JKA 事業内容についての問い合わせ先慶應義塾大学理工学部システムデザイン工学科村上俊之研究室 横浜市港北区日吉 教授村上俊之 URL:
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- しげのぶ いさし
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1 JKA 報告書 ( 平成 23 年度電動自転車の環境適応型安心安全支援制御補助事業 ) 平成 24 年 3 月 慶應義塾大学理工学部システムデザイン工学科 村上俊之
2 JKA 事業内容についての問い合わせ先慶應義塾大学理工学部システムデザイン工学科村上俊之研究室 横浜市港北区日吉 教授村上俊之 URL:
3 JKA はじめに 本報告書では, 財団法人 JKAの補助を受けて実施した 平成 23 年度電動自転車の環境適応型安心安全支援制御補助事業 の研究成果をまとめたものである. 近年では, 少子高齢化に伴い高齢者にもやさしい社会システムの整備が強く望まれている. 特に, 社会コミュニティ形成の基礎となる高齢者のための安全な移動機器システムの開発に大きな関心が寄せられている. 現在においても, 小型電気自動車, シニアーカーをはじめとして, 高齢者のために特別な仕様や機能を付加した移動機器が開発されている. しかしながら, 安全性やコストを考えると必ずしも十分なものとなっていない. そこで, 本研究課題では電動自転車の更なる高機能化目的したヒューマンインターフェイスシステムの開発を行い, 安全性ならびに操作性の向上を行うことで, 自転車より安全性が高く, また小型電気自動車よりも安価な移動機器の実現を目指している. 本研究課題では, 自転車のハンドル支援を行うにあたって, ハンドル操作部にステアバイワイアシステムを導入している. ステアバイワイアシステムとは, 二つの電動機を同期制御することによって, 仮想的な機械シャフトを電気的に実現するものであり, 人のハンドル操作と実際のステアリング操作を分離して扱うことが可能となる. また, ペダルの駆動に電動機を設置することで, パワーアシスト支援が可能としている. 本研究では, 走行 路面状態に応じたハンドル支援およびパワーアシスト支援を行うことで, 環境適応型の安全安心支援制御を実現する. 提案するアルゴリズムは環境を含めた人車一体制御の概念ともなり, 本研究課題ではマン マシンフュージョン制御とも呼ぶ. そこで, 電動自転車の走行安定性を向上させる操作支援制御を実現するため, マン マシンフュージョン制御の基本アルゴリズムを構築しその評価を行っている. マン マシンフュージョン制御では, 自転車の走行状態 ( 特に走行速度 ) を含めた環境状況に基づいて, ステアリングおよびペダルの操作支援を行うものである. また, 走行 路面状態に依存しない安定化制御と人の操作入力の適切な融合をはかるものとなっている. これら機能の有効性を検証するにあたって, 自転車に各種センサを搭載した計測システムを構成し, 構築したマン マシンフュージョン制御アルゴリズムを用いた自転車の走行実験をおこなっている. 特に, 環境適応型の自転車走行の安全安心支援制御 ( 自転車の低速, 静止状態での外部外乱に対してロバストな制御 ) を確立している. 本報告書では, 上記内容に関する詳細を示し, 得られた研究成果を総括している. 本研究課題は, 研究協力員として村上俊之研究室大学院生梅本恭平君, 小牟田清俊君, 鈴木健君, 奥村勇治君より多大なる協力を得ている. また, 大学内展示会出展 ( KEIO TECHNO-MALL 2011) では, 大学院生河村琢郎君, 鈴木大也君を中心に展示会準備をお願いした. さらに, 本報告書は本研究課題の中心テーマを扱っている学部 4 年生市戸達也君の研究を中心にまとめたものであり, 同君には研究の総まとめをお願いしている. 最後に, 上記の研究協力員に深く感謝の意を表したい.
4 JKA KEIO TECHNO-MALL 2011 での展示風景 本研究課題で導入した DSP システム
5 JKA はじめに 本報告書では, 財団法人 JKAの補助を受けて実施した 平成 23 年度電動自転車の環境適応型安心安全支援制御補助事業 の研究成果をまとめたものである. 近年では, 少子高齢化に伴い高齢者にもやさしい社会システムの整備が強く望まれている. 特に, 社会コミュニティ形成の基礎となる高齢者のための安全な移動機器システムの開発に大きな関心が寄せられている. 現在においても, 小型電気自動車, シニアーカーをはじめとして, 高齢者のために特別な仕様や機能を付加した移動機器が開発されている. しかしながら, 安全性やコストを考えると必ずしも十分なものとなっていない. そこで, 本研究課題では電動自転車の更なる高機能化目的したヒューマンインターフェイスシステムの開発を行い, 安全性ならびに操作性の向上を行うことで, 自転車より安全性が高く, また小型電気自動車よりも安価な移動機器の実現を目指している. 本研究課題では, 自転車のハンドル支援を行うにあたって, ハンドル操作部にステアバイワイアシステムを導入している. ステアバイワイアシステムとは, 二つの電動機を同期制御することによって, 仮想的な機械シャフトを電気的に実現するものであり, 人のハンドル操作と実際のステアリング操作を分離して扱うことが可能となる. また, ペダルの駆動に電動機を設置することで, パワーアシスト支援が可能としている. 本研究では, 走行 路面状態に応じたハンドル支援およびパワーアシスト支援を行うことで, 環境適応型の安全安心支援制御を実現する. 提案するアルゴリズムは環境を含めた人車一体制御の概念ともなり, 本研究課題ではマン マシンフュージョン制御とも呼ぶ. そこで, 電動自転車の走行安定性を向上させる操作支援制御を実現するため, マン マシンフュージョン制御の基本アルゴリズムを構築しその評価を行っている. マン マシンフュージョン制御では, 自転車の走行状態 ( 特に走行速度 ) を含めた環境状況に基づいて, ステアリングおよびペダルの操作支援を行うものである. また, 走行 路面状態に依存しない安定化制御と人の操作入力の適切な融合をはかるものとなっている. これら機能の有効性を検証するにあたって, 自転車に各種センサを搭載した計測システムを構成し, 構築したマン マシンフュージョン制御アルゴリズムを用いた自転車の走行実験をおこなっている. 特に, 環境適応型の自転車走行の安全安心支援制御 ( 自転車の低速, 静止状態での外部外乱に対してロバストな制御 ) を確立している. 本報告書では, 上記内容に関する詳細を示し, 得られた研究成果を総括している. 本研究課題は, 研究協力員として村上俊之研究室大学院生梅本恭平君, 小牟田清俊君, 鈴木健君, 奥村勇治君より多大なる協力を得ている. また, 大学内展示会出展 ( KEIO TECHNO-MALL 2011) では, 大学院生河村琢郎君, 鈴木大也君を中心に展示会準備をお願いした. さらに, 本報告書は本研究課題の中心テーマを扱っている学部 4 年生市戸達也君の研究を中心にまとめたものであり, 同君には研究の総まとめをお願いしている. 最後に, 上記の研究協力員に深く感謝の意を表したい.
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7 DOB [19] RTOB [20]
8 4.4 CADO [12] D D ϕ
9 [1]
10 1 Fig. 1-1: Fig [2] [3] 3 4
11 Fig 1-2 Fig % 4 2 [6] Fig. 1-2: [4] 5
![1 Fig. 1-3: [5] 1.2](/docs-images/91/106073482/images/12-0.jpg "1.2.1 1960 [7] 1971 Sharp [8] 2 4 Sharp 2000")
12 1 Fig. 1-3: [5] [7] 1971 Sharp [8] 2 4 Sharp 2000 [9] [10] Sharp [11] [12] [13] 6
13 1 [14] Schwab [15] Andreo [16] (Steer-By-Wire:SBW) Fig 1-4 Fig 1-5 [17] [18] 7
14 1 Power- Steering Upper- Actuator Lower- Actuator Fig. 1-4: Fig. 1-5: Steer-by-Wire D 8 9 8
15 2 2.1 Fig 2-1 Fig 2-3 X Y Z G G f Table 2.1 ϕ θ Fig 2-1 Fig 2-3 θ V G f a f X h G ω r L 3 L 2 L 1 Z L Fig. 2-1: 9
16 2 φ G X ψ θ L 2 Y Y L 1 L Z Fig. 2-2: Fig. 2-3: Table 2.1: M kg m kg L m L 1 m L 2 m L 3 m h m r m G f f m a deg I X kgm 2 I h kgm 2 I f kgm 2 ϕ deg θ deg ψ deg V m/s ω rad/s 10
17 Fig 2-3 Fig 2-1 G f f Fig (2.1) T front g T front = fmg sin ϕ (2.1) φ G f mg sinφ Y f G f mg sin φ T front Z Fig. 2-4: Fig. 2-5: 11
18 2 Fig 2-6 x y z ω ϕ z (2.2) T gyro T gyro = I f ω ϕ (2.2) z x & φ T gyro y ω X Fig. 2-6: Fig 2-7 F 12
19 2 φ G F Y Z Fig. 2-7: Fig 2-1 L 3 Fig 2-8 F Fig 2-9 F b L 3 sin a (2.3) T trail F F ϕ ω C t µ T trail = T a + T b = (F cos b + F sin b)l 3 sin a = (C t ϕ cos b + µω sin b)l 3 sin a (2.3) 13
20 2 X b X b L sin a 3 T a F L sin a 3 F' T b Fig. 2-8: Fig. 2-9: τ T dis (2.4) I h θ = τ + Tfront + T gyro T trail T dis (2.4) Fig 2-2 (2.5) K (2.6) U K = 1 2 ( I X ϕ2 + Mẏ 2 + Mż 2) (2.5) U = Mgh (cos ϕ 1) (2.6) ẏ ż Y Z (2.7) (2.8) ẏ b Y 14
21 2 ẏ = ẏ b + h ϕ cos ϕ (2.7) ż = h ϕ sin ϕ (2.8) L (2.9) ϕ (2.10) L = K U (2.9) ( ) d L dt ϕ L ( ϕ = I f ω 2 ψ + θ ) (2.10) (2.10) ϕ (2.11) ( I X + Mh 2) ( ϕ Mgh sin ϕ + Mh cos ϕÿb = I f ω 2 ψ + θ ) (2.11) ÿ b Fig 2-10 y f y r y a X w G x Y w y a = L 1y f + L 2 y r L x a = L 1x f + L 2 x r L (2.12) (2.13) ẏ f = V sin (ψ + θ) (2.14) ẏ r = V sin ψ (2.15) ẋ f = V cos (ψ + θ) (2.16) ẋ r = V cos ψ (2.17) ψ θ ψ = V sin θ (2.18) L 15
22 2 X w ψ θ y f y a x f y b L 2 y r x a L 1 L x r Y w Fig. 2-10: ψ ÿ b (2.19) ÿ b = ÿ a cos ψ ẍ a sin ψ = L 1 L V sin θ + V 2 L 2 (L 1 cos θ + L 2 ) sin θ + L 1 L V θ cos θ (2.19) (2.18) (2.19) (2.11) (2.20) 2.4 A ϕ = B sin ϕ C θ D sin θ T dis ϕ (2.20) A = I X + Mh 2 (2.21) B = M gh (2.22) C = MhV L 1 L cos θ cos ϕ + I f ω (2.23) D = Mh cos ϕ L 1 L V + Mh V 2 L 2 (L 1 cos θ + L 2 ) cos ϕ + 2I f ω V L (2.24) V 16
23 2 Fig. 2-11: Fig. 2-12: Fig 2-11 Fig 2-12 (2.25) J m θm = τ m τ dis m (2.25), J m, θ m, τ m, τ dis m τ dis m,. Fig 2-12 θ bic r Z w Z bic ω V θ bic = Z w Z bic θ w (2.26) ω = θ bic (2.27) V = rω (2.28) 17
24 第3章 マスタのモデリング 本章では 本研究で提案する多自由度ステア バイ ワイヤシステムにおけるマスタのモデル 化を行う 3.1 マスタシステム Fig. 3-2: ボールねじ Fig. 3-1: 本研究で製作したマスタ 本研究の実験および 3D シミュレータで使用するマスタを Fig 3-1 に示す 製作したマスタの 概要は 自動車用のハンドルにモータを取り付け それをボールねじのテーブルの上にアルミフ レームなどを用いて設置したものである Fig 3-2 に本研究で使用したボールねじを示す マス タ製作にあたり 操縦者が自転車に乗っている感覚に近づけるため ハンドルを斜め上向きに設 置するという工夫を行った 自動車用のハンドルにした理由は ステア バイ ワイヤが多方面 18
25 3 3.2 Fig 3-3 Fig 3-3 J m θm = τ hum m + τ mot m τ dis m (3.1) J m θ m τ hum m τ dis m. τ mot m τ dis m (2.4) Fig. 3-3: 19
26 3 3.3 Fig 3-4 Fig 3-5 Fig 3-4 (3.2) (3.3) J b θb = τ hum b M b ẍ b = F hum b + τ mot b + F mot b τ dis b (3.2) F dis b (3.3) J b θ b τ hum b τ dis b. τ mot b τ dis m M b x b F hum b F dis b F mot b Fig. 3-5: Fig. 3-4: 20
27 3 θ b x b 1 l b F b η τ b (3.4) (3.5) x b = l b 2π θ b (3.4) F b = ητ b 2π l b (3.5) η 1 (3.4) (3.5) (3.2) (3.3) 2 l b M b 4π θ 2 b = Fb hum l b 2π + τ b mot τ dis b (3.6) 21
28 4 DOB [19] RTOB [20] CADO [12] RTOB 4.1 DOB [19] DOB Fig 4-1 Fig. 4-1: 22
29 4 θ ref I h τ ref τ ref = I h θref (4.1) I t h I t h θ = τ τ load (4.2) τ load 2 Ih t I h I h (I h + I h ) θ = τ τ load (4.3) I h θ = τ τ dis (4.4) τ dis τ load I h θ τ dis = τ load + I h θ (4.5) τ dis ˆτ dis = = = K g τ dis s + K g (4.6) K ( ) g τ I h θ s + K g (4.7) K g s + K g τ + K2 g I h s + K g θ Kg I h θ (4.8) K g LPF 23
30 4 ˆτ dis τ ref τ = τ ref + ˆτ dis (4.9) ˆτ dis (4.9) (4.7) τ = τ ref + K ( g s + K g ( τ = 1 + K g s (4.11) (4.4) ) τ I h θ (4.10) ) τ ref K g I h θ (4.11) ( I h θ = 1 + K ) g τ ref K g I h θ τ dis s (4.12) (I h s + K g I h ) θ = (s + K g ) τ ref sτ dis (4.13) θ = 1 I h τ ref 1 I h s s + K g τ dis (4.14) (4.14) τ dis K g HPF K g K g τ ref θ (4.15) τ ref (4.1) (4.16) θ θ ref θ τ ref = 1 I h (4.15) θ = θ ref (4.16) 4.2 RTOB [20] τ hum m DOB τ hum m DOB 24
31 4 Fig. 4-2: DOB DOB (4.17) ˆτ hum m = g rt s + g rt (τ m J mn θm D θ m F τ int ) (4.17) J m J mn g rt τ int D F Fig
32 4 4.3 ˆτ hum m DOB ˆτ dis m τ dis m = (J m J mn ) θ m + D θ m + F + τ grv m (4.18) τ grv m DOB Fig 4-3 Fig 4-3 Fig. 4-3: 26
33 4 θ i = 0 ˆτ dis m = D θ m + F sgn( θ m ) (4.19) D F J m rad/sec DOB 10msec Fig 4-4 Fig 4-5 τ grv m = sin θ (4.20) Fig. 4-4: Fig. 4-5: 27
34 4 Fig. 4-6: Fig. 4-7: msec 1000 Fig 4-6 D F D + = , F + = (4.21) D = , F = (4.22) 0 F 0 0 Fig rad/sec Fig
35 4 Fig. 4-8: ˆτ m dis = g ( rt τ m J mn D s + g θ m F sgn( θ ) m ) τm grv rt (4.23) (4.24) ˆτ dis m = (J m J mn ) θ m (4.24) Fig s 0.3rad/sec 0.8rad/sec J m J mn 0 ˆτ dis Fig 4-9 J m J m = J mn + 1 t1 θ m (t 1 ) θ ˆτ m dis dt (4.25) m (t 0 ) t 0 t 0 t 1 (4.25) 29
36 4 Fig. 4-9: J m = (4.26) 4.4 CADO [12] CADO DOB (2.20) (4.27) A ϕ = B sin ϕ C θ D sin θ T dis ϕ (4.27) T dis ϕ A n (4.27) (4.28) B C D { A n ϕ = B sin ϕ C θ D sin θ Tϕ dis + (A A n ) ϕ } = B sin ϕ C θ D sin θ T dis ϕ (4.28) 30
37 4 T dis ϕ (4.28) ˆT dis = = = K { ca Tϕ dis + (A A n ) s + K ϕ } ca K { } ca A n ϕ + B sin ϕ C θ D sin θ s + K ca K { } ca K ca A n ϕ + B sin ϕ C θ D sin θ K ca A n ϕ (4.29) s + K ca K ca CADO CADO Fig 4-10 CADO CADO Fig. 4-10: (CADO) 31
38 PD RTOB V Fig
39 5 Fig. 5-1: PD ϕ (2.20) ϕ θ (5.1) A ϕ = Bϕ E θ F θ (5.1) E = MhV L 1 L + I f ω (5.2) F = Mh V 2 L + 2I f ω V L (5.3) θ cmd K p K v θ cmd = K p (ϕ ϕ cmd ) + K v ( ϕ ϕ cmd ) (5.4) ϕ cmd ϕ cmd θ θ cmd (5.4) (5.1) ϕ cmd ϕ (5.5) ϕ ϕ cmd = EK v s 2 + (F K v + EK p ) s + F K p (A + EK v ) s 2 + (F K v + EK p ) s + (F K p B) (5.5) (5.5) ω n ζ F K p B ω n = (5.6) A + EK v ζ = F K v + EK p 2ω n (A + EK v ) 33 (5.7)
40 5 ω n ζ K p K v K p = ω2 n (A + EK v ) + B F (5.8) K v = BE + ω2 nae 2ζω n AF 2ζω n EF F 2 ω 2 ne 2 (5.9) (5.5) K p B F (5.10) (5.10) (5.8) (5.9) 0 AF 2 BE 2 ( = A Mh 1 L + 2 I f rl = V 4 γv 2 (γ > 0) ) 2 V 4 B( Mh L 1 L + I ) 2 ( f V 2 ω = V ) r r V γ (5.11) γ V = γ (5.4) θ cmd θ cmd θ cmd θ cmd θ cmd θ cmd = d dt θcmd (5.12) θ cmd = d dt θ cmd (5.13) Fig
41 5 RTOB ˆτ hum 3 ref θ hum (5.14) θ ref hum = 1 J m (ˆτ hum D m θref hum K mθ ref hum ) (5.14) J m D m K m ref θ hum θref hum θ ref hum = θ ref hum = Fig.5-3 θ ref humdt (5.15) θ ref humdt (5.16) D m K m ˆτ hum θ ref hum (5.17) θ ref hum ˆτ hum = J ms 2 + D m s + K m J m (5.17) Fig. 5-2: 35
42 5 Fig. 5-3: (5.17) ω m ζ m ω m = ζ m = K m J m (5.18) D m 2 J m K m (5.19) ω m ζ m D m K m D m = 2ζ m ω m J m (5.20) K m = ω m 2 J m (5.21) DOB 3 θ ref (5.22) K 1 K 2 θ m ref = θ cmd ref + θ hum + K 2( θ cmd + 36 θ ref hum θ m ) + K 1 (θ cmd + θ ref hum θ m) (5.22)
43 5 Fig. 5-4: Fig (5.23) θ ref = θ res m res + D h ( θ m θ) + K h (θm res θ) (5.23) Fig
44 5 [14] 1 1 CADO 1 Fig.5-6 Fig. 5-5: 38
45 5 Fig. 5-6: (5.11) (5.24) x = 0 V (x) ẋ = f (x) (5.24) (a) V (x) > 0, V (x e ) = 0 (b) V (x) V (x) < 0(x x e ) V (x) 39
46 5 V (x) = 0 (x) ẋ = f (x), f (x e ), x(0) = x 0 V (x) x e x e (a) V (x) > 0, V (x e ) = 0 (b) V (x) V (x) 0(x x e ) (c) V (x) = 0 x(t) = x e V (x) = 0 x CADO V 1 (5.25) ϕ = ϕ cmd ϕ = 0 V 1 = 1 2 A ϕ K ϕ (ϕ ϕ cmd) 2 (5.25) K ϕ V 1 V 1 (4.28) (5.26) V 1 = A ϕ ϕ + K ϕ (ϕ ϕ cmd) ϕ = ϕ {B sin ϕ C θ ( D sin θ + K ϕ ϕ ϕ cmd) T dis} (5.26) θ (5.27) K ϕ θ cmd = 1 C {B sin ϕ D sin θ + K ϕ ( ϕ ϕ cmd) + K ϕ ϕ T dis } (5.27) 40
47 5 T dis CADO (4.29) (5.27) (5.26) V 1 = K ϕ ϕ2 0 (5.28) ˆT dis = T dis (5.28) V 3 = 0 ϕ = ϕ cmd ϕ = 0 CADO θ cmd K ϕ K ϕ θ (5.27) (2.20) A ϕ + K ϕ ϕ + Kϕ (ϕ ϕ cmd) = 0 (5.29) ϕ cmd ϕ (5.30) ϕ ϕ cmd = K ϕ As 2 + K ϕs + K ϕ (5.30) (5.30) ω n ζ ω n = K ϕ A ζ = K ϕ 2ω n A (5.31) (5.32) ω n ζ K ϕ K ϕ K ϕ = Aω 2 n (5.33) K ϕ = 2ζω n A (5.34) 1 Fig
48 5 Fig. 5-7: (5.35) K 1 K 2 θ ref m = θ res + K 2 ( θ res θ res m ) + K 1 (θ res θ res m ) (5.35) RTOB τ hum Fig.5-8 Fig. 5-8: 1 42
49 ˆτ hum 3 CADO (5.36) K h D h θ ref = θ cmd + θ ref hum + D h( θ cmd + θ ref hum θ res ) + K h (θ cmd + θ ref hum θres ) (5.36) J m D m K m 0 7 3D 7 Fig.5-9 Fig. 5-9: 1 43
50 [21] [21] 2 ϕ cmd 2 CADO 2 Fig.5-10 Fig. 5-10: 2 44
51 θ cmd θ cmd θ [22] (5.37) x v ẋ = f(x) + v (5.37) v α(x) V 0 (x) V 0 (x) v = α(x) V 0 (x) = V 0 x ẋ = V 0 x {f(x) + α(x)} = W < 0 (5.38) W v (5.39) v u u = v (5.39) z v α(x) z = v α(x) (5.40) v α(x) z 0 (5.40) (5.41) ż = u α(x) (5.41) 45
52 5 u (5.42) (5.41) (5.43) z 0 c u = α(x) cz (5.42) ż = cz (5.43) u V V = V z2 (5.44) V V V = V 0 x ẋ + zż = V 0 x {f(x) + v} + z {u α(x)} = V 0 {f(x) + z + α(x)} + z {u α(x)} x = V { 0 x {f(x) + α(x)} + z u α(x) + V } 0 x = W cz 2 + V 0 x z (5.45) v α(x) (5.45) (5.46) u V V (5.47) u = α(x) cz V 0 (5.46) x V = W cz 2 < 0 (5.47) (5.47) 1 (5.27) θ cmd θ res z θ z θ = θ res θ cmd (5.48) 46
53 5 z θ 0 θ res θ cmd θ ref K z θ θ ref = θ cmd K z θz θ + C ϕ (5.49) θ cmd (5.27) θ cmd = 1 C [ {MhL 1 L ( ϕ V sin ϕ + V cos ϕ) +Mh L 1 L 2 ( ϕv 2 sin ϕ cos θ θv 2 cos ϕ sin θ + 2V V cos ϕ cos θ) +Mh L 2 L 2 ( ϕv 2 sin ϕ + 2V V cos ϕ) + 4I f Lr V V } sin θ +B ϕ cos ϕ D θ cos θ + K ϕ ϕ + K ϕ ϕ] 1 C 2 [{MhL 1 L ( ϕv sin ϕ cos θ + V cos ϕ cos θ ϕv cos ϕ sin θ) + I f r V } {B sin ϕ D sin θ + K ϕ (ϕ ϕ cmd ) + K ϕ ϕ}] (5.50) V 2 (5.51) V 2 = V z2 θ (5.51) V 2 V 2 (5.26) (5.27) (5.28) (5.48) (5.49) (5.52) V 2 = V 1 + z θż θ ( θref θ cmd) = K ϕ2 ϕ Cz θ ϕ + z θ = K ϕ2 ϕ Cz θ ϕ ( θcmd + z θ K z z θ θ + ϕc θ cmd) = K ϕ ϕ2 K z θz 2 θ 0 (5.52) (5.52) V 2 = 0 ϕ = 0 z θ = 0 θ ref 2 Fig
54 5 Fig. 5-11: ϕ cmd ϕ cmd 0 RTOB 3 (5.53) 0 K 1 K 2 θ ref m = θ ref hum + K 2(0 ref res θ hum θ m ) + K 1 (0 θ ref hum θres m ) (5.53) ϕ cmd = 0 ϕ cmd ϕ cmd ϕ cmd 7 3D Fig
55 5 Fig. 5-12: ϕ cmd θ θ ref Fig.5-13 Fig. 5-13: 2 49
56 V cmd V cmd (2.27) (2.28) V (5.54) PI PI 0 K wi K wv θ ref w = K wv (ω cmd ω) + K wi (ω cmd ω)dt (5.54) Fig.5-14 V cmd 7 8 3D (5.55) PD K b D b θ ref cmd b = D b ( θ b res θ b ) + K b (θb cmd θb res ) (5.55) Fig.5-15 (5.56) R b R b = 2π l b (5.56) Fig. 5-14: 50
57 5 Fig. 5-15: 1 2 ϕ cmd 51
58 6 6.1 Table 6.1 f, I f, C t [23][24] ms ϕ = ±90 52
59 6 Table 6.1: M [kg] 31.4 m [kg] 10.0 L [m] 1.0 L 1 [m] L 2 [m] L 3 [m] 0.08 h [m] r [m] 0.25 G f f [m] 0.05 a [deg] 72.0 I X [kgm 2 ] 2.0 I h [kgm 2 ] 0.29 I f [kgm 2 ] 0.18 C t [N/rad] ω n 6.0 ζ 0.7 g 50.0 CADO K ca m/s 2.0Nm m/s 1 53
60 Nm m/s 0.4m/s 0.4m/s Table Table Fig 6-1 Fig Fig 6-3 Fig
61 6 Table 6.2: 1 K p 4.55 K v K K K h D h 60.0 K ϕ K ϕ K z θ 20.0 Table 6.3: 2 K p 2.90 K v Conventional Proposal 1 Proposal 2 angle [degree] time [sec] Fig. 6-1: 1 55
62 Conventional Proposal 1 Proposal 2 angle [degree] time [sec] Fig. 6-2: Conventional Proposal 1 Proposal 2 angle [degree] time [sec] Fig. 6-3: 2 56
63 Conventional Proposal 1 Proposal 2 angle [degree] time [sec] Fig. 6-4: 2 Fig 6-1 Fig Table 6.2 ϕ cmd Fig 6-3 Fig m/s 1.5m/s Table 6.2 Table
64 6 (5.4) ϕ cmd Fig Table 6.2 Table m/s 2.0m/s 1.5m/s (5.11) Table 6.1 γ m/s 2.0m/s 1.5m/s Table Fig 6-5 Fig 6-6 Fig Fig 6-8 Fig 6-9 Fig 6-10 Fig 6-7 Fig m/s (5.54) PI 3 ω cmd V cmd V cmd 1.0m/s 1 58
65 6 angle [degree] time [sec] constant speed variable speed Fig. 6-5: constant speed variable speed 0.7 angle [degree] time [sec] Fig. 6-6: 3 59
66 velocity [m/s] constant speed variable speed time [sec] Fig. 6-7: 3 angle [degree] time [sec] constant speed variable speed Fig. 6-8: 4 60
67 6 angle [degree] time [sec] constant speed variable speed Fig. 6-9: velocity [m/s] constant speed variable speed time [sec] Fig. 6-10: 4 61
68 6 Fig 6-6 Fig m/s m/s 0.4m/s Fig 6-5 Fig (5.27) θ cmd V cmd C D Fig 6-8 Fig 6-9 Fig (5.49) θ ref V cmd 62
69 7 3D 3D 7.1 Fig. 7-1 OpenGL 3D (b) (a) Fig. 7-1: OpenGL 3D 63
70 7 3D Fig. 7-2: Fig. 7-3: 3D Fig. 7-2 Fig D Fig. 7-3 OpenGL 3D 33cm KR33A THK DC RH-14D E100AL DC A-max 32 20W DC PMA2 3D ibis DSP7101 ibis Intel AtomN270 SH-4A ibis DA C θ m DC θ m θ m 64
71 7 3D OpenGL Table 6.1 XY 20ms [25] 7.2 3D XY R xy 3D 10m 10m 90 5m 10m 90 Fig. 7-4 (7.1) x y i x pi y pi r xyi r xyi = (x x p ) 2 + (y y p ) 2 (7.1) r xyi r errori r errori R xy R xy (7.2) n p R xy = n p r errori i=1 n p (7.2) 65
72 7 3D x [m] points y [m] Fig. 7-4: R xy x 5m Nm y 12m Nm ϕ ϕ 0 (7.3) ϕ η n samp ϕ n samp (ϕ ϕ0 ) 2 ϕ η = i=1 n samp (7.3) ϕ Fig. 7-4 x y =
73 7 3D [12] RTOB 1.0m/s 2.0m/s 1 1 V cmd 0.3m/s 1.0m/s Fig.7-5 0mm PD 60mm case0 case1 67
74 7 3D Fig. 7-5: 80mm PD 80mm case2 10mm 10mm ϕ ϕ [26] 3D 68
75 7 3D 10m V cmd 0.3m/s 1.0m/s 1.0m/s 0.6 [26] 3D ϕ cmd ϕ cmd 2.0 ϕ cmd D Table 7.1 Fig.7-8 Fig.7-9 Fig Fig.7-8 DOB 69
76 7 3D Table 7.1: ω n 2.5 ζ 0.7 K ϕ 91.4 K ϕ 51.2 K z θ 20.0 K g 50.0 CADO K ca 50.0 K h D h 80.0 Fig. 7-6: 70
77 7 3D Fig. 7-7: RTOB R xy 9.60 ϕ η
78 7 3D Table 7.2: ω n 5.0 ζ 0.7 K p 4.4 K v K g 50.0 RTOB g rt 5.0 J m 30.0 D m 30.0 K m 7.5 K K K h D h 80.0 Table 7.2 Fig.7-8 Fig.7-9 Table Table x = 5 Table m/s 72
79 7 3D trajectory points 20 x [m] y [m] Fig. 7-8: handle camber angle [degree] time [sec] Fig. 7-9: 73
80 7 3D Table 7.3: R xy ϕ η m/s R xy ϕ η ϕ ϕ η 4.06 h 0.634m cm 4.5cm Fig cm 9cm 74
81 7 3D Table 7.4: 1 ω n 2.5 ζ 0.7 K ϕ 91.4 K ϕ 51.2 K g 50.0 RTOB g rt 5.0 J m 15.0 D m 0.0 K m 0.0 CADO K ca 50.0 K K K h D h Table Fig Fig.7-11 Table V a R xy ϕ η V a
82 7 3D trajectory points 20 x [m] y [m] Fig. 7-10: handle camber angle [degree] time [sec] Fig. 7-11: 1 76
83 7 3D Table 7.5: 1 R xy ϕ η V a Table Fig.7-10 R xy ϕ η V a 0.555m/s 2 2 Table Fig Fig.7-13 Table V a R xy ϕ η V a
84 7 3D Table 7.6: 2 ω n 2.5 ζ 0.7 K ϕ 91.4 K ϕ 51.2 K z θ 20.0 K g 50.0 RTOB g rt 5.0 J m 1.03 D m 2.06 K m 2.06 CADO K ca 50.0 K K trajectory points 20 x [m] y [m] Fig. 7-12: 2 78
85 7 3D handle camber angle [degree] time [sec] Fig. 7-13: 2 Table 7.7: 2 R xy ϕ η V a
86 7 3D 2 0 R xy ϕ η ϕ cmd ϕ cmd D 0.3m/s ϕ cmd 2 ϕ cmd ϕ cmd 3D ϕ cmd 2 4 Table 7.8 Table 7.8: R xy ϕ η V a
87 7 3D Table
88 第8章 実験 本章では自転車実機を用いて実験を行い 提案した制御法の有効性を検証する 8.1 電動自転車実験機 Fig. 8-1 に 実験で使用した電動自転車の概観を示す Fig. 8-1: 実験車両の概観 82
89 8 26 AC SGM-01B3G40 AC SGDA-01BS DC RFS E100AL DC PMA4 3D ibis ϕ ϕ Fig. 8-1 ϕ ϕ LPF Table 8.1 θ DC θ θ AC (2.26) (2.28) Table 8.1: GU-3024 ( 3) ( 3) ±5 /s 100 /s ±5 /s 100 /s ±5 /s 100 /s ±60 ±60 ±180 ±0.5 ±0.5 ±1.0 60Hz(16ms) 83
90 8 8.2 Fig cm 2 3D 2.0m/s m/s 8.3 Table 8.2 Table
91 8 Table 8.2: ω n 2.5 ζ 0.7 K ϕ 91.4 K ϕ 51.2 K z θ 20.0 K g 50.0 CADO K ca 50.0 Table 8.3: 2 ω n 2.5 ζ 0.7 K ϕ 91.4 K ϕ 51.2 K z θ 20.0 K g 50.0 RTOB g rt 5.0 J m 1.03 D m 2.06 K m 2.06 CADO K ca 50.0 K K Fig.8-2 Fig
92 8 angle [degree] camber time [sec] Fig. 8-2: angle [degree] camber time [sec] Fig. 8-3: 2 86
93 8 3D 2 Fig Fig ϕ cmd Fig.8-2 Fig m/s 2 ϕ cmd 0 ϕ cmd Fig.8-2 Fig
94 9 2 1 CADO 2 1 ϕ cmd 3D 2 88
95 9 1 2 ϕ cmd 1 ϕ cmd 0 89
96 [1] : 200, 1992 [2] ( 2012/1/8) [3] ( 2012/1/8) [4] car/jiko data.pdf ( 2012/1/8) [5] bicycle.pdf ( 2012/1/8) [6] ( 2012/1/8) [7] Vol. 17, No. 1, pp. 8-18, 1963 [8] R.S.Sharp The Stability and Control of Motorcycles J. Mechanical Engineering Science, Vol. 13, No. 5, pp , 1971 [9] 2002 [10]
97 [11] 2006 [12] 2009 [13] 2010 [14] 2006 [15] A. L. Schwab, J.P. Meijaard and J. M. Papadopoulos Benchmark Results on the Linearized Equations of Motion of an Uncontrolled Bicycle 292 Journal of Mechantcal Science and Technology, Vol 19, No 1, (Spectal Edition) pp , 2005 [16] D. Andreo, V. Cerone, D. Dzung and D. Regruto Experimental results on LPV stabilization of a riderless bicycle American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, pp , St. Louis, MO, USA June 10-12, 2009 [17] : /1/9) [18] Elizabeth A. Bretz: By-Wire Cars Turn the Corner, IEEE Spectrum April, pp , 2001 [19], Vol. 11, No. 4, pp , 1993 [20] T. Murakami, N. Oda, Y. Miyazawa and K. Ohinishi : A Motion Control Strategy Based on Equivalent Mass Matrix in Multidegree-of-Freedom Manipulator IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. 42, No. 2, pp , 1995 [21] ( 2012/1/26) 91
98 [22] 2005 [23], No. 59, pp , 1993 [24] 2, Vol. 4, No. 8, pp , 1962 [25] of JIS ( 2012/1/28) [26] tanken/ ( 2012/1/28) 92
99 [1], : 2, 23, [II-299]-[II304], [2] Takuro Kawamura and Toshiyuki Murakami: Vibration Suppression for Uprising Control of Twi-Wheel Driven Wheelchair 38th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society (IECON2011) pp , [3], : 1, pp57-58, [4] : D,, ( ). 93
100 JKA KEIO TECHNO-MALL 2011 での展示風景 本研究課題で導入した DSP システム
64 3 g=9.85 m/s 2 g=9.791 m/s 2 36, km ( ) 1 () 2 () m/s : : a) b) kg/m kg/m k
63 3 Section 3.1 g 3.1 3.1: : 64 3 g=9.85 m/s 2 g=9.791 m/s 2 36, km ( ) 1 () 2 () 3 9.8 m/s 2 3.2 3.2: : a) b) 5 15 4 1 1. 1 3 14. 1 3 kg/m 3 2 3.3 1 3 5.8 1 3 kg/m 3 3 2.65 1 3 kg/m 3 4 6 m 3.1. 65 5
ma22-9 u ( v w) = u v w sin θê = v w sin θ u cos φ = = 2.3 ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) ( a b) ( c d) = (a 2 b 3 a 3 b 2 )(c 2 d 3 c 3 d
A 2. x F (t) =f sin ωt x(0) = ẋ(0) = 0 ω θ sin θ θ 3! θ3 v = f mω cos ωt x = f mω (t sin ωt) ω t 0 = f ( cos ωt) mω x ma2-2 t ω x f (t mω ω (ωt ) 6 (ωt)3 = f 6m ωt3 2.2 u ( v w) = v ( w u) = w ( u v) ma22-9
mt_4.dvi
( ) 2006 1 PI 1 1 1.1................................. 1 1.2................................... 1 2 2 2.1...................................... 2 2.1.1.......................... 2 2.1.2..............................
Note.tex 2008/09/19( )
1 20 9 19 2 1 5 1.1........................ 5 1.2............................. 8 2 9 2.1............................. 9 2.2.............................. 10 3 13 3.1.............................. 13 3.2..................................
I, II 1, A = A 4 : 6 = max{ A, } A A 10 10%
1 2006.4.17. A 3-312 tel: 092-726-4774, e-mail: [email protected], http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html Office hours: B A I ɛ-δ ɛ-δ 1. 2. A 1. 1. 2. 3. 4. 5. 2. ɛ-δ 1. ɛ-n
Robot Platform Project(RPP) "Spur" "YP-Spur" rev. 4 [ ] Robot Platform Project(RPP) WATANABE Atsushi 1.,,., Fig. 1.,,,,,.,,,..,,..,,..,,,,. "
![Robot Platform Project(RPP) Spur YP-Spur rev. 4 [ ] Robot Platform Project(RPP) WATANABE Atsushi 1.,,., Fig. 1.,,,,,.,,,..,,..,,..,,,,.](/thumbs/93/117962738.jpg "Robot Platform Project(RPP) Spur YP-Spur rev. 4 [ ] Robot Platform Project(RPP) WATANABE Atsushi 1.,,., Fig. 1.,,,,,.,,,..,,..,,..,,,,.")
Robot Platform Project(RPP) "Spur" "YP-Spur" ev. 4 [.8.9] Robot Platform Project(RPP) WATANABE Atsushi.,,., Fig..,,,,,.,,,..,,..,,..,,,,. "",,, Spur.,, Robot Platform Project, "YP-Spur".,,, 98 99,. [][3][4].,,,
最新耐震構造解析 ( 第 3 版 ) サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 第 3 版 1 刷発行時のものです.
最新耐震構造解析 ( 第 3 版 ) サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/052093 このサンプルページの内容は, 第 3 版 1 刷発行時のものです. i 3 10 3 2000 2007 26 8 2 SI SI 20 1996 2000 SI 15 3 ii 1 56 6
( ) ( )
20 21 2 8 1 2 2 3 21 3 22 3 23 4 24 5 25 5 26 6 27 8 28 ( ) 9 3 10 31 10 32 ( ) 12 4 13 41 0 13 42 14 43 0 15 44 17 5 18 6 18 1 1 2 2 1 2 1 0 2 0 3 0 4 0 2 2 21 t (x(t) y(t)) 2 x(t) y(t) γ(t) (x(t) y(t))
LLG-R8.Nisus.pdf
d M d t = γ M H + α M d M d t M γ [ 1/ ( Oe sec) ] α γ γ = gµ B h g g µ B h / π γ g = γ = 1.76 10 [ 7 1/ ( Oe sec) ] α α = λ γ λ λ λ α γ α α H α = γ H ω ω H α α H K K H K / M 1 1 > 0 α 1 M > 0 γ α γ =
,, 2. Matlab Simulink 2018 PC Matlab Scilab 2
(2018 ) ( -1) TA Email : [email protected], [email protected] : 411 : 10 308 1 1 2 2 2.1............................................ 2 2.2..................................................
2 Chapter 4 (f4a). 2. (f4cone) ( θ) () g M. 2. (f4b) T M L P a θ (f4eki) ρ H A a g. v ( ) 2. H(t) ( )
http://astr-www.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata f4a f4b 2 f4cone f4eki f4end 4 f5meanfp f6coin () f6a f7a f7b f7d f8a f8b f9a f9b f9c f9kep f0a f0bt version feqmo fvec4 fvec fvec6 fvec2 fvec3 f3a (-D) f3b
2. 2 P M A 2 F = mmg AP AP 2 AP (G > : ) AP/ AP A P P j M j F = n j=1 mm j G AP j AP j 2 AP j 3 P ψ(p) j ψ(p j ) j (P j j ) A F = n j=1 mgψ(p j ) j AP
1. 1 213 1 6 1 3 1: ( ) 2: 3: SF 1 2 3 1: 3 2 A m 2. 2 P M A 2 F = mmg AP AP 2 AP (G > : ) AP/ AP A P P j M j F = n j=1 mm j G AP j AP j 2 AP j 3 P ψ(p) j ψ(p j ) j (P j j ) A F = n j=1 mgψ(p j ) j AP
2000年度『数学展望 I』講義録
2000 I I IV I II 2000 I I IV I-IV. i ii 3.10 (http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ kanai/) 2000 A....1 B....4 C....10 D....13 E....17 Brouwer A....21 B....26 C....33 D....39 E. Sperner...45 F....48 A....53
(1) θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = 3(cm) (2) ABC A A BC AD 10cm BC B D C 99 (1) A B 10m O AOB 37 sin 37 = cos 37 = tan 37
4. 98 () θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = (cm) () D 0cm 0 60 D 99 () 0m O O 7 sin 7 = 0.60 cos 7 = 0.799 tan 7 = 0.754 () xkm km R km 00 () θ cos θ = sin θ = () θ sin θ = 4 tan θ = () 0 < x < 90 tan x = 4 sin
TOP URL 1
TOP URL http://amonphys.web.fc.com/ 3.............................. 3.............................. 4.3 4................... 5.4........................ 6.5........................ 8.6...........................7
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです.
微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. ttp://www.morikita.co.jp/books/mid/00571 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. i ii 014 10 iii [note] 1 3 iv 4 5 3 6 4 x 0 sin x x 1 5 6 z = f(x, y) 1 y = f(x)
untitled
- k k k = y. k = ky. y du dx = ε ux ( ) ux ( ) = ax+ b x u() = ; u( ) = AE u() = b= u () = a= ; a= d x du ε x = = = dx dx N = σ da = E ε da = EA ε A x A x x - σ x σ x = Eε x N = EAε x = EA = N = EA k =
[Ver. 0.2] 1 2 3 4 5 6 7 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1 1.1 1 1.2 1. (elasticity) 2. (plasticity) 3. (strength) 4. 5. (toughness) 6. 1 1.2 1. (elasticity) } 1 1.2 2. (plasticity), 1 1.2 3. (strength) a < b F
) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8)
4 4 ) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8) a b a b = 6i j 4 b c b c 9) a b = 4 a b) c = 7
215 11 13 1 2 1.1....................... 2 1.2.................... 2 1.3..................... 2 1.4...................... 3 1.5............... 3 1.6........................... 4 1.7.................. 4
9 2 1 f(x, y) = xy sin x cos y x y cos y y x sin x d (x, y) = y cos y (x sin x) = y cos y(sin x + x cos x) x dx d (x, y) = x sin x (y cos y) = x sin x
2009 9 6 16 7 1 7.1 1 1 1 9 2 1 f(x, y) = xy sin x cos y x y cos y y x sin x d (x, y) = y cos y (x sin x) = y cos y(sin x + x cos x) x dx d (x, y) = x sin x (y cos y) = x sin x(cos y y sin y) y dy 1 sin
http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft13389/lecture/physics1a2b/ pdf I 1 1 1.1 ( ) 1. 30 m µm 2. 20 cm km 3. 10 m 2 cm 2 4. 5 cm 3 km 3 5. 1 6. 1 7. 1 1.2 ( ) 1. 1 m + 10 cm 2. 1 hr + 6400 sec 3. 3.0 10 5 kg
Γ Ec Γ V BIAS THBV3_0401JA THBV3_0402JAa THBV3_0402JAb 1000 800 600 400 50 % 25 % 200 100 80 60 40 20 10 8 6 4 10 % 2.5 % 0.5 % 0.25 % 2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 200 300 400 500 600 700 800 1000 1200 14001600
1 1 1 1-1 1 1-9 1-3 1-1 13-17 -3 6-4 6 3 3-1 35 3-37 3-3 38 4 4-1 39 4- Fe C TEM 41 4-3 C TEM 44 4-4 Fe TEM 46 4-5 5 4-6 5 5 51 6 5 1 1-1 1991 1,1 multiwall nanotube 1993 singlewall nanotube ( 1,) sp 7.4eV
211 [email protected] 1 R *1 n n R n *2 R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. R R 2 R 3 R n R n R n D D R n *3 ) (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) f D *4 n 2 n = 1 ( ) 1 f D R n f : D R 1.1. (x,
[1.1] r 1 =10e j(ωt+π/4), r 2 =5e j(ωt+π/3), r 3 =3e j(ωt+π/6) ~r = ~r 1 + ~r 2 + ~r 3 = re j(ωt+φ) =(10e π 4 j +5e π 3 j +3e π 6 j )e jωt
![[1.1] r 1 =10e j(ωt+π/4), r 2 =5e j(ωt+π/3), r 3 =3e j(ωt+π/6) ~r = ~r 1 + ~r 2 + ~r 3 = re j(ωt+φ) =(10e π 4 j +5e π 3 j +3e π 6 j )e jωt](/thumbs/101/152334931.jpg "[1.1] r 1 =10e j(ωt+π/4), r 2 =5e j(ωt+π/3), r 3 =3e j(ωt+π/6) ~r = ~r 1 + ~r 2 + ~r 3 = re j(ωt+φ) =(10e π 4 j +5e π 3 j +3e π 6 j )e jωt")
3.4.7 [.] =e j(t+/4), =5e j(t+/3), 3 =3e j(t+/6) ~ = ~ + ~ + ~ 3 = e j(t+φ) =(e 4 j +5e 3 j +3e 6 j )e jt = e jφ e jt cos φ =cos 4 +5cos 3 +3cos 6 =.69 sin φ =sin 4 +5sin 3 +3sin 6 =.9 =.69 +.9 =7.74 [.]
sec13.dvi
13 13.1 O r F R = m d 2 r dt 2 m r m = F = m r M M d2 R dt 2 = m d 2 r dt 2 = F = F (13.1) F O L = r p = m r ṙ dl dt = m ṙ ṙ + m r r = r (m r ) = r F N. (13.2) N N = R F 13.2 O ˆn ω L O r u u = ω r 1 1:
( ) ) ) ) 5) 1 J = σe 2 6) ) 9) 1955 Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes )
( 3 7 4 ) 2 2 ) 8 2 954 2) 955 3) 5) J = σe 2 6) 955 7) 9) 955 Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes 957 ) 3 4 2 A B H (t) = Ae iωt B(t) = B(ω)e iωt B(ω) = [ Φ R (ω) Φ R () ] iω Φ R (t)
m dv = mg + kv2 dt m dv dt = mg k v v m dv dt = mg + kv2 α = mg k v = α 1 e rt 1 + e rt m dv dt = mg + kv2 dv mg + kv 2 = dt m dv α 2 + v 2 = k m dt d
m v = mg + kv m v = mg k v v m v = mg + kv α = mg k v = α e rt + e rt m v = mg + kv v mg + kv = m v α + v = k m v (v α (v + α = k m ˆ ( v α ˆ αk v = m v + α ln v α v + α = αk m t + C v α v + α = e αk m
Gmech08.dvi
145 13 13.1 13.1.1 0 m mg S 13.1 F 13.1 F /m S F F 13.1 F mg S F F mg 13.1: m d2 r 2 = F + F = 0 (13.1) 146 13 F = F (13.2) S S S S S P r S P r r = r 0 + r (13.3) r 0 S S m d2 r 2 = F (13.4) (13.3) d 2
,.,. 2, R 2, ( )., I R. c : I R 2, : (1) c C -, (2) t I, c (t) (0, 0). c(i). c (t)., c(t) = (x(t), y(t)) c (t) = (x (t), y (t)) : (1)
( ) 1., : ;, ;, ; =. ( ).,.,,,., 2.,.,,.,.,,., y = f(x), f ( ).,,.,.,., U R m, F : U R n, M, f : M R p M, p,, R m,,, R m. 2009 A tamaru math.sci.hiroshima-u.ac.jp 1 ,.,. 2, R 2, ( ).,. 2.1 2.1. I R. c
ii 3.,. 4. F. (), ,,. 8.,. 1. (75%) (25%) =7 20, =7 21 (. ). 1.,, (). 3.,. 1. ().,.,.,.,.,. () (12 )., (), 0. 2., 1., 0,.
24(2012) (1 C106) 4 11 (2 C206) 4 12 http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata,.,,,.. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.,,. 1., 2007 (). 2. P. G. Hoel, 1995. 3... 1... 2.,,. ii 3.,. 4. F. (),.. 5... 6.. 7.,,. 8.,. 1. (75%)
1 (1) () (3) I 0 3 I I d θ = L () dt θ L L θ I d θ = L = κθ (3) dt κ T I T = π κ (4) T I κ κ κ L l a θ L r δr δl L θ ϕ ϕ = rθ (5) l
1 1 ϕ ϕ ϕ S F F = ϕ (1) S 1: F 1 1 (1) () (3) I 0 3 I I d θ = L () dt θ L L θ I d θ = L = κθ (3) dt κ T I T = π κ (4) T I κ κ κ L l a θ L r δr δl L θ ϕ ϕ = rθ (5) l : l r δr θ πrδr δf (1) (5) δf = ϕ πrδr
医系の統計入門第 2 版 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 第 2 版 1 刷発行時のものです.
医系の統計入門第 2 版 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/009192 このサンプルページの内容は, 第 2 版 1 刷発行時のものです. i 2 t 1. 2. 3 2 3. 6 4. 7 5. n 2 ν 6. 2 7. 2003 ii 2 2013 10 iii 1987
LD
989935 1 1 3 3 4 4 LD 6 7 10 1 3 13 13 16 0 4 5 30 31 33 33 35 35 37 38 5 40 FFT 40 40 4 4 4 44 47 48 49 51 51 5 53 54 55 56 Abstract [1] HDD (LaserDopplerVibrometer; LDV) [] HDD IC 1 4 LDV LDV He-Ne Acousto-optic
1. 2 P 2 (x, y) 2 x y (0, 0) R 2 = {(x, y) x, y R} x, y R P = (x, y) O = (0, 0) OP ( ) OP x x, y y ( ) x v = y ( ) x 2 1 v = P = (x, y) y ( x y ) 2 (x
. P (, (0, 0 R {(,, R}, R P (, O (0, 0 OP OP, v v P (, ( (, (, { R, R} v (, (, (,, z 3 w z R 3,, z R z n R n.,..., n R n n w, t w ( z z Ke Words:. A P 3 0 B P 0 a. A P b B P 3. A π/90 B a + b c π/ 3. +
4.6 (E i = ε, ε + ) T Z F Z = e βε + e β(ε+ ) = e βε (1 + e β ) F = kt log Z = kt log[e βε (1 + e β )] = ε kt ln(1 + e β ) (4.18) F (T ) S = T = k = k
![4.6 (E i = ε, ε + ) T Z F Z = e βε + e β(ε+ ) = e βε (1 + e β ) F = kt log Z = kt log[e βε (1 + e β )] = ε kt ln(1 + e β ) (4.18) F (T ) S = T = k = k](/thumbs/94/119235351.jpg "4.6 (E i = ε, ε + ) T Z F Z = e βε + e β(ε+ ) = e βε (1 + e β ) F = kt log Z = kt log[e βε (1 + e β )] = ε kt ln(1 + e β ) (4.18) F (T ) S = T = k = k")
4.6 (E i = ε, ε + ) T Z F Z = e ε + e (ε+ ) = e ε ( + e ) F = kt log Z = kt loge ε ( + e ) = ε kt ln( + e ) (4.8) F (T ) S = T = k = k ln( + e ) + kt e + e kt 2 + e ln( + e ) + kt (4.20) /kt T 0 = /k (4.20)
ohp_06nov_tohoku.dvi
2006 11 28 1. (1) ẋ = ax = x(t) =Ce at C C>0 a0 x(t) 0(t )!! 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10-0.2 (1) a =2 C =1 1. (1) τ>0 (2) ẋ(t) = ax(t τ) 4 2 2 4 6 8 10-2 -4 (2) a =2 τ =1!! 1. (2) A. (2)
(1.2) T D = 0 T = D = 30 kn 1.2 (1.4) 2F W = 0 F = W/2 = 300 kn/2 = 150 kn 1.3 (1.9) R = W 1 + W 2 = = 1100 N. (1.9) W 2 b W 1 a = 0
1 1 1.1 1.) T D = T = D = kn 1. 1.4) F W = F = W/ = kn/ = 15 kn 1. 1.9) R = W 1 + W = 6 + 5 = 11 N. 1.9) W b W 1 a = a = W /W 1 )b = 5/6) = 5 cm 1.4 AB AC P 1, P x, y x, y y x 1.4.) P sin 6 + P 1 sin 45
1. 4cm 16 cm 4cm 20cm 18 cm L λ(x)=ax [kg/m] A x 4cm A 4cm 12 cm h h Y 0 a G 0.38h a b x r(x) x y = 1 h 0.38h G b h X x r(x) 1 S(x) = πr(x) 2 a,b, h,π
![1. 4cm 16 cm 4cm 20cm 18 cm L λ(x)=ax [kg/m] A x 4cm A 4cm 12 cm h h Y 0 a G 0.38h a b x r(x) x y = 1 h 0.38h G b h X x r(x) 1 S(x) = πr(x) 2 a,b, h,π](/thumbs/101/149329485.jpg "1. 4cm 16 cm 4cm 20cm 18 cm L λ(x)=ax [kg/m] A x 4cm A 4cm 12 cm h h Y 0 a G 0.38h a b x r(x) x y = 1 h 0.38h G b h X x r(x) 1 S(x) = πr(x) 2 a,b, h,π")
. 4cm 6 cm 4cm cm 8 cm λ()=a [kg/m] A 4cm A 4cm cm h h Y a G.38h a b () y = h.38h G b h X () S() = π() a,b, h,π V = ρ M = ρv G = M h S() 3 d a,b, h 4 G = 5 h a b a b = 6 ω() s v m θ() m v () θ() ω() dθ()
q π =0 Ez,t =ε σ {e ikz ωt e ikz ωt } i/ = ε σ sinkz ωt 5.6 x σ σ *105 q π =1 Ez,t = 1 ε σ + ε π {e ikz ωt e ikz ωt } i/ = 1 ε σ + ε π sinkz ωt 5.7 σ
H k r,t= η 5 Stokes X k, k, ε, ε σ π X Stokes 5.1 5.1.1 Maxwell H = A A *10 A = 1 c A t 5.1 A kη r,t=ε η e ik r ωt 5. k ω ε η k η = σ, π ε σ, ε π σ π A k r,t= q η A kη r,t+qηa kηr,t 5.3 η q η E = 1 c A
29
9 .,,, 3 () C k k C k C + C + C + + C 8 + C 9 + C k C + C + C + C 3 + C 4 + C 5 + + 45 + + + 5 + + 9 + 4 + 4 + 5 4 C k k k ( + ) 4 C k k ( k) 3 n( ) n n n ( ) n ( ) n 3 ( ) 3 3 3 n 4 ( ) 4 4 4 ( ) n n
N cos s s cos ψ e e e e 3 3 e e 3 e 3 e
3 3 5 5 5 3 3 7 5 33 5 33 9 5 8 > e > f U f U u u > u ue u e u ue u ue u e u e u u e u u e u N cos s s cos ψ e e e e 3 3 e e 3 e 3 e 3 > A A > A E A f A A f A [ ] f A A e > > A e[ ] > f A E A < < f ; >
1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0
1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0 0 < t < τ I II 0 No.2 2 C x y x y > 0 x 0 x > b a dx
128 3 II S 1, S 2 Φ 1, Φ 2 Φ 1 = { B( r) n( r)}ds S 1 Φ 2 = { B( r) n( r)}ds (3.3) S 2 S S 1 +S 2 { B( r) n( r)}ds = 0 (3.4) S 1, S 2 { B( r) n( r)}ds
127 3 II 3.1 3.1.1 Φ(t) ϕ em = dφ dt (3.1) B( r) Φ = { B( r) n( r)}ds (3.2) S S n( r) Φ 128 3 II S 1, S 2 Φ 1, Φ 2 Φ 1 = { B( r) n( r)}ds S 1 Φ 2 = { B( r) n( r)}ds (3.3) S 2 S S 1 +S 2 { B( r) n( r)}ds
1 nakayama/print/ Def (Definition ) Thm (Theorem ) Prop (Proposition ) Lem (Lemma ) Cor (Corollary ) 1. (1) A, B (2) ABC
1 http://www.gem.aoyama.ac.jp/ nakayama/print/ Def (Definition ) Thm (Theorem ) Prop (Proposition ) Lem (Lemma ) Cor (Corollary ) 1. (1) A, B (2) ABC r 1 A B B C C A (1),(2),, (8) A, B, C A,B,C 2 1 ABC
006 11 8 0 3 1 5 1.1..................... 5 1......................... 6 1.3.................... 6 1.4.................. 8 1.5................... 8 1.6................... 10 1.6.1......................
08-Note2-web
r(t) t r(t) O v(t) = dr(t) dt a(t) = dv(t) dt = d2 r(t) dt 2 r(t), v(t), a(t) t dr(t) dt r(t) =(x(t),y(t),z(t)) = d 2 r(t) dt 2 = ( dx(t) dt ( d 2 x(t) dt 2, dy(t), dz(t) dt dt ), d2 y(t) dt 2, d2 z(t)
18 I ( ) (1) I-1,I-2,I-3 (2) (3) I-1 ( ) (100 ) θ ϕ θ ϕ m m l l θ ϕ θ ϕ 2 g (1) (2) 0 (3) θ ϕ (4) (3) θ(t) = A 1 cos(ω 1 t + α 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + α
18 I ( ) (1) I-1,I-2,I-3 (2) (3) I-1 ( ) (100 ) θ ϕ θ ϕ m m l l θ ϕ θ ϕ 2 g (1) (2) 0 (3) θ ϕ (4) (3) θ(t) = A 1 cos(ω 1 t + α 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + α 2 ), ϕ(t) = B 1 cos(ω 1 t + α 1 ) + B 2 cos(ω 2 t
<4D F736F F D B B BB2D834A836F815B82D082C88C602E646F63>
信号処理の基礎 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/081051 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. i AI ii z / 2 3 4 5 6 7 7 z 8 8 iii 2013 3 iv 1 1 1.1... 1 1.2... 2 2 4 2.1...
I 1
I 1 1 1.1 1. 3 m = 3 1 7 µm. cm = 1 4 km 3. 1 m = 1 1 5 cm 4. 5 cm 3 = 5 1 15 km 3 5. 1 = 36 6. 1 = 8.64 1 4 7. 1 = 3.15 1 7 1 =3 1 7 1 3 π 1. 1. 1 m + 1 cm = 1.1 m. 1 hr + 64 sec = 1 4 sec 3. 3. 1 5 kg
8 300 mm 2.50 m/s L/s ( ) 1.13 kg/m MPa 240 C 5.00mm 120 kpa ( ) kg/s c p = 1.02kJ/kgK, R = 287J/kgK kPa, 17.0 C 118 C 870m 3 R = 287J
26 1 22 10 1 2 3 4 5 6 30.0 cm 1.59 kg 110kPa, 42.1 C, 18.0m/s 107kPa c p =1.02kJ/kgK 278J/kgK 30.0 C, 250kPa (c p = 1.02kJ/kgK, R = 287J/kgK) 18.0 C m/s 16.9 C 320kPa 270 m/s C c p = 1.02kJ/kgK, R = 292J/kgK
量子力学 問題
3 : 203 : 0. H = 0 0 2 6 0 () = 6, 2 = 2, 3 = 3 3 H 6 2 3 ϵ,2,3 (2) ψ = (, 2, 3 ) ψ Hψ H (3) P i = i i P P 2 = P 2 P 3 = P 3 P = O, P 2 i = P i (4) P + P 2 + P 3 = E 3 (5) i ϵ ip i H 0 0 (6) R = 0 0 [H,
untitled
( ) c a sin b c b c a cos a c b c a tan b a b cos sin a c b c a ccos b csin (4) Ma k Mg a (Gal) g(98gal) (Gal) a max (K-E) kh Zck.85.6. 4 Ma g a k a g k D τ f c + σ tanφ σ 3 3 /A τ f3 S S τ A σ /A σ /A
Gmech08.dvi
63 6 6.1 6.1.1 v = v 0 =v 0x,v 0y, 0) t =0 x 0,y 0, 0) t x x 0 + v 0x t v x v 0x = y = y 0 + v 0y t, v = v y = v 0y 6.1) z 0 0 v z yv z zv y zv x xv z xv y yv x = 0 0 x 0 v 0y y 0 v 0x 6.) 6.) 6.1) 6.)
数値計算：常微分方程式
( ) 1 / 82 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 / 82 ( ) 3 / 82 C θ l y m O x mg λ ( ) 4 / 82 θ t C J = ml 2 C mgl sin θ θ C J θ = mgl sin θ = θ ( ) 5 / 82 ω = θ J ω = mgl sin θ ω J = ml 2 θ = ω, ω = g l sin θ = θ ω ( )
.5 z = a + b + c n.6 = a sin t y = b cos t dy d a e e b e + e c e e e + e 3 s36 3 a + y = a, b > b 3 s363.7 y = + 3 y = + 3 s364.8 cos a 3 s365.9 y =,
[ ] IC. r, θ r, θ π, y y = 3 3 = r cos θ r sin θ D D = {, y ; y }, y D r, θ ep y yddy D D 9 s96. d y dt + 3dy + y = cos t dt t = y = e π + e π +. t = π y =.9 s6.3 d y d + dy d + y = y =, dy d = 3 a, b
D xy D (x, y) z = f(x, y) f D (2 ) (x, y, z) f R z = 1 x 2 y 2 {(x, y); x 2 +y 2 1} x 2 +y 2 +z 2 = 1 1 z (x, y) R 2 z = x 2 y
5 5. 2 D xy D (x, y z = f(x, y f D (2 (x, y, z f R 2 5.. z = x 2 y 2 {(x, y; x 2 +y 2 } x 2 +y 2 +z 2 = z 5.2. (x, y R 2 z = x 2 y + 3 (2,,, (, 3,, 3 (,, 5.3 (. (3 ( (a, b, c A : (x, y, z P : (x, y, x
,. Black-Scholes u t t, x c u 0 t, x x u t t, x c u t, x x u t t, x + σ x u t, x + rx ut, x rux, t 0 x x,,.,. Step 3, 7,,, Step 6., Step 4,. Step 5,,.
9 α ν β Ξ ξ Γ γ o δ Π π ε ρ ζ Σ σ η τ Θ θ Υ υ ι Φ φ κ χ Λ λ Ψ ψ µ Ω ω Def, Prop, Th, Lem, Note, Remark, Ex,, Proof, R, N, Q, C [a, b {x R : a x b} : a, b {x R : a < x < b} : [a, b {x R : a x < b} : a,
Proceedings of the 61st Annual Conference of the Institute of Systems, Control and Information Engineers (ISCIE), Kyoto, May 23-25, 2017 The Visual Se
The Visual Servo Control of Drone in Consideration of Dead Time,, Junpei Shirai and Takashi Yamaguchi and Kiyotsugu Takaba Ritsumeikan University Abstract Recently, the use of drones has been expected
1 (Berry,1975) 2-6 p (S πr 2 )p πr 2 p 2πRγ p p = 2γ R (2.5).1-1 : : : : ( ).2 α, β α, β () X S = X X α X β (.1) 1 2
2005 9/8-11 2 2.2 ( 2-5) γ ( ) γ cos θ 2πr πρhr 2 g h = 2γ cos θ ρgr (2.1) γ = ρgrh (2.2) 2 cos θ θ cos θ = 1 (2.2) γ = 1 ρgrh (2.) 2 2. p p ρgh p ( ) p p = p ρgh (2.) h p p = 2γ r 1 1 (Berry,1975) 2-6
ω 0 m(ẍ + γẋ + ω0x) 2 = ee (2.118) e iωt x = e 1 m ω0 2 E(ω). (2.119) ω2 iωγ Z N P(ω) = χ(ω)e = exzn (2.120) ϵ = ϵ 0 (1 + χ) ϵ(ω) ϵ 0 = 1 +
2.6 2.6.1 ω 0 m(ẍ + γẋ + ω0x) 2 = ee (2.118) e iωt x = e 1 m ω0 2 E(ω). (2.119) ω2 iωγ Z N P(ω) = χ(ω)e = exzn (2.120) ϵ = ϵ 0 (1 + χ) ϵ(ω) ϵ 0 = 1 + Ne2 m j f j ω 2 j ω2 iωγ j (2.121) Z ω ω j γ j f j
( ) sin 1 x, cos 1 x, tan 1 x sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x. π 2 sin 1 x π 2, 0 cos 1 x π, π 2 < tan 1 x < π 2 1 (1) (
6 20 ( ) sin, cos, tan sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan. π 2 sin π 2, 0 cos π, π 2 < tan < π 2 () ( 2 2 lim 2 ( 2 ) ) 2 = 3 sin (2) lim 5 0 = 2 2 0 0 2 2 3 3 4 5 5 2 5 6 3 5 7 4 5 8 4 9 3 4 a 3 b
n ξ n,i, i = 1,, n S n ξ n,i n 0 R 1,.. σ 1 σ i .10.14.15 0 1 0 1 1 3.14 3.18 3.19 3.14 3.14,. ii 1 1 1.1..................................... 1 1............................... 3 1.3.........................
.2 ρ dv dt = ρk grad p + 3 η grad (divv) + η 2 v.3 divh = 0, rote + c H t = 0 dive = ρ, H = 0, E = ρ, roth c E t = c ρv E + H c t = 0 H c E t = c ρv T
NHK 204 2 0 203 2 24 ( ) 7 00 7 50 203 2 25 ( ) 7 00 7 50 203 2 26 ( ) 7 00 7 50 203 2 27 ( ) 7 00 7 50 I. ( ν R n 2 ) m 2 n m, R = e 2 8πε 0 hca B =.09737 0 7 m ( ν = ) λ a B = 4πε 0ħ 2 m e e 2 = 5.2977
構造と連続体の力学基礎
II 37 Wabash Avenue Bridge, Illinois 州 Winnipeg にある歩道橋 Esplanade Riel 橋6 6 斜張橋である必要は多分無いと思われる すぐ横に道路用桁橋有り しかも塔基部のレストランは 8 年には営業していなかった 9 9. 9.. () 97 [3] [5] k 9. m w(t) f (t) = f (t) + mg k w(t) Newton
1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C
0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
I A A441 : April 15, 2013 Version : 1.1 I Kawahira, Tomoki TA (Shigehiro, Yoshida )
I013 00-1 : April 15, 013 Version : 1.1 I Kawahira, Tomoki TA (Shigehiro, Yoshida) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/13s-tenbou.html pdf * 4 15 4 5 13 e πi = 1 5 0 5 7 3 4 6 3 6 10 6 17
7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa, f a g b g f a g f a g bf a
9 203 6 7 WWW http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lectue/tahensuu-203/ 2 8 8 7. 7 7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa,
2009 I 2 II III 14, 15, α β α β l 0 l l l l γ (1) γ = αβ (2) α β n n cos 2k n n π sin 2k n π k=1 k=1 3. a 0, a 1,..., a n α a
009 I II III 4, 5, 6 4 30. 0 α β α β l 0 l l l l γ ) γ αβ ) α β. n n cos k n n π sin k n π k k 3. a 0, a,..., a n α a 0 + a x + a x + + a n x n 0 ᾱ 4. [a, b] f y fx) y x 5. ) Arcsin 4) Arccos ) ) Arcsin
2011de.dvi
211 ( 4 2 1. 3 1.1............................... 3 1.2 1- -......................... 13 1.3 2-1 -................... 19 1.4 3- -......................... 29 2. 37 2.1................................ 37
II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2
![II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2](/thumbs/101/149159646.jpg "II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2")
II No.1 [n/] [1]H n x) H n x) = 1) r n! r!n r)! x)n r r= []H n x) n,, H n x) = 1) n H n x) [3] H n x) = 1) n dn x e dx n e x [4] H n+1 x) = xh n x) nh n 1 x) ) d dx x H n x) = H n+1 x) d dx H nx) = nh