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ほのかすみだ
5 years ago
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1 目次信号処理工学 Ⅰ 第回 : ディジタルフィルタ電気通信大学電子工学専攻電子知能システム学講座ディジタルフィルタ ( 復習 ) FIR フィルタの補足 IIR フィルタの設計 IIR フィルタの実現 FIR フィルタと IIR フィルタの比較最後の課題長井隆行ディジタルフィルタ ( 復習 ) 線形位相 FIR フィルタの補足 FIR フィルタフィードバックがないインパルス応答が有限伝達関数が分子だけ N n h( n) n IIR フィルタフィードバックがあるインパルス応答が無限伝達関数に分母がある ak : 分子の次数 k N : 分子のフィルタ長 : 分母の次数 bk : 分母のフィルタ長 k h (n) : フィルタ係数 : 次数 ( の数 ) N : フィルタ長 ( の数 ) FIR フィルタ IIR フィルタ線形位相 FIR フィルタのつのタイプ (No. のスライドも参照 ) タイプタイプタイプタイプタイプ対称性偶対称奇対称 N 奇数偶数奇数偶数 jω jω N / 周波数特性 n n n)co )/ π j ω )/ n π j ω N / β ( n)co n ω n β ( n ω 設計できないフィルタなし ( 全て可能 ) HPF, BSF (LPF と BPF が可能 ) LPF, HPF, BSF (BPF のみ可能 ) LPF, BSF (HPF と BPF が可能 )

2 設計できないタイプのフィルタ問題 () 前項の表で設計できないタイプのフィルタとはどういう意味か? ( 例 ) タイプの線形位相 FIR フィルタでは HPF( ハイパスフィルタ ) が作れないタイプ線形位相 FIR フィルタで作れるのが BPF だけであることを確かめよう π にしたいところだが H ( ω) N / β ( n)co n ω n N / H ( π ) β ( n)co n ω n 絶対にになってしまう H ( ω) )/ n タイプ線形位相 FIR フィルタ HPF がだめな場合は BSF もだめ π π 6 バンドパスフィルタ (BPF) 解答例 () IIR フィルタの性質 BPF 以外のフィルタを作るためには H () ) / n H ( π ) n で ( に近い値 ) になる必要があるしかし実際には H (), H ( π ) )/ となってしまい常にである従って BPF 以外は作ることができない BPF であれば問題ないフィードバックがある ( 伝達関数に分母がある ) インパルス応答が無限全ての極が単位円内にある必要がある ( 設計時に安定性を考慮する必要がある ) 完全な線形位相特性が実現できない近似的に満たす ( 満たすように設計する ) 設計や実装がFIRフィルタに比べ複雑 FIRフィルタに比べ少ない遅延器で急峻 ( 良好 ) な周波数振幅特性を得ることができる 7 8

3 9 IIR フィルタの設計法 IIR フィルタの設計は FIR フィルタに比べ難しい振幅特性位相特性安定性を考慮する必要があるアナログフィルタ ( 安定性を満たすもの ) をディジタルフィルタに変換するよく使われる基準ローパスフィルタ ( アナログフィルタ ) 双一次 - 変換 an H ( ) b N a b L a フィルタ係数を直接決定する L b c L K L d N cn d N N 所望の周波数特性と位相特性との誤差を最小とするように係数を決定する ( 最適化問題 ) 難しい c clar all アナログフィルタバターワースフィルタ次数が N でカットオフ周波数 (-db) が [rad/] の基準フィルタ細かいことは ATLAB にまかせてしまう %[Z,P,K] buttap(n) は N 次の正規化されたプロトタイプ Buttrworth アナログ % ローパスフィルタの零点極およびゲインを出力しますこのフィルタは左半平面 % で単位円周上に N 点の極をもち零点をもちません N; % 次数のバターワースフィルタを求める [Z,P,K] buttap(n); % [NU,EN] ptf(z,p,k ) は伝達関数 % NU() % H() % EN() % を作成しますベクトル Z は零点の位置ベクトル P は極の位置スカラ % K は利得ですベクトル NU と EN はそれぞれの降ベキ順に並べら % れた分子と分母の係数が出力されます [NU, EN] ptf(z,p,k); % ラプラス変換の周波数応答 W:/:; % 角周波数 [rad/] から [rad/] まで / きざみ Hfrq(NU,EN,W); % 振幅特性のプロット plot(w,ab(h)) p_.m バターワース特性 ( 基準ローパスフィルタ ) [ rad / ] アナログフィルタ周波数 ( 振幅 ) 特性の変換チェビシェフフィルタ clar all 次数が N でカットオフ周波数 (-db) が [rad/] の基準フィルタ細かいことは ATLAB にまかせてしまう %[Z,P,K] chbap(n,rp) は通過帯域に Rp db のリップルをもつ N 次の正規化され % たプロトタイプ Chbyhv I 型アナログローパスフィルタの零点極ゲインを出 % 力します Chbyhv I 型フィルタの遮断帯域応答は可能な限り平坦になります N; % 次数のチェビシェフフィルタを求める [Z,P,K] chbap(n,); % 次数は N でカットオフ周波数 [rad/](-db) で指定 % [NU,EN] ptf(z,p,k ) は伝達関数 % NU() % H() % EN() % を作成しますベクトル Z は零点の位置ベクトル P は極の位置スカラ % K は利得ですベクトル NU と EN はそれぞれの降ベキ順に並べら % れた分子と分母の係数が出力されます [NU, EN] ptf(z,p,k); % ラプラス変換の周波数応答 W:/:; % 角周波数 [rad/] から [rad/] まで / きざみ Hfrq(NU,EN,W); % 振幅特性のプロット plot(w,ab(h)) p_.m [ rad / ] チェビシェフ特性 ( 基準ローパスフィルタ ) 基準ローパスフィルタ H () の振幅特性を所望特性 H ˆ ( ) に変換する LPF LPF H () H ˆ ( ) H () ω c LPF BPF H () H ˆ ( ) ω ( ) H ωc [rad/] ( ) H ωb ω LPF HPF ω c LPF BSF H () H ˆ ( ) ω [rad/] ω ω ω ω ω ω ( ) H H ˆ ( ) ω ω ω ωω [rad/] b b [rad/] ω c ˆ ω b H ( ) H ω ω ω ω

4 周波数 ( 振幅 ) 特性の変換双次変換 LPF HPF H () H ˆ ( ) [rad/] clar all %HPF に変換した伝達関数 ( 手計算 ) NU[ ]; EN[ ]; H ( ) ˆ H ( ) H.... 基準バターワースフィルタ (p_.mの結果) アナログフィルタ ( 領域 ) からディジタルフィルタ ( 領域 ) へ変換安定性を考慮対の対応 T 変換 ( 写像 ) 双次 - 変換 % ラプラス変換の周波数応答 W:/:; % 角周波数 [rad/] から [rad/] まで / きざみ Hfrq(NU,EN,W); % 振幅特性のプロット plot(w,ab(h)) %ATLAB の関数 lphp が使える %NU[ ]; %EN[.... ]; %[NUT,ENT] lphp(nu,en,); p_.m H() の根 ( 極 ) が平面の左半平面になければならない ( 必要十分条件 ) 平面平面 H() の極が平面の単位円内になければならない ( 必要十分条件 ) clar all 双次変換の例 p_.m の例 (HPF) アナログカットオフ周波数 [rad/] /π[h].8[h] サンプリング周波数を [H] として変換.8π/.[rad/] 近辺がカットオフ周波数になるはず %ATLAB の関数 lphp が使える ( 周波数変換 ) NU[ ]; EN[.... ]; [NUT,ENT] lphp(nu,en,); ˆ H ( ) H 6.8 ˆ IIR フィルタ設計まとめ今までの手順を順番に行う所望の特性 ( 仕様 ) 次数カットオフなどアナログ基準ローパスフィルタ周波数変換 LPF or BPF or HPF or BSF カットオフ周波数分子の次数 N 分母の次数 ( サンプリング周波数 ) バターワース or チェビシェフ所望の次数のものを ATLAB で作る LPF LPF or BPF or HPF or BSF ω ( ) H c tc. % 双次変換 [NUd,ENd] bilinar(nut,ent,); % サンプリングレートは H % 周波数特性の計算 ( 域 ) [H,W]frq(NUd,ENd,); figur plot(w,ab(h)) % 振幅特性のプロット p_.m 6 双次変換ディジタルフィルタ T

5 IIR フィルタ設計の例 ATLAB を使う所望特性 ( 仕様 ) サンプリング周波数 :8k[H] フィルタタイプ:BPF カットオフ周波数: f k[ H] f k[ H] 次数 :( 基本アナログフィルタ ) 基本アナログフィルタ: バターワースフィルタ次数 :( ディジタルフィルタ ) ω π [ rad / ] ω π [ rad / ] clar all IIR フィルタ設計の例続き N; % 次数のバターワースフィルタを求める [Z,P,K] buttap(n); [NU, EN] ptf(z,p,k); % 伝達関数に変換 % 周波数特性の変換 %ATLAB の関数 lpbp が使える omga_**pi; % カットオフ ( 左側 ) k*pi[rad/] omga_**pi; % カットオフ ( 右側 ) k*pi[rad/] omga_b(omga_-omga_); omga_qrt(omga_*omga_); [NUT,ENT] lpbp(nu,en,omga_,omga_b); % 双次変換 [NUd,ENd] bilinar(nut,ent,8); % サンプリングレートは 8kH 7 ω H ˆ ( ) ω ωω ω ω ω ω b [rad/] % 周波数特性の計算 ( 域 ) [H,W]frq(NUd,ENd,,8); figur plot(w,ab(h)) % 振幅特性のプロット figur plot(w,unwrap(angl(h))) % 位相特性のプロット 8 p_.m 9 問題 () 次のような仕様の IIR フィルタを作ってみようローパスフィルタ次数 N サンプリング周波数 [H] カットオフ周波数 [H] 基本アナログバターワースフィルタ H ( ) IIR フィルタの実現フィルタ ( システム ) の一般形 IIR フィルタ a k k b k k H H num dno ( ) ( ) H num () ( ) X ( ) X ( ) H 直接型 I H dno ( ) num dno No.9 p. システムの縦属

6 IIR フィルタの実現続き H num ( ) は入れ替えが可能 H dno ( ) dno H num ( ) H H dno ( ) num () 問題 () 直接形 II の伝達関数が直接型 I と同じになることを確かめてみよう a a a b b v(nt ) a b b a a 直接型 I 直接型 II X ( ) X ( ) H num ( ) dno 遅延器を共通化直接型 II 差分方程式をたてて変換する伝達関数 ( 直接型 IIではv(nT ) を使った差分方程式をつたてる ) FIR フィルタと IIR フィルタの比較 FIR フィルタと IIR フィルタの比較 ( ローパスフィルタ ) FIRフィルタ (N: 遅延器 )Rmアルゴリズムを使用 IIRフィルタ (N: 遅延器 ) 双次変換を使用線形位相特性ではない完全な線形位相特性第回課題音声のノイズ除去 * 定常なノイズの混合した音声信号 (ampl.wav~ ampl.wav) のノイズを除去する * ノイズのみの信号 (noi.wav) からノイズの性質をある程度知ることができる * 基本的にどのような方法を用いてもよい * 信号は全て 6kH サンプリングである * 分からない人は次の手順に従って処理してみる FIR IIR () ノイズのみのサンプル (noi.wav) を読み込み FFT することでノイズの周波数帯域を調べる () ノイズの周波数帯域を阻止域とするディジタルフィルタを設計する () ノイズの混合した音声を設計したディジタルフィルタでフィルタリングする

7 具体的な手順具体的な手順続きより具体的な手順 ( 必ずしもこれに従う必要はない ) () ノイズのみのサンプル (noi.wav) を読み込み FFT し振幅特性 ( 絶対値 ) をプロットする (noi.wav がサンプルなので FFT もポイントで行う ) () プロットした図を見て振幅がほぼゼロとなる部分とゼロではない部分に分割する ( ナイキスト周波数までを考えればよく境目はそれほど厳密でなくてもよい ) () 分割した境目の周波数 [H] を計算する ( 周波数とポイント FFT のインデックスとの関係は?) () 計算した周波数を角周波数に直し ( π) さらにサンプリング周波数 (6) で割る (T とした場合の正規化角周波数 [rad/c] が得られる ) 次のページに続く 6 () 計算した正規化周波数の値を使って FIR フィルタを設計する ( 窓関数法 p_.m でも Rm 法 p_6.m でもよいフィルタを設計する関数ではナイキスト周波数をとして周波数を指定することに注意が必要 ) ノイズがゼロに近いところを通過域ゼロでないところを阻止域とすればよいフィルタ長は程度でよい (6) 設計したフィルタの周波数特性をプロットする意図した周波数特性になっているかどうかチェックする ( ノイズの周波数帯域を除去するような特性になっているか?) (7) ノイズの混合した音声信号 ( ampl.wav~ampl.wav のうち一つを適当に選ぶ ) を読み込みプロットしてみる (8) 読み込んだ音声信号を設計したディジタルフィルタに入力し ( たたみ込みの計算 ) 出力された信号をプロットする (9) プロットした結果を見てノイズが除去されていることを確かめるできれば音を聞くとよいもし結果があまりよくなければ () のフィルタ設計のパラメータを変えて何度か試してみる提出方法提出は前回同様メールで送ってください締め切り :7 月 7 日 ( 金 ) : プログラムと結果をレポートとしてまとめてメールで提出 pdf 形式にする ( 体裁は自由 ) pdf にできなければ Sword でもよいヒントプログラム :kadai_hint.m p@appl..uc.ac.jp 7 メールの件名に学籍番号 - 課題番号を半角で書いてください ( 例 ) 今回の課題を 6 の人が送る場合 6-

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Microsoft PowerPoint - spe1_handout10.ppt 目次信号処理工学 Ⅰ 第回 : ディジタルフィルタ電気通信大学電子工学専攻電子知能システム学講座問題は何か? フィルタとは? 離散時間システムとディジタルフィルタディジタルフィルタの種類 FIRフィルタの設計長井隆行問題は何か? 初心に戻る o.4 のスライド重要なことは? 所望の信号を得るためにどのようなシステムにすれば良いか? 安定性を保つ必要もあるノイズ除去の例周波数領域で見る