S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である

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1 S01 1 図において = =とする このとき であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって である

2 S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である

3 S03 1 長さの等しい2つの線分 がある 上に =となるような点 点 をとる このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 また は共通 より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である

4 S04 1 図において = = とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 また 辺 は共通 より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である

5 S05 1 図において = =とする このとき =となることを証明せよ と において = 1 = 2 また =+ 3 = より = 5 は共通 より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である

6 S06 2 図において と が線分 で重なっており // = =とする このとき であることを証明せよ と において = 1 //より 錯角は等しいので = 2 また =+ =+ ここで =なので = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって である

7 S07 2 平行な2つの線分 があり との交点を点 Oとし O=Oとする このとき =であることを証明せよ O O と O において O=O 1 O //より 錯角は等しいので O= O 2 また 対頂角は等しいので O= O より O 1 辺 (1 組の辺 ) とその両端の角がそれぞれ等しい よって O O 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である ( ポイント ) 平行な 2 直線に他の 1 直線が交わってできる 錯角は等しいことを利用する

8 S08 2 図において の中点をOとし //とする このとき O O となることを証明せよ O O と O において O=O 1 O //より 錯角は等しいので O= O 2 また 対頂角は等しいので O= O 3 O より 1 辺 (1 組の辺 ) とその両端の角がそれぞれ等しい よって O O である

9 S09 4 図において = = とする このとき =であることを証明せよ と において 辺 は共通 1 = 2 = 3 三角形の内角の和は180 なので = = より = より 1 辺 (1 組の辺 ) とその両端の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

10 S10 3 図において 点 M は線分 の中点 = M= M である M このとき = であることを証明せよ M と M において M M=M 1 M= M 2 ( = ) M= M 3 M また M= M+ M 4 M= M+ M より M= M より 1 辺 (1 組の辺 ) とその両端の角がそれぞれ等しい よって M M 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である ( ポイント ) M= M+ M M= M+ M また 仮定より M= M この 3 つから M= M を導く ことができる

11 S11 1 は=とする二等辺三角形である 点 を=となるようにとる このとき =であることを証明せよ と において = 1 二等辺三角形 の底角なので = 2 また 辺 は共通 より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

12 S12 1 二等辺三角形 があり 底辺 上に= となるように2 点, をとる このとき は二等辺三角形であることを証明せよ と において は二等辺三角形なので = 1 = 2 二等辺三角形 の底角なので = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺は等しい ゆえに =であり は二等辺三角形である

13 S13 1 =である二等辺三角形 において 上に点 上に点 を = となる ようにとる 底辺 の中点を とするとき は二等辺三角形であることを証明せよ と において = 1 = 2 二等辺三角形 の底角なので = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =であり は二等辺三角形である

14 S14 1 = である二等辺三角形 の底辺 上に 点 を また辺 上にそれぞれ点 点 を とり = =とする このとき は二等辺三角形であることを証明せよ と において = 1 = 2 の底角なので = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =であり は二等辺三角形である

15 S15 3 =である二等辺三角形の辺 上に それぞれ点, 点 を = となるようにとる との交点をPとするとき Pは二等辺三角形であることを証明せよ P と において = 1 = 2 P =- 3 = より = 5 二等辺三角形 の底角なので = 6 P また は共通 より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = であり P においては底角が等しいので P は二等辺三角形である

16 S16 2 底辺 を共有する2つの二等辺三角形を とするとき はを垂直に 2 等分することを証明せよ と との交点を とする と において = 1 = 2 また は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = であり は二等辺三角形 の の二等分線であるから はを垂直に2 等分する

17 S17 3 平行四辺形 があり 辺 上に= となる点 をとる このとき であることを証明せよ と において = 1 平行四辺形の対辺の長さは等しいので = 2 二等辺三角形 の底角は等しいので = 3 また //より 錯角は等しいので = より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって = である

18 S18 2 は=の二等辺三角形 は =の二等辺三角形である = ならば =であることを証明せよ と において = 1 = 2 = 3 また = + 4 = より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺は等しい ゆえに =である ( ポイント ) が共通であることに気がつけば = であることがわかる

19 S19 5 図において = = のとき は で 2 等分されることを証明せよ との交点をKとする また を通りに平行な直線を引き との交点をとする K と K において // なので K= K( 錯角 ) 1 K= K( 錯角 ) 2 = ( 同位角 ) 3 =より は二等辺三角形であり K 底角は等しいので = より = よって は二等辺三角形であり = 5 K = より = より 1 辺 (1 組の辺 ) とその両端の角がそれぞれ等しい よって K K 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに K=K であり は で 2 等分される

20 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S20 2 線分 上に点 をとり をそれぞれ 1 辺とする正三角形 と正三角形 をとる このとき = となることを証明せよ と は正三角形なので = 1 = 2 = =60 3 と において = + 4 = より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺は等しい ゆえに = である

21 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S21 2 と が正三角形のとき =であることを証明せよ と において と は正三角形なので = 1 = 2 = =60 3 また = + 4 = より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である

22 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S22 2 図において と は正三角形であるとき =であることを証明せよ 証明 と において は正三角形なので = 1 = 2 また = - =60 - = - =60 - したがって = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

23 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S23 2 図において が正三角形のとき = であることを証明せよ と において と は正三角形なので = 1 = 2 また = + =60 + = + =60 + よって = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である

24 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S24 3 図のように 正三角形 の辺 を延長して その上に点 をとる 次に 頂点 を通るに平行な直線を引き その線上に=となる点 をとる このとき =であることを証明せよ と において仮定より = 1 は正三角形だから = 2 = 3 //より 錯角は等しいから = 4 3 4より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

25 S25 3 図のように 正三角形 の辺 上に それぞれ点 を==となるようにとると も正三角形になることを証明せよ == 1 == 2 = = 3 また =- 4 =- 5 =- 6 と において より = より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい よって であり = 8 次に と において より = より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい よって であり = より == であり は正三角形である

26 S26 3 正三角形 の辺 の中点をそれぞれ 点, とし 3 点,, を順に結ぶと 正三角形 は4つの合同な正三角形に分けられることを証明せよ は 2 辺が等しく その間の角が 60 なので また これらは正三角形である よって は3 辺がまわりの正三角形の1 辺に等しい正三角形となる ゆえに 正三角形 は により 4 つの合同な正三角形に分けられる

27 S27 5 正三角形 の内部に点 Pをとり Pを1 辺 とする正三角形 QPとPを1 辺とする正三角形 RPをつくる そして 点 と点 Q 点 と点 Rをそれぞれ直線で結ぶ Q R このとき PQ=R であることを証明せよ P P と R において RPは正三角形なので = 1 P=R 2 Q R また P P=60 - P R=60 - P したがって P= R より 2 辺 (2 組の辺 ) とその間の角がそれぞれ等しい P R Q R 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに P=R 4 P また QP は正三角形なので P=PQ より PQ=R である ( ポイント ) PQ=R を含む合同な三角形はないので 一旦 P=R を示すと良い

28 S28 2 点 は正方形 の辺 上の点 点 は辺 上の点で=である このとき =であることを証明せよ と において = 1 = 2 = = より 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = である

29 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S29 2 O 内の点 Pから辺 O Oに引いた垂線を PM PNとするとき PM=PNならば 点 Pは O の二等分線上にあることを証明せよ N P O M POMと PONにおいて N PMO= PNO=90 1 P PM=PN 2 また O M PO は共通 より N 直角三角形の斜辺と他の1 辺がそれぞれ等しい よって POM PON P 合同な三角形の対応する角は等しい O M ゆえに POM= PON であり 点 P は O( O) の二等分線上にある

30 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S30 2 線分 の中点 Mを通る直線 Xに 線分 の両端から垂線 H Kをそれぞれ引く このとき H=Kであることを証明せよ X H M K MHと MKにおいて X H HM= KM=90 1 M M=M(Mは線分 の中点 ) 2 MH= MK( 対頂角 ) より 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい よって MH MK X H K M 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい K ゆえに H=K である

31 S31 1 四角形 は =, = =90 である このとき = であることを証明せよ 直線 を引く と において = =90 1 = 2 また は共通 より 直角三角形の斜辺と他の1 辺がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

32 S32 1 図のように の の中点 M から, に垂線を引き との 交点をそれぞれ, とする このとき M=Mであれば は二等辺三角形であることを証明せよ M M と M において 仮定より M= M=90 1 M=M 2 M=M より 直角三角形の斜辺と他の1 辺がそれぞれ等しい よって M M M 合同な三角形の対応する角は等しい ゆえに = ( の底角が等しい ) であり は二等辺三角形である M

33 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S33 1 =の二等辺三角形 がある から それぞれ に垂線 を引くとき = であることを証明せよ と において 仮定より = =90 1 = ( 二等辺三角形の底角 ) 2 は共通 より 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに =である

34 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S34 4 = の二等辺三角形 がある 頂点, からそれぞれ に垂線 を引き の交点をとする このとき =であることを証明せよ と において = =90 1 は共通 2 二等辺三角形 の底角なので = より 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角は等しい ゆえに = したがって は2つの角が等しいので二等辺三角形であり =である ( ポイント ) と の合同は 条件が足りないためすぐには証明できない が二等辺三角形であることを証明すると良い = =

35 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S35 2 図のように 直角三角形 で 上に =となる点 をとり を通るに 垂直な線を引き との点をとする このとき は を2 等分することを証明せよ と において = =90 1 = 2 は共通 より 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角は等しい ゆえに = であり は を 2 等分する ( ポイント ) 仮定 は直角三角形 = 結論 は を二等分する = は を二等分する

36 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S36 2 平行四辺形 の頂点 から対角線 に垂線 をそれぞれ引くとき であることを証明せよ と において = =90 1 //より 錯角は等しいので = 2 平行四辺形の向かい合う辺は等しいから = より 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい よって である

37 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S37 3 直角二等辺三角形 の頂点 を通る直線 X に 垂線 を引いたとき であることを証明せよ X 証明 と において = =90 1 X = 2 また 三角形の内角の和は180 なので = = =90 - = X = =90 - したがって = より 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい よって である

38 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S38 3 =90 の直角二等辺三角形 の底角 の二等分線がと交わる点をとし からに 引いた垂線をとする このとき ==であることを証明せよ と において = =90 1 = 2 また は共通 より 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しい ゆえに = 4 次に において は直角二等辺三角形なので =45 =90 - =45 よって は直角二等辺三角形なので = より == である

39 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S39 5 =90 の直角二等辺三角形 の頂点 を通り の内部を通る直線に頂点, から垂線 を引く このとき - = であることを証明せよ と において 仮定より = 1 ( 直角二等辺三角形 の辺 ) = =90 2 また =90 - =90 - ゆえに = より 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので = = よって - = - = したがって - = である ( ポイント ) = - に気付いて = = をを示すと良い

40 三角形二等辺三角形直角三角形正三角形平行四辺形正方形その他ファイル名難易度 S40 4 図のように 直角二等辺三角形 の頂点 から 斜辺 に垂線 Mを引く 点 Mで垂直に交わる2つの直線を引き 辺,との交点をそれぞれ P,Q とする このとき MP MQであることを証明せよ M P Q MP と MQ において は直角二等辺三角形だから = =45 1 M P M より M= M=90 2 Q 1 2 より M と M は 直角二等辺三角形である ゆえに MP= MQ( )=45 3 M=M 4 M P MP MQ であるから MP=90 - MQ 5 M であるから Q MQ=90 - MQ より MP= MQ より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい よって MP MQ である

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