THE HARRIS SCIENCE REVIEW OF DOSHISHA UNIVERSITY, VOL. 57, NO. 4 January 2017 An Extension of Kocic-Ladas s Oscillatory Theorem Concerning Difference

Size: px

Start display at page:

Download "THE HARRIS SCIENCE REVIEW OF DOSHISHA UNIVERSITY, VOL. 57, NO. 4 January 2017 An Extension of Kocic-Ladas s Oscillatory Theorem Concerning Difference"

きみかずいさやま
5 years ago
Views:

1 THE HARRIS SCIENCE REVIEW OF DOSHISHA UNIVERSITY, VOL. 57, NO. 4 January 2017 An Extension of Kocic-Ladas s Oscillatory Theore Concerning Difference Equations Satoshi ITO, Seiji SAITO* (Received October 20, 2016) In this article we consider the following non-linear difference equation and a linear difference equation y(n 1) y(n) p i y(n k i ) 0. And also we give an extension of Kocic and Ladas s oscillatory theore of the the above non-linear difference equation. i 1 Key words:oscillatory theore, linear difference equation, non-linear difference equation キーワード : 振動性定理, 線形差分方程式, 非線形差分方程式差分方程式に関する Kocic-Ladas の振動性定理の拡張伊藤慧, 齋藤誠慈 1. はじめに微分方程式および差分方程式の振動理論は, 種々の生物学, 経済学, 物理学, 生理学, 工学, 生態学への応用として重要である 1-11). 次の非線形差分方程式 (1) のすべての解が振動するときの必要十分条件は, 線形差分方程式のすべての解が振動することである ( 定理 KL) 7). ただし, 1, および k > > k 1 0 は整数, k = ax{ k 1,, k },Z + = {0,1,2, }, 実数全体を R とし, 次の条件 (3) - (8) が課されている 7). 関数 f : R R は連続微分可能で,(u 1,, u ) R に関し f(u 1,, u ) 0 for u 1 0,, u 0; (3) f(u 1,, u ) 0 for u 1 0,, u 0; (4) f(u,, u)= 0 となるのは u = 0 に限る ; (5) 各偏微分 D i f(0,, 0)= p i >0, (2) ある δ > 0 が存在し, (6) * Departent of Matheatical Sciences, Doshisha University, Kyoto Telephone: , FAX: , E-ail: ssaito@ail.doshisha.ac.jp ( 71 )

2 284 伊藤慧齋藤誠慈るという. すなわち, 振動解 { x(n) } とは, 任意の整 (7) for u 1,, u [0,δ]; 数 n に対して, ある 2 整数 M 1 = M 1 (n) n,m 2 = M 2 (n) n が存在して x(m 1 ) 0, かつ,x(M 2 ) 0 を意味する. (7) の δ に関して, 3.Kocic - Ladas の結果 (8) for u 1,, u [-δ,0]. 先行研究 7) では, 常微分方程式 x (t) = f(t,x) の一次近似 x(t + h) - x(t) = hf(t,x) の解析は重要とみなし, 式差分方程式 (1),(2) に対して, 条件 (6) の下, 次の補題 1 1), 補題 2 7) が用いられ, 定理 KL 7) が得られている. 補題 1 関数 P: i Z + R ( i =1,2,, ) は連続で, n Z + のとき差分不等式は (1) の知見を得ている.F C 2 (R 2 ) は平衡点 (x,y)=(0,0) を持つ :F(0,0) = 0. このとき 3 項差分方程式 x(n+1) = F(x(n), x(n - 1)) を一次近似と剰余項を用いて表す. テイラーの定理から F(x, y) F x (0,0)x F y (0,0)y x 2 F xx ( x, y) 2xyF xx ( x, y) y 2 F yy ( x, y) を得る.θ=θ(x,y) は (x,y) に依存し 0 < θ < 1. よって差分方程式は x(n 1) F x (0, 0)x(n) F y (0, 0)x(n 1) x(n) 2 F xx 2x(n)x(n 1)F xy x(n 1) 2 F yy となる. 係数 F x (0,0) = 1 のとき式 (1) を得るが,F x (0,0) (9) と式 (2) に関して, 次の条件 li P i (n) p i 0 (P) n が成り立つとする. このとき, 差分不等式 (9) が eventually positive 解を持てば, 線形差分方程式 (2) も eventually positive 解を持つ. 証明は,k = 0 と k > 0 の場合に分ける. 補題 2 条件 (6) の下, ある N 1 1 が存在し,n = 0,, N 1-1 のとき線形差分方程式 = α として解析するのが自然である. よって本研究では, 式 (1) を拡張した式 (1) を解析する ( 第 4 章を参照 ). (10) の解 {C(n) : - k n N1} は,θ> 0 で初期条件 2. 振動解に関する諸定義差分方程式の解 { x(n) : n Z + } が点 x* に関し C(n) = θλ n (- k n 0) を満たす. また, 式 (2) の特性方程式て,eventually positive とは, ある整数 N が存在して, 任意の整数 n N のとき x(n) - x* > 0 であることをいい,{x(n)} が点 x* に関して,eventually negative とは, ある整数 N が存在して, 任意の整数 n N は正の解をもつと仮定する. このとき,C(n) θλ n ( 1 n N 1 ) が成り立つ. のとき x(n) - x* < 0 であることをいう. 解 { x(n) } が点 x* に関して, 振動する ( 振動的 ) とは x* に関証明は,n に関する数学的帰納法を用いる. して,eventually positive でも eventually negative でもないことをいう.x* = 0 のとき, 単に解は振動す 4. 本研究で得られた結果 ( 72 )

3 Oscillatory Theore 285 本研究では 0 < α 1 として, 見やすい表現を得るために非線形差分方程式 (1) において k i = i (i =0,1,2,..,) ( Z + ) に変えて, 次の非線形差分方程式を考察した. (1) (n Z + ) と線形差分方程式 (2) (n Z + ) に関する振動定理を得た. 次の条件 (3) - (8) を仮定する 7). 関数 f : R +1 R は連続微分可能で,(u 0,, u ) R +1 に関し f(u 0,, u ) 0 for u 0 0,, u 0; (3) f(u 0,, u ) 0 for u 0 0,, u 0; (4) f(u,, u)=0 となるのは u = 0 に限る ; (5) 各偏微分 D i f(0,,0) = p i >0, p i α. (6) ある δ > 0 が存在し, (7) for u 0,, u [0,δ]; (7) の δ に関して, 証明は, 補題 1 と同様である. 定理 2( 補題 2 の拡張 ) 条件 (6) の下, ある N 1 1 が存在し,n = 0,1., N 1-1 のとき線形差分方程式 (10) の解 { C(n) : - n N 1 } は,θ > 0 として初期条件 C(n) = θλ n (- n 0) を満たしている. また, 式 (2) の特性方程式は, 正の解をもつと仮定する. このとき,C(n) θλ n ( 1 n N 1 ) が成立する. 証明は, 補題 2 と同様である. 定理 3 ( 定理 KL の拡張 ) 0 < α 1 として, 非線形差分方程式 (1) と線形差分方程式 (2) につき, 条件 (3) - (8) が成り立つ. このとき式 (1) のすべての解が振動することの必要十分条件は, 式 (2) のすべての解が振動することである. (8) for u 0,, u [-δ,0]. 定理 1( 補題 1の拡張 ) 0 < α 1,i = 0,1,, として, 条件 (6) と (P) の下, 関数 P i : Z + R ( i = 0,1,, ) は連続で,n Z + のとき差分不等式は (9) と (2) に関して, 条件 (P) が成り立つとする. このとき, 差分不等式 (9) が eventually positive 解を持てば, 線形差分方程式 (2) も eventually positive 解を持つ. 証明は, 定理 1,2 を用いる. すべての証明は量的な問題もあるため他の機会に述べる. 5. 例次の 3 項差分方程式を考える. x(n 1) 1 x(n) sin x(n 1) sin x(n 2) 0 2 (E) p 1 = p 2 = 1,α=1/2,f(x,y) = sinx + siny for x 1, y 1 とすればよい. 上式に Kocic-Ladas の定理は応用できない. 数値シミュレーションは Fig.1 のとおり. 初期値 x(-2) = , x(-1) = , x(0) = としている. 整数 n 大で横軸に漸近するようであるが, 数値 ( 73 )

286 伊藤慧齋藤誠慈を確認すると,-2 n 100 では振動していることがわかる. Fig. 1. The Graph of Eq. (E) in - 2 n 100. Table 1. Values of x(n) in - 2 n 19.

その意味は,p q = 0 に対応する項 x(n - k q ) を最初から排除して考察している. すなわち,k i = i とし f (x(n), x(n 1),.

しかしそのためにかえって, 補題 1, 2, および定理 KL は内容が判りにくい印象を与えている. 本研究ではその印象を避けるために, 表示 (R) を用いた. そして, 条件 (P) の下で証明するために, 式 (1) の関数 f のクラスはいくらか狭い集合となる.

x(n 1) Ax(n)(1 B i x(n i) ), ただし A > 1,B i > 0 (i = 0,1,, ) として, 次式 y(n 1) y(n) A(y(n) x*) B i y(n i) 0 に変換し定理 KL は応用される.

4 286 伊藤慧齋藤誠慈を確認すると,-2 n 100 では振動していることがわかる. Fig. 1. The Graph of Eq. (E) in - 2 n 100. Table 1. Values of x(n) in - 2 n 19. 課題 1 Kocic-Ladas 7) の研究では, 式 (1) の f (x(n k 1 ),,..., x(n k )) においてその一次近似の係数に関し, 非線形差分方程式 (1) に対応する線形差分方程式 (2) では,p i > 0 と仮定した. その意味は,p q = 0 に対応する項 x(n - k q ) を最初から排除して考察している. すなわち,k i = i とし f (x(n), x(n 1),..., x(n )) (R) (i = 0,1,, ) と表示をするとき, その P j (n) に関し li P i (n) p i 0 (P) n となる条件を許して, 式 (1) は幅広いクラスの関数 f を含んでいる. しかしそのためにかえって, 補題 1, 2, および定理 KL は内容が判りにくい印象を与えている. 本研究ではその印象を避けるために, 表示 (R) を用いた. そして, 条件 (P) の下で証明するために, 式 (1) の関数 f のクラスはいくらか狭い集合となる. 今後は定理 1-3 の証明に工夫を加えて, 表示 (R), 条件 (P) の下で振動性定理の成立を示すことを目指す. 課題 2 従来の研究 1,9,10) では, 差分方程式 Table 2. Values of x(n) in 20 n 35. x(n 1) Ax(n)(1 B i x(n i) ), ただし A > 1,B i > 0 (i = 0,1,, ) として, 次式 y(n 1) y(n) A(y(n) x*) B i y(n i) 0 に変換し定理 KL は応用される. なお整数 - 2 n 10 では x(n) >0, 整数 11 n 19 では x(n) < 0 である (Table 1 参照 ). 整数 20 n 30 では x(n) > 0, 整数 31 n 35 では x(n) < 0 となる (Table 2 参照 ). 整数 n 100 においては,x(n) は正負を振動していることが数値で確認できる. 6. 今後の課題 x* (A 1) / (A B i ) は平衡点である. 今後は, 例えば非線形差分方程式 y(n 1) y(n) A(y(n) x*) B i y(n i) (α 1) なる例などのニューラルネットワーク等に対し本研究の定理 3 の応用を目指すことも意義がある. 参考文献 ( 74 )

5 Oscillatory Theore 287 1) A. Brown, A Second Order Non-linear Recurrence Relation, Proc. Of Goeffrey T. Buttler Meorial Conference on Difference Equations and Population Biology, p 34 (1988). 2) I. Gyori and G. Ladas, Linearized Oscillations for Equations with Piecewise Constant Arguents, Differential and Integral Equation 2, (1989). 3) I. G. Ladas, Explicit Conditions for the Oscillation of Difference Equations, J. Math., Anal., 153, ) G. Ladas, Recent Developent in the Oscillation of Delay Difference Equations, International Conference in Differential Equations; Theory and Applications in Stability and Control(1989). 5) I. Gyori, G. Ladas, Oscillation Theory of Delay Differential Equations, Oxford Matheatical Monographs, Clarendon Press, London(1991). 6) I. Gyori, G. Ladas, and L. Pakula, Conditions for the Oscillation of Difference Equations with Applications to Equations with Piecewise Constants Arguents, SIAM J. Math. Anal. 22, (1991). 7) G. Ladas, Ch. G. Philos and Y. G. Sficas, Necessary and Sufficient Conditions for the Oscillation of Difference Equations, Libertas Math. 9, (1989). 8) V. L j. Kocic and G. Ladas, Linearized Oscillations for Difference Equations, Hiroshia Math. J. 22, (1992). 9) M. C. Mackey and L. Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systes, Science 197, (1977). 10) Y. Morioto, Bifurcation Diagra of Recurrence Relation X(t +1) = AX(t)(1 X(t) X(t - 1) X(t - 2)), J. Phys., Soc. Japan 53, (1983). 11) Y. Morioto, Variation of Bifurcation Diagra in Difference Equation X(t + 1) = AX(t)(1- X(t) - BX(t - 1)), to appear. ( 75 )

ohp_06nov_tohoku.dvi

ohp_06nov_tohoku.dvi 2006 11 28 1. (1) ẋ = ax = x(t) =Ce at C C>0 a0 x(t) 0(t )!! 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10-0.2 (1) a =2 C =1 1. (1) τ>0 (2) ẋ(t) = ax(t τ) 4 2 2 4 6 8 10-2 -4 (2) a =2 τ =1!! 1. (2) A. (2)