整数と有理数の狭間で

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1 本 資 料 のご 利 用 にあたって( 詳 細 は 利 用 条 件 をご 覧 ください) 本 資 料 には 著 作 権 の 制 限 に 応 じて 次 のようなマークを 付 しています 本 資 料 をご 利 用 する 際 には その 定 めるところに 従 ってください *: 著 作 権 が 第 三 者 に 帰 属 する 著 作 物 であり 利 用 にあたっては この 第 三 者 より 直 接 承 諾 を 得 る 必 要 があります CC: 著 作 権 が 第 三 者 に 帰 属 する 第 三 者 の 著 作 物 であるが クリエイティブ コモンズのライセンスのもとで 利 用 できます :パブリックドメインであり 著 作 権 の 制 限 なく 利 用 できます なし: 上 記 のマークが 付 されていない 場 合 は 著 作 権 が 東 京 大 学 及 び 東 京 大 学 の 教 員 等 に 帰 属 します 無 償 で 非 営 利 的 かつ 教 育 的 な 目 的 に 限 って 次 の 形 で 利 用 することを 許 諾 します Ⅰ 複 製 及 び 複 製 物 の 頒 布 譲 渡 貸 与 Ⅱ 上 映 Ⅲ インターネット 配 信 等 の 公 衆 送 信 Ⅳ 翻 訳 編 集 その 他 の 変 更 Ⅴ 本 資 料 をもとに 作 成 された 二 次 的 著 作 物 についてのⅠからⅣ ご 利 用 にあたっては 次 のどちらかのクレジットを 明 記 してください 東 京 大 学 UTokyo OCW 学 術 俯 瞰 講 義 Copyright 2014, 石 井 志 保 子 The University of Tokyo / UTokyo OCW The Global Focus on Knowledge Lecture Series Copyright 2014, Shihoko Ishii

2 2 整 数 と 有 理 数 の 狭 間 で 数 学 者 の 問 題 意 識 ー

3 3 目 次 油 分 け( 江 戸 時 代 の 数 学 の 楽 しみと 現 代 数 学 ) 4 月 17 日 整 数 を 多 項 式 に 代 入 する 4 月 24 日

4 映 画 ダイハード 3 4

5 著 作 権 の 都 合 により この 部 分 の 講 義 映 像 を 削 除 しました ダイ ハード3 (ジョン マクティアナン[ 監 督 ] ブルース ウィリス[ 主 演 ] 20 世 紀 フォックス[ 配 給 ] 1995 年 ) 3ガロンの 容 器 と5ガロンの 容 器 で4ガロンの 水 を 得 て 量 りの 上 に 置 いて 爆 弾 を 止 める 場 面 を 使 用 5

6 5ガロンと3ガロンのタンクで 4ガロンを 取 り 分 けよ 6 目 分 量 は 駄 目 各 タンクの,すり 切 りいっぱいを 使 え 時 間 内 にできなければ 爆 発 が 起 こるぞ

7 7 マクレーン 刑 事 の 解 法 T5で 水 を 汲 む その 水 をT3に 移 し 替 える (T5には2ガロン 残 る) T3の 水 を 噴 水 に 戻 す T5にある2ガロンを T3に 移 す T5で 水 を 汲 む その 水 をT3に 移 す(1ガロンだけ 入 る) T5には4ガロンが 残 る

8 8 別 解 T3 で2 回 水 をくみ,T5 に 移 し 替 える. T5 は 一 杯 になり,T3に1ガロン 残 る. T5 の 水 は 噴 水 池 にもどし,T3 の1ガロンをT5 に 移 す. T3 で 水 をくみ T5 に 移 し 替 える. これで T5 に 4 ガロンが 入 っていることになった.

9 江 戸 時 代 からある 油 分 けの 問 題 9

10 10

11 11 この 本 の 著 者 林 五 郎 兵 衛 さん 中 をちょっと 覗 いてみよう

12 12

13 13

14 14 桶 A から7 升 のますと3 升 の ますで,5 升 の 油 をとりだせ

15 15 林 五 郎 兵 衛 さんの 解 法 M3で 油 をくみM7に 移 し 替 える これを3 回 繰 り 返 す (M3に2 升 残 っている) M7の 油 を 元 の 桶 に 戻 し,M3にある2 升 をM7に 移 す M3であらたに 油 をくみ,M7に 移 し 替 える これでM7に5 升 の 油 が 入 ったことになった

16 16 他 にも 解 法 がある 皆 さん 考 えてみてください

17 17 解 法 はただひとつではない いかに 効 率 よい 手 順 で 取 り 分 けられるかを 考 える 問 題 いい 答 えを 見 つけるのが 大 切 これは 高 校 までの 数 学 と 同 じ

18 18 では 現 代 の 数 学 は 何 を 考 えるか? 答 があるかないかを 考 える どんな 条 件 の 下 で 答 があるかをはっきりさせる 答 があるとしたらそれをすべて 求 める 可 能 な 限 り 一 般 的 な 設 定 で 答 を 求 める

19 19 これはどういうことなのか? 油 分 けの 問 題 を 例 にとって 見 てみよう

20 簡 単 のために 問 題 をちょっと 変 えてみよう 20 2つの 枡 を 使 って 桶 A に 入 っている 油 を 桶 B に 移 すこ とにする 2つのますだけを 使 って 油 を 取 り 分 けるばあいは, 取 り 分 ける 油 の 量 は 大 きい 方 のますの 容 量 を 超 えることはで きない. しかし 桶 Bに 移 す 問 題 ならば 取 り 分 ける 油 の 量 に 上 限 は いらない 例 えば2 合 と5 合 の 升 で,31 合 の 油 を 取 り 分 けられるか という 問 題 も 可 能

21 21 それでは 問 題 を 設 定 しよう r, s を 正 の 整 数 とする. 樽 A に 十 分 多 くの 油 が 入 っているとする r 合 のます Mr と,s 合 のます Ms を 使 って 任 意 の 整 数 n 合 の 油 を 樽 B に 移 したい. どんな n についてもこれが 可 能 であるためには r と s は どのような 条 件 を 満 たさなければならないか? その 条 件 を 満 たしているとき, 樽 Bに n 合 を 移 す 手 順 の 一 般 解 は?

22 22 すぐに 分 かること 例 えば r, s がともに 偶 数 だったら 取 り 分 けられる 油 の 量 も 偶 数 でしかあり 得 ない これを 一 般 化 すると,r, s がともに d の 倍 数 の 場 合, 取 り 分 けられる 油 の 量 も d の 倍 数 d > 1 の 場 合, 任 意 の n 合 を 取 り 分 けることは 出 来 ない. r と s の 最 大 公 約 数 gcd(r, s)=1 でなければならない.

23 23 では gcd(r, s)=1 なら どんな n 合 でも 樽 B に 移 すことが できるのか

24 24 答 はイエス! Mr で 油 を 樽 B に 移 すと 樽 Bの 油 の 量 は + r Msで 油 を 樽 B に 移 すと 樽 Bの 油 の 量 は + s 同 様 に Mr で 油 を 樽 Bから 樽 A に 戻 すと 樽 B の 油 の 量 は r Ms で 油 を 樽 Bから 樽 A に 戻 すと 樽 B の 油 の 量 は - s

25 25 どんな 手 順 でも 樽 Bの 中 にある 油 の 量 は 常 に α r + β s (α, β は 整 数 ) の 形 だから 任 意 の n に 対 して α r + β s = n となるような 整 数 α, β を 見 つけられれば 良 い.

26 26 gcd(r, s)=1 であったから α r + β s = 1 となるような 整 数 α, β は 存 在 する. ここで 整 数 α, β がともに 正 となることはない ともに 負 となることもないことに 注 意 両 辺 に n をかける nα r + nβ s = n (nα) r + (nβ) s = n

27 (nα) r + (nβ) s = n は 何 を 言 って いるのか 27 α > 0, β < 0 の 時 Mr で nα 回 油 を 樽 A から 樽 B に 移 し,Ms で -nβ 回 樽 Bか ら 樽 A に 油 を 戻 すと, 樽 B には n 合 の 油 が 残 る これで gcd(r, s)=1 ならば 任 意 の n 合 を 樽 Bに 移 す 手 順 がある ということが 証 明 できた この 証 明 は 一 般 的 な 手 順 も 示 している.

28 28 Mr で nα 回 油 を 樽 A から 樽 B に 移 し,Ms で nβ 回 樽 Bか ら 樽 A に 油 を 戻 すというのが 一 般 解 しかしこれは 実 際 の 作 業 としてはあまり 手 際 が 良 くない. 江 戸 時 代 の 数 学 者 から 笑 われるかもしれない マクレーン 刑 事 は 爆 発 で 帰 らぬ 人 に しかしこれはどのような r, s, n についても 有 効 な 方 法 で 数 学 的 にはシンプルな 方 法 これが 現 代 の 数 学

29 29 では 最 初 の 問 題 に 戻 ろう 桶 Bがなくて,Mr と Ms だけから n 合 の 油 を 取 り 出 すこ とはできるか? ますの 中 に 最 終 的 に 収 まらなければならない. n < max {r, s} でなければならない. では n < max {r, s} ならばいつでも n 合 の 油 を 取 り 出 せ るのか?

30 30 すぐ 分 かること やはり 先 ほどの 場 合 と 同 じように gcd(r, s) = 1 であるこ とが 必 要

31 31 問 題 gcd (r, s) =1 で n < max {r, s} のとき, Mr と Ms だけを 用 いて n 合 の 油 を 取 り 出 せるか?

32 さて 算 学 稽 古 記 に 戻 ろう 32

33 33

34 林 五 郎 兵 衛 34

35 35 林 五 郎 兵 衛 さんは 江 戸 時 代 末 期 から 明 治 時 代 にかけて 生 きた, 富 山 県 高 岡 市 のお 医 者 さん ( 高 岡 市 は 石 井 の 故 郷 ) 数 学 が 大 好 きで 医 業 のかたわら 日 々 算 学 を 勉 強 してい た. 彼 が 書 いた 算 学 の 練 習 帳 がこの 算 学 稽 古 記. 彼 のひ 孫 の 林 武 雄 ( 内 科 医 )さんが 石 井 の 父 ( 内 科 医 ) の 友 人. ある 日 林 武 雄 先 生 が 石 井 の 実 家 を 訪 れこう 言 った.

36 36 君 の 娘 さんは 数 学 者 だってね. これをプレゼントしたいんだけど そしてこの 算 学 稽 古 記 をくださった.

37 数 学 は 一 部 のエリートだけのもの ではなかった 37 昔 から 日 本 には 小 さな 地 方 都 市 にも 数 学 の 大 好 きな 人 が いた あちこちのお 寺 に 算 学 の 問 題 と 解 答 を 書 いた 絵 馬 が 残 っ ている. いまでも 地 方 の 小 さな 大 学 から 素 晴 らしい 才 能 を 持 った 若 い 研 究 者 が 出 てきている. これは 数 学 の 素 敵 な 特 性

38 もうすこしinternational な 話 38

39 39 証 明 を 知 らない 数 学 者 シュリニバサ ラマヌジャン (Srinivasa Aiyangar Ramanujan 1887 年 12 月 22 日 年 4 月 26 日 )

40 40 Srinivasa Ramanujan Photo from the Oberwolfach Photo Collection CC BY-SA 2.0 DE

41 41 ラマヌジャン インドの 数 学 者 数 学 以 外 の 成 績 が 悪 くて 大 学 を 落 第 マドラス(インド)で 事 務 員 をしながら 数 学 を 勉 強 数 学 的 発 見 をイギリスの 数 学 者 たち (ヒル ベイカー ボブソン,ハーディー) に 送 る

42 42 しかし ヒル,ベイカー,ボブソンは 手 紙 を 無 視 ハーディーも 一 旦 は 手 紙 をゴミ 箱 へ

43 ゴッドフレイ ハロルド ハーディ 43

44 その 後 テニスに 行 った ハーディー 先 生 44 ラマヌジャンの 手 紙 が 何 だか 気 になる 戻 ってゴミ 箱 から 取 り 出 した 手 紙 を 読 み 返 してみると... 色 々な 公 式 が 書 かれている. よく 知 られている 公 式 もあった. よくわからないものもあった. しかしハーディー 自 身 が 発 見 して,まだ 発 表 していない 結 果 も 書 かれていた.

45 ハーディーはラマヌジャンを 呼 び 寄 せた 45 イギリスのケンブリッジにやってきたラマヌジャン ハーディーとディスカッション ハーディーは 彼 は 天 才 だ と 見 抜 いた.

46 46 しかし ラマヌジャンは 証 明 の 概 念 を 持 たなかった 多 くの 公 式 を 証 明 したわけではなかった ラマヌジャンは 神 様 のお 告 げ だと 言 う 何 らかの 方 法 で 深 く 考 えたのだろうと 思 われる どんな 方 法 かは 未 だに 謎 である

47 ラマヌジャンの 公 式 の 一 例 47

48 ラマヌジャンとハーディーは 名 コンビ 48 ラマヌジャンが 朝 持 ってきた 公 式 に ハーディーは1 日 をかけ て 証 明 を 付 ける どんどん 論 文 ができる ハーディーがいなければラマヌジャンの 業 績 はあり 得 なかっ た ラマヌジャンのアイデアがなければハーディーは 論 文 を 書 け なかった

49 49 有 名 なエピソード ある 日 ハーディーはラマヌジャンに 会 った 時, ここに 来 る 途 中, 乗 ったタクシーのナンバーが 1729 だったよ.たいして 面 白 い 数 ではないね と 言 った. ラマヌジャンは いやいや 面 白 い 数 だよ,それは2 通 りの 立 方 数 の 和 で 表 される 最 小 の 数 です と 言 った.

50 = =

51 51 ラマヌジャンは 全 ての 整 数 と 個 人 的 なお 友 達

52 52 これがきっかけで タクシー 数 というものが 研 究 されるようになった.

53 53 n 次 タクシー 数 Ta(n) とは? 2つの 異 なる 立 方 数 の 和 として n 通 りに 表 される 最 小 の 正 整 数 のこと

54 54 そこで 現 代 数 学 は 考 える. どんな n についても Ta(n) は 存 在 するのか つまり,n 通 りの 立 方 数 2つの 和 で 表 される 正 整 数 は 存 在 するのか? YES 後 にハーディー 自 身 が 証 明 した.

55 55 数 学 者 の 座 右 の 銘 Publish or Perish

56 56 早 い 者 勝 ちの 世 界 同 じ 定 理 を 他 の 人 がすでに 出 版 していたらその 定 理 は,たと え 自 分 の 力 だけで 証 明 したとしても, 自 分 の 業 績 にはならな い. きびしい 世 界

57 57 それでも 数 学 者 は 考 え 続 ける 考 えることが 好 きだから, 数 学 が 美 しいから これは 日 本 中 にいた 無 数 の 林 五 郎 兵 衛 さんと 同 じ

58 58 皆 さんも 考 えることが 好 きになってほしい

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