付録 6 計算式集 1

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あきひろごちょう
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1 付録 6 計算式集

2 基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第条に定める楕円体の値による長半径 a = 6787m 扁平率 f = 楕円体の諸公式 a(-e ) a M = N = W W R = MN = b W W= -e si φ a-b f= =- a -e = F b=a -e a(f-) =a( -f)= F e= a -b a = f-f = F- F a : 長半径 R : 平均曲率半径 b : 短半径 e : 離心率 f : 扁平率 φ : 緯度 F : 逆扁平率 M : 子午線曲率半径 N : 卯酉線曲率半径. セオドライト及び測距儀又はトータルステーションを使用した場合の計算式. 距離計算.. 測距儀の気象補正計算 D=D s s =Ds+(Δs-Δ)Ds

3 s=( +Δs) =( +Δ) E =.6-6 D D s P : 気象補正済みの距離 (m) : 観測した距離 (m) : 測点と測点の平均気圧 (hpa) t : 測点と測点の平均気温 ( ) g λ Δ a g-= : 測距儀が採用している標準屈折率 : 気象観測から得られた屈折率 P =a -E 7.+t 7. = ( g -) λ λ : 群速度に対する屈折率 : 光波の実効波長 (μm) -6.. 気圧気温を求める計算 () 標高による気圧の計算式 P =. - H 67.8T () 高低差による気圧の計算式 ( ⅰ) ( ⅱ) ΔH T P=P P=P-.ΔH () 高低差による気温の計算式 t =t-.δh P : 計算の基準とした測点で観測した気圧 ( hp a) P : 求めようとする測点の気圧 ( hp a) T : 絶対温度 (K)(T=7.+t ) t : 計算の基準とした測点で観測した気温 ( ) t : 求めようとする測点の気温 ( ) H : 求めようとする測点の標高 (m) ΔH: 計算の基準とした測点の標高 ( H) と求めようとする測点の標高 (H ).. 基準面上の距離の計算との高低差 H-H(m) S=Dcos α-α R R+ H +H +N g

4 S : 基準面上の距離 ( m) D : 測定距離 ( m) H : 測点の標高 ( 概算値 )+ 測距儀の器械高 (m) H : 測点の標高 ( 概算値 )+ 測距儀の器械高 ( m) α α : 測点から測点に対する高低角 : 測点から測点に対する高低角 R : 平均曲率半径 (m)(r=67) Ng: ジオイド高 ( 既知点のジオイド高を平均した値 ).. 距離計算に必要な高低角の補正量を求める計算 αi : αi+dα i αi : 補正済みの高低角 (i= 以下同じ ) αi : 観測した高低角 dα i: 高低角に対する補正量 dα =si - (m-f +i -g)cosα D dα =si - (g-f +i -m)cosα D P P f f D α i m α g i 反射点測距儀点図. P g i i D : 測距の器械点 P : 測距儀の器械高 m : セオドライト高 f i : 測定距離 : 反射点 : 反射鏡高 : 目標高補正量 dα i は角度秒で求める距離の単位は m 角度の単位は度分秒とする.. 鋼巻尺の補正計算 D=D s +D s Δl/l+α(t-t )D s +C h +C H D : 基準面上の距離 D s : 観測した距離 Δl : 尺定数

5 l : 鋼巻尺の全長 D s Δl/l: 尺定数の補正 (Δl/l: 単位長当たりの補正量 ) α : 鋼巻尺の膨張係数 t : 測定時の温度 t : 鋼巻尺検定時の標準温度 α(t-t )D s : 温度による尺長の変化の補正量 h : 観測点間の高低差 C h : 傾斜補正 - h Ds C H : 投影補正 ( 標高 Hによる補正 )- D(H+N) R H: 両端点の平均標高 N: 両端点の平均ジオイド高 R: 平均曲率半径. 偏心補正計算.. 正弦定理による計算 x=si - e e ( 注 ) 又は < のときは S S S=S として計算することができる.. 二辺夾角による計算 x=ta S= - e siα S esiα S -ecosα S +e -S ecosα 偏心点 : 偏心角を測定した測点 x : 偏心補正量 S : PとP との距離 S : 偏心点とP との距離 e : 偏心距離 α=t-φ t : 観測した水平角 φ: 偏心角 P S e φ 零方向図. t x P S P の偏心点.. 相互偏心の計算 () S が既知の場合 x=ta - e siα +e siα S -(e cosα +e cosα ) S= (S -e cosα -e cosα ) +(e siα +e siα )

6 () S が既知の場合 e siα +e siα x=si - S P : 測点 P : 測点 P : Pの偏心点 P : Pの偏心点 x : 偏心補正量 S : PとPとの距離 S : P とP との距離 e e : 偏心距離 φ φ: 偏心角 t t : 観測した水平角 α =t-φ α =( 6 +t) -φ φ P P e α t P E // P P S x S 図. E P e P t φ α.. 偏心補正の符号正とは図.において P での水平角に補正する反とは P での水平角に補正することを示す +は計算した補正量の符号をそのまま加用する -は計算した補正量の符号を反して加用することを示す B C P の関係水平角観測を行った観測点 B 偏心角を測定した位置の区分測点の中心 C 目標の中心 P (B=P)=C 正 : + 反 : + 正 : - 反 : - 正 : + 反 : + (B=C)=P 反 : - 反 : - 反 : + B=(C=P) 正 : + 正 : - 正 : - B=C=P (B=C) 正 : + (B=C) 正 : - (C=P) 反 : - (C=P) 反 : + 6

7 . 座標及び閉合差の計算 ( 方向角の取付を行った場合 ) 多角路線の記号の説明 X O X P T a (x a y a ) α β S β ( x y ) Y X β i X α α i β S i ( x i y i) 図. X (x y ) α S β + X T b α + B (x b y b ) Q ( x + + Δ x y + Δy ) + ( 既知件 ) : 出発点 ( 既知点 ) B : 結合点 ( 既知点 ) Ta : 出発点の方向角 T : 結合点の方向角 b ( 観測件 ) βi : 観測した水平角 ( 角数 =+) αi : 測点で次の点に対する方向角 ( 角数 =+) Si : 測点から次の点までの平面上の距離 ( 辺数 =+) i : 測点番号 ( 点数 =) ( 求件 ) x i y i : 測点 i の xy 座標 ΔxΔy : 座標の閉合差 Δα: 方向角の閉合差 ( その他の記号 ) X: 座標の x 軸の方向 PQ: 既知点 x a y x b y a b :のx y座標 :Bのx y座標 Y: 座標の y 軸の方向.. 方向角の計算出発点の方向角測点 iの方向角結合点 Bの方向角 :α=ta+β :αi=αi-+βi ± 8 :α+ =α+β+ ± 8.. 方向角の閉合差 Δα=T b-α + 又は Δα=T b-t a-σβ+( ± )8.. 座標の近似値の計算測点の座標 : x =x a+dx y =y a+dy 測点 i の座標 : x i=x i-+dx i y i =y i-+dy i 7

8 dx i=s icosα idy i=s isiα i.. 座標の閉合差 Δx=x b-x + =x b-x a-σdx Δy=y b-y + =y b-y a-σdy.. 単位多角形の諸計算単位多角形に関する諸計算は.. から.. の計算式を準用する () 方向角の計算は.. による () 方向角の閉合差内角を観測した場合 Δα=( -) 8 -Σβ 外角を観測した場合 Δα=( +) 8 -Σβ () 座標の計算は.. による () 座標の閉合差 Δx=Σdx Δy=Σdy..6 方向角の計算 ( 取付観測がない場合 ) X B ( x b y b ) a t t a t a b X O t a b ( x a y a ) θ 図. B(x b y b ) Y : 計算で確定した多角路線 : 仮定の方向角で計算した多角路線 ( 既知件 ) : 出発点 x a y a: 出発点のx y 座標 B: 結合点 x b y b: 結合点のx y 座標 ( 観測件 ) 多角路線の辺長と新点及び節点における水平角 ( 求件 ) t a :からに対する方向角 8

9 ( 計算式及び記号 ) t a : 地形図等から求めた点から点に対する仮定の方向角 ( B は仮定の方向角によって計算した各点の位置 ) t ab: 仮定の方向角 ( 点からB 点に対する方向角 ) y - b -y a t a b=ta x b-x a t ab: 出発点点から結合点 B 点に対する方向角 t ab= ta - θ : 仮定の方向角に対する修正量 θ=t a b y b -y a xb-x a -t ab 求件点からに対する方向角 t a =t a +θ. 座標の計算 ( 厳密水平網平均計算 ).. 観測値を平面直角座標上の値へ変換するための計算 () 方向角の変換 ρ t-t i=- (y X +y i )( x -x i ) m R ρ + m R (x -x i)( y -y i) Ti s i P ( x y ) ti=t i+( () 距離の変換 t-t ) i t i S i (t-t) i s S i si=si = m s S + (y i +y i y +y ) 6R m i O P i ( x i y i ) 図.6 Y t i Ti : 基準面上の観測方向角 si : 平面直角座標上の測定距離 Si : 基準面上の測定距離 m : 平面直角座標上の観測方向角 : 平面直角座標系のX 軸上における縮尺係数.9999 R : 平面直角座標系原点の平均曲率半径 x i y i:pi点の近似座標値 x y :P 点の近似座標値 9

10 .. 観測方程式 X X P ( x y ) Δ y Δ x P (x y ) l t i = z i m t i k s i s k P i ( x i y i) t i v ( t i ) Δx i u i k Δ y i Pi (x i y i ) v (ti k ) Pk (x k y k ) s i k z i m P k (x k y k ) O Y 図.7 l t i k () 方向観測の観測方程式 v ( t ik)=-p ik= im+a ikδx i-b ikδy i-a ikδx k+b ikδy k-l tik 重量 () 距離観測の観測方程式 v ( s ik) =-b ikδx i-a ikδy i+b ikδx k+a ikδy k-l sik 重量 p sik x i y i :Pi点の座標の近似値(m 単位 ) x i y i :Pi点の座標の最確値(m 単位 ) Δx i Δy i :Pi点の座標の補正値 x i=x i +Δx i y i=y i +Δy i Pi点が既知点のとき Δx i=δy i= s ik :PiPk間の平面直角座標上の近似距離 (x k-x i) +(y k-y i) a ik b ik : 観測方程式の係数 a ik= (y k-y i) (x k -x i) ρ b ik= ρ s ik s ik s ik :PiPk 間の平面直角座標上の測定距離 (m単位) l t i t z u l sik ik im ik tik : 距離の観測方程式の定数項 ( 秒単位 ) (s ik-s ik) l sik= ρ s ik :Pi点におけるP( 零方向 ) 方向の仮定方向角 - ta (y -y i)/(x -x i) :Pi点におけるPk方向の仮定方向角 ta - (y k-y i)/(x k-x i) : 標定誤差 Pi点におけるm 組目の方向観測を方向角に換算するときの仮定方向角 ( t ) に対する補正値 ( 秒単位 ) :Pi点における零方向(P方向) を基準としたPk 方向の観測角 : 方向の観測方程式の定数項 ( 秒単位 ) l tik=( t i +u ik) -t ik l ti=( 零方向 )

11 p p ik sik mt ms γ v ( t v ( s ik ik ) ) : 方向観測の重量常にとする m t s ik : 距離観測の重量 p sik= (ms +γ s ik )ρ : 角の方向の標準偏差 ( 秒単位 ) : 測距儀における距離に無関係な標準偏差 (m 単位 ) : 測距儀における距離に比例する誤差の比例定数 : 方向観測の残差 ( 秒単位 ) : 距離観測の残差 ( 秒単位 ) m 単位の場合の残差 =s ikv ( s ik)/ρ.. 平均計算 () 観測方程式の行列表示 V=X-LP V: 残差のベクトル : 係数の行列 X: 未知数のベクトル行列要素の配置順位はそれぞれ対応している L: 定数項のベクトル P: 重量の行列 () 標準方程式の行列 NX=U T N= P U= T PL T はの転置行列 =(a i) のとき T =(a i) である () 解 - X=N U - N は Nの逆行列である () 座標の最確値 x i=x i+δx i y i=y i+δy i () 単位重量当たりの観測値の標準偏差 (m ) m= V T PV q-(r+) m は角度で表示する V T : V の転置行列 P : 観測値の重量 q : 観測方程式の数 r : 方向観測の組の数 : 新点の数

12 (6) 座標の標準偏差 Mx= m P x X 座標の標準偏差 My= m Y 座標の標準偏差 P y M s= M x +M y 座標の標準偏差 M xm ym s は長さで表示する Px Py ( 注 ) : Δxの重量 :Δyの重量 /Px/P y は逆行列 N - の対角要素である. 標高及び閉合差の計算.. 標高及び高低差の計算標高 H ( Hを既知とした場合 ) H =( H +H )/ H H 正反に分けて計算を行う正方向 H =H+Dsiα+i -f +K 反方向 H =H-Dsiα-i +f -K 高低差 h は h=h -H α -α =Dsi + (i +f )- (i +f ) ただし Hi :Pi点の標高 i i :Pi点のセオドライト高 f i :Pi点の目標高 h : P点とP 点との高低差 D : 測定距離 S : 基準面上の距離 Zi :Pi点で観測した鉛直角 αi :Pi点における高低角 αi=9 -Z i (-k)s K : 両差 ( 気差及び球差 ) K = R k : 屈折係数 (.) R : 平均曲率半径 f i Z H P D S 図.8 Z P H i f.. 標高の閉合差 () 結合多角路線の閉合差 dh=h b-h a-σh dh: 閉合差 H a: 出発点の標高 H b: 結合点の標高 () 単位多角形の閉合差 dh=σh

13 .. 標高の近似値の計算高低網平均の近似値は標高の概算値を使用する H =H +h.6 標高の計算 ( 厳密高低網平均計算 ).6. 観測した高低角の標石上面への補正計算補正計算の説明 Hi : 標高 i : 測点 i から観測した高低角 dα i :iに対する補正量 αi :iの補正後の高低角 i i : セオドライト高 f i : 目標高 i : 測点番号 () 正の高低角に対する補正量 i P dα 図.9 目標 P i f (f -i )cos dα =ta - S -(f -i )si cos () 反の高低角に対する補正量 (f -i )cos dα =ta - S -(f -i )si cos Sは基準面上の距離.6. による () 補正した観測高低角 α=-dα α=-dα.6. 観測方程式平均値観測値近似値の関係 Pi : 平均計算で確定した測点 Hi : 標高の最確値 P i : 近似値による測点 H i : 近似標高 Δh i : 近似標高に対する補正量 α : 観測した高低角 P ( H ) Δh α ( 近似値 ) Δ h P ( H ) P ( H ) α α -α α= : 近似標高により求めた高低角 P ( H ) ( 平均値 ) α( 観測地 ) S R H -H α =ta - S : 基準面上の距離 : 平均曲率半径 H +H - R 図.

14 () 観測値の重量正反を組とした α= α-α () 観測方程式の係数 cos α C= - H ρ S R cos α C= - H ρ S R () 観測方程式 v (α)=-cδh +C Δh -l 重量 = l =α-α v (α): 高低角の残差 ( 秒単位 ) の観測値の重量をとする.6. 平均計算 () 観測方程式の行列表示は...() による () 標準方程式の行列は...() による () 解は...() による () 標高の最確値 H i=h i+δh i () 単位重量当たりの観測値の標準偏差 (m ) m= V T PV q- m は角度で表示する記号は...() と同じである (6) 標高の標準偏差 (M h ) Mh= m P h Mh は長さで表示する Ph:Δhの重量

15 .7 簡易網平均計算 ( 簡易水平網平均計算及び簡易高低網平均計算 ) m S i : 路線内の節点数 (k= ) : 路線数 (i= m) : + k= s k :i 路線の観測距離の総和 s: 節点間の平面距離 P t i 最終節点 X t + 交 γ β t ta β S (x y ) t S (x y ) S + γi (x a y a) 図..7. 単純重量平均による方法 ( 交点点の場合 ).7.. 方向角の計算 () i 路線から求めた交点における基準路線の最終節点の方向角 ( t i ) の計算 t i =t+ βk-( ± )8 -γi k= t =t a+β t a : 出発点における取り付け点 (P) の方向角 t k :( k-) 番目の節点における方向角 (k= +) βk :k 番目の節点における夾角 (k= ) 出発点での方向角の取り付け観測がない場合 (k= ) γi : 交点における基準路線の最終節点と i 路線の最終節点との夾角 (i= m) 基準路線の場合 γ= () 交点における基準路線の最終節点の平均方向角 (t) の計算 m m t = P it i / Pi i= i= Pi:i 路線の重量 ( i 路線の夾角の観測数の逆数 ) () 閉合差 (Δt) とその路線の夾角への補正値 (dβ) Δ =t-t i = tβ dβ k :i 路線の方向角の閉合差 k k= d :k 番目の節点の夾角 βへの補正値出発点において方向角の取り付けのない場合 (k= )

16 .7.. 座標計算 () i 路線から求めた交点の座標 ( x i y i) + + x i=x + dx k y i=y + dy k () () k= 交点における平均座標 (x y) の計算 x = m i= P ix i/ m Pi =/Si P i i= y= k= m i= P iy i/ m P i i= x y : 出発点の座標 dx k=s kcost k:(k-) 点から k 点までの x 座標差 dy k=s ksit k :(k-) 点から k 点までの y 座標差閉合差 (Δx Δy) とその路線の節点座標への補正値 (dxdy) + Δx =x-x i= dx k :i 路線の交点における x 座標の閉合差 k= Δy =y-y i= + k= dy k :i 路線の交点における y 座標の閉合差 dx dy L L =( Δx/Si) =( Δy/Si) L k= L k= s s k k : L 番目の節点座標 (x L ) への補正値 : L 番目の節点座標 ( y L) への補正値.7.. 高低計算 () i 路線から求めた交点の標高 ( H i) + H i =H + dh k H : 出発点の標高 dh k: s ktaαk α k k= :k- 番目の節点における高低角 () () 交点における平均標高 ( H ) の計算 H= m i= P ih i/ m P i i= Pi=/Si 閉合差 (ΔH) とその路線の節点標高への補正値 (dh ) ΔH=H-H i= + dhk :i 路線の交点の標高の閉合差 k= dhl= ΔH/S i L k= sk :i 路線の L 番目の節点標高への補正値 6

17 .7. 条件方程式による方法 () () () () t t t 交 γ γ () γ γ 交交 () 交 () () () () 図..7.. 条件方程式の組成交点の平均方向角平均座標及び平均標高の計算は次例により条件方程式 ( 共通 ) を設ける υ-υ +W= υ-υ +W= υ-υ+υ +W= υυ υ: 各路線の方向角座標標高の補正量 W W W : 各路線の方向角座標標高の閉合差.7.. 観測方向角 (t ) 及び閉合差 (W t ) の計算交点において t =t + k= β k -( ± ) 8 - t =t + k= β 交点において t =t + t =t + k= k= β β k k k -( -( -( ± ± ± ) 8 -γ ) 8 - ) 8 -γ t =t t =t +γ γ: 交点における路線の最終節点 ( 零方向 ) と路線の隣接接点との夾角 γ + k= β : 交点における路線の最終節点 ( 零方向 ) と路線の隣接接点との夾角 W t=t -t W t=t -t W t=t -t k -( ± ) 8 -γ 7

18 .7.. 座標 (x y ) 及び閉合差 (W x W y ) の計算交点において x =x + + k= dx k y =y + + k= d y k x =x + + k= 交点において x =x x =x k= + k= dx dx dx k k k y =y y =y y =y k= + k= + k= dy dy dy k k k x =x + + k= dx k y =y + + k= dx ik=s ik cos t ik dy ik=s ik si t W x=x -x W y=y -y W x=x -x W y=y -y W x=x -x W y=y -y dy ik k.7.. 標高 (H ) 及び閉合差 (W H ) の計算交点において + H =H + dhk H =H + k= + k= 交点において H =H+ H =H+ H =H+ dh k dhik=s iktaαik αik:i 路線の (k-) 番目の節点における高低角 W H =H -H W H + k= + k= + k= d =H -H W H =H -H H k dhk dhk.7.. 平均計算 () 条件方程式 CV+W = C= V = υ υ υ υ W = W W W υ 8

19 () 相関方程式 V=(CP ) T K /P /P P - = /P /P /P K= K K K () 正規方程式と解 - T ( CP C ) K+W = - T K=-( CP C ) - - T V=( CP ) ( CP W - C T ) - W.7. 観測方程式による方法 β i 交 P (x py p t p ) i 路線交 Q γ i t q (x q y q) 図..7.. 方向角の観測方程式交点 Pから交点 Qまで ( i 路線 ) の方向角の観測方程式は次式による υi=-δt p+δt q- (t p -t q)+dt i 重量 P i υi: 残差 t p t q : 交点 P 及び交点 Qにおける零方向の仮定方向角 δt p δt q: t p t qに対する補正値 dt i=βi+ i k= βik-( i ± )8 -γi βik:k 番目の節点における観測夾角 βi: 出発点における観測夾角 γi: 結合点における観測夾角 Pi=/( 観測夾角の数 ): 図の場合観測夾角の数 ( i+) i: 節点数 9

20 .7.. 座標の観測方程式 () 交点 Pから交点 Qまで( i 路線 ) の座標の観測方程式は次式による υi=-δx p+δx q- (x p-x q)+dxi 重量 Pi υi=-δy p+δy q- (y p-y q)+dyi 重量 Pi υi: 残差 ( x p y p)( x q y q) : 交点 P 及び交点 Qの仮定座標 ( δx p δy p) ( δx q δy q): 仮定座標に対する補正値 dx idy i: 交点 PQ 間 ( i 路線 ) 観測座標差 P i=/si(s i:pq 間の観測路線長 ) () 既知点 (x y) から交点 ( x q y q) までの観測方程式は次式による υi=δx q- (x-x q)+dx i 重量 Pi υi=δy q- (y-y q)+dyi 重量 Pi () 交点 ( x p y p) から既知点 (x y) までの観測方程式は次式による υi=-δxp- (x p-x)+dxi 重量 Pi υi=-δyp- (y p-y)+dyi 重量 Pi.7.. 標高の観測方程式 () 交点 Pから交点 Qまで ( i 路線 ) の標高の観測方程式は次式による υi=-δhp+δhq- (H p-h q)+dh i 重量 P i υi: 残差 H p H q: 交点 P 及び交点 Qの仮定標高 δhp δhq: 仮定標高に対する補正値 dhi: 交点 PQ間の観測高低差 Pi=/ Si( Si: PQ間の観測路線長 ) () 既知点 (H) から交点 (Hq) までの観測方程式は次式による υ i=δh q- (H-H q)+dh i 重量 P i () 交点 (Hp) から既知点 (H) までの観測方程式は次式による υ i=-δh p- (H p-h)+dh i 重量 P i.7.. 正規方程式の組成及びその答解方向角の観測方程式から正規方程式を組成し答解を行い方向角の平均値を求めるこの方向角の平均結果から仮定座標を計算し座標の正規方程式を組成し答解を行い平均座標値を求める標高の観測方程式から正規方程式を組成し答解を行い標高の平均値を求める.7.. 補正値の配布 () 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の各夾角 (βik) への補正 ( δβ k) δβk=δβi/( 夾角の観測値の数 ): 夾角 βikへの補正値 Δβi=Σδβk=βi-dt i:pq 路線の方向角の閉合差 βi=( t q+δt q) -(t p+δt p) () 交点 PQ 間の平均座標 ( x p y p)( x q y q) 及び平均標高 (H ph q) x p=x p+δx p x q=x q+δx q y p=y p+δy p y q=y q+δy q Hp=H p+δhp Hq=H q+δhq

21 () 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の各座標 ( x i 路線におけるL 番目の節点への補正値 δx il =( Δx i/si ) L k= s k+δx p ik y ik) 及び各標高 (H ik) への補正 (δx kδy kδh k) δy il =( Δy i/si ) δh il=( ΔHi/Si) Δx i=δx q-δx Δy i=δy q-δy p p L k= s k+δy L k= p s k +δh p : 交点 PQ間 ( i 路線 ) の x 座標の閉合差 : 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の y 座標の閉合差 ΔHi=δHq-δHp : 交点 PQ 間 ( i 路線 ) の標高の閉合差.8 平面直角座標による基準面上の方向角及び基準面上の距離の計算.8. 基準面上の方向角 y -y T =ta - -(t-t) x -x x i y i: 測点及び測点の座標象限 : 第象限 :( y -y ) >( x -x ) > 第象限 :( y -y ) > ( x -x ) < 第象限 :( y -y ) < ( x -x ) < 第象限 :( y -y ) < ( x -x ) > ρ ρ (t-t)=- m ( y +y )( x -x )+ R m (x -x )(y -y ) R.8. 基準面上の距離 S = s = S m (x -x ) +(y -y ) s S + (y +y y+y ) 6R m R : 平面直角座標系原点の平均曲率半径 m : 平面直角座標系のX 軸上における縮尺係数 (.9999).8. 成果表に記載する縮尺係数 y m=m + R m y: 当該点の y 座標

22 .9 座標を変換して経緯度子午線収差角及び縮尺係数を求める計算.9. 緯度及び経度 cos sih ta si 6.9. 子午線収差角及び縮尺係数 m ta sih cos tah ta tah ta ta a m y x : 新点の X 座標及び Y 座標 : 平面直角座標系原点の緯度及び経度 m : 平面直角座標系の X 軸上における縮尺係数 (.9999) F a : 楕円体の長半径及び逆扁平率 y S x F sih cos cosh si sih si cosh cos cosh si si

23 si a m a m S 経緯度を変換して座標子午線収差角及び縮尺係数を求める計算.. X 座標及び Y 座標 y S x sih cos cosh si.. 子午線収差角及び縮尺係数 m ta ta t a m t t t t c s c s c : 新点の緯度及び経度 S F a m :.9 による si tah si tah sih t t t t t s c s c tah ta si cos sih si cosh cos

24 . GNSS 測量機を使用した場合の計算式. 座標系の変換.. 経緯度及び高さから地心直交座標系への変換 X=( N+h) cosφcosλ Y=( N+h) cosφsiλ Z= N(-e )+h siφ h=h+ng φ : 緯度 λ : 経度 H : 標高 Ng : ジオイド高 N : 卯酉線曲率半径 e : 離心率 h : 楕円体高.. 地心直交座標系から経緯度及び高さへの変換 φ=ta - Z (φは繰り返し計算) P-e N i- cosφ i- Y - =ta X P h = -N cosφ P= X +Y φの収束条件 : φi-φ i- - (rad) φi:i 回目の計算結果 φ:ta - Z P(-e ). 偏心補正計算.. 偏心補正計算に必要な距離計算 D= (D cosα m) +(D siα m+i -f ) (α -α ) αm= α D α i = f D : 既知点と偏心点の斜距離 D : 測定した斜距離 α α : 観測高低角 i i : TS 等の器械高 f f : 目標高 i = f 既知点 D 図. 偏心点

25 .. 偏心補正計算に必要な高低角に対する補正計算 α =α +dα α =α +dα (i - -f )cosα dα =si D (i i = f - -f )cosα dα =si D α α : 既知点と偏心点の高低角 α α : 観測高低角 dα dα : 高低角の補正量 D : 既知点と偏心点の斜距離 i i :TS 等の器械高 f f : 目標高既知点 α D α α α 図. i =f 偏心点.. 偏心補正計算に必要な方位角の計算 () 偏心点から既知点の方位角 T=T+θ T=ta D Y - D X D X -siφcosλ -siφsiλ cosφ Δx D Y = -siλ cosλ Δy D Z cosφcosλ cosφsiλ siφ Δz T : 偏心点から既知点の方位角 T : 方位標の方位角 θ : 偏心角 DXDYDZ : 基線ベクトルの局所測地座標系における成分 φ : 偏心点の緯度 λ : 偏心点の経度 Δx Δ y Δ z : 基線ベクトルの地心直交座標系における成分 ( 偏心点と方位標の座標差 ) () 既知点から偏心点の方位角計算 T =T ± 8 -γ S sit taφ c γ = N c D cosα m R S = (R+h m) X φc=φ+ M X=S cost (α -α ) αm= N N 真北 γ T T T D θ 偏心点 ( 方位標 ) 既知点図.

26 (h +h ) h m = R = MN c T : 偏心点から既知点の方位角...() で計算した値を使用する γ : 偏心点における子午線収差角 S : 基準面上の距離 D : 既知点と偏心点の斜距離 φ : 既知点の緯度 Nc : 卯酉線曲率半径 ( 引数はφcとする ) M : 子午線曲率半径 ( 引数はφとする ) R : 平均曲率半径 ( 引数はφとする ) α α : 既知点と偏心点の高低角 h h : 既知と偏心点の楕円体高 ( 注 )γの計算は最初 T =T+8 の値で計算し T -T. を満たすまで繰り返す.. 偏心補正計算基線ベクトルの局所測地座標系における成分を地心直交座標系における成分に変換する Δx Δy Δz = α m= (α-α) -siφcosλ -siλ cosφcosλ -siφsiλ cosλ cosφsiλ cosφ siφ D cosα mcosβ D cosα msiβ D siα m Δx Δy Δz : 偏心補正量 φ : 既知点の緯度 λ : 既知点の経度 D : 既知点と偏心点の斜距離 αα : 既知点と偏心点の高低角 β : 既知点から偏心点又は偏心点から既知点の方位角.. 偏心補正の方法 () 偏心点及び既知点で偏心角を観測した場合 ΔX ΔX b Δx ΔY = ΔY b ± Δy ΔZ ΔZ b Δz ΔX ΔY ΔZ : 偏心補正後の点間の座標差 ( 地心直交座標系における成分 ) ΔX b ΔY b ΔZ b : 偏心点で観測した点間の座標差 ( 地心直交座標系における成分 ) Δx Δy Δz : 偏心補正量 (..で計算した値を使用する ) 既知点 ΔX ΔY ΔZ Δx Δy Δz 観測方向図. 偏心点 ΔX ΔY ΔZ b b b 6

27 () 偏心点の座標が未知の場合 X Y = Z X Y ± Z Δx Δy Δz XYZ X Y Z ΔxΔy Δz : 偏心点の座標 ( 地心直交座標系における成分 ) : 既知点の座標 ( 地心直交座標系における成分 ) : 偏心補正量 (..で計算した値を使用する ). 点検計算の許容範囲に使用する閉合差較差及び環閉合差 ΔXΔYΔZ から ΔNΔE ΔU への変換計算.. 既知点間の閉合差 ΔN ΔE =R ΔU ΔX ΔY ΔZ ΔN : 水平面の南北成分の閉合差 ΔE : 水平面の東西成分の閉合差 ΔU : 高さ成分の閉合差 ΔX : 地心直交座標 X 軸成分の閉合差 ΔY : 地心直交座標 Y 軸成分の閉合差 ΔZ : 地心直交座標 Z 軸成分の閉合差 -siφcosλ -siφsiλ cosφ R= -siλ cosλ cosφcosλ cosφsiλ siφ φλは測量地域内の任意の既知点の緯度経度値とする.. 重複辺の較差..の内 ΔXΔYΔZを ΔX: 基線ベクトルX 軸成分の較差 ΔY: 基線ベクトルY 軸成分の較差 ΔZ: 基線ベクトルZ 軸成分の較差.. 基線ベクトルの環閉合差..の内 ΔXΔYΔZを ΔX: 基線ベクトルX 軸成分の環閉合差 ΔY: 基線ベクトルY 軸成分の環閉合差 ΔZ: 基線ベクトルZ 軸成分の環閉合差 7

28 . 三次元網平均計算.. GNSS 基線ベクトル ΔX ΔY = ΔZ X Y Z - X Y Z X i Y i = (N i+h i) cosφ i cosλ i (N i +h i) cosφ i siλ i Z i N i(-e )+h i siφ i i =.. 観測方程式 () 地心直交座標 (XYZ) による観測方程式 Vx δx δx ΔX ΔX ΔX ΔX ΔXb Vy = δy - δy +M ξ ΔY ξ+m η ΔY η+m α ΔY α+ ΔY - ΔYb V δz δz ΔZ ΔZ ΔZ ΔZ ΔZ z ( 補正量 )( 未知量 ) ( 未知量 ) ( 概算値 ) ( 観測値 ) ( 注 ) 測量地域の微小回転を推定しない場合は ξ η αの項は除く b M ξ= M η= -cosλ -siλ cosλ siλ -cosφ -siφ siλ cosφ siφ cosλ siφ siλ -siφ cosλ siφ -cosφ siλ M α= -siφ cosφ cosλ cosφ siλ -cosφ cosλ φλ : 既知点 ( 任意 ) の緯度経度 ξ : 測量地域の南北成分の微小回転 η : 測量地域の東西成分の微小回転 α : 網の鉛直軸の微小回転 () 測地座標 ( 緯度 φ 経度 λ 楕円体高 h) による観測方程式 V V x y =m δφ δλ Vz δh ( 補正量 ) ( 未知量 ) δφ ΔX ΔX ΔX ΔX ΔXb -m δλ +M ξ ΔY ξ+m η ΔY η+m α ΔY α+ ΔY - ΔYb δ h ΔZ ΔZ ΔZ ΔZ ΔZb ( 未知量 ) ( 概算値 ) ( 観測値 ) ( 注 ) 測量地域の微小回転を推定しない場合は ξ η α の項は除く m i = -(M i+h i) siφ i cosλ i -(M i +h i)siφ i siλ i (M i+h i) cosφ i -( N i +h i) cosφi (Ni+h i)cosφi siλi cosλi cosφi cosλi cosφi siλi siφi (i = ) 8

29 .. 観測の重み () 基線解析で求めた値による計算式 P=(Σ Δ X Δ Y Δ Z) - () 水平及び高さの分散を固定値とした値による計算式 Σ ΔXΔYΔZ =R T Σ NEU R P: 重量行列 ΣΔ XΔ YΔ Z: ΔXΔY ΔZの分散共分散行列 d N Σ NEU = d E d U dn : 水平面の南北成分の分散 de : 水平面の東西成分の分散 du : 高さ成分の分散 -siφ cosλ -siφ siλ cosφ R= -siλ cosλ cosφ cosλ cosφ siλ siφ φ λは測量地域内の任意の既知点の緯度経度値とする.. 平均計算 V=X-LP T ( P) X=( T PL) T - X=( P) T PL σ Δ X Δ X σ Δ X Δ Y σ Δ X Δ Z P= σ Δ Y Δ X σ Δ Y Δ Y σ Δ Y Δ Z - σ Δ Z Δ X σ Δ Z Δ Y σ Δ Z Δ Z V: 残差のベクトル : 未知数の係数行列 X: 未知数のベクトル L: 定数項のベクトル P: 重量行列.. 平均計算後の観測値の単位重量当たりの標準偏差 m= V T PV m : 基線数 (m-) : 未知点数..6 未知点座標の平均値の標準偏差 () 地心直交座標 Xの標準偏差 Yの標準偏差 Zの標準偏差 :σx=m :σy=m :σz=m σ Δ X Δ X σ Δ Y Δ Y σ Δ Z Δ Z 9

30 () 測地座標 φの標準偏差 λの標準偏差 hの標準偏差 :σ :σ :σ e h =m =m =m σφφ σ λλ σ hh: 重み係数行列の対角要素 M : 子午線曲率半径 N : 卯酉線曲率半径 σ φφ σ λλ σ hh ( M +h) ( N+h) cosφ. ジオイド高算出のための補間計算 N g =(-t)(-u)n g(i) +(-t)u N g(i+) +t(-u)n g(i+) +t u N g(i++) φi λ Ng φ λ N g (i ) :i 格子の緯度 : 格子の経度 :( i) 格子のジオイド高 : 求点の緯度 : 求点の経度 : 求点のジオイド高 t= φ-φ i φ i+-φ i λ-λ u= λ + -λ N g(i+) N g(i++) N g N g(i) N g(i+) 図. ( 注 ) 求点のジオイド高は求点を最も近く取り囲む格子のジオイド高から求める. 本計算式のほかこれと同精度もしくはこれをうわまわる精度を有することが確認できる場合には当該計算式を使用することができる

31 水準測量. 観測比高に対する補正計算 h=δh+δc+δg h : 高低差 (m 単位 ) ΔH : 観測高低差 (m 単位 ) ΔC : 標尺補正量 (m 単位 ) ΔG : 正標高補正量 (m 単位 ). 標尺補正計算 ΔC= C +(T-T ) α ΔH ΔC : 標尺補正量 (m 単位 ) C : 基準温度における標尺改正数 ( 単位長さあたりの補正量 )(m 単位 ) T : 観測時の測定温度 ( 単位 ) T : 基準温度 ( 単位 ) α : 膨張係数 ΔH : 観測高低差 (m 単位 ). 正規正標高補正計算 ( 楕円補正 ) K=.8 si(b +B ) B-B ρ H K : 正規正標高補正量 ( mm 単位 ) BB : 水準路線の出発点及び終末点 ( 又は変曲点 ) の緯度 ( 分単位 ) H : 水準路線の平均標高 (m 単位 ) ρ = 8 π 6. 正標高補正計算 ( 実測の重力値による補正 ) ΔH ΔG= gi+g Hi (Gi-γ) H (G-γ) -γ + - γ γ γ ΔG : 正標高補正量 (m単位) g i g : 水準点 i における重力値 ( 地表重力値 mgal 単位 ) ΔH : 水準点 i からの観測高低差 (m 単位 ) γ : mGal( 緯度における正規重力値 mgal 単位 ) HiH : 水準点 i における標高 ( 正標高 m 単位 ) Gi G : 水準点 i における鉛直平均重力値 (mgal 単位 ) ( 地表からジオイド面までの平均重力値 ) Gi=g i+.hi G=g +.H

32 . 水準測量観測の標準偏差 m = Σ U i S i m :km当たりの観測の標準偏差( mm単位 ) Ui : 各鎖部の往復差 ( mm単位 ) Si : 各鎖部の距離 ( km単位 ) : 鎖部数. 水準網平均計算. 観測方程式による場合.. 観測方程式 υ=-x +x -( H-H+ΔH ) P υ=-x +x -( H-H+ΔH ) P υi =-x i+x -( Hi-H+ΔHi) Pi HiH : 水準点 i の仮定標高 x i x : 水準点 i の仮定標高に対する補正値 ΔHi : 水準点 i 間の観測高低差 υi : 水準点 i 間の観測高低差の残差 Pi : 水準点 i 間の観測高低差の重量行列表示にすると V=X-L P V: 残差のベクトル X: 未知数 ( 仮定標高に対する補正値 ) のベクトル : 未知数の係数の行列 L: 定数項のベクトル P: 重量の行列各マトリックスベクトルの内容は次のとおり V= (m ) υ υ : : υ m = (m ) a a a a a a a m a m a m x l p X = () x : : x L= (m) l : : l m P = (mm) p p m

33 υk :k 番目に関するυi l k :k 番目に関する ( Hi-H +ΔH i) pk :k 番目に関するPi P i= Si Si: 水準点 i 間の路線長.. 正規方程式 ( T P) X= T PL X=( T P) - T PL.. 平均の結果 () 単位重量当たりの観測の標準偏差 (m ) m= V T PV m- m: 観測方程式の数 : 未知数の数 () 未知点の平均標高の標準偏差 M =m q M =m q M =m q q q q Q=( T P) - = ( ) q q q q q q. 条件方程式による場合.. 条件方程式 b υ+b b b r υ+b υ+b r υ+ b υ+ b υ+ b m m rm ω: 環閉合差 υ: 路線の高低差の補正量行列表示にすると BV+W = B: 未知数の係数の行列 V: 残差のベクトル W: 閉合差のベクトル υm+ω= υ +ω= m υ +ω = m r

34 各マトリックスベクトルの内容は次のとおり b b bm υ ω B= (r m ) b b b m br br brm V= (m ) υ : : υ m W= (r ) ω : : ω r.. 相関方程式 V=(BP - ) T K P - = (mm) /P /P k /P m K = (r) k : : K: 相関係数 ( 未定係数 ) のベクトル.. 正規方程式 - ( BP B T ) K+W= K=-( BP - T B ) - W.. 平均の結果単位重量当たりの観測の標準偏差 k r m= -K T W r r: 条件方程式の数. 変動補正計算 Δh= ΔH-ΔH T -T (T-T ) Δh :ΔHに対する変動補正量 T : 旧観測月日 T : 新観測月日 T : 統一する月日 ΔH:Tにおける観測高低差 ΔH:Tにおける観測高低差

35 . 渡海水準測量の計算. 交互法の計算.. 自動レベル及び気泡管レベルの場合 ΔH= m a i- b m i= = ΔH : 高低差 ai : 自岸の読定値 b : 対岸の読定値 m: 読定回数.. 電子レベルの場合.. の計算式を用いる. 経緯儀法の計算.. 反射鏡高の計算 f=l+δh Δh=mr-mm f : 点の反射鏡高 l : 点の標尺のcm 位までの読み値 Δh: マイクロメータの読みの差 mr : 標尺のマイクロメータの読み値 mm : 反射鏡のマイクロメータの読み値 B 点の反射鏡高 f B も同様に求める標尺 Δh 図. ミラー.. 高低差の計算 β i β α i i 点 B 点 (i -i ) taβ i = +i taβ -taβ ΔH=D siα+i -f 図. ΔHB=DB siαb+i B-f ΔH=(ΔH-ΔHB)/ ( 注 )B 点の i B は i と同様に計算で求める B

36 ただし ΔH : 点とB 点の高低差 ΔH : 点から求めた高低差 ΔHB :B 点から求めた高低差 i ib : 点及びB 点の器械高 i i : 点の標尺目盛 ib ib :B 点の標尺目盛 f f B : 点及びB 点の反射鏡高 β β : 点の標尺目盛の測定値 ( 高低角 ) βb βb :B 点の標尺目盛の測定値 ( 高低角 ) ααb : 高低角 D D : 器械から反射鏡までの斜距離 B.. 高低角観測のみによる同時観測 ( 標尺使用 ) β α i β α hb i hb i hb 点 B 点 i = (i -i ) taβ +i taβ -taβ ΔH=i -h B ΔHB=i B-h ΔH=(ΔH -ΔH B)/ 図. (hb-hb) taα h B= +hb taα -taα ( 注 )B 点の i B h については i hb と同様に計算で求める ΔH : 点とB 点の高低差 ΔH : 点から求めた高低差 ΔHB :B 点から求めた高低差 i i B : 点及びB 点の器械高 i i : 点の標尺目盛 hhb : 点及びB 点の計算目標高 hbhb :B 点の目標板の標尺目盛 β β : 点の標尺目盛の測定値 ( 高低角 ) αα:b 点の目標板の測定値 ( 高低角 ) 6

37 . 俯仰ねじ法の計算 m l l m l l m 点 B 点図. l =l +( l -l m -m ) m -m m B-m B l B=l B+( l B-l B) m B-m B ΔH=l -l ΔHB =l B-l B ΔH=(ΔH-ΔHB)/ ΔH : 点での高低差 ΔHB l l m m m l l l m m l l B B B B B l B m B :B 点での高低差 : 点からB 点を観た際の下段上段目標板位置の標尺目盛 : 点から B 点を観た際の下段上段目標板測定値 ( 俯仰ねじ目盛 ) : 点からB 点を観た際の気泡合致の時の測定値 ( 俯仰ねじ目盛 ) : 点における後視標尺 ( 自岸標尺 ) の読定値 : 点における前視標尺 ( 対岸標尺 ) のm に対する標尺目盛 :B 点から点を観た際の下段上段目標板位置の標尺目盛 :B 点から点を観た際の下段上段目標板測定値 ( 俯仰ねじ目盛 ) :B 点から点を観た際の気泡合致の時の測定値 ( 俯仰ねじ目盛 ) :B 点における後視標尺 ( 自岸標尺 ) の読定値 :B 点における前視標尺 ( 対岸標尺 ) の m B に対する標尺目盛. 標準偏差の計算.. セット観測の標準偏差 mt= Σδi -.. 平均値の標準偏差 M t= Σδ i (-).. 器械の配置別標準偏差の平均値 m t=(m+ +mp)/p 7

38 m t :セット観測の標準偏差 M m t : 器械の配置別標準偏差の平均値 δi :ΔHi-ΔH ΔHi : 各セトの高低差 ΔH : 各セットの高低差の平均値 : セット数 : 器械の配置別の数 p t : 平均値の標準偏差. 直接水準渡海水準測量の路線の混合する環の平均 P :P= m =m m : m S P W V=- P +P P V =- P+P P : 直接水準測量の重量 P : 渡海水準測量の重量 m : 直接水準測量の標準偏差 m :.6mmとする S : 直接水準測量の路線長 ( km 単位 ) m : 渡海水準測量の平均値の標準偏差 W : 環閉合差 VV : 直接水準渡海水準測量路線への補正量 6. 本計算式のほかこれと同精度もしくはこれをうわまわる精度を有することが確認できる場合には当該計算式を使用することができる W 8

基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第条に定める楕円体の値による長半径 a = 6787 扁平率 f = 楕円体の諸公式 a(-e ) a M = N = W W R = M N = b W W= -e s φ a-b f=

基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第条に定める楕円体の値による長半径 a = 6787 扁平率 f = 楕円体の諸公式 a(-e ) a M = N = W W R = M N = b W W= -e s φ a-b f= 計算式集付録 6 基準点測量. 楕円体の原子及び諸公式. 楕円体の原子地球の形状及び大きさについて測量法施行令第条に定める楕円体の値による長半径 a = 6787 扁平率 f = 98.7. 楕円体の諸公式 a(-e ) a M = N = W W R = M N = b W W= -e s φ a-b f= =- a -e = F b=a -e a(f-) =a( -f)= F e= a