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こうしょみうら
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1 計算式集付録 6

3 基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第 3 条に定める楕円体の値による長半径 a = 6,378,37m 扁平率. 楕円体の諸公式 a(-e ) M = = R = f = W 3 W= -e sin φ, V= +e cos φ a-b f= =- -e = a F c b=a -e = =a( -f)= a(f-) +e F c= a e= a -b V 3 M N = a b = -e c =a W a = +e a c, N = = W V b c = V a f +e =b(+e )= =a -f f - e = f-f = F- F = a F F- e = a -b e b = -e a : 長半径 b : 短半径 c : 極での曲率半径 f : 扁平率 F : 逆扁平率 M : 子午線曲率半径 N : 卯酉線曲率半径 = R e f - f - = e : 第二離心率 φ : 緯度 F- F- : 平均曲率半径 : 第一離心率 59

4 . セオドライト及び測距儀又はトータルステーションを使用した場合の計算式. 距離計算.. 測距儀の気象補正計算 D=Ds n s =Ds+(Δs-Δn) Ds n n s=( +Δs) : 測距儀が採用している標準屈折率 n =( +Δn) : 気象観測から得られた屈折率 P Δn =a -E 73.5+t 73.5 a = (n g-) 03.5 n g-=.. 気圧気温を求める計算 ⑴ 標高による気圧の計算式 ⑵ 高低差による気圧の計算式 ⑶ 高低差による気温の計算式 t =t ΔH P : 計算の基準とした測点で観測した気圧 (hpa ) P : 求めようとする測点の気圧 ( hpa ) T=73+t : 絶対温度 (k) t : 計算の基準とした測点で観測した気温 ( ) t : 求めようとする測点の気温 ( ) H : 求めようとする測点の標高 (m) ΔH: 計算の基準とした測点 ( H) と求めようとする測点 (H ) との高低差 H-H(m)..3 基準面上の距離の計算 λ λ 4 E = D : 気象補正済みの距離 (m) Ds : 観測した距離 (m) P : 測点と測点の平均気圧 ( hp t : 測点と測点の平均気温 ( ) n g : 群速度に対する屈折率 λ : 光波の実効波長 ( μm) P = H 67.58T ( ⅰ) ( ⅱ) ΔH T P=P 0 P=P-0. ΔH S=D cos α-α R+ R H+H a ) +Ng

5 S : 基準面上の距離 ( m) D: 測定距離 ( m) H : 測点の標高 ( 概算値 )+ 測距儀の器械高 ( m) H : 測点の標高 ( 概算値 )+ 測距儀の器械高 ( m) α α : 測点から測点に対する高低角 : 測点から測点に対する高低角 R= : 平均曲率半径 ( m) Ng : ジオイド高 ( 既知点のジオイド高を平均した値 )..4 距離計算に必要な高低角の補正量を求める計算 αi : αi+dαi αi : 補正済みの高低角 (i=, 以下同じ ) αi : 観測した高低角 dα i: 高低角に対する補正量 dα =sin dα =sin - - (m-f +i -g)cosα D (g-f +i -m)cosα D P P f f D α i m α g i 反射点測距儀点図. P g i i D : 測距の器械点 P : 測距儀の器械高 m : セオドライト高 f i : 測定距離 : 反射点 : 反射鏡高 : 目標高補正量 dα iは角度秒で求める距離の単位はm 角度の単位は度分秒とする 6

6 . 偏心補正計算.. 正弦定理による計算 e x=sin - sinα S e e ( 注 ) 又は < のときは S S 450 S=S として計算することができる S x P S.. 二辺夾角による計算 e sinα - x=tan S -e cosα S= S +e -S e cosα 偏心点 : 偏心角を測定した測点 x : 偏心補正量 S : PとP との距離 S : 偏心点とP との距離 e : 偏心距離 α=t-φ t : 観測した水平角, φ: 偏心角 P 零方向 e φ α 図. t Pの偏心点..3 相互偏心の計算 ⑴ S が既知の場合 x=tan - e sinα +e sinα S -(e cosα +e cosα ) S= (S -e cosα -e cosα ) +(e sinα +e sinα ) ⑵ S が既知の場合 e x=sin - sinα +e sinα S P : 測点 P : 測点 P : Pの偏心点 P : Pの偏心点 x : 偏心補正量 S : PとPとの距離 S : P とP との距離 e, e : 偏心距離 φ, φ: 偏心角 t, t : 観測した水平角 α =t -φ α =( 360 +t) -φ..4 偏心補正の符号正とは図.において Pでの水平角に補正する反とは Pでの水平角に補正することを示す +は計算した補正量の符号をそのまま加用する -は計算した補正量の符号を反して加用することを示す φ P e t α P P E // P P x S S 図.3 E P e P φ α t 6

7 B C P の関係水平角観測を行った観測点 B 偏心角を測定した位置の区分測点の中心 C 目標の中心 P (B=P)=C 正 : + 反 : + 正 : - 反 : - 正 : + 反 : + (B=C)=P 反 : - 反 : - 反 : + B=(C=P) 正 : + 正 : - 正 : - B=C=P (B=C) 正 : + (B=C) 正 : - (C=P) 反 : - (C=P) 反 : +.3 座標及び閉合差の計算 ( 方向角の取付を行った場合 ) 多角路線の記号の説明 X P X X X X Q X Ta O ( 既知件 ) A : 出発点 ( 既知点 ) B : 結合点 ( 既知点 ) Ta : 出発点の方向角 Tb : 結合点の方向角 ( 観測件 ) β 0 α 0 A(x a,y a ) S 0 β ( 求件 ) x i, y i : 測点 i の x,y 座標 Δx,Δy : 座標の閉合差,Δα: 方向角の閉合差 ( その他の記号 ) X: 座標の x 軸の方向 P,Q: 既知点 (x, y ) Y α αi βn 図.4 x a, y x b, y i(x i,y i ) a b :Aのx, y座標 :Bのx, y座標 βi : 観測した水平角,( 角数 =n+) αi : 測点で次の点に対する方向角,( 角数 =n+) Si : 測点から次の点までの平面上の距離,( 辺数 =n+) i : 測点番号,( 点数 =n) S βi Y: 座標の y 軸の方向 n(x n,y n ) αn Sn βn + Tb αn + B(x b, y b ) (x n + + Δ x,y n ++ Δ y ) 63

8 .3. 方向角の計算出発点 Aの方向角測点 iの方向角結合点 Bの方向角.3. 方向角の閉合差 :α0=ta+β :αi=αi-+βi ± 80 :αn+ =αn+βn+ ± 80 0 Δα=Tb-αn+ 又は Δα=Tb-Ta-Σβ+(n ± ) 座標の近似値の計算測点の座標 : x =x a+dx y =y a+dy 測点 i の座標 : x i=x i-+dx, i, y i =y i-+dy i dx i=si cosαi,dy i=si sinαi.3.4 座標の閉合差 Δx=x b-x n+ =x b-x a-σdx Δy=y b-y n+ =y b-y a-σdy.3.5 単位多角形の諸計算単位多角形に関する諸計算は.3.から.3.4の計算式を準用する ⑴ 方向角の計算は.3.による ⑵ 方向角の閉合差内角を観測した場合 Δα=( n-) 80 -Σβ 外角を観測した場合 Δα=( n+3) 80 -Σβ ⑶ 座標の計算は.3.3による ⑷ 座標の閉合差 Δx=Σdx,Δy=Σdy.3.6 方向角の計算 ( 取付観測がない場合 ) X X t a t a B (x b, y b) t ab t ab A (x a, y a) θ B (x b, y b) O 図.5 : 計算で確定した多角路線 : 仮定の方向角で計算した多角路線 ( 既知件 ) A: 出発点 x a, y a: 出発点のx, y 座標 B: 結合点 x b, y b: 結合点のx, y 座標 ( 観測件 ) 多角路線の辺長と新点及び節点における水平角 Y 64

9 ( 求件 ) t a :Aからに対する方向角 ( 計算式および記号 ) t a : 地形図等から求めたA 点から点に対する仮定の方向角 ( B は仮定の方向角によって計算した各点の位置 ) t ab: 仮定の方向角 ( A 点からB 点に対する方向角 ) y b-y a - t a b=tan x b-x a t ab: 出発点 A 点から結合点 B 点に対する方向角 t ab= tan - y b-y a x b-x a θ : 仮定の方向角に対する修正量 θ=t a b-t ab 求件 A 点からに対する方向角 t a =t a +θ.4 座標の計算 ( 厳密水平網平均計算 ).4. 観測値を平面直角座標上の値へ変換するための計算 ⑴ 方向角の変換 t-t ij=- (y j+ y i )( x j- x i ) X 4m 0 R 0 + m0 R 0 (x j- x i)( y j- y i) Ti j si j P j (x j, y j) t ij=tij+( t-t ⑵ 距離の変換 s =m 0 + (y i +y i y j+y j ) S ij 6R0 m 0 s s ij=sij t i j : 平面直角座標上の観測方向角 Tij : 基準面上の観測方向角 sij : 平面直角座標上の測定距離 Sij : 基準面上の測定距離 m : 平面直角座標系原点の縮尺係数 0 S ij ) ij R0 : 平面直角座標系原点の平均曲率半径 x i, y i:pi点の近似座標値 x j, y j:pj 点の近似座標値 O t ij P i (x i, y i) 図.6 Si j (t- T ) i j Y 65

10 .4. 観測方程式 X X P j( x j, y j) Δ y j Δ xj P j (x j, y j) l tij= 0 z im t ik s i j s j k P i( x i, y i) t ij v(t ij ) j Δxi u ik Δ y i P i( x i, y i) v(t ik ) P k( x k, y k) z im P k(x k, y k) s ik O Y 図.7 l tik ⑴ 方向観測の観測方程式 v ( t ik )=-p im+a ikδx i-b ikδy i-a ikδx k+b ikδy k-l tik 重量 ik= ⑵ 距離観測の観測方程式 v ( s ik ) =-b ikδx i-a ikδy i+b ikδx k+a ikδy k-l sik 重量 p sik x i, y i :Pi点の座標の近似値(m 単位 ) x i, y i :Pi点の座標の最確値(m 単位 ) Δx i, Δy i :Pi点の座標の補正値 x i=x i+δx i, y i=y i+δy i Pi点が既知点のとき Δx i=δy i=0 s ik :Pi,Pk間の平面直角座標上の近似距離 (x k-x i) +(y k-y i) a ik, b ik : 観測方程式の係数 (y k-y i) a ik=, b (x k-x ) ik= i s ik l sik t ij t ik z im u l p ik tik ik s ik s ik :Pi,Pk 間の平面直角座標上の測定距離 (m単位) : 距離の観測方程式の定数項 (s ik-tan ik)/ s ik( 秒単位 ) - :Pi点におけるPj( 零方向 ) 方向の仮定方向角 tan (y j-y i)/(x j-x i) - :Pi点におけるPk方向の仮定方向角 (y k-y i)/(x k-x i) : 標定誤差 Pi点におけるm 組目の方向観測を方向角に換算するときの仮定方向角 ( t ) に対する補正値 ( 秒単位 ) :Pi点における零方向(Pj 方向 ) を基準としたPk 方向の観測角 : 方向の観測方程式の定数項 ( 秒単位 ) l tik=( t ij+u ik )-t ik l tij=0( 零方向 ) : 方向観測の重量, 常にとする 66

11 m t s ik p sik : 距離観測の重量 p sik = (m s +γ s ik ) mt : 角の方向の標準偏差 ( 秒単位 ) ms : 測距儀における距離に無関係な標準偏差 (m 単位 ) γ : 測距儀における距離に比例する誤差の比例定数 v ( t ik) : 方向観測の残差 ( 秒単位 ) v ( s ik) : 距離観測の残差 ( 秒単位 ) m 単位の場合の残差 =s ik v (s ik )/.4.3 平均計算 ⑴ 観測方程式の行列表示 V=AX-L,P V: 残差のベクトル A: 係数の行列 X: 未知数のベクトル行列要素の配置順位はそれぞれ対応している L: 定数項のベクトル P: 重量の行列 ⑵ 標準方程式の行列 NX=U T N=A PA, U=A T PL A T は Aの転置行列 A=(a ij ) のとき,A T =(a ji ) である ⑶ 解 - X=N U - N は Nの逆行列である ⑷ 座標の最確値 x i=x i+δx i y i=y i+δy i ⑸ 単位重量当たりの観測値の標準偏差 ( m0) V T PV m 0= q-(r+n) m0 は角度で表示する V T : V の転置行列 r : 方向観測の組の数 P : 観測値の重量 n : 新点の数 q : 観測方程式の数 ⑹ 座標の標準偏差 Mx= My= m 0 Px m 0 Py X 座標の標準偏差 Y 座標の標準偏差 M s= M x +M y 座標の標準偏差 M x,m y,m sは長さで表示する 67

12 Px: Δxの重量 Py:Δyの重量 ( 注 ) /Px,/Pyは逆行列 N - の対角要素である.5 標高及び閉合差の計算.5. 標高及び高低差の計算標高 H ( Hを既知とした場合 ) H Z =( H +H )/ Z H, H 正反に分けて計算を行う D 正方向 H =H+D sinα+i -f +K f P i i 反方向 H P =H-D sinα-i +f -K 高低差 h は S H H h=h -H α -α D sin + (i +f ) - (i +f ) 図.8 ただし Hi :Pi点の標高 i i :Pi点のセオドライト高 f i :Pi点の目標高 h : P点とP 点との高低差 D : 測定距離 S : 基準面上の距離 Zi :Pi点で観測した鉛直角 αi :Pi点における高低角,αi=90 -Zi (-k)d k : 屈折係数 (0.33) K : 両差 ( 気差及び球差 )= R R: 平均曲率半径.5. 標高の閉合差 ⑴ 結合多角路線の閉合差 dh=hb-ha-σh dh: 閉合差,Ha: 出発点の標高,Hb: 結合点の標高 ⑵ 単位多角形の閉合差 dh=σh.5.3 標高の近似値の計算高低網平均の近似値は標高の概算値を使用する H =H +h f.6 標高の計算 ( 厳密高低網平均計算 ).6. 観測した高低角の標石上面への補正計算補正計算の説明 Hi : 標高 Ai : 測点 i から観測した高低角 dα i :Aiに対する補正量 αi :Aiの補正後の高低角 i i : セオドライト高セオトライト i 目標 dα セオトライト A P P 図.9 i f 68

13 f i i : 目標高 : 測点番号 ⑴ 正の高低角に対する補正量 (f -i )cosa dα =tan - S -(f -i )sina cosa ⑵ 反の高低角に対する補正量 (f -i )cosa dα =tan - S -(f -i )sina cosa Sは基準面上の距離.6.による ⑶ 補正した観測高低角 α=a-dα α=a-dα.6. 観測方程式平均値観測値近似値の関係 Pi : 平均計算で確定した測点 Hi : 標高の最確値 P i : 近似値による測点 H i : 近似標高 Δh i : 近似標高に対する補正量 α : 観測した高低角 α -α α= α : 近似標高により求めた高低角 S R H -H α =tan - S : 基準面上の距離 : 平均曲率半径 ⑴ 観測値の重量正反を組とした α= ⑵ 観測方程式の係数 cos α C= S cos α C= S - H R - H R H +H - R α-α P ( H ) P (H ) Δ h ( 平均値 ) の観測値の重量をとする α ( 近似値 ) α ( 観測値 ) 図. 0 Δ h P (H ) P (H ) ⑶ 観測方程式 v (α)=-cδh +C Δh -l 重量 = l =α-α v (α): 高低角の残差 ( 秒単位 ) 69

14 .6.3 平均計算 ⑴ 観測方程式の行列表示は.4.3.⑴による ⑵ 標準方程式の行列は.4.3.⑵による ⑶ 解は.4.3.⑶による ⑷ 標高の最確値 Hi=H i+δh i ⑸ 単位重量当たりの観測値の標準偏差 ( m0) m V T PV 0= q-n m0 は角度で表示する記号は.4.3.⑸と同じである ⑹ 標高の標準偏差 ( ) Mh= m 0 Ph M h Mh は長さで表示する Ph:Δhの重量.7 簡易 XY 網平均 n : 路線内の節点数 (k=,, n) m : 路線数 (i=,, m) n+ Si : s k:i 路線の観測距離の総和, s: 節点間の平面距離 k= P t i 最終節点 X t n + 交 γj t a t β 0 β t ( x, y ) S (x n, y n) Sn + γ i S (x a, y a) 図..7. 単純重量平均による方法 ( 交点点の場合 ).7.. 方向角の計算 ⑴ i 路線から求めた交点における基準路線の最終節点の方向角 ( t i) の計算 t i =t+ n k= βk-( n ± )80 -γi t =t a+β0 t a : 出発点における取り付け点 (P) の方向角 t k :( k-) 番目の節点における方向角 (k=,, n+) βk :k 番目の節点における夾角 (k=0,,, n) 出発点での方向角の取り付け観測がない場合 (k=,, n) 70

15 ⑵ ⑶ γi : 交点における基準路線の最終節点と i 路線の最終節点との夾角 (i=,, m), 基準路線の場合 γ=0 交点における基準路線の最終節点の平均方向角 (t) の計算 t Δt d = βk m i= :k Pit i/ m Pi i= Pi:i 路線の重量 ( i 路線の夾角の観測数の逆数 ) 閉合差 (Δt) とその路線の夾角への補正値 (dβ) n k=0 dβk:i 路線の方向角の閉合差番目の節点の夾角 β への補正値出発点において方向角の取り付けのない場合 (k=,, n).7.. 座標計算 ⑴ i 路線から求めた交点の座標 ( x i, y i ) ⑵ ⑶ x i=x 0+ 交点における平均座標 (x, y) の計算 x = m i= n+ k= Pix i/ Pi =/Si dx k m Pi i= y i= y 0+ y= n+ k= m i= d y k Piy i/ m Pi i= :k- 番目の節点における高低角 x 0, y 0: 出発点の座標 dx k=s k cost k:(k-) 点から k 点までの x 座標差 dy k=s k sint k :(k-) 点から k 点までの y 座標差閉合差 (Δx, Δy) とその路線の節点座標への補正値 (dx,dy) n+ Δx =x-x i= dx k :i 路線の交点における x 座標の閉合差 k= Δy =y-y i= n+ k= dy k :i 路線の交点における y 座標の閉合差 dx dy L L =( Δx/Si) =( Δy/Si) L k= L k= s s k k : L 番目の節点座標 (x L ) への補正値 : L 番目の節点座標 ( y L) への補正値.7..3 高低計算 ⑴ i 路線から求めた交点の標高 ( H i) H i H 0 : 出発点の標高 dh k: s k tanαk α k =H 0+ n+ k= d Hk =t-t i= ⑵ 交点における平均標高 ( H ) の計算 H= m i= Pi=/Si PiH i/ m Pi i= 7

16 ⑶ 閉合差 (ΔH) とその路線の節点標高への補正値 (dh ) n+ ΔH=H-H i= dhk :i 路線の交点の標高の閉合差 k= dhl= ΔH/Si L k= sk :i 路線の L 番目の節点標高への補正値.7. 条件方程式による方法 ⑴ ⑶ ⑴ ⑶ t t 05 t 5 交 γ γ 5 ⑸ γ5 3 γ4 交交 ⑸ 交 ⑵ ⑷ ⑵ ⑷ 図..7.. 条件方程式の組成交点の平均方向角平均座標及び平均標高の計算は次例により条件方程式 ( 共通 ) を設ける υ-υ υ3-υ 4 +W=0 +W=0 υ-υ3+υ5 +W3=0 υυ υ5: 各路線の方向角座標標高の補正量 W, W,W 3: 各路線の方向角座標標高の閉合差.7.. 観測方向角 (t ) 及び閉合差 (Wt) の計算交点において t =t 0+ n k= β k -( n ± ) 80-0 t =t 0+ n k= β 交点において t 3=t 03+ t 4=t 04+ n3 k= n4 k= β β k 3k 4k -( n -( n 3 -( n 4 ± ± ± ) 80 -γ ) 80-0 ) 80 -γ 4 t 5=t 05 + n5 k= β 5k -( n 5 ± ) 80 -γ 53 t 05=t +γ5 γ5: 交点における路線の最終節点 ( 零方向 ) と5 路線の隣接接点との夾角 γ53: 交点における5 路線の最終節点 ( 零方向 ) と3 路線の隣接接点との夾角 W t=t -t W t=t 3-t 4 W t3=t 5-t 3 7

17 .7..3 座標 (x, y ) 及び閉合差 (W x,w y) の計算交点において x =x 0 + n+ k= dx k y =y 0 + n+ k= d y k x =x 0 + n+ k= 交点において x 3=x x 4=x n3+ k= n4+ k= dx dx dx k 3k 4k y =y y 3=y y 4=y n+ k= n3+ k= n4+ k= dy dy dy k 3k 4k.7..4 x 5=x 05 dx ik=s ik cos W x=x -x W x=x 3-x 4 W x3=x 5-x 3 標高 (H ) 及び閉合差 (W H) の計算交点において H = + H 0 n5+ k= + dx n+ k= 5k t ik dhk y 5=y 05 + n5+ k= dy ik=s ik sin W y=y -y W y=y 3-y 4 W y3=y 5-y 3 dy t ik 5k H =H0+ n+ k= 交点において H 3=H03+ H 4=H04+ H 5=H05+ n3+ k= n4+ k= n5+ k= dhk dh3k dh4k dh5k dhik=s ik tanαik αik:i 路線の (k-) 番目の節点における高低角 W H =H -H W H =H 3-H 4 W H 3=H 5-H 平均計算 ⑴ 条件方程式 CV+W =0 C= ,V = υ υ υ 3 υ 4,W = W W W 3 υ 5 73

18 ⑵ 相関方程式 V=(CP ) T K /P /P P - = 0 0 /P /P /P 5 ⑶ 正規方程式と解 - T ( CP C ) K+W = 0 - T K=-( CP C ) - - T V=( CP ) ( CP.7.3 観測方程式による方法 W - C T ) - W, K= K K K 3 β0 i t p 交 P (x p, y p) i 路線交 Q γi t q (x q, y q) 図方向角の観測方程式交点 Pから交点 Qまで ( i 路線 ) の方向角の観測方程式は次式による υi=-δt p+δt q- (t p-t q)+dt i 重量 Pi υi: 残差 t p, t q : 交点 P 及び交点 Qにおける零方向の仮定方向角 δt p, δt q: t p, t qに対する補正値 dt i=β0i+ ni k= βik-( n i ± )80 -γi βik:k 番目の節点における観測夾角 β0i: 出発点における観測夾角 γi: 結合点における観測夾角 Pi=/( 観測夾角の数 ): 図の場合観測夾角の数 ( n i+) n i: 節点数.7.3. 座標の観測方程式 ⑴ 交点 Pから交点 Qまで( i 路線 ) の座標の観測方程式は次式による υi=-δx p+δx q- (x p-x q)+dx i 重量 Pi υi=-δy p+δy q- (y p-y q)+dy i 重量 Pi υi: 残差 ( x p, y p),( x q, y q) : 交点 P 及び交点 Qの仮定座標 ( δx p, δy p ),( δx q, δy q ): 仮定座標に対する補正値 74

19 dx i,dy i: 交点 PQ 間 ( i 路線 ) 観測座標差 Pi=/Si(Si:PQ 間の観測路線長 ) ⑵ 既知点 (x, y) から交点 ( x q, y q) までの観測方程式は次式による υi=δx q- (x-x q)+dx i 重量 Pi υi=δy q- (y-y q)+dy i 重量 Pi ⑶ 交点 ( x p, y p) から既知点 (x, y) までの観測方程式は次式による υi=-δxp- (x p-x)+dx i 重量 Pi υi=-δyp- (y p-y)+dy i 重量 Pi 標高の観測方程式 ⑴ 交点 Pから交点 Qまで ( i 路線 ) の標高の観測方程式は次式による υi=-δhp+δhq- (H p-h q)+dhi 重量 Pi υi: 残差 H p, H q: 交点 P 及び交点 Qの仮定標高 δhp, δhq: 仮定標高に対する補正値 dhi: 交点 PQ間の観測高低差 Pi=/ Si( Si: PQ間の観測路線長 ) ⑵ 既知点 (H) から交点 (Hq) までの観測方程式は次式による υi=δhq- (H-H q)+dhi 重量 Pi ⑶ 交点 (Hp) から既知点 (H) までの観測方程式は次式による υi=-δhp- (H p-h)+dhi 重量 Pi 正規方程式の組成及びその答解方向角の観測方程式から正規方程式を組成し答解を行い方向角の平均値を求めるこの方向角の平均結果から仮定座標を計算し座標の正規方程式を組成し答解を行い平均座標値を求める標高の観測方程式から正規方程式を組成し答解を行い標高の平均値を求める補正値の配布 ⑴ 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の各夾角 (βik) への補正 ( δβk) δβk=δβi/( 夾角の観測値の数 ): 夾角 βikへの補正値 Δβi=Σδβk=βi-dt i:pq 路線の方向角の閉合差 βi=( t q+δt q) -(t p+δt p) ⑵ 交点 PQ 間の平均座標 ( x p, y p)( x q, y q) 及び平均標高 (Hp,Hq) x p=x p+δx p x q=x q+δx q y p=y p+δy p y q=y q+δy q Hp=H p+δhp Hq=H q +δhq ⑶ 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の各座標 ( x ik, y ik) 及び各標高 (H ik) への補正 (δx k,δy k,δhk) i 路線におけるL 番目の節点への補正値 L δx il=( Δx i/si) s k+δx p δy il =( Δy i/si) k= L k= s k+δy δh il=( ΔHi/Si) L s k+δh p k= p Δx i=δx q-δx p : 交点 PQ間 ( i 路線 ) の x 座標の閉合差 Δy i=δy q-δy p : 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の y 座標の閉合差 ΔHi=δHq-δHp : 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の標高の閉合差 75

20 .8 平面直角座標による平面直角座標上方向角及び基準面上の距離の計算.8. 平面直角座標上の方向角 y -y t =tan - -(t-t) x -x x i,y i: 測点および測点の座標象限 : 第象限 :( y -y ) >0,( x -x ) >0 第象限 :( y -y ) >0, ( x -x ) <0 第 3 象限 :( y -y ) <0, ( x -x ) <0 第 4 象限 :( y -y ) <0, ( x -x ) >0 (t-t) =- ( y +y )( x -x )+ 4m 0 R 0 m (x -x )(y -y ) 0 R 0.8. 基準面上の距離 (x -x ) +(y -y ) S= s s =m 0 + (y +y y +y ) S 6R0 m 0 S R0= 平面直角座標系原点の平均曲率半径 m 0: 平面直角座標系原点の縮尺係数成果表に記載する縮尺係数 3y m=m 0 + 6R0 m 0 y: 当該点の y 座標.9 平面直角座標による経緯度計算座標を換算して緯度経度及び子午線収差角を求める.9. 緯度 tanφ y φ=φ- M N m tanφ (5+3tan φ 3 +η -9η tan 4 φ -4η 4M N 6 tanφ ( 6+90tan y φ 5 +45tan 4 φ) 70M N m 0 y 4 m 0.9. 経度 λ=λ0+δλ Δλ= N cosφ y m 0 - +tan φ +η 6N 3 cosφ y 3 m tan φ +4tan 4 φ 0N 5 cosφ y 5 m 0 76

21 .9.3 子午線収差角 tanφ y tanφ γ= - ( +tan φ 3 -η ) N m 0 3N 5 tanφ + 5 (+tan φ)(+3tan y φ) 5N.9.4 縮尺係数 y m=m 0 + M N m 0 y M N m 0 m 0 y m 0 3 φ : 新点の緯度 λ0: 原点の経度 λ : 新点の経度 γ : 新点の子午線収差角 γの符号は新点の位置が当該座標系原点より東にあるときは負西は正とする m : 新点の縮尺係数 m0= η =e cos φ y : 新点の座標 a : 長半径 e : 第二離心率 f : 扁平率 c c M= N = (+η ) 3 +η c=a +e.9.5 基準子午線と垂線 ( 新点より ) との交点の緯度 φ =(Aθ+Asinθ+A3sin4θ+A4θcos θ+ A5sin6θ +A6θcos4θ+A7θ sinθ+a8sin8θ+a9θcos6θ +A0θ sin4θ+aθ 3 cosθ) ただし M θ= a 新点の x 座標 M=S0+ a m 0 =6,378,37m A = A = A3 = A4 = A5 = A6 = A7 = A8 = A9 = A = A=

22 S 0: 赤道から座標系原点 φ0までの子午線弧長 S 0=a(-e ) Aφ 0- B sinφ0+ C 4 sin4φ0- D 6 sin6φ 0+ E 8 sin8φ 0- F 0 sin0φ 0 e=第離心率 A= D= B= E= C= F= ( 注 ) φ は他の計算式を用いて求めることができる.0 経緯度を換算して座標及び子午線収差角を求める計算.0. x 座標 x N Δλ =( S-S0) + sinφcosφ m 0 4 N + sinφcos 3 φ( 5-tan φ+9η +4η 4 Δλ ) 4 6 N + sinφcos 5 φ( 6-58tan φ+tan 4 Δλ φ) y 座標 y Δλ N =N cosφ + cos 3 Δλ φ( -tan φ+η ) m N + cos 5 φ(5-8tan Δλ φ+tan 4 φ) 子午線収差角 γ=sinφδλ+ sinφcos φ( +3η +η 4 ) Δλ3 3 + sinφcos 4 φ( -tan Δλ 5 φ) 5 4 x, y : 新点の座標 γ : 新点の子午線収差角 φ : 新点の緯度 Δλ=λ-λ0 λ0: 座標系原点の経度 λ: 新点の経度 S0 :.9.5による S :.9.5のφ0を新点の緯度 φで求める η =e cos φ N= c +η 3 3. GPS 測量機を使用した場合の計算式 3. 座標系の変換 3.. 経緯度及び高さから地心直交座標系への変換 X=( N+h) cosφcosλ Y=( N+h) cosφsinλ Z= N(-e )+h sinφ h=h+ng 78

23 φ : 緯度 λ : 経度 H : 標高 Ng : ジオイド高 N : 卯酉線曲率半径 e : 第一離心率 h : 楕円体高 3.. 地心直交座標系から経緯度及び高さへの変換 Z - φ=tan (P-e Ni- cosφi-) (φは繰り返し計算) λ Y - =tan X h P = -N cosφ P= (X +Y ) φの収束条件 : φi-φi- 0 - (rad) φi:i 回目の計算結果 φ0:tan - Z P 3. 偏心補正計算 3.. 偏心補正計算に必要な距離計算 D= (D cosαm) +(D sinαm+i -f ) (α -α ) D α αm= α i = f i = f D : 既知点と偏心点の斜距離偏心点 D D : 測定した斜距離既知点図 3. α, α : 観測高低角 i, i : TS 等の器械高 f, f : 目標高 3.. 偏心補正計算に必要な高低角に対する補正計算 α =α +dα α =α +dα (i - -f )cosα dα =sin D (i - -f )cosα i = f dα =sin D α, α : 既知点と偏心点の高低角 α, α : 観測高低角 dα, dα : 高低角の補正量 D : 既知点と偏心点の斜距離 i, i :TS 等の器械高 f, f : 目標高既知点 α D α α α 図 3. i = f 偏心点 79

24 3..3 偏心補正計算に必要な方位角の計算 ⑴ 偏心点から既知点の方位角 T=T0+θ T0=tan DX DY DZ ⑵ 既知点から偏心点の方位角計算 T =T ± 80 -γ T γ S D φ Nc M R α, α h, h D Y - D X T : 偏心点から既知点の方位角 T0 : 方位標の方位角 θ : 偏心角 DX,DY,DZ : 基線ベクトルの地平座標系における成分 φ : 偏心点の緯度 λ : 偏心点の経度 Δx,Δy,Δz : 基線ベクトルの地心直交座標系における成分 ( 偏心点と方位標の座標差 ) S sint tanφc γ = S = X φc=φ+ M X=S cost (α -α ) αm= (h +h ) h m = R = = -sinφ cosλ -sinφ sinλ cosφ -sinλ cosλ 0 cosφ cosλ cosφ sinλ sinφ Nc D cosαm R (R+h m ) M Nc : 偏心点から既知点の方位角 3..3.⑴で計算した値を使用する : 偏心点における子午線収差角 : 基準面上の距離 : 既知点と偏心点の斜距離 : 既知点の緯度 : 卯酉線曲率半径 ( 引数はφcとする ) : 子午線曲率半径 ( 引数はφとする ) : 平均曲率半径 ( 引数はφとする ) : 既知点と偏心点の高低角真北 Δx Δy Δz T D θ 偏心点 ( 方位標 ) 既知点 : 既知と偏心点の楕円体高 ( 注 )γの計算は最初 T 0 =T+80 の値で計算し T -T 0 0. を満たすまで繰り返す N γ N T 0 図 3.3 T 80

25 3..4 偏心補正計算基線ベクトルの地平座標系における成分を地心直交座標系における成分に変換する Δx -sinφ cosλ -sinλ cosφ cosλ D cosαm cosβ Δy = -sinφ sinλ cosλ cosφ sinλ D cosαm sinβ Δz cosφ 0 sinφ D sinαm ) αm= (α-α Δx, Δy, Δz : 偏心補正量 φ : 既知点の緯度 λ : 既知点の経度 D : 既知点と偏心点の斜距離 α,α : 既知点と偏心点の高低角 β : 既知点から偏心点又は偏心点から既知点の方位角 3..5 偏心補正の方法 ⑴ 偏心点及び既知点で偏心角を観測した場合 ΔX ΔX0 b Δx ΔY = ΔY0 b ± Δy ΔZ ΔZ0 b Δz ΔX, ΔY, ΔZ ΔX0 b, ΔY0 b, Δx, Δy, Δz ΔZ 0 b : 偏心補正後の点間の座標差 ( 地心直交座標系における成分 ) : 偏心点で観測した点間の座標差 ( 地心直交座標系における成分 ) : 偏心補正量 ( 3..4で計算した値を使用する ) 既知点 ΔX ΔY ΔZ ⑵ 偏心点の座標が未知の場合 X X Δx Y = Y ± Δy Z Z Δz X,Y,Z : 偏心点の座標 ( 地心直交座標系における成分 ) X,Y,Z : 既知点の座標 ( 地心直交座標系における成分 ) Δx,Δy, Δz : 偏心補正量 ( 3..4で計算した値を使用する ) Δx Δy Δz 観測方向図 3.4 偏心点 ΔX ΔY ΔZ 0b 0b 0b 3.3 点検計算の許容範囲に使用する閉合差較差及び環閉合差 ΔX, ΔY, ΔZから ΔN, ΔE, ΔUへの変換計算 3.3. 既知点間の閉合差 ΔN ΔX ΔE =R ΔY ΔU ΔZ 8

26 ΔN : 水平面の南北方向の閉合差 ΔE : 水平面の東西方向の閉合差 ΔU : 高さ方向の閉合差 ΔX : 地心直交座標 X 軸成分の閉合差 ΔY : 地心直交座標 Y 軸成分の閉合差 ΔZ : 地心直交座標 Z 軸成分の閉合差 R= -sinφ cosλ -sinφ sinλ cosφ -sinλ cosλ 0 cosφ cosλ cosφ sinλ sinφ φ,λは測量地域内の任意の既知点の緯度経度値とする 3.3. 重複辺の較差 3.3.の内 ΔX,ΔY,ΔZを ΔX: 基線ベクトルX 軸成分の較差 ΔY: 基線ベクトルY 軸成分の較差 ΔZ: 基線ベクトルZ 軸成分の較差基線ベクトルの環閉合差 3.3.の内 ΔX,ΔY,ΔZを ΔX: 基線ベクトルX 軸成分の環閉合差 ΔY: 基線ベクトルY 軸成分の環閉合差 ΔZ: 基線ベクトルZ 軸成分の環閉合差 3.4 三次元網平均計算 3.4. GPS 基線ベクトル ΔX X ΔY = ΔZ Y Z - X Y Z Xi Yi = (Ni+h i ) cosφi cosλi (Ni+h i ) cosφi sinλi Zi Ni(-e )+h i sinφi i =, 3.4. 観測方程式 ⑴ 地心直交座標 ( X, Y, Z) による観測方程式 Vx δx δx ΔX0 ΔX0 ΔX0 ΔX0 ΔX0b Vy = δy - δy +M ξ ΔY0 ξ+m η ΔY0 η+m α ΔY0 α+ ΔY0 - ΔY0b Vz δz δz ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0b ( 補正量 )( 未知量 ) ( 未知量 ) ( 概算値 ) ( 観測値 ) ( 注 ) 鉛直線偏差及び鉛直軸の微少回転を推定しない場合は ξ η αの項は除く M ξ= M η= 0 0 -cosλ sinλ 0 cosλ 0 sinλ cosφ 0 -sinφ 0 sinλ 0 cosφ0 0 sinφ 0 cosλ 0 sinφ 0 sinλ 0 -sinφ 0 cosλ 0 0 8

27 0 sinφ 0 -cosφ0 sinλ 0 M α= -sinφ 0 0 cosφ0 cosλ 0 cosφ 0 sinλ 0 -cosφ 0 cosλ 0 0 ξ=φa-φg η=(λa-λg)cosφa φ0, λ0 : 既知点 ( 任意 ) の緯度, 経度 ξ : 鉛直線偏差の子午線方向の成分 η : 鉛直線偏差の卯酉線方向の成分 φa, λa : 天文緯度天文経度 φg, λg : 測地緯度測地経度 α : 網の鉛直軸の微少回転 ⑵ 測地座標 ( 緯度 φ 経度 λ 楕円体高 h) による観測方程式 Vx δφ δφ ΔX0 ΔX0 ΔX0 ΔX0 ΔX0b Vy =m δλ -m δλ +M ξ ΔY0 ξ+m η ΔY0 η+m α ΔY0 α+ ΔY0 - ΔY0b Vz δh δh ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0 ΔZ0b ( 補正量 ) ( 未知量 ) ( 未知量 ) ( 概算値 ) ( 観測値 ) ( 注 ) 鉛直線偏差及び鉛直軸の微少回転を推定しない場合は ξ η αの項は除く -(Mi+h i ) sinφi cosλi -( Ni+h i) cosφi sinλi cosφi cosλi m i= -(Mi+h i ) sinφi sinλi (Ni+h i) cos (Mi+h i ) 0 φ i cosλi cosφi sinλi cosφi sinφi (i =,) 観測の重み ⑴ 基線解析で求めた値による計算式 p=(σδ X, Δ Y, Δ Z) - ⑵ 水平及び高さの分散を固定値とした値による計算式 Σ Δ X, Δ Y,Δ Z=R T ΣN,E,U R P: 重量行列 ΣΔ X,Δ Y,Δ Z: ΔX,ΔY,ΔZの分散共分散行列 dn 0 0 ΣN,E,U= 0 de du dn : 水平面の南北方向の分散 de : 水平面の東西方向の分散 du : 高さ方向の分散 -sinφ cosλ -sinφ sinλ cosφ R= -sinλ cosλ 0 cosφ cosλ cosφ sinλ sinφ φ, λは測量地域内の任意の既知点の緯度経度値とする 83

28 3.4.4 平均計算 V=AX-L,P T ( A PA) X=( A T PL) T - X=( A PA) A T PL σ Δ X Δ X σ Δ X Δ Y σ Δ X Δ Z P= σ Δ Y Δ X σ Δ Y Δ Y σ Δ Y Δ Z 平均計算後の観測値の単位重量当たりの標準偏差未知点座標の平均値の標準偏差 ⑴ 地心直交座標 Xの標準偏差 Yの標準偏差 Zの標準偏差 ⑵ 測地座標 φの標準偏差 σ Δ Z Δ X σ Δ Z Δ Y σ Δ Z Δ Z V: 残差のベクトル A: 未知数の係数行列 X: 未知数のベクトル L: 定数項のベクトル P: 重量行列 m 0= V T PV 3(m-n) λ の標準偏差 h の標準偏差 :σx=m :σy=m :σz=m0 (σ Δ Z Δ Z ) :σ :σ :σ n e h σφφ, σ λλ, σ hh: 重み係数行列の対角要素 M : 子午線曲率半径 N : 卯酉線曲率半径 0 0 =m 0 =m 0 =m m : 基線数 n : 未知点数 0 (σ Δ X Δ X ) (σ Δ Y Δ Y ) σ φφ (M +h) σ λλ (N+h)cosφ σ hh 3.5 ジオイド高算出のための補間計算 Ng=(-t)(-u)Ng(i, j )+(-t)u Ng(i, j +)+t(-u)ng(i+, j )+t u Ng(i+, j +) 84

29 ただし φi λj Ng( φ λ Ng i, j ) :i 格子の緯度 :j 格子の経度 :( i,j) 格子のジオイド高 : 求点の緯度 : 求点の経度 : 求点のジオイド高 t= φ-φi φi+-φi λ-λj u= λj+-λj Ng(i+,j ) Ng(i+,j+) Ng Ng(i, j) Ng(i, j+) 図 3.5 ( 注 ) 求点のジオイド高は, 求点を最も近く取り囲む 4 格子のジオイド高から求める 4. 本計算式のほか, これと同精度もしくはこれをうわまわる精度を有することが確認できる場合には, 当該計算式を使用することができる 85

30 水準測量. 観測比高に対する補正計算 h=δh+δc+δg h : 高低差 (m 単位 ) ΔH : 観測高低差 (m 単位 ) ΔC : 標尺補正量 (m 単位 ) ΔG : 正標高補正量 (m 単位 ). 標尺定数補正 ΔC= C 0+(T-T 0 ) α ΔH ΔC : 標尺補正量 (m 単位 ) C0 : 基準温度における標尺定数 ( 単位長さあたりの補正量 )(m 単位 ) T : 観測時の測定温度 ( 単位 ) T0 : 基準温度 ( 単位 ) α : 膨張係数 ΔH : 観測高低差 (m 単位 ). 正規正標高補正計算 ( 楕円補正 ) K=5.9 sin(b +B ) B-B ρ H K : 正規正標高補正量 ( mm 単位 ) B, B: 水準路線の出発点及び終末点 ( 又は変曲点 ) の緯度 ( 分単位 ) H : 水準路線の平均標高 (m 単位 ) ρ = 80 π 60.3 正標高補正計算 ( 実測の重力値による補正 ) ΔG= g i+g j -γ 0 ΔH/γ 0+Hi (Gi-γ 0 )/γ 0-Hj (Gj-γ 0 )/γ0 ΔG : 正標高補正量 ( m単位 ) g i, g j : 水準点 i j における重力値 ( 地表重力値 mgal 単位 ) ΔH : 水準点 i から j の観測高低差 (m 単位 ) γ0 : mGal( 緯度 45 における正規重力値 mgal 単位 ) Hi,Hj : 水準点 i j における標高 ( 正標高 m 単位 ) Gi, Gj : 水準点 i j における鉛直平均重力値 (mgal 単位 ) ( 地表からジオイド面までの平均重力値 ) Gi=g i Hi Gj=g j Hj 86

31 . 水準測量観測の標準偏差 m 0 = 4 Σ U i Si n m0 :km当たりの観測の標準偏差( mm単位 ) Ui : 各鎖部の往復差 ( mm単位 ) Si : 各鎖部の距離 ( km単位 ) n : 鎖部数 3. 水準網平均計算 3. 観測方程式による場合 3.. 観測方程式 υ=-x +x -( H-H+ΔH ),P υ3=-x +x 3-( H-H3+ΔH 3),P 3 υij =-x i+x j-( Hi-Hj+ΔHij),Pij Hi,H x i, x j ΔHij υi j Pi j j : 水準点 : 水準点 : 水準点 : 水準点 : 水準点 i i i i i j j j j j の仮定標高の仮定標高に対する補正値間の観測高低差間の観測高低差の残差間の観測高低差の重量行列表示にすると, V=AX-L,P V: 残差のベクトル X: 未知数 ( 仮定標高に対する補正値 ) のベクトル A: 未知数の係数の行列 L: 定数項のベクトル P: 重量の行列各マトリックス, ベクトルの内容は次のとおり V= (m,) υ υ : : υm, A= (m,n ) a a a n a a a n a m a m a mn x l p 0 x p X= (n,) : : x n, L= (m, ) l : : l m, P= (m,m ) 0 p m 87

32 υk :k 番目に関するυi j l k :k 番目に関する ( H pk :k 番目に関するPi j P ij= Sij i-hj+δhij) Sij: 水準点 i j 間の路線長 3.. 正規方程式 ( A T PA) X=A PL X=( A T PA) A T PL 3..3 平均の結果 ⑴ 単位重量当たりの観測の標準偏差 ( m0) m 0= V T PV (m-n) m: 観測方程式の数 n : 未知数の数 ⑵ 未知点の平均標高の標準偏差 M =m 0 q,m =m 0 q,,mn=m 0 q nn q q q n Q=(A T PA) - = (n,n ) q q q n q n q n q nn 3. 条件方程式による場合 3.. 条件方程式 b υ+b υ+ b b υ+b υ+ b b rυ+b r υ+ b rmυm+ωr=0 m m ω: 環閉合差 υ: 路線の高低差の補正量行列表示にすると, BV+W =0 B: 未知数の係数の行列 V: 残差のベクトル W: 閉合差のベクトル υm+ω=0 υm+ω=0 88

33 ただし, 各マトリックス, ベクトルの内容は次のとおり B= (r,m ) b b b m b b b m b r b r b rm, 3.. 相関方程式 V=(BP - ) T K /P 0 k /P k - P = K= : (m,m) (r,) : 0 /Pm, k r K: 相関係数 ( 未定係数 ) のベクトル 3..3 正規方程式 - ( BP B T ) K+W=0 K=-( BP - B T - ) W 3..4 平均の結果単位重量当たりの観測の標準偏差 m -K T W 0= r ただし, r: 条件方程式の数 V= (m,) υ υ : : υm, W= (r,) ω ω : : ωr 4. 本計算式のほか, これと同精度もしくはこれをうわまわる精度を有することが確認できる場合には, 当該計算式を使用することができる 89

計算式集付録 6

計算式集付録 6 計算式集付録 6 基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第 3 条に定める楕円体の値による長半径 a = 6,378,37m 扁平率. 楕円体の諸公式 a(-e ) M = = R = W= -e sn φ, V= e cos φ a-b f= =- -e = a F b=a c -e = =a( -f)= a( F-) e F e= a