数論入門

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りさこかつま
5 years ago
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1 数学のかたち共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1

2 テーマメネラウスの定理チェバの定理から共線問題と共点問題について考える共線点が同一直線上に存在共点直線が 1 点で交わる 2

3 内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明メネラウスの定理チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆 2. チェバの定理の逆 3. メネラウスの定理の逆と共線問題 4. チェバの定理の逆と三角形の五心 5. チェバの定理の逆の応用 III. メネラウスの定理の拡張 1. 多角形におけるメネラウスの定理 2. 多角形におけるチェバの定理 3. 空間におけるメネラウスの定理 3

4 Ⅰ メネラウスの定理メネラウスの定理とその証明 4

5 メネラウスの定理 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする 3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つデモ 5

6 メネラウスの定理のパターン 6

7 証明 1 線分の相似比を用いる AR BP CQ RB PC QA AS BP PC 1 BP PC AS 7

8 問 1 補助線を変えて証明 (1) (2) 8

9 証明 2 面積比を用いる AR BP CQ RB PC QA S S 3 S 1 2 S 1 2 S 2 S S S

10 Ⅰ メネラウスの定理メネラウスの定理の応用 10

11 例題 1( メネラウスの定理の応用 ) OP OQ OR PA QB RC O P R Q A C B 11

12 例題 1 解答 OAC と直線 PB OP AB CR 1 PA BC RO O OBC と直線 AQ OQ BA CR 1 QB AC RO O P R Q P R Q A C B A C B 12

13 例題 1 解答 OAC と直線 PB OP AB CR 1 PA BC RO OBC と直線 AQ OQ BA CR 1 QB AC RO OP PA OQ QB BC RO AC RO AB CR BA CR OR CB AC RC AB AB OR RC AB AB OR RC 13

14 問 2 ABC : PQR m mn n : ( m n) A F m R n n Q E B m D P n m C 14

15 問 2 方針 PQR ABC - ( PAB+ QBC+ RCA) PAB を求めることで AP:PD がわかる A F m R n n Q E B m D P n m C 15

16 問 2 方針 ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる A F m R n n Q E B m D P n m C 16

17 Ⅰ メネラウスの定理チェバの定理とその証明 17

18 チェバの定理 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする 3 直線 BC, CA, AB が一点で交わるとき BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つデモ 18

19 問 3 チェバの定理のパターン A R O Q B P C デモ 19

20 問 4 証明 1 相似比による証明 20

21 問 4 証明 2 面積比による証明 A R S 3 O S 2 Q S 1 B P C

22 証明 3 メネラウスの定理を利用 ABP と直線 RC BC PO AR 1 CP OA RB A OBC と直線 AQ AO PB CQ 1 OP BC QA A R Q R Q O O B P C B P C 22

23 証明 3 メネラウスの定理を利用 ABP と直線 RC BC PO AR 1 CP OA RB OBC と直線 AQ AO PB CQ 1 OP BC QA BC PO AR AO PB CQ CP OA RB OP BC QA BP CQ AR 1 PC QA RB 23

24 Ⅱ メネラウスの定理チェバの定理の逆メネラウスの定理の逆 24

25 メネラウスの定理 ( 再掲 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする 3 点 P, Q, R が同一直線上にあるとき BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つ 25

26 メネラウスの定理の逆 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば 3 点 P, Q, R は同一直線上にある 26

27 メネラウスの定理の逆はなりたたない ( 反例 ) A R Q B P C 27

28 メネラウスの定理の逆 ( 修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする内分点が偶数個外分点が奇数個でかつ BP CQ AR 1 PC QA PB が成り立つならば 3 点 P, Q, R は同一直線上にある 28

29 メネラウスの定理の逆の証明 Q, R が辺の内分点であるとき直線 RQ と BQ の交点をP とするとき条件より BP' CQ AR 1 P'C QA RB BP CQ AR 1 PC QA RB BP BP' P P' PC P'C 29

30 Ⅱ メネラウスの定理チェバの定理の逆チェバの定理の逆 30

31 チェバの定理 ( 再掲 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする 3 直線 BC, CA, AB が一点で交わるとき BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つ 31

32 チェバの定理の逆 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わる 32

33 チェバの定理の逆もなりたたない ( 反例 ) 33

34 チェバの定理の逆 ( 修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする内分点が奇数個外分点が偶数個でかつ BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わる 34

35 修正版もなりたたない ( 反例 ) 35

36 チェバの定理の逆 ( 再修正版 ) 3 点 P, Q, R をそれぞれ ABC の 3 辺 BC, CA, AB の内分点またはたは外分点とする内分点が奇数個外分点が偶数個でかつ BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つならば 3 直線 BC, CA, AB は一点で交わるかまたはすべて平行である 36

37 チェバの定理の逆の証明 P, Q が辺の内分点であるとき直線 AP と BQ の交点をO CO と AB の交点を R とするとき条件より BP CQ AR' 1 P'C QA R'B BP CQ AR 1 PC QA RB R R A Q AR AR' R R' RB R'B B P O C 37

38 Ⅱ メネラウスの定理チェバの定理の逆メネラウスの定理の逆と共線問題 38

39 シムソンの定理 ABC の外接円の任意の点 D から 3 直線 BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ P, Q, R とするこのときこの 3 点は同一直線上にあるデモ 39

40 シムソンの定理の証明 ( 方針 ) ABC と 3 点 P, Q, R において BP CQ AR 1 PC QA RB が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 40

41 シムソンの定理の証明 BP CQ AR PC QA RB DBcos DCcos DCcos( ) DAcos DAcos DBcos( ) 1 41

42 ニュートンの定理四角形 ABCD の対辺 AB, CD の延長線の交点を E AD, BC の延長線の交点を F とする AC, BD, EF の中点をそれぞれ P, Q, R とするときこの 3 点は同一直線上にあるデモ 42

43 ニュートンの定理の証明 ( 方針 ) BC の中点を G GP と CE の交点を H GQ と BE との交点を I とする 3 点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であるから 3 点は同一直線上 GHI と 3 点 P, Q, R において GP HR IQ 1 PH RI QG が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 43

44 ニュートンの定理の証明 EBC と 3 点 P, Q, R において BA ED CF 1 AE DC FB GP HR IQ BA FC PH RI QG AE FB ED 1 DC 44

45 デザルグの定理 ABC と A B C において直線 AA, BB, CC が 1 点 O で交わっている直線 AB と A B BC と B C CA と C A の交点をそれぞれ P, Q, R とするときこの 3 点は同一直線上にあるデモ 45

46 デザルグの定理の証明 ( 方針 ) ABC と 3 点 P, Q, R において AP BQ CR 1 PB QC RA が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 46

47 デザルグの定理の証明 OAB と直線 PB OBC と直線 QB OCA と直線 C RC AP BB' OA' PB B'O AA' 1 BQ CC' OB' QC C'O BB' 1 CR AA' OC' 1 RA A'O C'C

48 デザルグの定理の証明 OAB と直線 PB OBC と直線 QB OCA と直線 C RC AP BB' OA' PB B'O AA' 1 BQ CC' OB' QC C'O BB' 1 CR AA' OC' RA A'O C'C 1 AP BB' OA' PB B'O AA' BQ CC' OB' QC C'O BB' CR AA' OC' RA A'O C'C AP BQ CR 1 PB QC RA

49 パップスの定理 2 直線上の 3 点をそれぞれ A, B, C, A, B, C とする線分 AB と A B BC と B C AC と A C の交点をそれぞれ P, Q, R とするときこの 3 点は一直線上にあるデモ 49

50 問 5 証明 ( 方針 ) 直線 AB と BC との交点を D A C と AB, BC との交点をそれぞれ E, F とする DEF と 3 点 P, Q, R において DP ER FQ 1 PE RF QD が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 50

51 パスカルの定理円に内接する六角形 ABCDEF において AB と DE BC と EF CD と FA のそれぞれの交点を P, Q, R とするとこの 3 点は一直線上にあるデモ 51

52 問 6 証明 ( 方針 ) 直線 AB と CD AB と EF,CD と EF の交点をそれぞれの交点を L, M, N とする LMN と 3 点 P, Q, R において LP ME NR 1 PM EN RL が成り立つことをいえばよい ( メネラウスの定理の逆 ) 52

53 Ⅱ メネラウスの定理チェバの定理の逆チェバの定理の逆と三角形の五心 53

54 重心三角形の中線は 1 点で交わる A B C 54

55 重心の証明 BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR 1 BP CQ AR R A Q チェバの定理の逆より 3 直線は 1 点で交わる B P C ABP と直線 RC A AR BC PG 1 RB CP GA R Q PG RB CP 1 GA AR BC 2 B P G C

56 垂心三角形の 3 頂点から対辺に下ろした垂線は 1 点で交わる A B C 56

57 垂心の証明 BP PC AB cos B AC cos C CQ QA BC cos C AB cos A R A Q AR RB AC cos A BC cos B B G P C BP CQ AR PC QA RB AB cos B AC cos C BC cos C AB cos A AC cos A BC cos B 1 チェバの定理の逆より 3 直線は 1 点で交わる

58 外心三角形の 3 辺の垂直 2 等分線は 1 点で交わる A B C 58

59 外心の証明 BC, CA, AB の中点を P, Q, R とすると BC // RQ, CA // PR, AB // QP BC, CA, AB の垂直 2 等分線は RQ, PR, QP に対しても垂直よって ABCの垂直 2 等分線の交点は PQRの垂心に一致する垂心はすでに証明済み A R Q B P C

60 問 7 (1) 内心三角形の 3 頂角の 2 等分線は 1 点で交わる A B C 60

61 問 7 (1) 方針頂角 A, B, C の 2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする角の二等分線の性質を用いて BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) 61

62 問 7 (2) 傍心三角形の1 頂角の内角と他の外角の2 等分線 A は1 点で交わる B C 62

63 問 7 (2) 方針頂角 A の内角 B, C の外角の2 等分線と対辺との交点を P, Q, R とする Q 角の二等分線の性質を用いて BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) A B C P R 63

64 Ⅱ メネラウスの定理チェバの定理の逆チェバの定理の逆の応用 64

65 例題 2( ジュルゴンヌ点 ) ABC の内接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると 3 直線 AP, BQ, CR は 1 点で交わる A R Q B P C デモ 65

66 例題 2 方針円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) R A Q B P 66 C

67 例題 2 解答 BP = BR, CP = CQ, AQ = AR より BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR 1 CQ AR BP A チェバの定理の逆より AP, BQ, CR は 1 点で交わる R Q B P 67 C

68 問 8 ( ナーゲル点 ) ABC の傍接円と辺 BC, CA, AB との接点を P, Q, R とすると 3 直線 AP, BQ, CR は 1 点で交わる R B P A C Q デモ 68

69 問 8 方針円外の 1 点から円に引いた接線の長さが等しいことを利用して BP CQ AR 1 PC QA RB をいう ( チェバの定理の逆 ) S B P A C T 69

70 問 8 方針 BC = a, CA = b, AB = c, 2s=a + b + c とおく AS+AS AS+AT AS= 2 2 (AB+BP)+(AC+CP) 2 AB+BC+CA s 2 (AB+BS)+(AC+CP) 2 A S B P C T BP BS AS - AB s c 70

71 Ⅲ メネラウスの定理の拡張多角形におけるメネラウスの定理 71

72 多角形におけるメネラウスの定理 n 角形のどの頂点も通らない直線が直線 A k A k+1 (k=1, 2, 3,, n, A n+1 =A 1 ) と交わる点を P k とするとき n 1 1 A 2P2 3 3 n n k k n n 1 k 1 k k 1 A P が成立する A P A P A P P A P A P A P A P A 1 72

73 多角形におけるパターン A1P1 A 2P2 AP 3 3 A 4P4 1 P A P A P A P A A1P1 A 2P2 A3P3 A 4P4 A5P5 1 P A P A P A P A P A デモ 73

証明 1 線分の相似比を用いる A P A B 1 1 1 1 2 2 2 2 P A A B 1 2 2 2 A P P A A B A B 2 3 3 3 A P A B P A A B k k k k k k 1 k 1 k 1 A P A P A

74 証明 1 線分の相似比を用いる A P A B P A A B A P P A A B A B A P A B P A A B k k k k k k 1 k 1 k 1 A P A P A P A P P A P A P A P A n n 1 n n A B A B A B A B n n 1 A B A B A B A B n 1 n 1 74

75 証明 2 帰納法を用いる n 角形の辺 A n A n+1 に A n A n+1 A 1 を作り A n A n+1, A n+1 A 1 と直線との交点を P, P n+1 とする三角形では明らか n 角形で次の関係が成り立つとする A P A P A P A P n n P A P A P A P A n n 1 A n A n+1 A 1 と直線において 1 A1Pn A np ' A n 1Pn 1 1 P A P 'A P A n n n 1 n

証明 2 帰納法を用いる 2 式をかけると A P A P A P A P A P' A P 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n 1 n 1 P A P A P A P A P 'A P A 1 2 2 3 3 1 n 1 n n 1 n 1 1 P を P n

76 証明 2 帰納法を用いる 2 式をかけると A P A P A P A P A P' A P n 1 n 1 n n 1 n 1 P A P A P A P A P 'A P A n 1 n n 1 n 1 1 P を P n におきかえると n + 1 角形でも成立 A P A P A P A P A P A P n 1 n 1 n n n 1 n 1 P A P A P A P A P A P A n 1 n n n 1 n

77 Ⅲ メネラウスの定理の拡張多角形におけるチェバの定理 77

78 多角形におけるチェバの定理 2n+1 角形の辺または延長上にない平面上の 1 点 O に対して直線 A k O と A n+k mod 2n+1 A n+k+1 mod 2n+1 (k=1, 2,,2n+1,A 2n+1 =A 1 ) と交わる点を P k とすると 2n 1 A n 1P1 A n 2P2 A n 3P3 A np2 n 1 A n kpk 1 P A P A P A P A P A 1 n 2 2 n 3 3 n 4 2n 1 n 1 k 1 k n k 1 が成立する 78

A 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 AP A P A P A P A P A P A P 4 1 5 2 6 3 7 4 1 5

79 考え方対辺が存在する奇数多角形においてのみ拡張される n 2 n 3 A 1 P 3 A 5 P 4 A 2 P 2 (A A ) 3n 1 n P 5 A 3 P 1 A 4 デモ A3P1 A 4P2 A5P3 A1P4 A 2P5 1 P A P A P A P A P A AP A P A P A P A P A P A P P A P A P A P A P A P A P A

80 証明面積比を用いる A k A n+k O = S m とおくと A P S P A S n k k n k k n k 1 n k 1 (A A ) 3n 1 n A P A P A P A P P A P A P A P A n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 2n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 4 2n 1 n 1 S S S S S n 1 n 2 n 3 n 1 n 1 Sn 2 Sn 3 Sn 4 Sn Sn 1 80

81 Ⅲ メネラウスの定理の拡張空間におけるメネラウスの定理 81

82 空間におけるメネラウスの定理空間内の四面体 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA またはその延長が平面 π と交わる点をそれぞれ P, Q, R, S とすると A AP BQ CR DS 1 PB QC RD SA が成立する B P π R S D Q C デモ 82

83 証明直線 AC と平面 π との交点を U とする ABC と直線 PQ ACD と直線 SR AP BQ CU 1 PB QC UA AU CR DS 1 UC RD SA 83

84 証明直線 AC と平面 π との交点を U とする ABC と直線 PQ ACD と直線 SR AP BT DS 1 BP TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB AP BT DS BQ CR DT BP TD SA QC RD TB AP BQ CR DS 1 PB QC RD SA 84

85 頂点の巡る順直線 BD と平面 π との交点を T とする ABD と直線 PS BCD と直線 QR AP BT DS 1 BP TD SA BQ CR DT 1 QC RD TB 85

86 証明直線 BD と平面 π との交点を T とする ABD と直線 PS AS DT BP 1 SD TB PA BCD と直線 QR BT DR CQ 1 TD RC QB AS DT BP BT DR CQ SD TB PA TD RC QB AU CR DT BP 1 UC RD TB PA 86

4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1

4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,