > > s t ë v よりuは正なので u s v > u u s v > に対する線形不等式となる MI で解ける

18 Õ Õ Õ Õ ø ö ç è æ º t t t x g f h / r r g が安定のためには h の分子多項式で単位円外の根 ρ が 個以上必要 h の分子は 次 分母は 次の安定根なので ω が から π まで増加したとき h の軌跡が原点の周りを時計回りに 回以上回らなければならない 実関数なので これは ナイキスト周波数で位相が進まないことを意味する Õ Õ º p r 係数 x を得た後 h より f g を得る 実際の計算では 分母多項式の最高次数の係数が となるようにしている

19 安定根候補が 個以上ある場合 個をとりあえず選び 残りを分子に使うとする / / U U U G F G U F / U u u u G F ø ö ç è æ / U u u u G F ø ö ç è æ w w O u G F Þ º u U 絶対値が 以上の根を集めた関数分母は安定 O は正の実関数なら位相条件は満たされる

20 O u G F w w ø ö ç ç è æ u G F 利得の仕様から 係数 を得る 得られる関数 O は負にならない関数から選ぶべきだが RG では考慮していない

21 関数の引数 fpprt,f,fe,to,[x,[fx]] t: spe te f: 最小位相関数のときのIIRフィルタの次数 fe: 仕様を書いた外部ファイル名 pg.txt to: 許容誤差 egree x: 結果の関数の分母と分子の次数差 fx: fpx*fx fxを^fとするとfirとなる fp: 結果のIIRフィルタ fe f g p Õ f g p p º K.. Õ / r 利得 g は Kを決めるために必要 MIが止まる場合は 次数を上げる その後で止まる場合は次数を偶数とする 最小位相関数でない周波数特性を与えた場合は f にマイナス値を使うと O ω の部分を使い利得を合わせる 次の IIR フィルタとなる

22 eo Wows で eo を動かすためには Curret rectory を変える必要がある メニューバー より変えられる Kow fucto cse 次関数の近似 Approxto of exp/ exp/ を 次関数で近似 scretto fro cotuous trsfer fucto Fs Hs//s Fωω s Fωω s.. Fωω s Fωω s /t s Fucto wth rbtrry g eo の中身は hep の中にあるのとほぼ同じ

23 ///// pproxto of exp/ 次 IIRで近似 %; ts ; // spe te f/; //trget fucto fs.*/ts/; // strt fre. 複素関数は正則領域内の一部の線で fs.49*/ts/; // stop fre. 一致すると全正則領域で一致する ff fsfsfs*:/; f exp%*ff'**%p*ts; f exphorerf,f; t [ff',bsf,gogf/%p*8]; // prepre t the fe f MSOS the ux'e foo'; ese ux'r f foo'; e wrte'foo',t px prts,,'foo',.; // The orer of px s. hse error s. // copre the resut cf horerpx,f; boeff,[f.';.'] // px s ost se s f

24 Fucto wth rbtrry g %; ts ; // spe te t [ // g spec.,.,; // g s. t.h.,,; //. t.,,;.3,.,;.4,.,;.49,.,]; f MSOS the ux'e foo'; ese ux'r f foo'; e wrte'foo',t og_frts,8,'foo',.3; px prts,4,'pg.txt',.; // The orer of px s 4. hse error s.

25 分母に を持っていると分かっている場合 // the trget fucto s stbe except preetere fctor // but ot the u phse fucto %; ts ; // spe te f4*.//.; //trget fucto fs.*/ts/; // strt fre. fs.49*/ts/; // stop fre. ff fsfsfs*:/; f exp%*ff'**%p*ts; f horerf,f; t [ff',bsf,gogf/%p*8]; // prepre t the fe f MSOS the ux'e foo'; ese ux'r f foo'; e wrte'foo',t px prts,,'foo',.,,/; // the fucto hs preetere fctor. 指定する次数を上げると 安定根のペアが分子分母に加わる

26 まとめ SCIAB 5.. アプリケーションモジュール管理 ATOMS Mphse 利得の仕様から周波数特性を計算する og_frt,forer,fe,err ナイキスト周波数で進まない位相を与えたときそれを実現する安定な IIR を得る fpprt,f,fe,to,[x,[fx]] サーボをサポートする Verso に更新予定