数学 Ⅲ 無限等比級数の問題解答 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は ( 答 ) であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって

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1 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって 収束し その和は < の無限等比級数 であるから 初項 < 公比 <の無限等比級数となっている (4) のとき を具体的に書き出してみる までで定まったパターンが出てきており 今後はこのパターンの繰り返しになるから ( ) のときは ( ) のときは ( ) のときは と表せる これを使うと ( ) のときは の値は 0 となって いるから 無限級数の項を考えるときは必要ないので ( ) と ( ) のときのみ考えて計算する であるから 初項 < 公比 <の -1-

2 無限等比級数となっている よって 収束し その和は (5) のとき を具体的に書き出してみる までで定まったパターンが出てきており 今後はこのパターンの繰り返しになるから ( )( ) のときは ( ) のときは ( ) のときは と表せる これを使うと ( )( ) のときは の値は 0 となっているから 無限級数の項を考えるときは必要ないので ( ) と ( ) のときのみ考えて計算する であるから 初項 < 公比 <の無限等比級数 となっている よって 収束し その和は (6) の無限等比級数より収束しその和は の無限等比級数より収束しその和は ここで これより は初項 公比 は初項 公比 -2-

3 (7) に発散し となっているから ここで は初項 公比 の無限等比級数より は初項 公比 の無限等比級数より収束しその和は は発散する 問 2 次の (1) は循環小数を既約分数に (2)(3) は式の値を循環小数で表せ (1) (2) (3) ( 解 )(1) ( 簡便法 ) より 1 とおく 1 の両辺に を掛けると 2 21 より よって (2) (3) -3-

4 問 3 次の無限等比級数の収束 発散を調べ 収束するものはその和を求めよ (1) (2) ( 解 )(1) 与えられた無限等比級数は初項 であり 公比 がすぐわからないので計算してみる これは となっているので この無限等比級数は収束しその和は (2) 与えられた無限等比級数は初項 であり 公比 がすぐわからないので計算してみる これは となっているので この無限等比級数は収束しその和は 問 4 次の無限等比級数が収束するような実数 の値の範囲とそのときの和を求めよ (1) ( ただし) (2) ( 解 )(1) 無限等比級数の収束条件は 初項が 0 か -1< 公比 <1 であったから このことを調べてみる 与えられた無限等比級数の初項は 公比は であるから 1 または より のとき つまり のとき 各辺に を掛けて かつ よって 2 次に のとき つまり のとき 各辺に を掛けて かつ よって より求める実数 の値の範囲は 和は (2) 無限等比級数の収束条件は 初項が 0 か -1< 公比 <1 であったから このことを調べてみる 与えられた無限等比級数の初項は 公比は であるから 1 または より これより かつ 2 これより よってこの場合の範囲は -4-

5 12 より求める実数 の値の範囲は 和は 問 5 座標平面上で 動点 P が原点 O を出発して右図のように ずつ向きを 変えながら と動くき 次の問いに答えよ ただし P とする (1) 動点 P が近づいていく点の座標を求めよ (2) を求めよ ( 解 )(1) 点 Pの近づいていく点を とすると よって ゆえに 動点 P が近づいていく点の座標は (2) 線分の長さを順に調べる であるから となっているので この無限等比級数は初項 1< 公比 <1 となっているから収束し その和は 問 6 無限に続く正方形の列 があり は に内接し している の1 辺の長さが 1のとき すべての正方形の面積の和を求めよ の各頂点は の各辺を に内分 -5-

6 ( 解 ) 正方形 と の各一辺を とおくと面積は と表せる の各頂点は の各辺を に内分 しているから となる そこで右図のように ABC に三平方の定理を適用して よって 1 が成立している 1より数列 は初項 公比 の等比数列となるので 一般項は よって である ( は比を表す ) 問 7 1 辺の長さが 1の正三角形 ABCの内接円を とし C に外接し 辺 AB,AC に接する円 さらに に外接し 辺 ABAC に接する円を 以下同様にして 円 を作るとき, 円の面積の総和を求めよ A B ( 解 ) 円 と との関係を調べる 円 の半径を 円 の半径を とおく 右図において正三角形 ABCより A= で と は 円 と に接しているから と また よって は平行であるから で三角比を考えると 1-6-

7 また 2 とも表せる 1=2 より 分母を払って整理すると これより どんな円も相似であるから円 と円 の面積の比は これより 3 右図より において三角比を考えると 収束しその和は これより これより は初項 公比 の無限等比級数となっているから 問 8 右図の三角形 ABC は である 三角形 ABCに内接する円を とし 次に円 と辺 に接する円を とする 以下図のように順に を作図する 円 の半径を 面積を とするとき 次の問いに答えよ (1) を求めよ (2) を求めよ (3) を で表せ (4) を で表せ (5) を求めよ ( 解 )(1) 三角形 ABCに三平方の定理より が成り立っているから よって これより よって (2) 直角三角形 ABC で三角比を考えると 正弦の半角の公式より -7-

8 Bは直角三角形の内角より これより よって 1 (3) 右図から直角三角形 において ( であり より同位角は 等しいので ) 直角三角形 で三角比を考えると 2(1 より ) 2より これより 3 (4) を で表すことを考えると (3) とまったく同様に考える そのため円 を円 円 を円 とみなし 半径 を半径 半径 を半径 とみなせばよい よって 4が成立する ところですべての円は相似であるから相似比 は 4 より となる 相似な図形の面積比より となる ゆえに 5 (5)5 より は初項 公比 の無限等比級数となっているから 収束しその和は 問 9 右図のように の直角二等辺三角形の内部に内接する正方形をつくり その面積を順に とする 次の問いに答えよ (1) を求めよ (2) を で表せ (3) を 求めよ -8-

9 ( 解 )(1) 右図から ADE は直角二等辺三角形であるから AD=DE 1 一方 面積が である正方形では DE=DB 2 これより よって 1=2 より AD=DB (2) 右図において (1) と同様に とおくと となる 正方形どうしは必ず相似になるから面積が と の正方形どうしは相似となり その正方形の相似比は これより正方形の面積比は (3)(2) の結果より 数列 は初項 公比 の等比数列となっている これより は初項 < 公比 <の無限等比級数となっている よってこの無限等比級数は収束し その和は -9-