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しなつあんさい
4 years ago
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1 研究室紹介卒業研究テーマ紹介木村拓馬佐賀大学理工学部知能情報システム学科第 2 研究グループ第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 1/15

2 木村の専門分野応用数学 ( 数値解析最適化 ) 内容 : 数学 + 計算機数学の理論に裏付けされた良い計算方法良さを計算機で検証する方法について研究目標はでかい速い正確第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 2/15

3 卒業研究のテーマ ( 例 ) 精度保証付き数値計算計算機で計算したときの精度を保証 ( どれくらい正しいのか?) テーマによっては, 皆本研究室と協力最適化法条件の下で, 目的に最も適したモノをみつけるモデリング, 近似解法の改良開発, 応用 ( 実際のデータに適用 ) その他の数値解析 ( 応相談 ) 例 : 今年指導したテーマ球面座標系で FEM Surface Fitting 熱方程式に対する精度保証付き数値計算法の改良 ( 線形相補性問題の精度保証付き数値解法の開発 ) ( 二次計画問題の数値解に対する誤差評価法の開発 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 3/15

Kimura: Finite element surface fitting for bridge management, International Journal of Information Technology

4 例 : 最適化回帰曲面与えられたデータとの差が最も小さい滑らかな曲面を求めるテーマの例 : 大量のデータ FEM Surface Fitting (Chen and Kimura, 2006) 計算量が大きいので近似計算方法を工夫データの性質に合わせて座標系を変更してみるノルム ( 距離の測り方 ) を変更してみる [1] X. Chen and T. Kimura: Finite element surface fitting for bridge management, International Journal of Information Technology & Decision Making, Vol. 5, pp , [2] 川﨑典子 : 球面座標系でのSurface Fitting, 佐賀大学卒業論文, 第 2 研究グループ-- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 4/15

Kimura: Finite element surface fitting for

5 例 : 最適化産学連携 : 土木コンサルのため観測データから周辺の様子を推定アメダス観測地点環境データが欲しい地点 2005 年の年間積雪量 (cm) 2005 年の年間最高最低気温の差 ( ) 2005 年の年間降水量 (mm) [1] X. Chen and T. Kimura: Finite element surface fitting for bridge management, International Journal of Information Technology & Decision Making, Vol. 5, pp , 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 5/15

6 精度保証付き数値計算とは与えられた問題 ( 数学モデル ) の解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を丸め誤差の厳密評価を含めて特定する算法 [3,4] [3] 広中平祐 ( 編 ): 現代数理科学事典 ( 第 2 版 ), 丸善, [4] 中尾充宏渡部善隆 : 実例で学ぶ精度保証付き数値計算 --- 理論と実装 ---, サイエンス社, 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 6/15

7 精度保証付き数値計算とは与えられた問題 ( 数学モデル ) の解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を丸め誤差の厳密評価を含めて特定する算法 [3,4] 誤差を厳密に評価 [3] 広中平祐 ( 編 ): 現代数理科学事典 ( 第 2 版 ), 丸善, [4] 中尾充宏渡部善隆 : 実例で学ぶ精度保証付き数値計算 --- 理論と実装 ---, サイエンス社, 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 6/15

8 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 7/15

9 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 8/15

10 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 9/15

11 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 10/15

12 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 11/15

13 例 : 身近な計算誤差 Android の電卓 ? 誤差が混入して ( 電卓によって計算結果が違う ) ( 電卓によっては丸めて表示 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 7/15

14 例 : 丸め誤差の厳密評価計算機 : ( ふつう ) 決まった形式の, 有限桁の数値を扱う全ての実数は表現できない表現できない数は丸める ( ズレる ) 丸め誤差丸め誤差を把握誤差誤差計算機で表現可能な値計算機で表現できない数 1/3 計算機で表現可能な値 CPU のモード変更 : どちらを計算するか制御できる 1/3 の上限下限を計算できる誤差が把握できる第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 8/15

15 研究テーマ : 精度保証付き数値計算ふつう数値計算では誤差が生じるが工夫すれば誤差は把握できる CPU の丸め方向を制御 ( 最近点丸めの事前誤差評価 ) 機械区間演算計算機でも数学的に正しく計算できるうまく応用すれば高信頼数学的に厳密な数値シミュレーション計算機で数学の証明研究テーマ ( 例 ) 誤差評価の方法を開発既存の計算方法を改良実装最適化問題連立方程式微分方程式など第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 9/15

誤差評価法の開発 : 微分方程式線形熱方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間 : 真の解ある数値解に対する誤差評価式を導出 0.00050359380 応用して, 非線形放物型問題に対する解の存在を計算機で証明 : 数値解とは刻み幅 [5] M.T. Nakao, T. Kimura and T.

16 誤差評価法の開発 : 微分方程式線形熱方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間 : 真の解ある数値解に対する誤差評価式を導出応用して, 非線形放物型問題に対する解の存在を計算機で証明 : 数値解とは刻み幅 [5] M.T. Nakao, T. Kimura and T. Kinoshita: Constructive a priori error estimates for a full discrete approximation of the heat equation, SIAM Journal on Numerical Analysis, 51, pp , [6] 末廣勇八 : 放物型方程式に対する精度保証付き数値計算法の改良, 佐賀大学卒業論文, 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 10/15

計算機による解の存在証明 : 微分方程式非線形放物型偏微分方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間非線形方程式 : 数値解を中心とした集合の内部に解が存在することを計算機で証明 [12] T Residual α 2.0 2.63E 02 1.53E 02 4.0 5.26E 02 3.26E 02 6.0 7.89E 02 5.88E 02 [7] T. Kinoshita, T.

17 計算機による解の存在証明 : 微分方程式非線形放物型偏微分方程式 : 有界多面体領域 : 有界区間非線形方程式 : 数値解を中心とした集合の内部に解が存在することを計算機で証明 [12] T Residual α E E E E E E 02 [7] T. Kinoshita, T. Kimura and M.T. Nakao: On the a posteriori estimates for inverse operators of linear parabolic equations with applications to the numerical enclosure of solutions for nonlinear problem, Numerische Mathematik, 126, pp , 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 11/15

18 誤差評価法の開発 : 連立方程式誤差と残差の関係式を見つけて精度保証付き数値計算例 ) 線形連立方程式真の解 0 数値解は残差 ( 誤差によるズレ ) このとき誤差と残差の関係よって誤差評価式精度保証されていない方程式にチャレンジ良い計算方法を開発する速い正確大きい ( 例 : 記憶領域量が小さい計算方法 ) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 12/15

19 誤差評価法の開発 : 連立方程式線形鞍点問題 min.. 0 定理 [8] :, 0, : とおく. 対称半正定値列, 列, とはフルランク, が対称正定値列となる列とする.,, に対し, max, 対称正定値 : 簡単速く精度保証付き数値計算できる [8] T. Kimura & X. Chen: Validated solutions of saddle point linear systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 30, pp , [9] R. Kobayashi, T. Kimura, S. Oishi: Validated Solutions for Symmetric Saddle Point Linear Systems, JSST Annual Conference, 第 2 研究グループ-- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 13/15

20 誤差評価 : Stokes 方程式の有限要素近似解 ( Example 4.3 in [8]) 速い大きい正確 [8] T. Kimura & X. Chen: Validated solutions of saddle point linear systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 30, pp , IBM PC (3.0 GHz Pentium 4 processor, 1GB of memory) with the use of MATLAB 7.0 and INTLAB (Version 5.4) 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 14/15

21 誤差評価法の開発 : 連立方程式線形鞍点問題 min.. 定理 [9] 2 max, 陳橋本 [10] 以外の計算は共通両方計算して, 精度の良い方をとるここで : [9] R. Kobayashi, T. Kimura, S. Oishi: Validated Solutions for Symmetric Saddle Point Linear Systems, JSST Annual Conference, [10] X. Chen, K. Hashimoto: Numerical Validation of Solutions of Saddle Point Matrix Equations, Numer. Linear Algebra Appl.,10: , 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 15/15

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Microsoft PowerPoint - NA03-09black.ppt きょうの講義数値記号処理 2003.2.6 櫻井彰人 NumSymbol@soft.ae.keo.ac.jp http://www.sakura.comp.ae.keo.ac.jp/ 数値計算手法の定石多項式近似 ( 復習 )» 誤差と手間の解析も漸化式» 非線型方程式の求解数値演算上の誤差数値計算上の誤差打ち切り誤差 (truncaton error)» 使う公式を有限項で打ち切る