二次元コルモゴロフ流における局在乱流 (乱流を介在した流体現象の数理)

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ゆずさたかぎ
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1 数理解析研究所講究録第 2007 巻 2016 年二次元コルモゴロフ流における局在乱流京都大学理学研究科物理学宇宙物理学専攻蛭田佳樹 $\dagger$, 藤定義 Yoshiki Hiruta, Sadayoshi Toh Division of Physics and Astronomy, Graduate School of Science Kyoto University * 1 introducton 近年力学系的アプローチを用いて流体系の空間的に局在したダイナミクスを捉えようとする動きが高まっているとくに層流乱流遷移の間で発生する乱流パフや乱流スポットなどの局在した乱れ [1 4] を力学系の観点から理解できるのではないかと期待されている [5 11] 様々な流体系を総括する一般的な視点を得るためにまた簡単に数値的な証拠を得るために単純な流体系において局在した乱流がどのように現れるか考察するのは重要だろう二次元コルモゴロフ流は層流から乱流への遷移を示す最も簡単な流体系として研究されてきたこの系で最近 Lucas&Kerswell [12] によって非常に興味深い局在したダイナミクス ( 局在した周期運動進行波など ) を示すことが報告されたしかし彼らの系ではそのような局在した構造は単独では取りだすことはできなかったここでは外力に垂直な方向の流量が保存量であることに着目しこの量を調整することで空間的に局在した解として取り出すことができることを DNS で確認したこの系における非一様な解を議論する場合には 0 でない流量を考えることが重要だと言えるまた実際に空間的に局在した乱流が現れることを DNS で確認した * 京都市左京区北白川追分町 $\dagger$ e mail:hiruta@kyoryu.scphys.kyoto u.ac.jp

2 23 2 支配方程式に付随する保存量二次元コルモゴロフ流は長方形領域 [0, 2 $\pi$]\times[0, L] の Navier Stokes 方程式上において定義された定常外力あり \displaystyle \partial_{t}u+u\cdot\nabla u=-\nabla p+\frac{1}{re}\nabla^{2}u+\sin(ny)\hat{x} (1) \nabla\cdot u=0 (2) で支配されるここで Re, $\alpha$, n はそれぞれレイノルズ数領域のアスペクト比外力の波数であるまた L=\displaystyle \frac{2 $\pi$}{ $\alpha$} である U_{y}=\displaystyle \frac{ $\alpha$}{4$\pi$^{2}}\int_{0}^{2 $\pi$/ $\alpha$}dx\int_{0}^{2 $\pi$}dyu_{y} (3) で定義される単位長さあたりの流量 U_{y} は領域の周期性と式 (2) を考慮しながら式 (1) を全領域で積分することで \displaystyle \frac{du_{y}}{dt}=0 (4) を満たすことがわかるここで外力により y 方向のガリレイ不変性は破れていることに注意すべきである我々は流体方程式の非一様な解に興味があったので U_{y}\neq 0 の状況について調べることにする x 方向に並進対称性を持った層流解は砺に依存してとなるここで \tan $\theta$=reu_{y}/n である u_{1\mathrm{a}\mathrm{m}}(u_{y})=-\displaystyle \frac{re}{n}\cos $\theta$\cos(ny+ $\theta$)\hat{x}+u_{y}\hat{y} (5) 3 数値シミュレーション非一様な流れを考慮に入れるために導入した U_{y} を変化させた時, 系の振る舞いがどのように変化するか数値的に調べた式 1を渦度ベースのスペクトル法を用いて数値計算した初期値は U_{y}=0 の時に層流からピッチフォーク分岐で不安定化して現れたキンク対にしたパラメータは =0.25, n=4 に固定し Re=50 について U_{y}<3.0 で U_{y} を変化させた時の流れを考えた ( 図 1) 流量が増えるとともに解が非対称になり局在した流れ構造が現れることがわかる特に U_{y} =2.0 付近では局所的に複雑な振る舞いを

$24 図 1 渦度によるスナップショット Re=50n=4 $\alpha$=0.25. U_{y} =0.0( 左上 ),1.0( 右上 ),2.0( 左下 ),3.0( 右下 ) する乱流構造が現れる U_{y} \gg 2.$

3 24 図 1 渦度によるスナップショット Re=50n=4 $\alpha$=0.25. U_{y} =0.0( 左上 ),1.0( 右上 ),2.0( 左下 ),3.0( 右下 ) する乱流構造が現れる U_{y} \gg 2.0 で右下のような \mathrm{x} 方向に並進対称性を持った層流解 u_{1\mathrm{a}\mathrm{m}}(u_{y}) に落ち着く 4 流量による流れのの大域的な構造の制限二次元コルモゴロフ流に現れる流れの大域的な構造を議論する低アスペクト比 $\alpha$<1 の流れではコルモゴロフ流は x 方向に長波長の構造を持つことが知られている [12 15] Lucas らによれば層流は不安定化して長波長のキンクとアンチキンクのペアが現れるこのキンク構造が重要になるのは Uy\neq 0 の状況でも一緒であるすなわちこの系においては流れは局在した kink 構造と層流領域によって形成される最も単純な場合として流れ u_{1\mathrm{a}\mathrm{m}}(-$\lambda$_{p}) が幅 L_{p} で, u_{1\mathrm{a}\mathrm{m}}(-$\lambda$_{p}) が幅 L_{n} で実現しその間を kink 構造がつないでいるとすると Lp と L_{n} の間には近似的に L=L_{p}+L_{n} (6) U_{y}=\displaystyle \frac{-$\lambda$_{p}l_{p}}{l}+\frac{-$\lambda$_{n}l_{n}}{l} (7) の関係があるこの連立方程式の解としてその解の局在度合いがわかる Uy=0 の時は Lp と L_{n} に関し対象だが Uy が大きくなるごとに非対称になることがわかる特に Uy\sim$\lambda$_{p} (or Uy\sim$\lambda$_{n} ) が満たされる時, 解が非常に狭い領域で実現しそうなことがわかるであろう実際 Re=50 で図 1 のような一つのキンクペアによって構成される流れでは $\lambda$_{p}, $\lambda$_{n}!\sim 1.7 であることが確認されている

$25 6 >_{4}4 2 0 0 5 10 15 20 25 40 20 0-20 -40 X 図 2 渦度によるスナップショット.Re =2000n=32 $\alpha$=0.25 U\mathrm{g}=3.6. 5 局在解同士の相互作用二次元コルモゴロフ流において空間的に局在したダイナミクスが現れることを確認したこれらの空間的に局在した解はこの系の構成要素になりうるのだろうか?$

4 25 6 >_{4} X 図 2 渦度によるスナップショット.Re =2000n=32 $\alpha$=0.25 U\mathrm{g}= 局在解同士の相互作用二次元コルモゴロフ流において空間的に局在したダイナミクスが現れることを確認したこれらの空間的に局在した解はこの系の構成要素になりうるのだろうか? つまり二次元コルモゴロフ流のダイナミクスは妬 \neq 0 の系の局在解の重ね合わせでかけるのだろうか数値的に様々な場合を調べた結果局在解をを数値的に切り貼りして作った初期値に対し DNS を行うとそれぞれの局在解が非常に接近している時以外はそれぞれの局所構造は安定に存在したしたがって Lucasらが報告した混在した局在ダイナミクスは U_{y}\neq 0 の局在周期解や局在進行波解の重ね合わせであることが予想されるまた流量による流れの大域構造の制限は Re や n が大きくても変わらないことが確認された ( 図 2) 図 2は高 Re, 高波数の DNS のスナップショットで局在乱流の共存がこのパラメータ域でも観測されている 6 まとめ二次元コルモゴロフ流において流量が制限する解の大域的な構造を議論したまた実際にDNS で空間的に局在した解を構成共存させることができたこの流体系は非常に単純で数値的なコストも比較的小さいので数値的厳密解 ( 不安定な進行波解周期解 ) も比較的容易に求められることが期待される流量が非零の状況の統計的力学系的理解は今後の課題である

5 26 参考文献 [1] Y. Duguet, P. Schlatter, and D. S. Henningson. Formation of turbulent patterns near the onset of transition in plane Couette flow. Journal of Fluid Mechanics, 650:119, [2] K. Avila, D. Moxey, A. Lozar, M. Avila, D. Barkley, and B. Hof. The onset of turbulence in pipe flow. Science, 333(6039): , [3] M. Avila, F. Mellibovsky, N. Roland, and B. Hof. Streamwise localized solutions at the onset of turbulence in pipe flow. Physical Review Letters, 110(22):1-4, [4] B. Eckhardt. Doubly localized states in plane Couette flow. Jourmal of Fluid Mechanics, 758:1 4, nov [5] T. Itano and S. Toh. The Dynamics of Bursting Process in Wall Turbulence. Journal of the Physical Society of Japan, 70(3): , [6] G. Kawahara and S. Kida. Periodic motion embedded in plane Couette turbulence: regeneration cycle and burst. Journal of Fluid Mechanics, 449:291, [7] B. Eckhardt, T. M. Schneider, B. Hof, and J. Westerweel. Turbulence Transition in Pipe Flow. Annual Review of Fluid Mechanics, 39(1): , [8] P. Cvitanovič and J. F. Gibson. Geometry of the turbulence in wall bounded shear flows: periodic orbits. Physica ScWipta, \mathrm{t}142:014007, December [9] G. Kawahara, M. Uhlmann, and L. Veen. The Significance of Simple Invariant Solutions in Turbulent Flows. Annual Review of Fluid Mechanics, 44(1): , [10] E. Brand and J. Gibson. A doubly localized equilibrium solution of plane Couette flow. Journal of Fluid Mechanics, 750:\mathrm{R}1, [11] S. Zammert and B. Eckhardt. Fully localised periodic orbits in plane Poiseuille flow. Journal of Fluid Mechanics, pages , [12] D. Lucas and R. Kerswell. Spatiotemporal dynamics in two dimensional Kolmogorov flow over large domains. Journal of Fluid Mechanics, 750: , June [13] L. Meshalkin and Y. Sinai. Investigation of stability for a system of equations describing plane motion of a viscous incompressible fluid. Appl. Math. Mech,

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316 on One Hundred Years of Boundary Layer Research, Proceedings of the IUTAM Symposium held at DLR-Göttingen, Germany, 2004, (eds. G. E. A. Meier and

316 on One Hundred Years of Boundary Layer Research, Proceedings of the IUTAM Symposium held at DLR-Göttingen, Germany, 2004, (eds. G. E. A. Meier and K. R. Sreenivasan), Solid Mech. Appl., 129, Springer,