Defects in Open String Field Theory

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1 Defects in Open String Fiel Theory 小 路 田 俊 子 京 都 産 業 大 学 益 川 塾 SFT2016 In collbortion with C.Mccferri (Torino), T.Msu(Nr Women s Univ), M.Schnbl(ASCR)

2 Worl-sheet Defect ( 佐 藤 さんのお 話 ) CFT BCFT (D-brne) DCFT 特 に tension less efect (topologicl efect) を 考 える Topologicl efect は bounry conition (D-brne) を 変 えられる open string fiel の 古 典 解 に 関 係 するのでは Cubic String Fiel Theory 運 動 方 程 式 Q B Ψ + Ψ Ψ = 0 Q, D = 0, D A B = DA DB Ψ = DΨ sol もまた 解 このような 演 算 D が topologicl efect と 見 なせる Ising CFT をCSFT に 乗 せて 実 践 する Tlk Pln 1. Review of the (close string) efect 2. Open string efect 3. efect in open string fiel theory 概 要 Defect を CSFT に 導 入 して 場 の 古 典 解 を 構 成 する

3 efect Worl-sheet efect は 二 つの 異 なるCFT を 分 ける 一 次 元 のオブジェクトとして 表 される T T がefect line で 連 続 的 ならば 世 界 面 は 共 形 対 称 性 を 持 ち efect は conforml efect と 呼 ばれる lim T 1 x + iy T 1 (x + iy) = lim T 2 x iy T 2 (x iy) y 0 y 0 右 辺 ゼロが conforml bounry conition (D-brne). それの 自 然 な 拡 張 あるいは un-foling trick を 使 って CFT 1 CFT 2 のconforml bounry と 見 なしてもよい CFT 1 Un-foling CFT 2 B(CFT 1 CFT 2 ) 簡 単 な 解 T 1 x = T 1 (x), T 2 x = T 2 (x) totlly reflective T 1 x = T 2 (x), T 1 x = T 2 x totlly trnsmissive

4 Topologicl efect ここでは 完 全 透 過 型 を 考 える 理 由 は 後 で 分 かる T 1 x = T 2 (x), T 1 x = T 2 x この efect を 演 算 子 D で 表 すと L n, D = L n, D = 0 ( n) D は opertor insertion あるいは 他 の efect にぶつからない 限 り 自 由 に 動 かせ る ( 動 かしても 相 関 関 数 を 変 えない) トポロジカル Tensionless CFT 1 CFT 1

5 Topologicl efect シューアの 補 題 より DはVerm moules V j 線 形 結 合 で 書 かれる [V j ] のprojection P j の L n, D = L n, D = 0 ( n) D = i n i P i ( 以 後 Digonl miniml moel に 限 る) 係 数 n i は Moulr inv から S-mtrix と 関 係 付 けられる [ 00 Petkov n Zuber] D = i S i S 0i P i Primry の 足 でlbel される B D c.f ) bounry stte L n L n B = 0 n Moulr inv B = i S i S 0i i

6 Topologicl efect S D = i i P i より efect 同 士 の 代 数 efect の bounry stte S 0i への 作 用 が 分 かる D D c = e N c e D e Just like Fusion Rule D α = β N α β β Bounry を 引 きはがすと efect になる efect n symmetry/ulity = 1 D 2 = 1 : group like efect symmetry D 2 = 1 +(group like efect) ulity

7 開 弦 の 場 の 理 論 におけるefect D α = β β N α β D-brne の 種 類 を 変 えたり D-brneの 生 成 を 行 う efect で OSFT の 古 典 解 を 構 成 できるか OSFT 運 動 方 程 式 古 典 解 Q B Ψ + Ψ Ψ = 0. Ψ b BCFT から BCFT b へシフトする 解 Open string file に 作 用 する opertor D を 導 入 する b n, D = c n, D = 0 Q B, D = 0 L n, D = 0 topologicl D Ψ Φ = D Ψ D Φ 上 記 を 満 たす 演 算 子 を 構 成 できれば 与 えられた 古 典 解 にD を 作 用 させて 新 しい 古 典 解 をつくることができる sol D Ψ b sol = Ψ D Db

8 Open string efect D Bulk fiel に 作 用 する efect はprojector の 線 形 結 合 で 書 けた D: H close H close 一 方 bounry fiel への 作 用 は efect が 境 界 条 件 を 変 更 するために projection では 無 い : H (,b) H (,b) Defect によって 生 成 される 新 しい 境 界 条 件 は Fusion rule で 与 えられ funmentl b.c の 足 し 合 わせである よって efect でマップされたbounry file は funmentl b.c を 持 つ 場 の 線 形 結 合 で 書 かれるだろう D (b) φ i = b Xi b b φ i ( b ) where φ,b (b) H open Topologicl L n, D = 0 なのでVirsoro inex は 同 じ

9 Open string efect D Bulk fiel に 作 用 する efect はprojector の 線 形 結 合 で 書 けた D: H close H close 一 方 bounry fiel への 作 用 は efect が 境 界 条 件 を 変 更 するために projection では 無 い : H (,b) H (,b) Defect によって 生 成 される 新 しい 境 界 条 件 は Fusion rule で 与 えられ funmentl b.c の 足 し 合 わせである よって efect でマップされたbounry file は funmentl b.c を 持 つ 場 の 線 形 結 合 で 書 かれるだろう D (b) φ i = b Xi b b φ i ( b ) where φ,b (b) H open V j φ i φ i b b b b b

10 Open string efect D D (b) φ i = b Xi b b φ i ( b ) Comments summtion は 境 界 条 件 に 対 する 和 なので irect sum ( 下 図 参 照 ) 一 般 的 に efect の 作 用 はfunmentl b.c にならず それらの 線 形 和 になる つまり 行 列 サイズが 増 えて 行 く D c φ (,b) Xφ b D b XXφ D row column row column

11 Preservtion of str lgebr Str prouct に 対 してefect の 作 用 が 分 配 則 を 満 たすように 要 請 D Ψ Φ = D Ψ D Φ Str prouct OPE Ψ > Φ > = α I i L I ψ i 0 0 > β J j L J φ j 0 0 > ~ V IJ K L K e v ml m ψ i x φ j y topologicl efect の 場 合 primry 場 同 士 のOPEを 調 べれば 良 い D φ i (b) (x)φj (bc) (y) = D φ i (b) (x) D φ j (bc) (y) [cf. 03 Grhm n Wtts ] 係 数 X b ipq と bounry structure constnt C bc ijk bc C k c ij = F bk i j を 用 いて 書 き 直 す の 間 の 関 係 を 得 る X c c k c F bk i j = F b k b b c i j X b bc k b X kb c (1)

12 Preservtion of str lgebr F-mtrices の Pentgon ientity と 似 ている F bk c i j = F b k b b c i j X b bc k b X kb c Pentgon ientity はゲージ 対 称 性 を 持 つので (1) の 解 は 不 定 の 係 数 N を 含 む Zwist invrint X b i b = X b ib X b i b = N(,, ) F i b N(,b,b ) b を 要 請 すると X b i b = ± D 1 shoul be ientity F b F b i b i b F b i b

13 Fusion lgebr of D D 同 士 の 間 の Fusion 則 を 調 べる bulk fiel に 作 用 する D は D D c = ところがD は 一 般 にこれを 満 たさない 境 界 条 件 の ルート (, b) c (, b ) (, b ) と(, b) e (, b ) を 結 びつける 行 列 U が 必 要 になる N e e c D e. D c φ (,b) b Xφ D b XXφ b b b D D c φ i b b b = U c D e φ i e c 1 U c U c e; 1 = U e; { } c = F e c F e c

14 Fusion lgebr of D 一 つの bcco に 対 する 作 用 を 考 えると U-mtrix が 必 要 になるが 相 関 関 数 全 体 を 考 えれば U-mtrix はキャンセルする これは U mtrix が Virsoro lbel に 依 存 せず 片 側 の b.c のみに 依 存 するためである B.c がつながるように 場 が 並 んでいれば 隣 同 士 で 相 殺 する この 事 実 は close string efect で fusion rule が 成 り 立 っていることからも 望 ま しい 性 質 である U (b) φ i U 1 U φ j (bc) U 1 b c

15 Geometricl pproch Topologicl efect は 自 由 に 変 形 できる Not funmentl conforml block と 同 じ igrm efect network を 要 請 してみる b p c = F pq c b q Bounry も efect の 一 種 だということを 思 い 出 すと efect を 部 分 的 に bounry に 付 着 させた 時 数 因 子 が 必 要 となることが 分 かる これを 黒 丸 で 表 し junction と 呼 ぶ b q c 1 = F 1 =

16 Geometricl pproch b c p q F F e F b c F F t r e Just like ssocitivity of OPE s F ps b c q F qt s e F sr c b t = F qr c p e F pt b r e

17 Geometricl pproch Defect network は 代 数 的 方 法 (str 積 に 対 する 分 配 則 ) で 求 めた D を 再 現 する D φ i (b) (, b ) 成 分 φ i b b = b b = F b i b b F 1i b F 1 F 1b Junctions b b i b i = X b ( i b φ b ) i

18 Ex) Criticl Ising moel c = 1 2 Primry h, h 境 界 状 態 D-brne energy 1 (0,0) Ientity ε (1 2, 1 2) Energy ensity ε 1 2 σ (1 16, 1 16) Spin opertor σ 1 Funmentl b.c (D-brne) の 間 に 伸 びる 開 弦 のスペクトラム 1 ε σ 1 ε σ 1 ε σ ε 1 σ σ σ 1 + ε

19 Ex) Criticl Ising moel c = 1 2 Fusion Rule ε ε = 1, ε σ = σ, σ σ = 1 + [ε] Defect Algebr D ε D ε = D 1, D ε D σ = D σ D ε = D σ, D σ D σ = D 1 + D ε D ε : group like efect D σ : ulity efect Z 2 symmetry Krmers Wnnier (orer/isorer) ulity ε ε σ ε σ σ(z) σ(z) σ(z) μ(z)

20 Defect on open string fiel Totl centrl chrge をゼロにするために(c=51/2)の 補 助 空 間 を 追 加 する [ 13 M.Kurn,C.Mccferri, M.Schnbl],[ 14 M.Kurn,M.Rpck, M.Schnbl] j Ψ = IJK (,b) j IJK L I I φ j (b) L R J 0 L gh Kc 1 0 Ising sector Ψ σ 1 を1-brne 上 のBCFTを 表 す 古 典 解 とする そのIsing sector は の 形 にかける Ψ σ 1 = ψ 1 (σσ) + ψε (σσ)

21 Defect on open string fiel Ψ σ 1 を 運 動 方 程 式 Q B Ψ + Ψ Ψ = 0 へ 代 入 すると 運 動 方 程 式 は 二 つのパート 分 かれる Q B ψ 1 (σσ) + ψ1 (σσ) ψ1 σσ + ψ ε (σσ) ψε σσ = 0 Q B ψ ε (σσ) + ψ1 (σσ) ψε σσ + ψ ε (σσ) ψ1 σσ = 0 ψ 1 (σσ) ψε (σσ) ψ 1 (σσ) ±ψ ε (σσ) ±ψ ε (σσ) ψ 1 (σσ) も 解 である 数 値 計 算 によって ψ 1 (σσ) ψε (σσ) は1-brne 解 と 同 じエネルギーを 出 すことが 示 唆 されていた ε-brne?[ 14 M.Kurn,M.Rpck, M.Schnbl] これらの 新 しい 解 はopen string efect の 作 用 によって 説 明 できる D ε ψ 1 (σσ) + ψε (σσ) = ψ 1 (σσ) ψε σσ = Ψ D ε σ 1 = Ψ σ ε D σ D σ ψ 1 (σσ) + ψε (σσ) = ψ (σσ) 1 ψ ε (σσ) ψ ε (σσ) ψ 1 (σσ) = Ψ 2σ 1+ε

22 Defect on open string fiel Comments Q B, D = 0 の 意 味 Q B D とD Q B では Q B が 作 用 するヒルベルト 空 間 は 違 う Re: D Ψ b = Ψ D Db Q B のコホモロジーの 観 点 (モード 展 開 ) で 言 えば 両 方 のQ B は 異 なる 様 々な D を 何 度 も 作 用 させる 全 てのコホモロジーを 始 めから 用 意 Topologicl conition は 任 意 の 真 空 上 で 成 り 立 つものではない Q Ψ, D A = Ψ cl DΨ cl DA 1 A DA (Ψ cl DΨ cl ) ( 1 D = 1) DΨ cl 周 りのBRST chrge を 考 えると Q Ψ, D A = DΨ cl D DΨ cl D A 1 A D A (DΨ cl D DΨ cl ) Fusion rule で 結 びつくD,D ならば 消 える (up to U mtrix)

23 Guge invrint observble + Guge Invrint Observble (Ellwoo inv) W V, Ψ V i w Ψ(0) UHP = V 0 f Ψ(1) isk w z = 2z iz, f z = 1 z2 1 iz 2 V j w Ψ () z = 1 V j f Ψ () V: On-shell close string vertex opertor W(V, Ψ) はゲージ 不 変 量 [ 01 Hshimoto,Itzhki, 01 Giotto et l.] 開 弦 から 閉 弦 への 転 化 を 表 すvertex 開 弦 の 場 の 指 定 する 境 界 条 件 を 持 つ 円 板 上 の On-shell close string tpole V c 0 B Ψ を 与 える (conjecture) [ 08 Ellwoo]

24 Guge invrint observble Defect が 作 用 したopen string fiel D Ψ でGIO を 構 成 する V j V j b b φ i b b z = 1 =b =b b Ψ (b) Consistency check Tr V j D Ψ = Tr D V j Ψ sol D Ψ b sol = Ψ D Db or D B Ψ = B DΨ

25 Guge invrint observble Proof (geometricl) Tr V j D Ψ = V j Ψ (b) Defect network と F mtrix の 恒 等 式 から 証 明 される =b =b b b = =b =b q q V j b Ψ (b) F 1 junctions F 1b b b -network F q b = 1 V j Ψ (b) = Tr D V j [Ψ] F 1 F q = δ 1q

26 For KOZ bounry stte c.f) Direct check B DΨ ~e (L 0+L 0 ) P exp t L R t + B R t, DΨ = D B Ψ B R, Ψ B, D = 0 Close string B R, Ψ B R, Ψ

27 Conclusion まとめ Topologicl efect を 開 弦 の 場 の 理 論 に 導 入 することを 提 案 した Topologicl efect の bounry fiel に 対 する 作 用 を OPEと 交 換 するよう に 構 成 したところ F-mtrix で 表 されることが 分 かった このefect の fusion lgebr を 調 べると up to U mtrix で 成 り 立 つことが 分 かった 但 し U mtrix は 相 関 関 数 全 体 ではキャンセルする Guge invrint observble (GIO) を 通 して D Ψ X Y = Ψ DX DY を 確 認 し た 但 し D は D の close string counterprt. 展 望 広 いクラスの(B)CFTへの 拡 張 Defect を 使 ったDulity の 解 析 をSFTから 解 析 できるか? Topologicl でないDefect をSFTで 解 析?