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せぴあとみもと
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1 ゲーム理論戦略形ゲーム (1) 北海道大学経済学研究院 / 公共政策大学院町野和夫 2019 年 4 月 8 日 (14, 15 頁修正, 5, 21 頁微修正 )

2 I. ゲーム理論の基礎 ⅰ) ゲーム理論とは何か ii) ( 注 ) 非協力ゲームの基礎 ( 戦略ゲーム, ナッシュ均衡, ダイナミックなゲームなど ) iii) 繰り返しゲーム II. ゲーム理論の応用 ⅰ) 情報不完備ゲームと情報の経済学 ( 逆選択, モラルハザードなど ) ii) 交渉ゲーム iii) 協力ゲーム * III. 新しい分野進化ゲーム, ゲーム実験など注 : 前回 ii) として挙げていた不確実性の扱い方の内容はいくつかに分けてそれぞれ必要な場所で説明する 2019/4/8 2

3 I. ゲーム理論の基礎 ii) 非協力ゲームの基礎 1. 戦略形ゲーム (1) 戦略形ゲームとは (2) ナッシュ均衡 ( 純粋戦略 ) (3) 支配戦略均衡 (4) 有名な戦略形ゲームの例 2019/4/8 3 3

4 1. 戦略形ゲーム (1) 戦略形ゲームとは構成要素プレーヤ戦略 ( 全ての取り得る選択肢 ) 利得 (or 期待利得 ) 表現形式利得行列 ( プレーヤが二人で戦略集合が少ない場合は利得表 ) あるいは, 利得関数の形式で表現できる 2019/4/8 4

5 囚人 2 囚人 1 協力 ( 黙秘 ) 裏切り ( 自白 ) 協力裏切り ( 黙秘 ) ( 自白 ) -1, -1-3, 0 0, -3-2, /4/8 5

6 プレーヤの集合 :N = {1, 2,, n} 各プレーヤの戦略集合 : S i, i =1, 2,, n S i = {s i1, s i2,, s im } ただし m はプレーヤ i の戦略の数でプレーヤによって異なるプレーヤ i の戦略 : s i S i, i =1,, n ( s i は {s i1, s i2,, s im } のうちのどれかということ ) 2019/4/8 6

7 各プレーヤの戦略と利得の関係 ( 利得関数 ): π i (s), s = (s 1,, s n ) で定義される戦略の組み合わせ ( 各プレーヤが一つずつ選んだ戦略の組 )s = (s 1,, s n ) を戦略プロファイルと呼ぶ 2019/4/8 7

8 プレーヤの集合 :N = { 囚人 1, 囚人 2} 各プレーヤの戦略集合 : S 囚人 1 = { 協力, 裏切 } S 囚人 2 = { 協力, 裏切 } 各プレーヤの利得関数 :(s =( 協力, 協力 ), ( 協力, 裏切 ), ( 裏切, 協力 ), あるいは ( 裏切, 裏切 )) π 囚人 1( 協力, 協力 ) = -1, π 囚人 1( 協力, 裏切 ) = -3, π 囚人 1( 裏切, 協力 ) = 0, π 囚人 1( 裏切, 裏切 ) = -2 π 囚人 2( 協力, 協力 ) = -1, π 囚人 2( 協力, 裏切 ) = 0, π 囚人 2( 裏切, 協力 ) = -3, π 囚人 2( 裏切, 裏切 ) = /4/8 8

9 ( 直感的な定義 ) 最適応答 : 相手 ( 他のプレーヤ ) の戦略に対して, 自分の利得を最大にする戦略をとることナッシュ均衡それぞれのプレーヤが相手の戦略に対して最適応答をとっているとき, この戦略の組をナッシュ均衡点という 2019/4/8 9

10 均衡とはゲーム全体を第 3 者的に見て, 各プレーヤの戦略の組合せ ( 戦略プロファイル ) が, 誰も他の戦略に変更するインセンティブがないような状況別の言い方をすると, ゲームの後に, どのプレーヤも ( 他のプレーヤの選んだ戦略を前提にすると ) もっといい戦略は無かったと言える状況 * 純粋戦略以外も含んだ解釈については次回以降 2019/4/8 10

11 お互いに, 相手が戦略を変えない限り, 自分も戦略を変えるインセンティブが無いような戦略プロファイル s * = (s i*, s -i* ). すなわち, 以下の条件を満たす s*. π i (s i*, s -i* ) π i (s i, s -i* ) s i i ただし,s -i = (s 1,, s i-1, s i+1,,s n ) * 支配戦略均衡 ( 後述 ) はナッシュ均衡の特殊ケース 2019/4/8 11

12 定義のイメージ : 囚人のジレンマの例 π 1 ( 裏切り, 裏切り ) π 1 ( 協力, 裏切り ) π 2 ( 裏切り, 裏切り ) π 1 ( 裏切り, 協力 ) 他のプレーヤの戦略を均衡 ( 候補 ) の戦略に固定して自分の戦略を変化させて最も利得が高いということが全てのプレーヤで言えるときこの戦略プロファイルをナッシュ均衡と言うこの例は他のプレーヤが一人戦略も 2 つだけなので比較は容易 2019/4/8 12

13 定義 : 二つの戦略 s i, s i があり, 他のプレーヤがどんな戦略をとろうともプレーヤ i にとっては s i のときの利得が常に s i のときの利得より大きいとき,s i は s i に ( 厳密に ) 支配されると言う戦略 s i が, プレーヤ i の他の戦略全てを支配するとき s i をプレーヤ i の支配戦略というプレーヤ全員が支配戦略を取っているとき, 支配戦略均衡と呼ぶ 2019/4/8 13

14 支配される戦略がある場合支配される戦略を順次削除していくことで唯一のナッシュ均衡求められることもある囚人のジレンマの例ではまず囚人 A の協力という戦略は裏切という戦略に支配されるので削除する残った戦略の組合せでは囚人 B の協力という戦略が裏切りという戦略に支配されるので削除する最後に残る戦略の組合せ ( 戦略プロファイル ) は ( 裏切, 裏切 ) でこれはナッシュ均衡であり支配戦略均衡である 2019/4/8 14

15 プレーヤ1の戦略下は上に支配されるプレーヤ2の戦略左は中に支配されるプレーヤ1の戦略中は上に支配されるプレーヤ2の戦略右は中に支配される最後に残った戦略の組合せ ( 上, 中 ) がナッシュ均衡プレーヤ2 プレーヤ1 左中右上 2, 3 1, 5 4, 2 中 3, 1 0, 3 1, 4 下 1, 4 0, 2 3, /4/8 15

16 定義 : 二つの戦略 s i, s i があり, 他のプレーヤがどんな戦略をとろうともプレーヤ i にとっては s i のときの利得が常に s i のときの利得と同じかより大きいとき, s i は s i にに弱支配されると言う戦略 s i が, プレーヤ i の他の戦略全てを弱支配するとき s i をプレーヤ i の弱支配戦略という 2019/4/8 16

17 プレーヤ2 プレーヤ1 左中右上 1, 1 2, 1 2, 2 中 2, 2 2, 2 4, 2 下 2, 2 3, 2 3, 3 i. 支配される戦略, 支配戦略があれば求めなさい ii. 弱支配される戦略, 弱支配戦略があれば求めなさい iii. 支配される戦略の逐次削除で残る戦略があれば求めなさい iv. 弱支配される戦略の逐次削除で残る戦略があれば求めなさい v. ( 純粋戦略 ) ナッシュ均衡を求めなさい 2019/4/8 17

18 練習問題については次の回の講義中に解説し中間試験の前の週に再度まとめて解説する 2019/4/8 18

19 a. 囚人のジレンマ b. 協調ゲーム c. 男女の争い d. チキンゲーム ( タカ - ハトゲーム ) e. ゼロサムゲーム f. 電話ゲーム 2019/4/8 19

20 ドライバー B ドライバー A 左側通行右側通行左側通行 1, 1-1, -1 右側通行 -1, -1 1, 1 ナッシュ均衡は ( 左側通行, 左側通行 ) と ( 右側通行, 右側通行 ) どっちの均衡? 協調が望ましい均衡選択の問題 ( 後述 ) 2019/4/8 20

21 太郎花子映画野球映画 3, 2 1, 1 野球 0, 0 2, 3 Battle of Sex というゲーム男女がデートの時に一緒に行く方 ( 協調 ) が, それぞれの好みの場所に別々に行くよりうれしいが, 一緒の場合は自分の好みの場所に行く方がうれしい均衡選択の問題 2019/4/8 21

22 ドライバー B ドライバー A 避ける避けない避ける 2, 2 1, 4 避けない 4, 1 0, 0 若者同士が車を向き合って走らせ, どちらが勇敢かを競うゲーム先に避けた方が臆病 ( 英語の俗語でチキン ) と呼ばれる (James Dean の理由なき反抗 ) 均衡選択の問題 2019/4/8 22

23 A B 鳩タイプ鷹タイプ鳩タイプ 2, 2 1, 3 鷹タイプ 3, 1 0, 0 鷹同士がであうと激しく戦うが鳩同士は譲り合う鷹と鳩が出会うと鳩は逃げる構造はチキンゲームと同じ 2019/4/8 23

24 習トランプ掛ける待つ掛ける 0, 0 2, 3 待つ 3, 2 1, 1 電話で話そうとするとき, 相手に掛けてもらった方が電話代が浮くので望ましいしかし, 両方が掛けて通じなかったり, 両方が待つよりは, 自分が掛けて話ができた方がよい構造はチキンゲームと同じ 2019/4/8 24

25 E. ゼロサムゲーム例 : 顧客獲得競争 ( この例はコンスタントサム ( 定和 )) A 店 B 店単位 :% 価格維持値下げ価格維持 50, 50 30, 70 値下げ 70, 30 50, /4/8 25

26 プレーヤ 2 プレーヤ 1 石紙はさみ石 0, 0-1, 1 1, -1 紙 1, -1 0, 0-1, 1 はさみ -1, 1 1, -1 0, 0 プレーヤの利得を足すと常にゼロになる二人の場合は両者の利害が必ず正反対になる足して定数になる場合もゲームの性質は同じ 2019/4/8 26

27 21~26 頁の ( 純粋戦略 ) ナッシュ均衡を求めなさい 2019/4/8 27

28 複数の均衡がある場合別の情報を追加 ( 例 : フォーカルポイント ( 目立つもの )) 進化的プロセス ( どれか一つの均衡に収斂していく )( 後日 ) など ( 純粋戦略の ) 均衡がない場合混合戦略 ( 次回 ) 2019/4/8 28

29 戦略が連続的な例 : クールノー = ナッシュ均衡企業 i {A, B}, 生産量 x i, 逆需要関数 p(x) = - a(x A + x B ) + b, 費用関数 C(x i ) = cx i (c < b), とすると, 問題は以下の最大化問題を解くこと max Π i = p(x)x i - C(x i ) = {- a(x A + x B ) + b}x i - cx i, i = A, B 最大値の必要条件 : 上の関数の傾きが 0-2ax A - ax B + b = c,- 2ax B ax A + b = c 2019/4/8 29

30 この条件を満たすx i はx j (j i) の関数 ( 反応関数 ) x A = - (x B /2) + (b - c)/2a, x B = - (x A /2) + (b - c)/2a クールノー = ナッシュ均衡生産量 (x A *, x B *) = ((b - c)/3a, (b - c)/3a) x B x B * A の反応曲線 NE x A * B の反応曲線 x A 2019/4/8 30

31 x B x A 0 (b - c)/3a (b - c)/2a 0 0, 0 0, 2(b - c) 2 /9a 0, (b - c) 2 /4a (b - c)/3a 2(b - c) 2 /9a, 0 (b - c) 2 /9a, (b - c) 2 /9a (b - c) 2 /18a, (b - c) 2 /12a (b - c) 2 /4a, (b- c) 2 /12a, 0, 0 0 (b - c) 2 /18a (bc)/2a 2019/4/8 31

32 今回の例は, 既に挙げた参考書以外に次の本も参考にした Harrington, Joseph H. (2015) Games, Strategies, and Decision Making 2 nd ed., Worth Publishers. 2019/4/8 32

調和系工学ゲーム理論編

調和系工学ゲーム理論編ゲーム理論第三部知的都市基盤工学 5 月 30 日 ( 水 5 限 (6:30~8:0 再掲 : 囚人のジレンマ囚人のジレンマの利得行列協調 (Cooperte:C プレイヤー裏切 (Deect:D ( 協調 = 黙秘裏切 = 自白プレイヤー C 3,3 4, D,4, 右がプレイヤーの利得左がプレイヤーの利得ナッシュ均衡点プレイヤーの合理的な意思決定の結果 (C,C はナッシュ均衡ではない