Microsoft PowerPoint - ce07-09b.ppt

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ありさたにしき
7 years ago
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1 6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 6. ナイキストの安定判別法キーワード : ナイキストの安定判別法復習 G u u u 制御対象コントローラ u T 閉ループ伝達関数フィードバック制御系 T 相補感度関数 S S T L 開ループ伝達関数 L いま考えているのはどの伝達関数,, T, L? フィードバック系の内部安定性 u 内部安定性 T G だけでは不十分外部から加わる信号 {, } から各要素の出力 { u, } へのつの伝達関数がすべて安定 u 内部安定性外部から加わる信号 {, } から各要素の出力 { u, } へのつの伝達関数がすべて安定 G u G u G G G だけでは不十分 u, D D Gu G D G G u D : D D [ 定理 ] 内部安定性の必要十分条件特性多項式 : D D のすべての根の実部が負既約特性多項式 5 [ 例 6. ] 不安定な極零相殺, 安定? u, u 6 8 t[] 6

2 [ 例 6. ] 不安定な極零相殺, 安定?,.8.6. u u. 6 8 t[] 7 [ 例 6. ] D D : D D 不安定 G 不安定な極零相殺が生じている 8 [ 結果 ] との間に不安定な極零相殺が存在するとき, フィードバック制御系は内部安定ではない. [ 結果 ] の証明 D D : D D [ 結果 ] との間に不安定な極零相殺が存在しないとき, 以下の三つは等価である [ ] での極との零点が相殺したとする. 不安定 D フィードバック制御系が内部安定 b G が安定 G の零点がすべて安定 9 [ ] の根の一つであるである S の実部は負ではないフィードバック制御系が内部安定ではないの零点との極が相殺したときも同様. [ 結果 ] b の証明 * S とおくと S G が成り立つ. b G が安定 S G が安定 S の極がすべて安定の零点がすべて安定逆も成立するので b [ 結果 ] b の証明 * b b は明らか背理法との間に不安定な極零相殺が存在しないとき, G が安定で, 内部安定ではない, と仮定内部安定ではない [ ] に対してはを因子に持つ G の分子もでわり切れる D D の場合 D かつ, 不安定な極零相殺がない D D に矛盾 D の場合も同様

6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 6. ナイキストの安定判別法キーワード : ナイキストの安定判別法復習 G u u u 制御対象コントローラ u T 閉ループ伝達関数フィードバック制御系 T 相補感度関数 S S T L 開ループ伝達関数 L いま考えているのはどの伝達関数,, T, L? 6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 H qut 889-976 6.

3 6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 6. ナイキストの安定判別法キーワード : ナイキストの安定判別法復習 G u u u 制御対象コントローラ u T 閉ループ伝達関数フィードバック制御系 T 相補感度関数 S S T L 開ループ伝達関数 L いま考えているのはどの伝達関数,, T, L? 6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 H qut ナイキストの安定判別法キーワード : ナイキストの安定判別法ナイキストの安定判別法フィードバック系の内部安定性特性多項式の根を求める因数分解などにより, 直接計算する実際的でないラウスフルビッツの安定判別法を適用する開ループ伝達関数の周波数応答に基づき図的に判別する高次系では手間がかかる L 開ループ伝達関数 L 7 ナイキストの安定判別法 [] 目的 { p, p, L, p} : 開ループ系の極,, L, }: 閉ループ系制御系の極 { D D D D D D 還送差 L 閉ループ系の極 p p L p 開ループ系の極 Π { p, p, L, p} の中で開ループ系の不安定極の数知っている Z {,, L, } の中で閉ループ系の不安定極の数知りたい 8

4 [] 方法閉曲線このなかにすべての不安定な極がある Π 閉曲線の内部にある開ループ系の極の数 Z 閉曲線の内部にある閉ループ系の極の数半径 R b 写像 w 複素数を決めると, 対応する複素数 w が定まる. : 閉曲線に沿って b と時計方向に回転このとき, 対応する w が描く軌跡 : Γ Γ が原点を時計方向にまわる回転数図 6. 右半平面全体を囲む閉曲線 9 図 6. 閉曲線とそのによる像 Γ b Γ :[ ] Z Π Π : 既知 : 図的に調べる Z : 知ることができる Z ならば安定 Z ならば不安定 Π : 閉曲線の内部にある開ループ系の極の数 Z : 閉曲線の内部にある閉ループ系の極の数 Γ : が原点を時計方向にまわる回転数 b Γ [] 証明 L w p p L p w ベクトル p がの内部にあるとき : 正味回転 6 がの外部にあるとき : 正味の回転数は b 図 6. の偏角の変化 w p [] ベクトル軌跡の利用右にだけ移動 v w の総変化量 6 Z p の総変化量 6 Π Γ : ナイキスト軌跡 Γ が点, を回まわる Γ :[ ] Γ Γ が原点を回まわる Γ :[ ] w の総変化量 6 Z Π Z Π よって Z Π

5 : 上をと動くとき, ベクトル軌跡 jω jω ω ~ に一致する半径の円周上を動くとき上をと動くとき, ベクトル軌跡と実軸に関して対称ナイキストの安定判別法 [ ステップ ] 開ループ伝達関数のベクトル軌跡 jω jω を, 角周波数 ω ~ の範囲で描く. さらにこれを実軸に関して上下対称に描き, ナイキスト軌跡 Γ を得る. [ ステップ ] ナイキスト軌跡 Γ が点, のまわりを時計方向にまわる回数を調べ, これをとする. Γ :[ ] [ ステップ ] 開ループ伝達関数の極の中で実部が正であるものの個数を調べ, これを Π とする. 半径 R b [ ステップ ] 閉ループ系の不安定な極の数は Z Π となる. したがって, Z ならばフィードバック制御系は安定, Z ならば系は不安定である. 5 6 安定 Z Π ナイキスト軌跡が点, のまわりを反時計方向にまわる回数が, 開ループ伝達関数の不安定極の個数に等しいならば, 制御系は安定である. ナイキストの安定判別法の利点ループを閉じる前の開ループ伝達関数の周波数応答によって, 図的に制御系閉ループ系の安定性を判別できる計算の必要がなく, 次数の高い系やむだ時間系にも容易に適用できる実測データに基づいて判定できる直感的に分かりやすく, さらに安定余裕も調べられる 7 [ 例 6. ] L [ ステップ ] [ ステップ ] [ ステップ ] Π ω ω [ ステップ ] Z Π ω 5 ω 制御系は安定 8 [ 例 6. ] 不安定系の場合 L, [ ステップ ] ω ω [ ステップ ] [ ステップ ] Π 安定 ω ω [ ステップ ] Z Π ω ω Π 不安定 b ω ω Z Π 9 [ 例 6. ] 虚軸上に極がある場合 L [ ステップ ] 閉曲線に対するナイキスト軌跡 ω の近傍で不連続, を求められない ω ω ω ω 5

6 を回避し, 左に見るように経路 f 経路 lm L 新たな閉曲線内にの極は入らない f L θ ε j ε ε ε, 9 θ 9 lm ε ε ε ε lm ε ε 9 から 9 へ半径時計方向にの円周 f ε b f [ ステップ ] [ ステップ ] Π ε [ ステップ ] Z Π b ω f ω ω ω 制御系は安定次回 6. フィードバック系の内部安定性キーワード : 内部安定性, 特性多項式 6. ナイキストの安定判別法キーワード : ナイキストの安定判別法 6. ナイキストの安定判別法キーワード : 簡単化されたナイキストの安定判別法 6. ゲイン余裕, 位相余裕キーワード : 位相交差周波数, ゲイン交差周波数, 位相余裕, ゲイン余裕学習目標 : 簡単化されたナイキストの安定判別法について理解する. 安定性の程度を評価する. ゲイン余裕や位相余裕について理解する. 6

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-10回.ppt

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-10回.ppt 制御工学 I 第回安定性ラウス, フルビッツの安定判別平成年 6 月日 /6/ 授業の予定制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている工学における制御工学の位置づけと歴史について説明するさらに制御システムの基本構成と種類を紹介するラプラス変換 ( 回 ) 制御工学特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしているラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し