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いとはあいきょう
5 years ago
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1 Gross-Pitaevskii方程式による超流動乱流のエネルギースペクトル大阪市立大学理学部物理学科小林未知数坪田誠 1. イントロダクション 2. 研究目的 3. モデル 4. 計算結果 5. 今後の課題 6. まとめ

2 １イントロダクション超流動乱流とは液体4He 約2.17Kで超流動転移 Heがボースアインシュタイン凝縮を起こして同時に粘性のない振る舞い(超流動)をする 4 超流動薄膜

3 超流動のダイナミクス二流体モデル二流体モデルを特徴付ける現象熱対向流超流体高温側へ常流体低温側へ二流体が反対方向に流れる非常に大きな熱伝導度

4 相対速度がある値を超えると二流体の相対速度がある値を超えると今まで散逸を伴わなかった熱対向流に散逸が生じる Feynman この散逸こそ超流体中の循環が量子化された量子渦のタングル状態超流動乱流状態である 1955

(1957) 量子渦の特徴全ての量子渦はいたるところで同じ循環 vs ds = nh/mを持つ実際にはn 2

5 Vinen 超流動4Heにおける量子化された循環 = h/mを観測量子渦の発見タングル状態の量子渦と常流体との摩擦である相互摩擦力(mutual friction)を観測超流動乱流の発見 (1957) 量子渦の特徴全ての量子渦はいたるところで同じ循環 vs ds = nh/mを持つ実際にはn 2 の渦は不安定粘性による渦の拡散がない安定に渦が存在する渦芯のサイズは数Å 非常に微視的で理想的な渦糸である量子渦格子の観測 Packard １９８２

6 数値シミュレーションによる熱対向流中の量子渦糸タングルの裏付け渦糸近似古典流体では近似であるが超流動ではrealisticとなる渦糸近似を用いて量子渦のダイナミクスを計算し超流動乱流における様々な物理量の実験との定量的な一致を得た(Schwarz 1988) vs vn 熱対向流中の渦糸タングル超流動乱流渦糸タングルという描像の裏付け

7 熱対向流を用いて膨大な超流動乱流の研究が理論的実験的に行われたしかし熱対向流中の超流動乱流は超流動に固有の現象であり古典乱流との対応が全くない古典乱流と超流動乱流の関係は全く謎のままであった

8 近年状況は一転する J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998) 回転円盤中の超流動乱流験実る T >1.4K いられ用くっよなてにい能お可にが流応乱対典の古と流 R. J. Donnelly, Phys. Rev. Lett. 82, 4831 S. R. Stalp, L. Skrbek, and 乱典 (1999) 古た振動格子中の超流動乱流 T >1K

9 超流動乱流と古典乱流の関係は J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998) S. R. Stalp, L. Skrbek, and R. J. Donnelly, Phys. Rev. Lett. 82, 4831 (1999) エネルギースペクトル (a) 2.3 K (b) 2.08 K (c) 1.4 K T > 1 Kでの超流動乱流中において古典乱流の統計則であるKolmogorov則が観測された超流動乱流と古典乱流の類似性が観測された

10 Kolmogorov則発達した一様等方定常な非圧縮性古典流体の乱流における統計則外部からのエネルギー注入エネルギー注入領域慣性領域空間スケール小粘性によるエネルギー散逸エネルギー散逸領域慣性領域ではエネルギーが散逸されることなく系の詳細に依存しないスケール普遍性を持ちエネルギースペクトルがKolmogorov則で与えられる k 波数エネルギー散逸率 C Kolmogorov定数

11 高温での超流動乱流の古典乱流との類似古典乱流のように振舞う常流体と量子渦との間に相互摩擦力 ( mutual friction) が働くことによって起こる常流体のない絶対零度近傍でも古典流体との類似性はあるのか W. F. Vinen, Phys. Rev. B 61, 1410 (2000)

12 乱流流速を上げると層流から乱流への転移 Higher v v

13 古典乱流と渦格子乱流 v カルマン渦 Navier-Stokes方程式の数値解析核融合研木田重雄氏一様等方乱流中の低圧力旋回渦の中心軸と芯領域の可視化古典乱流においても渦は重要な役割を果たす

14 Kolmogorov則と Richardsonカスケードエネルギー散逸領域におけるエネルギー散逸率慣性領域におけるエネルギー輸送率エネルギー注入エネルギー注入領域定常状態 Navier-Stokes方程式の数値計算エネルギー注入によって作られた大きな渦渦度集中部が小さな渦へ分裂しエネルギー散逸領域にて散逸する渦のRichardson カスケード

15 古典乱流における渦渦度 =rot v は連続的な値をとる循環は任意を値をとる係関のと渦粘性によって渦は減衰し生成消滅をと則 v o r o g い o な繰り返す m l で o 明 K 自はがで流ド乱ー -1/4 ケ渦芯は Kolmogorov 長 ( / ) 程ス古典カ n o s d r a h 度 Ric 渦の同定そのものが困難渦が安定ではない

16 再び超流動における渦高温粒子性が顕著古典流体から量子流体へ波動性が現れる物質波個々の波が全て重なって巨視的波動関数を作るボースアインシュタイン凝縮低温

17 巨視的波動関数の時間発展 : Gross-Pitaevskii方程式 Gross-Pitaevskii(GP)方程式波動関数の位相欠陥位相欠陥のみで速度場は回転する

18 循環の量子化渦は安定渦は端を持たない渦輪で存在渦芯は回復長程度であり絶対零度近傍ではより小さいスケールでのみ散逸が存在する音波の放出など超流動乱流の構成要素は安定で循環のそろった量子渦古典流体の渦のよけいな自由度を取り除いた渦の skeleton 絶対零度近傍の超流動乱流は慣性領域における Kolmogorov 則と Richardson カスケードの関係を明らかにする理想系になるかもしれない

19 極低温の超流動乱流過去の計算１ T. Araki, M. Tsubota and S. K. Nemirovskii, Phys. Rev. Lett. 89, (2002) 渦糸が作る速度場をビオサバールの定理を用いて求めそこから渦糸のダイナミクスを計算する初期状態 Taylor-Green-flow 超流動乱流

エネルギースペクトルの時間発展コルモゴロフ則との比較(C =1) k 1 2 /l k 5/3 10 2

20 [sec] 50 [sec] 70 [sec] 102 10 6 C 2/3k 5/3 2 /l 10

20 エネルギースペクトルの時間発展コルモゴロフ則との比較(C =1) k 1 2 /l k 5/ E(k) [cm /sec 2] k [1/cm] t=0 [sec] 20 [sec] 50 [sec] 70 [sec] C 2/3k 5/3 2 /l k [1/cm] 102 低波数側でエネルギースペクトルが Kolmogorov 則と定量的に一致した

21 極低温の超流動乱流過去の計算２ C. Nore, M. Abid, and M. E. Brachet, Phys. Rev. Lett. 78, 3896 (1997) 式程方量子流体の波動関数を記の体流の性の縮も述する Gross-Pitaevskii 圧るはす式存ゆ程保て方程式を用いて超流動乱方は i し i ー k 化 s ギ v 転 e ルと a t ネ i へ P 流中のエネルギースペクトエ波 s の s 音 o 系ん Gr 全どんルを求めた初期状態めどたはる８であ６ネルギー Taylor-Green-flow エ渦のく t ２４１０１２

22 E(k) (t) : 2 < k < 12 : 2 < k < 14 : 2 < k < 16 5/3 t スペクトルの指数の時間発展 k t=5.5でのエネルギースペクトル非圧縮性運動エネルギー時間発展の途中でエネルギースペクトルが Kolmogorov 則を示すがその後音波放出の圧縮性効果が顕著になることでスペクトルは Kolmogorov 則から外れてゆく

23 ２研究目的 Gross-Pitaevskii方程式を用いて絶対零度の超流動乱流のダイナミクスを調べる Gross-Pitaevskii方程式に音波のみを散逸させる散逸項を導入し音波の影響を消す

24 ３モデル Gross-Pitaevskii方程式量子渦

25 計算方法スペクトル法 Gross-Pitaevskii方程式のフーリエ変換渦の再結合 GP方程式は圧縮性流体の方程式であり渦の再結合時や渦芯の大きさまで小さくなった渦輪の消滅時に回復長より短い波長の音波素励起を放出する絶対零度における量子渦の唯一の散逸渦と相互作用し乱流のダイナミクスに影響を与えるによって音波のみを散逸させる量子渦のみよって作られる超流動乱流のプロトタイプ

26 初期状態ランダムな位相３次元に応用初期の速度場はランダムな大きさと向きを持つので動的に不安定すぐに多くの渦を作って一様等方な乱流となる一様等方な乱流

27 ４計算結果時間発展 Runge-Kutta-Verner 法８段６次Runge-Kutta法 0<t<6 0=0 散逸なし 0=1 散逸あり渦度位相密度

28 散逸あり ( 0=1)となし( 0=0)との比較 t=5 渦度位相密度 0=0 散逸なし 0=1 散逸あり 0=0 のときに現れる細かい構造音波が 0=1では消えてい

29 もし波数に依存しない散逸を入れたら (k ) = 0 (k ) = 0 (k ) = 0 (k 2 / ) 波数に依存しない散逸は音波のみならず渦まで散逸させる渦のダイナミクスを調べるには不適当

30 てっな tに n a n ル mi o ネ d エーが音波のるギなルで tにネと n エこ a n のする mi 波 o る入音 d いとていを導ギーがっな逸なが散とル効ネ散逸に対しエ有のが渦制のいる散逸しの抑みのが波ー音ギるよに散逸

31 散逸あり ( 0=1)となし( 0=0)との比較非圧縮運動エネルギーの散逸率 0=1 0=0 0=1の場合エネルギー散逸率は4 < t <10でほぼ一定となるのに対し 0=0では落ち着かずに時には負になることもある音波の運動エネルギーが渦の運動エネルギーへと逆流している

32 ( 0=1)となし( 0=0)との比較エネルギースペクトルの指数エネルギーが散逸しないスケール k < k < 2 / (0.20 < k < 6.3) を慣性領域として定義する 0=1 0=0 散逸がないとKolmogorov則との一致は短くなる音波の影響が無視できない

33 Kolmogorov則との比較一定のと一定のKolmogorovスペクトル 2/3k - 音波の影響を取り除くことで超流動乱流中の量子渦ダイナミクスは古典乱流との類似性を示した

34 ５今後の課題今まで扱ってきた乱流散逸のある減衰乱流乱流はいずれ平衡状態へと向かってゆく大きなスケールからエネルギーを注入することにより定常乱流をつくることができる古典乱流とのより深い関係を調べることができる散逸のない通常の Gross-Pitaevskii 方程式との最も異なる点

35 定常乱流の作成 V (x,t )の例定常乱流へエネルギーの時間発展時間発展の計算とエネルギースペクトルの計算が現在進行中

36 ６まとめ 1. Gross-Pitaeskii方程式による絶対零度での超流動乱流の数値シミュレーションを用いて古典乱流との対応を議論した 2. Gross-Pitaeskii方程式は圧縮性流体の方程式であるため渦の再結合等によって生じた短波長の音波が超流動乱流における本来の量子渦ダイナミクスに影響を与えるそこで短いスケールでのみ有効な散逸を導入しこれら音波の影響を消した 3. 超流動乱流の渦の運動エネルギーのスペクトルが古典乱流の統計則であるKolmogorov則と定量的に一致した

37 まとめ量子系のダイナミクスこれまで量子力学の物質への応用はほとんど固体に限定されてきた量子渦に象徴される量子流体力学の眼目は何か流体において要素還元的な理解ができることである流体は流れる変形する多くの自由度が生き残っているそのような多自由度をreduceする低温における量子凝縮系量子渦素励起をいったような要素還元的な見方が流体や流動の理解をより加速するかもしれない

38 極低温での量子渦糸の減衰再結合による音波放出素励起フォノンロトンの放出 Richardson カスケードのなれの果ていずれも高波数領域で起こる

39 数値計算の精度 0 < t < 12のシミュレーションにおいてシミュレーション間の相対誤差の最大値Fij(E) = (<E>i-<E>j)/ <E>i を計算する 0=0 異なる分解能間でまた時間発展においてエネルギーが１０桁以上保存している高い精度

40 散逸の比較 (k ) = 0 (k ) = 0 (k ) = 0 (k 2 / ) v

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PowerPoint Presentation 量子流体力学および量子乱流の理論的研究とその発展大阪市立大理小林未知数坪田誠９月１２日１５日研究集会オイラー方程式２５０年発表内容 1. 2. 3. 4. 5. 量子流体量子乱流のイントロダクション理論研究の背景量子流体を記述するGross-Pitaevskii方程式数値計算結果まとめ量子流体量子乱流量子流体の舞台超流動He バルクの液体4Heはラムダ温度T =