平成２４年度高知県算数・数学

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かおりうばら
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数の組み合わせであるしたがって, 答えはと 8,3 と 7,4 と 6 である答えと 8,3 と 7,4 と 6 1と同じように, 縦の和と横の和の合計は, オだけ回足した合計オ= x なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+ x = x

1 平成 4 年度高知県算数数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが回足したことになるオ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )= =50 縦の和は,50 =5 とわかるアからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5) =10 よって, ウとエの組み合わせは,1 から 9 までで,1,9,5 を用いない合計 10 となる数の組み合わせであるしたがって, 答えはと 8,3 と 7,4 と 6 である答えと 8,3 と 7,4 と 6 1と同じように, 縦の和と横の和の合計は, オだけ回足した合計オ= x なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )= x = x +45 縦の和 = 横の和 = y なので, y x 45 y y x 45 y x 45 答え y x 45 3 オが 4 のとき, より縦に並んだ合計は, しかし, 他のには 1 から 9 の自然数しか入れることができないので, 合計が小数になることはあり得ない 4 よって, この場合はできない

() 1 左の図のように, 各辺の和を X,Y,Z にすると, X+Y+Z=1++3+4+5+6+7+8+9+ ア + エ + キア =1, エ =, キ =3,X=Y=Z なので, X+Y+Z=45+1++3 3X=51 X=17 よって, 各辺が 17 になる数の組み合わせを考えると答えのようになる 1 と同じように考えると,

69-(1++3+4+5+6+7+8+9)=4 1,の考えから3つの頂点の合計が4とわかる 1から9のそれぞれ3 数を使って4になるのは, 7,8,9の組み合わせしかないので, それぞれの頂点は,7,8,9とわかる 1,と同じように組み合わせを考えると, 右のような答えになるただし, 頂点を除くとなり合ったつの数は入れかえが可能

2 () 1 左の図のように, 各辺の和を X,Y,Z にすると, X+Y+Z= ア + エ + キア =1, エ =, キ =3,X=Y=Z なので, X+Y+Z= X=51 X=17 よって, 各辺が 17 になる数の組み合わせを考えると答えのようになる 1 と同じように考えると, 各辺の和は, =60 よって,1 つの辺の和は 0 になる 1 ただし, 頂点を除くとなり合ったつの数は入れかえが可能ただし, 頂点を除くとなり合ったつの数は入れかえが可能数の和 17 数の和 0 3 3つの辺の和の合計は,3 3=69 69-( )=4 1,の考えから3つの頂点の合計が4とわかる 1から9のそれぞれ3 数を使って4になるのは, 7,8,9の組み合わせしかないので, それぞれの頂点は,7,8,9とわかる 1,と同じように組み合わせを考えると, 右のような答えになるただし, 頂点を除くとなり合ったつの数は入れかえが可能 4 3つの頂点の数をA,B,Cとしたとき,3 辺の和の合計は, A+B+C=45+A+B+C 各辺が同じになるには, これが必ず 3 で割りきれなければならない 45 3=15 で 3 で割りきれるので, A+B+C も 3 で割りきれなければならないよって, 各頂点の合計は必ず 3 の倍数になる組み合わせでなければいけないことがわかった

3 問題 (1) 1 ABC の面積を a, ABF の面積を b とすると, a は AC を底辺とし, 頂点 B から垂線を引き, 高さとする三角形の面積, b は AF を底辺とし, 頂点 B から垂線を引き, 高さとする三角形の面積といえる条件より,AC と AF は一直線上にあり,AC=AF であるよって, a b また, BDF の面積を c としたとき, b は AB を底辺とし, 頂点 F から垂線を引き, 高さとする三角形の面積, c は BD を底辺とし, 頂点 F から垂線を引き, 高さとする三角形の面積といえるよって, b c ここで, a b c ということがわかる左の図のように, BCD, CDE の面積を, それぞれ d, e とすると, 同様に考えて, a d e 同様に, ACE, AEF の面積を, それぞれ f, g としたときも, a f g したがって, a b c d e f g となり, DEF= a b c d e f g = a a a a a a a = 7 a である答え 7 倍左の図のように, 問題に示されたそれぞれの点を G,H とすると,1 と同様の考えから, ABC と AGB は同じ長さの AC, AG を底辺とし, 同じ頂点 B までの垂線を高さとするので, ABC= AGB= a また, AGB, BGH, HGD の 3 つの三角形を考えたときも同様で, 全て面積は等しく, a よって, ADG=3a また, 同様に, ADGと GDFを考えたときも, ADG= GDF=3 a, ADF= 6a とわかる同じように, BDEも CEFも 6a となり, DEF= ABC+ ADF+ BDE+ CEF = a 6a 6a 6a =19 a である答え 19 倍

4 3 左の図のように, 問題に示されたそれぞれの点を G,H,I,J とすると,1, と同様に, ABC= AGB= BIG= IJG= JDG= a なので, AGD= 4a また, AGD= GHD= HFD= 4a よって, ADF=1a 同じ考え方により, BDE= CEF=1a となり, DEF= ABC+ ADF+ BDE+ CEF = a 1a 1a 1a =37 a である答え 37 倍 4 1~3をまとめて考えると, 1BC=AB,CE=BC,AF=CAのときは, (-1) 3 +1=7( 倍 ) ADFに含まれる ABCと同じ面積をもつ三角形の数 ADF BDE CEF ABC BC=AB,CE=BC,AF=CAのときは, 3 (3-1) 3+1=19( 倍 ) 3BC=3AB,CE=3BC,AF=3CAのときは, 4 (4-1) 3+1=37( 倍 ) このことから,BC=10AB,CE=10BC,AF=10CA のときは, 11 (11-1) 3+1=331( 倍 ) 答え 331 倍

5 () 1 (1) と同様の考えから, ABC= BPC= CQP= a であるよって, BPQ= a また, ACD= DRA= ARS= b であるから, DRS= b したがって, BPQと DRSの面積の和は, a b になる答え BPQ+ DRS= a b 下の図のように, BCD の面積を d, ABD を e とすると, これまでの考え方より, CQR= d ASP= e とわかる四角形 PQRS= BPQ+ DRS+ CQR+ ASP+ 四角形 ABCD = a b d e + 四角形 ABCD = a b d e + 四角形 ABCD a b, d e は, それぞれ四角形 ABCDの面積に等しいよって, 四角形 PQRS= 四角形 ABCD+ 四角形 ABCD+ 四角形 ABCD したがって,5 倍である =5 四角形 ABCD 答え 5 倍

6 問題 3 (1) 7 番目は,6 番目の5-1=4 9 番目は,() の8 番目 -1=6-1=5 11 番目は,() の10 番目 -1=7-1=6 答え 7 番目 4 cm 9 番目 5 cm 11 番目 6 cm () 8 番目は,(1) の7 番目 +=4+=6 10 番目は,(1) の9 番目 +=5+=7 1 番目は,(1) の11 番目 +=6+=8 答え 8 番目 6 cm 10 番目 7 cm 1 番目 8 cm (3) 奇数番目を順に見てみると,1 番目 3 番目 5 番目 7 番目 9 番目 1 番の 1 cmから番進むごとに 1 cmずつ増えている 1 cm cm 3 cm 4 cm 5 cm n 1 そのため, 奇数の n 番目の半径はcmと考えることができるまた, 偶数番目を順に見てみると, 番目 4 番目 6 番目 8 番目 10 番目と, 番の 3 cmから番進むごとに 1 cmずつ増えている 3cm 4cm 5cm 6cm 7cm (1+) (+) (3+) (4+) (5+) n そのため, 偶数の n 番目の半径は cmと考えることができる

7 (4) (3) で考えたことより, 番目の半径は 17 cm 番目の半径は 16 cm 3 3 番目の半径は 18 cm よって, =67( cm ) 答え 67 cm (5) 円の中心間の距離をまとめると, 次のようになる 1 番目 ~3 番目番目 ~4 番目 3 番目 ~5 番目 4 番目 ~6 番目 5 番目 ~7 番目 6 番目 ~8 番目中心間の距離 = = = = = =19 よって, n 番目と n 番目の距離は, n 7 といえるこれが 111 cmとなるので, n n n 104 n 5 答え n 5

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2 三角形四角形二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理二等辺三角形の底角は等しい定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を直角に2 等分する正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で同じ印をつけた辺や角が等しいときの大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)