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ゆいとちゅうか
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1 空間周波数周波数領域での処理空間周波数 (spatial frquncy) とは単位長さ当たりの正弦波状の濃淡変化の繰り返し回数を表したもの正弦波 : y sin( t) 周期 : 周波数 : T f / T 角周波数 : f 画像処理空間周波数周波数領域での処理波形が違うと周波数も違う画像処理

2 空間周波数周波数領域での処理画像処理 3 周波数領域での処理周波数は一つしかない?- ーいいえ一つの波形に複数の周波数成分が存在する任意の波形は単純な正弦波の和で表現できるこれらの正弦波が各々の周波数が異なる画像処理 4

3 次元関数 t) が実数変数 t の連続関数 (continuous function) とする : F{ t)} ) t) t dt - 逆 : t F { )} t) ) d 角周波数ではなく周波数を用いると次のようになる f ) t) t) f ) ft ft dt df 画像処理 5 補足 : オイラーの公式オイラーの公式は次式で表される関係式で複素平面上では図に示す関係になる虚軸 x cos x sin x sin x x 上記の複素数は大きさ偏角が x である cos x 実軸画像処理 6 3

4 振幅特性と位相特性フリーエ変換が一般的に複素数であるので次のように書ける f ) R( f ) I( f ) フーリエスペクトル (Fourir spctrum)( 振幅スペクトル ) f ) R ( f ) I ( f ) 位相角 (phas angl) ( f ) tan I( u) R( u) 画像処理 7 エネルギーの保持原信号とフーリエ結果との間パーセバル等式が成り立つ (Parsval s thorm) トータルエネルギー (Total powr) t) dt ) d f ) df 角周波数で表現周波数で表現画像処理 8 4

5 5 画像処理 9 例 : 次元連続関数の x (x) f 右に示す関数の u u u u u ux u u u u u dx ux dx ux x f u F ) sin( ] [ ] [ ] [ ] xp[ ] )xp[ ( ) ( 画像処理例 : 次元連続関数のフーリエスペクトルは次のものである u u u u u F u sin sin ) ( スペクトルのグラフは左に示すここで = = とする

6 エネルギーの保持? 確認空間領域総エネルギー f ( x) dx dx 周波数領域総エネルギー F( u) du sin t sinu u t dt du sinu u du u エネルギーの保持が確認できた画像処理次元離散連続関数 x) を間隔 x標本化した離散関数 ( 標本数 M) x), x x), x x),, x [ M ] x)} { この離散関数を次のように書き換える x) x xx) 離散系列 : { ), ), ),, M )} x) 画像の行または列がこのような離散系列と考えられる x x x x 3 x N- 画像処理 6

7 次元離散 : u) M M x x) xp ux / M 逆 : x) M M u /M, なしの式もある u) xp[ ux / M ] 画像処理 3 例 : 次元離散具体的にがどのように働くのか例で示す連続関数 x) を.5,.75,.,.5 のところで標本化した ( 次元画像として考える ) 4 3 x) x ) x x) x x) x 3x) 離散関数の,,, 3 のところ値を与えられた ),),),3) を求め x x x x x 3 標本数 M=4 画像処理 4 7

8 8 画像処理 5 例 : 次元離散 6.5 4) / 4 3 ( (3) () () () )xp() ( 4 () 4 g g g g x g G x ) / ( ] / )xp[ ( 4 () / 3 4 / 3 x x g G x 同じ方法で : ) / ( (3) / () G G オイラー公式を利用した画像処理 6 例 : 次元離散各周波数においてフーリエスペクトル : 5 (3) () 5 () 6.5 () / / G G G G

9 エネルギーの保持? 確認空間領域総エネルギー 3 i i) 周波数領域総エネルギー 3 u u) エネルギーの保持が確認できた画像処理 7 次元次元を簡単に次元へ拡張できる : x, y) ( uxvy) dxdy 逆 : x, y) ( uxvy) dudv 画像処理 8 9

10 次元次元フリーエ変換も一般的に複素数であるのでフーリエスペクトルを次のもの : R ( I ( ) / v 位相角 (phas angl) ( tan I( R( 画像処理 9 例 : 次元 x,y) Y y x 例えば = =3 Y=5 画像処理

11 次元離散 (DFT) : MN M N x y x, y)xp[ ( ux / M vy / N)] 逆 : x, y) MN M N u v xp[ ( ux / M vy / N)] 画像が次元離散関数と見なされるので次元離散 (Discrt Fourir Transform) を適用できるここで画像の横方向のサイズ M, 縦方向のサイズ N とする画像処理変換結果における周波数成分の配置計算上 DFT 結果を次元配列に格納するその配置は次の図のようになる直流成分 : 周波数がの場合の成分画像処理

12 変換結果をどのように表示するのかフーリエスペクトルを画像として表示する ( 視覚化 :visualization) 一般的にスペクトルの値をデバイス ( 画像 ) の表示能力を超える次のようにスケールダウン : D( c log 原画像スペクトル ( そのまま ) 画像処理 3 変換結果をどのように表示するのか D( 6log 直流成分が隅のところ画像処理 4

13 多次元の分離可能性 x 方向に対する変換 y 方向に対する変換 MN M x xp[ ux / M ] N y x, y)xp[ vy / N] 次元を二つの次元に分離できる (n 次元のを n 回の次元に分離できる ) 大きな利点 : 例えば先に y 方向に対してを行ってから続いて x 方向に対してを行う画像処理 5 畳込みの定義畳込み定理つの関数 f(t) とt) を与えられるとき畳込み積分 (convolution) は次のように定義する h ( t) f ( t) t) f ( ) t ) d h(t) のを f(t) と t) のから計算できる H ( ) F( ) ) また h( t) F ( H ( )) F ( F( ) )) 結論 : 畳込みを空間領域と周波数領域で両方計算できる画像処理 6 3

14 フィルタとは入力信号フィルタ出力信号出力信号を得るために入力信号に施される関数であるこの関数が入力信号のある周波数成分を除去するー > フィルタリングフィルタリング処理 : 鮮鋭化平滑化エッジ線の強調など画像処理 7 低域通過フィルタリング原画像を f ( x, y) を F( とする低域通過 (low pass) フィルタ H ( を用いて高周波数を除去 F( H ( 低域通過フィルタについては色々な形があるが例えば H ( ここで D( if D( D if D( D u v / D が周波数平面上原点から点への距離カットオフ (cut off) という画像処理 8 H( Idal filtr D D( 4

15 例 : 低域通過フィルタリング原画像原画像の周波数 ( スペクトル ) 画像処理 9 例 : 低域通過フィルタリング低域通過した周波数 D =3 の場合 ( 説明のため Idal filtr を使ったただしいいフィルタではない ) 低域周波数通過した画像 ( 高い周波数成分なくなりぼける ) 画像処理 3 5

低域通過 Buttrworth フィルタリング Idal フィルタの場合結果画像にリング

Buttrworth フィルタリング低域通過 buttrworth フィルタを施したあと

16 低域通過 Buttrworth フィルタリング Idal フィルタの場合結果画像にリング (ring) 現象がある画質あまりよくない Buttrworth filtr: H ( ここで D( D( / D u v / D がカットオフであるカットオフが 3 の場合低域通過 Buttrworth フィルタのグラフ画像処理 3 例 : 低域通過 Buttrworth フィルタリング低域通過 buttrworth フィルタを施したあと残った低周波数 (D =3 の場合 ) 低域周波数通過した画像 ( 高い周波数成分なくなりぼける ) 画像処理 3 6

が周波数平面上原点から点への距離カットオフ (cut off) という H( Idal filtr 画像処理 33 D D( 例 : 高域通過フィルタリング

17 高域通過フィルタリング原画像を f ( x, y) を F( とする高域通過 (high pass) フィルタH ( を用いて低周波数を除去 F( H ( 高域通過フィルタについては色々な形があるが例えば H ( ここで D( if D( D if D( D u v / D が周波数平面上原点から点への距離カットオフ (cut off) という H( Idal filtr 画像処理 33 D D( 例 : 高域通過フィルタリング高域通過した周波数 D =3 の場合 ( 説明のため Idal filtr を使ったただしいいフィルタではない ) 高域周波数通過した画像 ( 低い周波数成分なくなりエッジが残る ) 画像処理 34 7

Buttrworth フィルタのグラフ画像処理 35 例 : 高域通過 Buttrworth フィルタリング高域通過 buttrworth

18 高域通過 Buttrworth フィルタリング Idal フィルタの場合結果画像にリング (ring) 現象がある画質あまりよくない Buttrworth filtr: H ( ここで D( D / D( u v / D がカットオフであるカットオフが 3 の場合高域通過 Buttrworth フィルタのグラフ画像処理 35 例 : 高域通過 Buttrworth フィルタリング高域通過 buttrworth フィルタを施したあと残った高周波数 (D =3 の場合 ) 高域周波数通過した画像 ( 低い周波数成分なくなりエッジが残る ) 画像処理 36 8

19 : 大局処理入力画像中のある広い範囲を用いる場合を大局処理 (global opration) と呼ぶ出力出力画像中の一つのピクセル値を得るために入力画像中の広範囲画素を使うが大局処理である画像処理 37 9

画像処理工学

画像処理工学画像の空間周波数解析とテクスチャ特徴フーリエ変換の基本概念信号波形のフーリエ変換信号波形を周波数の異なる三角関数 ( 正弦波など ) に分解する逆に, 周波数の異なる三角関数を重ねあわせることにより, 任意の信号波形を合成できる正弦波の重ね合わせによる矩形波の表現フーリエ変換の基本概念フーリエ変換次元信号 f (t) のフーリエ変換変換 ( ω) ( ) ωt F f