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1 数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=: :=: したがって = すなわち = () =50,,=0, () =0,,=00, () ==0, であるから =50, ==50, == であるから =0, 0,+0,+50,+=80, t ( 後半 ) ==0, == であるから 80, -0, = =0, () 0, 0, 5 6 () =80,-00, +0, =0, 60,-==60, =00, == であるから 80, - = =0, 点, はそれぞれ辺, の中点であるから 点 は の外心であり, 点 は辺 の中点であ るから 5, から 5 同様に, 点, はそれぞれ辺, の中点であり, 5 であるから 5 点, はそれぞれ辺, の中点であり, 5 であるから 5 5,,5 から, 点 は の垂心である () () () () 点 は の外心であるから =K =, 中点連結定理により K= () H と の交点を とすると 5 K は外接円の直径であるから K5, から KH 同様に,H と の交点を とすると, K5,5 から KH, 四角形 KH は四辺形である () () から K=H () より,K= であるから H= () y=90,+ x () : () y=80, =80,- 0 + =80,- 0 80, - =80,-90,+ x =90,+ x () 0, 鋭角三角形 鈍角三角形 K H 0, 8 9 :=:=: = = において, 直線 I は の二等分線であるから : I:I=:=8: =: 点 G は の重心であるから G:G=: G= また, 点 は辺 の中点であるから = 更に, 点 は辺 の中点であるから,, から = G= = G: =: 線分, の交点を とする 四角形 は四辺形であるから =,= において, 点 は中線, の交点であるか ら, 重心である :=: = 同様に, において, 点 は中線, の交点であるから = ここで,= であるから = = = =+==,,, から ==== と の交点を とすると :=: と の交点を - とすると ここで -:-=: I () において, 直線 は の二等分線であるから = n m+ n,= n m+ n --

2 0 に代入すると -:-= n m+ n : n m+ n,, から =: :=-:-, と - は一致する したがって, 直線,, は 点で交わる に中線定理を適用して + = + に中線定理を適用して + = + + から = + + ここで, に中線定理を適用して () + = =0 9 () 8 () G=x とすると G=-x チェバの定理により G G = -x x 6 = x= 9 すなわち G= 9 () チェバの定理により :=5: より :=5:6 より + + =0 + + = + + = + + = 5 = 6 5 = ここで =x とおくと :=:=:x = x x=8 すなわち =8 () :6 () 9: ~ から x = - 6 -x Gx 5 () と直線 について, メネラウスの定理により = = = 6 :=:6 () と直線 について, メネラウスの定理により = = = 9 :=9: () () () の中線をそれぞれ,, とすると =, チェバの定理の逆により, 直線,, は 点で交わる, 三角形の つの中線は 点で交わる () の内心を I とすると 同様に 以上から I6 I == =,= = = I, チェバの定理の逆により, 直線,, は 点で交わる において において において +> +> +>,, の辺々をそれぞれ加えて 0++ >++ ++> において, 頂点 における外角と内対角の関係 から =+ ここで,= であるから =+, において > > 同様に =+ =+, において > > () 直線 に関して点 と対称な点 - をとると, 直線 - と の交点を と すればよい () 半直線 X,Y に関して, 点 とそれぞれ対称な点 -,-- をとると, 直 線 --- と半直線 X,Y の交点をそれぞれ, とすればよい () 直線 に関して点 と対称な点 - をとると +=-+ -+ が最になるのは, 点 -,, が つ の直線上にあるときである, 直線 - と の交点を とすればよい () 半直線 X,Y に関して, 点 とそれぞれ対称な点 -,-- をとると ++= が最になるのは, 点 -,,, -- が つの直線上にあるときである, 直線 --- と半直線 X,Y の交点をそれぞ れ, とすればよい と直線 について, メネラウスの定理に より = =,=,=,= であるから すなわち = =, と 点,, について, メネラ ウスの定理の逆を適用して, 点,, は つの直線上にある - - X -- Y --

3 9 0 において,, はそれぞれ辺, の中点 であるから = 同様に において,, はそれぞれ辺, の中点であるから = ここで, と はともに に対する円周角であるから =,, から = すなわち = 点, は直線 に関して同じ側にあるから, 点,,, は つの円周上にある と において = =,= であるから = ここで, 四角形 は円に内接しているから =,, より, 辺とその両端の角がそれぞれ 等しいから 6 = ==90, であるから, 四角形 は線分 を直径とする円に内接する = ここで =90,- =90,- =, から = したがって, 四角形 が円に内接するから, 点,,, は つの円周上にあ る () () () () と において =,= () =+ =+ =, と において =,= () () から :=: = () から :=: = + から + = + () =,=9 () r= () == =0+ = ==6-=,==-=5 から =+=+5=9 () 内接円と辺,, との接点をそれぞれ,, とする =r,=r であるから ==-r,==-r += であるから 0-r +0-r =5 r= 5, =80,-05, +, =0, = であるから = = =5, は円の接線であるから = =+ =5,+, =5, t (= を示した後の解答の別解 ) = =5, は円の接線であるから ==5, =80,-0+ =80,-05, +5, =5, 点 における接線を引き, 図のように点, を定める また, 線分, とさい円との交点をそ れぞれ, とし, 点 と 点, を結ぶ =,=,=, =d とおく はさい円の接線であるから =,= +++d=80, はさい円, きい円の接線であるから =,=d -r -r r -r r r 5,, d d -r 5 6 8, の内角の和を考えて, から ++=+d+0+ = = と において, = から :=: また = = =++d=80, したがって, 接弦定理の逆により, 直線 は,,, を通る円に接する () U0 () U () 方べきの定理から = = 0+6 =0 >0 であるから =U0 () ==6,=90, であるから =6U 方べきの定理から = 6U = = =U 円 において, 方べきの定理から = 円 - において, 方べきの定理から = =, 方べきの定理の逆から, 点,,, は つ の円周上にある U5 直線 は つの円,- の共通接線であるから 5,-5, 点 - から線分 に垂線 -H を下ろすと, 四角形 H- は長方形となる =H-,H=-= H=-H=5-= -H に三平方の定理を適用すると -H=U 6 - =U5-5 H

4 9 0 すなわち =U5 を通る共通内接線 を引く と の交点を とすると = = は左側の円の接線であるから, から = =+=+=+ ここで, 直線 上に図のように, 点 をとる このとき,+= であるから =, は の外角の二等分線である G は接線であるから, 方べきの定理により が成り立つ G = また, 条件より, であるから = また,= であるから =, 接弦定理の逆により, 直線 は の外 接円の接線である, 方べきの定理により が成り立つ, から = G = したがって G= 線分 上に点 - をとり,- から線分 に垂線 -- を引く 線分 -- を 辺とする正方形 ---- を,- が - よりも に近くなるようにかく 直線 - と弧 の交点を とし, から線分 に 垂線 を引く G G 点, を中心とする半径 の円と線分, との交点をそれぞれ, と する 四角形 が求める正方形である このとき, 四角形 と四角形 ---- は, を相似の中心として相似の位置にあ る また, 四角形 ---- は正方形である, 四角形 も正方形であるか 5 () 点 を通り, 直線 と異なる半直線 を引 く 上に,:=: となるように点, をとる を通り, 直線 にな直線を引き, 線分 との交点を とする 点 が求める点である より :=: であるから, 点 は線分 を : に内分する点である () 点 を通り, 直線 と異なる半直線 を引く 上に,:=: となるように点, をと る を通り, 直線 にな直線を引き, 直線 との交点を とする 点 が求める点である より :=: であるから, 点 は 線分 を : に外分する点である を通り, 直線 と異なる半直線 を引く 上に,=,= となるように点, をとる ただし, は線分 上にとる を通り, 直線 にな直線を引き, 直線 との交点を とする 線分 が求める線分 である =x とすると, から :x=: すなわち x=, 線分 は長さ の線分である 長さが の線分 をかく 長さが の線分 を, が直角にな るようにかく 線分 を引く 線分 が求める線分で ある において, 三平方の定理により すなわち = + = =U5 0 + =5, 線分 は長さ U5 の線分である U5 6 8 長さ の線分 を直径とする円をかく において の垂線を引き, その上に = となるように をとる 直線 と円 との交点を, に近い方から, とする 線分 が求める線分である 方べきの定理により =,=x とすると x0x+ = x +x- =0 したがって, 線分 が 次方程式 x +x- =0の解を長さとする線分である () 面 H, 面 GH () () 辺, 辺 H, 辺 HG, 辺 G () 辺, 辺, 辺 G, 辺 H () 面 H, 面 GH () 四角形 G,GH は長方形であるから G=G=90,, 辺 G は 本の直線, とである したがって, 辺 G と面 はである () 辺, 辺 H, 辺 HG, 辺 G () 辺, 辺, 辺 G, 辺 H () % () () % () % (5) (6) % () % () () % () % (5) (6) % () () () () (5) (6) 正四面体は, つの頂点に つの正三角形が集まっている ( つの頂点に集まる角の和 60,%=80,<60, ) 正八面体は, つの頂点に つの正三角形が集まっている ( つの頂点に集まる角の和 60,%=0,<60, ) x m m n ら, 条件を満たす 正二十面体は, つの頂点に 5 つの正三角形が集まっている ( つの頂点に集まる角の和 60,%5=00,<60, ) () () つの頂点に 6 つの正三角形が集まると, 角の和は 60,%6=60, となり, 平面になって しまう, つの頂点に 6 つ以上の正三角形が集まることはできない (60, 以上になる ) --

5 したがって, 各面が正三角形である正多面体は, 正四面体, 正八面体, 正二十面体以外に はない 9 () 6 倍 () m () 立方体 -GH の体積を V 四面体 GH の体積を V V m とする m, V =6%6%6=6 ( m ) V = % %6%6%6=6 ( m ) V = 6 6 =6 より, V は V の 6 倍である () 四面体 H,H, の体積はそれぞれ四面体 GH の体積と等しい したがって, 求める体積は V-V =6-%6 = ( m ) -5-