二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2

Transcription

1 三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) (4) (5) 3 (6) 70 (7) (8) (9) (0) () F (2) = = = = = =

2 二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2

3 二等辺三角形の性質 (3) 下の図ので は =の二等辺三角形である 底辺 上に =となるように 点 をとるとき =となることを次のように証明した をうめて証明を完成させなさい { 仮定 } { 結論 } { 証明 } と において 仮定から = = 二等辺三角形の 2 つの 2 は等しいから = = = から がそれぞれ等しいので 合同な図形では 対応する は等しいから = 2-5-3

4 2 つの正三角形 線分 上の 点を とし をそれぞれ 辺とする正三角形 と 正三角形 を 下の図のようにつくる () =となることを証明してみよう { 証明 } と において 仮定から = また = = =60 + よって = から がそれぞれ等しいので 合同な図形では 対応する は等しいから = (2) 次の ( ア )~( オ ) は 正三角形 は固定し 正三角形 を点 を中心に回転させたものである どの場合も=といえるだろうか ( ア ) ( イ ) ( ウ ) ( エ ) ( オ ) 2-5-4

5 二等辺三角形になるための条件 () 二等辺三角形になるための条件定理三角形の 2 つの角が等しければ その三角形は等しい 2 つの角を底角とする二等辺三角形である 下の図のように =の二等辺三角形 の辺, 上にそれぞれ,を=となるようにとり との交点をPとするとき P は二等辺三角形になることを次のように証明した をうめて証明を完成させなさい { 仮定 } { 結論 } { 証明 } とにおいて P 仮定から = = = から = 2 また は 2 つの三角形に共通な角だから = から がそれぞれ等しいので 合同な図形では 対応する = 4 は等しいから また は二等辺三角形であるから は等しいので = より P= P は 2 つの底角が等しいから P= の二等辺三角形である 2-5-5

6 二等辺三角形になるための条件 (2) の 2 つの角 の二等分線の交点を I とする I=I ならば は 二等辺三角形であることを証明しなさい { 仮定 } { 結論 } I { 証明 } I において 仮定から I= 二等辺三角形の2つの底角は等しいから I= 点 Iは の二等分線の交点だから = したがって は は = が等しい の二等辺三角形である 2-5-6

7 定理の逆 次のことがらの逆をいいなさい また それが正しいときは 正しくないときは をし その具体例を示しなさい () と F で F ならば = 逆 (2) で = ならば = 逆 (3)2 つの角が等しい三角形は 二等辺三角形である 逆 (4) 合同な図形の面積は等しい 逆 (5)6 の倍数は偶数である 逆 (6) ある数が 2 の倍数ならば 2 はその数の約数である 逆 (7)a<0 ならば -a>0 逆 (8)a=0 ならば ab=0 逆 2 2 (9)a=bならば a =b 逆 2-5-7

8 直角三角形の合同 () 直角三角形の合同条件 2 つの直角三角形は 次のどちらかが成り立つとき 合同である, 斜辺と つの鋭角がそれぞれ等しい 2, 斜辺と他の 辺がそれぞれ等しい = = 下の図のような三角形がある どれとどれが合同か また そのときの合同条件を書きなさい 5cm 3cm 3cmアイ 70 ウ 5cm 5cm 5cm エ 3cm 5cm オ 20 3cm カ 5cm 2 次の2つの三角形が合同であることを次のように証明した にあてはまる式や言葉を入れなさい () と Fにおいて = =90 4 cm 4 cm = F = から直角三角形で がそれぞれ等しいから F (2) と F において = =90 4 cm 4 cm = = cm 3 cm F 2 3 から直角三角形で がそれぞれ等しいから F 2-5-8

9 直角三角形の合同 (2) 右の図の二等辺三角形 で 底辺の中点 Mから,にひいた垂線と との交点を それぞれ とする このとき M=Mとなることを次のように証明した をうめて 証明を完成させなさい { 仮定 } { 結論 } { 証明 } Mと Mにおいて M 仮定から M= =90 M= 2 = だから = から がそれぞれ等しいから M M 合同な図形では 対応する は等しいから M=M 2-5-9

10 直角三角形の合同 (3) =90 である直角二等辺三角形 で 次の図のように 頂点 を通る直線 l に頂点 からそれぞれ垂線 をひくと += となることを証明しなさい l { 仮定 } { 結論 } { 証明 } と において 仮定から = =90 = 2 また =90-3 = から = 2 5 から 4 5 がそれぞれ等しいから 合同な図形では 対応する = 辺 は等しいから = したがって +=+= 2-5-0

11 直角三角形の合同 (4) 次の図のように =90 ==0 cmの直角二等辺三角形 の の二等分線と辺 との交点を とし から辺 に垂線 をひく このとき 次の問いに答えなさい () 合同な三角形はどれとどれか (2) の大きさを求めなさい (3) の大きさを求めなさい (4) = cmとするとき 辺 の長さを を使った式で表しなさい 0 cm 0 cm 2 次の図のような直角三角形 がある 点 I は の二等分線と の二等分線との交点である 点 I から辺 辺 辺 に垂線 I I IF をひく このとき次の問いに答えなさい () I と合同な三角形はどれか (2) I と合同な三角形はどれか (3) I と長さが等しい辺はどれか (4) I= cmとすると I I I それぞれ面積を を用いて表しなさい (5) I I I の面積の和を を用いて表しなさい (6) の面積を求めなさい (7) の値を求めなさい 0 cm I 6cm 8 cm F 2-5-

12 = 三角形 四角形 平行四辺形の性質 平行四辺形 平行四辺形 2 組の対辺がそれぞれ平行な四角形 ( 定義 ) 平行四辺形の性質定理平行四辺形では 2 組の対辺はそれぞれ等しい 22 組の対角はそれぞれ等しい 32つの対角線はそれぞれの中点で交わる 次の図の で y の大きさと m n の長さを求めなさい 同じ印をつけた角や辺はそれぞれ等しい () (2) (3) F GH 0 y m n 20 6 G m n F y H (4) P=PQ=Q (5) O=6cm PQ=mcm Q O P 6 y 0 30 (6) = 65 = (7) (8) (9) m 28 y y n 58 9 n 40 6= = 4 30 m 2-5-2

13 平行四辺形になるための条件 平行四辺形になるための条件 定理 四角形は次のどれかが成り立てば 平行四辺形である 2 組の対辺がそれぞれ平行である 定義 22 組の対辺がそれぞれ等しい 32 組の対角がそれぞれ等しい 4 対角線がそれぞれの中点で交わる 5 組の対辺が平行で その長さが等しい 右の図で の辺 の中点を それぞれ F G H とすると 四角形 FGH は平行四辺形になることを証明しなさい H G F 2 右の図で の辺 上に 2 点 P Q を P=Q となるようにとる このとき 四角形 PQ は平行四辺形になることを証明しなさい Q P 2-5-3

14 特別な平行四辺形 定義 長方形 4 つの角が等しい四角形ひし形 4 つの辺が等しい四角形正方形 4 つの角が等しく 4 つの辺が等しい四角形 平行四辺形の辺や角に条件を加えると長方形やひし形になる さらに条件を加えると正方形になる ~4 にあてはまる条件を書きなさい 長方形 4 平行四辺形 正方形 2 ひし形 3 2 平行四辺形の対角線に条件を加えると長方形やひし形になる さらに条件を加えると正方形になる ~4 にあてはまる条件を書きなさい 長方形 4 平行四辺形 2 3 正方形 ひし形 2-5-4

15 四角形の対角線 考えてみよう 四角形の対角線について どのようなことがわかるか 次の空欄をうめなさい () 一般の四角形 (2) 平行四辺形 O O O= O= (3) ひし形 O O= O= (4) 長方形 (5) 正方形 O O O= = = O= = = 2-5-5

16 平行線と面積 () それぞれの図形を 面積を変えずに三角形に変形しなさい () 台形 (2) (3) (4) 2-5-6

17 平行線と面積 (2) 左の図で:=2: :=2:であるとき 次の三角形の面積の比を求めなさい () : (2) : (3) : (4) : 2 右の図の で 点 M は辺 の中点 点 P は辺 を 3:2 に分ける点である の面積が 60 のとき MP の面積を求めなさい M P 2-5-7