T Xclub E 三角関数 が よくわからないときに開く本 例題で式の計算がよくわかる! 改訂版 内容 三角比三角関数正弦定理余弦定理加法定理弧度法 高知工科大学 KOCHI UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY 井上昌昭山﨑和雄著 Copyright(C) Masaaki Inou

Size: px
Start display at page:

Download "T Xclub E 三角関数 が よくわからないときに開く本 例題で式の計算がよくわかる! 改訂版 内容 三角比三角関数正弦定理余弦定理加法定理弧度法 高知工科大学 KOCHI UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY 井上昌昭山﨑和雄著 Copyright(C) Masaaki Inou"

Transcription

1 Kochi University of Technology Aca Title 三角関数 がよくわからないときに開く本改訂版 Author(s) 井上, 昌昭, 山﨑, 和雄 Citation 大学数学への道基礎数学シリーズ, Date of 007 issue URL Rights dex.php Text version publisher Kochi, JAPAN

2 T Xclub E 三角関数 が よくわからないときに開く本 例題で式の計算がよくわかる! 改訂版 内容 三角比三角関数正弦定理余弦定理加法定理弧度法 高知工科大学 KOCHI UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY 井上昌昭山﨑和雄著 Copyright(C) Masaaki Inoue Kazuo Yamasaki

3 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 1 < 三角比 1 > 右の図のように, 直角三角形の鋭角のひとつを θ とする 斜辺の長さを r, 他の辺の長さを x, y とするとき, y r, x r, y x, の値は, 三角形の大きさに関係なく, 角 θ の大きさだけで決まる これらを, それぞれ θ の正弦 (sine), 余弦 (cosine), 正接 (tangent) といい,sin θ, cos θ, tan θ と表す すなわち sin θ = y r, cos θ = x r, tan θ = y x となる 三角比の定義 sin θ = y r cos θ = x r tan θ = y x この定義により, 辺の長さは, 次のように表せる y = r sin θ x = r cos θ y = x tan θ 0, 45, 60 の三角比は, 下の図から求められる sin 0 = 1 cos 45 = 1 tan 60 = 1 = 問 下の表を完成せよ θ sin θ cos θ 1 tan θ

4 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 三角比 > 右の直角三角形 ABC で, a = c sin A b = c cos A a =sina より c a = c sin A b =cosa より c b = c cos A であるから, tan A = a b = c sin A c cos A = sin A cos A となる したがって, tan A = sin A cos A (1) また, 三平方の定理から, 三平方の定理 a + b = c 上の式に,a = c sin A と,b = c cos A を代入して (c sin A) +(ccos A) = c c (sin A) + c (cos A) = c a + b = c 両辺を,c で割ると (sin A) +(cosa) =1 (sin A) =sin A,(cosA) =cos A と表すと, 次の式が成り立つ sin A +cos A =1 () (1), () の式を使うと,sin A, cos A, tan A のうち, どれかひとつがわかる と残りのふたつの値を求めることができる 問 sin A = のとき,cos A, tan A の値を求めよ

5 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 三角比 > 例 昔の人は三角形の相似を利用して, ピラミッドや山の高さを測った ここでは最も簡単な場合を考える 右図のような木の高さを測りたい ある人が木から 10m 離れた場所から木の頂点 B を見上げたら, 水平から であった 人の目の位置を A( 目の高さは地上 1.5m とする ), 木の中心線上で地上 1.5m の位置を C とする 三角形 ABC と相似な三角形を右下図のように紙に正確に描く A 0 C 0 の長さを 10 cm にすると B 0 C 0 の長さは 4.45 cm になった 4ABC と 4A 0 B 0 C 0 は相似より BC AC = B0 C 0 A 0 C 0 = 4.45 = であるから BC = = 4.45 (m) よって木の高さに 1.5(m) をたして ( 答 )5.745 (m) ( 別解 ) 図を描かずに求める方法を示す tan A = BC より BC = AC tan A =10 tan AC ここで三角関数表 (9 ページ ) より tan =0.445 だから BC = 10 tan = = 4.45 (m) よって ( 答 ) 木の高さ = =5.745 (m) 問 例と同じ問題で見上げる角度が 5 のとき, 三角関数表を用いて木の高さを求めよ

6 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 4 < 三角比 4 > 問 1 長さ m のはしご AB が壁に立てかけてある はしごと地面のつくる角が 56 であるとき, はしごがとどいている高さ BC, およびはしごの端 A から壁までの距離 AC を三角関数表 (P9) を見て少数第 1 位まで求めよ 問 たこあげをしていて, 糸の長さが 40 m になったとき, 地面と糸のなす角が 18 であった 三角関数表を見て以下の問題に答えよ (1) たこの高さを少数第 1 位まで求めよ () 立っている地点からたこの真下までの距離を少数第 1 位まで求めよ 問 正の数 X, Y に対して, 座標平面の点 P(X, Y ) と原点 O(0, 0) との距離を r とする また線分 OP と x 軸とのなす角を θ とする X, Y を r と θ で表せ X =, Y =

7 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 5 < 三角比 5 > 右図の場合に sin θ = Y r, cosθ = X r, tanθ = Y X である 問 (1) 次の各場面に点 P の座標を求め, 正弦, 余弦, 正接を求めよ P(, ) sin 0 = cos 0 = tan 0 = () P(, ) sin 45 = cos 45 = tan 45 = () P(, ) sin 60 = cos 60 = tan 60 =

8 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 6 < 鈍角の三角比 1 > 角度 θ が 90 以上の場合の三角比を次で定める 正の数 r に対し, 点 Q(r, 0) を原点 O(0, 0) を中心として反時計まわりに角度 θ だけ回転した点を P(X, Y ) とする このとき角度 θ における三角比を sin θ = Y r, cos θ = X r, tan θ = Y X で定める ( 注 ) この値は r によらない 例 θ =15 の場合を考える (1) r = のとき点 P の座標は P( 1, 1) より sin 15 = 1, cos 15 = 1, tan 15 = 1 1 = 1 となる () r = のとき点 P の座標は P(, ) より sin 15 = = 1, cos 15 = = 1, tan 15 = = 1 よって (1) と () は同じ結果になる 問 θ =10 の場合に r =1 と r = のときの点 P の座標を求め, 三角比を計算せよ (1) r =1 のとき P(, ) sin 10 = cos 10 = tan 10 = () r = のとき P(, ) sin 10 = cos 10 = tan 10 =

9 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 7 < 鈍角の三角比 > 図 1 の場合 sin θ = Y r である, cos θ = X r, tan θ = Y X 問 1 θ =150 の場合に r =1 と r = のときの点 P の座標を 求め, 三角比を計算せよ (1) r =1のとき P(, ) sin 150 = cos 150 = tan 150 = () r =のとき P(, ) sin 150 = cos 150 = tan 150 = 問 sin θ = 図 の場合の三角比を X,Y で表せ cos θ = tan θ = 問 図 を見て次の問に答えよ (1) 点 P の座標を求め,15 の三角比を求めよ P(, ) sin 15 = cos15 = tan 15 = () 点 Q の座標を求め,45 の三角比を求めよ Q(, ) sin 45 = cos45 = tan 45 = () 点 R の座標を求め,90 の三角比を求めよ R(, ) sin 90 = cos90 =

10 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 8 < 鈍角の三角比 > 問 1 図 1 の点 P,Q の座標を求め, 60 と 10 の三角比を求めよ P(, ), Q(, ) sin 60 = cos 60 = tan 60 = sin 10 = cos 10 = tan 10 = 問 図 の点 P,Q の座標を求め, 0 と 150 の三角比を求めよ P(, ), Q(, ) sin 0 = cos 0 = tan 0 = sin 150 = cos 150 = tan 150 = 例 次ページの三角関数表より 問 sin 5 =0.46, cos 5 =0.906, tan 5 =0.466 であるから図 の点 P の座標は P (0.906, 0.46) であり 従って点 Q の座標は =0.466 である Q( 0.906, 0.46) であるから 155 の三角比は sin 155 =0.46, cos 155 = 0.906, tan 155 = = である 次ページの三角関数表を見て, 次の三角比の値を求めよ (1) sin 110 = cos 110 = tan 110 = () sin 140 = cos 140 = tan 140 = () sin 165 = cos 165 = tan 165 =

11 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 9 < 三角関数表 > 問 前ページの例を参考にして次の三角比の値を求めよ (1) sin 95 = cos 95 = tan 95 = () sin 17 = cos 17 = tan 17 = () sin 14 = cos 14 = tan 14 = (4) sin 180 = cos 180 = tan 180 =

12 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 10 < 三角比と辺の長さ > 問 1 三角関数表を用いて次の問に答えよ (1) 図 1 の AB,BC の長さを求めよ () 図 の DH,EH の長さを求めよ 問 図 の三角形 ABC において, AB と BC を r と θ で表せ 問 図 4 において EH と DH の 長さを r と θ で表せ ( ただし θ は鈍角である )

13 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 11 < 正弦定理 1 > 三角形 ABC で, 頂点 A, B, C に対する辺の長さを, それぞれ,a, b, c とする また A, B, C の大きさを, それぞれ A, B, C と書くことにする このとき次の定理が成立する ここで R は三角形 ABC の外接円の半径である [ 証明 ] 外接円の中心を O とする 円周角と中心角との関係から 図のように BOC の大きさの半分が A になる A が鋭角,90, 鈍角のどの場合についても BC の長さ = a = R sin A が成り立つ 従って a sin A =R である 同様にして b sin B =R, c sin C =R が得られる ( 証明終 ) 問 角度 A が次の各場合に a を外接円の半径 R で表せ (1)A =70 ()A =90 ()A =10

14 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 1 < 正弦定理 > 4ABC において a sin A = b sin B = c sin C =R ( 正弦定理 ) R は 4 ABC の外接円の半径である 例題 4ABC で, a =4,A =0, B =105 のとき ( 解 ) (1) c を求めよ () 外接円の半径 R を求めよ (1) A + B + C =180 より C =45 正弦定理から よって c sin 45 = 4 sin 0 c = 4 sin 0 sin 45 = 4 1 () R = 4 =8より R =4 sin 0 =4 問 1 4ABC で a =8,A =45, B =60 のとき b を求めよ 問 4ABC で b =,B =45, C =10 のとき c を求めよ 問 4ABC で c =10,A =60, B =75 のとき (1) a を求めよ () 外接円の半径 R を求めよ

15 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 1 < 正弦定理の応用 > 問 1 100m 離れた 地点 A, B から島 C を見たところ CAB= 56, CBA= 70 であった A, C 間の距離を求めよ ただし sin 54 =0.8, sin 70 =0.94 とする 問 山の高さ CH を求めたい ふもとの 地点 A, B で測量した結果右図のよ うになった BAH= 45, ABH= 75 HBC= 0, BHC= 90 AB= 00m (1) AHB を求めよ () BH を求めよ () CH を求めよ

16 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 14 < 余弦定理 1 > 4ABC で, 辺の長さ b,c とその間の角 A がわかっているとき, 残りの辺の長さ a を求めることを考える 図 1 のような場合に a =(acos B) +(bsin A) =(c bcos A) + b sin A = c bc cos A + b (cos A +sin A) であり, cos A +sin A =1 だから ( ) a = b + c bc cos A が成り立つ この関係式を余弦定理という 図 の場合,B は鈍角だから cos B<0 であり BH = a cos(180 B) = a cos B となる b cos A = c +BH=c acos B より a =BH +CH =( acos B) +(bsin A) =(bcos A c) + b sin A = b + c bc cos A 問 図 の場合に余弦定理 ( ) を証明せよ

17 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 15 < 余弦定理 > 三角形 ABC に対し, 前ページより ( ) a = b + c bc cos A が成り立つ これを余弦定理という 問 1 b = ( ) 式を参考にして,b を a,c と角度 B で表せ 問 c = ( ) 式を参考にして,c を a,b と角度 C で表せ 例 4ABC において b =7,c =6,A =10 のとき, a = b + c bc cos A = cos 10 = = 17 より a = 17 問 次の 4ABC について,( ) 内の値を求めよ (1) b = 6,c=,A=0 (a) () a =,c=,b=45 (b) () a =,b=1,c=150 (c) (4) a = 6,c=,B=15 (b)

18 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 16 < 余弦定理 > 問 1 右図のような つの地点 A,B,C がある AB=10 m, AC=9 m, BAC=6 のとき B,C 間の距離 BC を求めよ ただし cos 6 =0.45 とする 例 1 問 4ABC において余弦定理より c = a + b ab cos C である よって cos C = a + b c ab と表される 4ABC において, 次の値を辺の長さ a, b, c で表せ cos A =, cosb = 例 4ABC において a =4,b=,c= 7 のとき cos C = 4 + ( 7 ) 4 より角度 C は 10 である = 1 問 4ABC が次の各場合に ( ) 内の角度を求めよ (1) a = 5,b=,c= (A) () a =,b= 9,c= (B)

19 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 17 < 三角関数 1 > 0 5 θ 5 60 である角度 θ に対して, 右図のように始線 OQ を反時計方向に θ だけ回転した線分を OP とする OP= r であり,P の座標が ( X,Y ) であるとき, cos θ = X r,sin θ = Y r,tan θ = Y X と定義する ( 注 1) この値は r の大きさによらない ( 注 ) (90 や 70 などのような ) X =0の場合は tan θ の値は定義されない ( 注 ) r =1のとき cos θ = X,sin θ = Y,tan θ = Y X のように簡単になる この式を三角関数 の定義としてもよい 例 1 θ =0 のとき点 P の座標は (1,0) だから X =1,Y =0 である よって sin 0 =0,cos 0 =1,tan 0 = 0 1 =0 例 θ =90 のとき点 P の座標は (0,1) だから X =0,Y =1 である よって sin 90 =1,cos 90 =0 である tan 90 の値は定義されない 問 次の値を求めよ sin 180 = cos 180 = tan 180 = sin 70 = cos 70 = sin 60 = cos 60 = cos 60 =

20 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 18 < 三角関数 > 問 1 右図で点 P, P 0,P 00,P 000 の座標を求め, 図の下に記入せよ また次の三角関数の値を求めよ cos 45 = sin45 = tan 45 = cos 15 = sin15 = tan 15 = cos 5 = sin5 = tan 5 = cos 15 = sin15 = tan 15 = P (, ) P ( 0, ) P ( 00, ) P ( 000, ) 問 右図で点 P, P 0,P 00,P 000 の座標を求め, 図の下に記入せよ また次の三角関数の値を求めよ cos 0 = sin0 = tan 0 = cos 150 = sin150 = tan 150 = cos 10 = sin10 = tan 10 = cos 0 = sin0 = tan 0 = P (, ) P ( 0, ) P ( 00, ) P ( 000, )

21 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 19 < 三角関数 > 問 1 右図で点 P, P 0,P 00,P 000 の座標を求め, 図に記入せよ また次の三角関数の値を求めよ cos 60 = sin60 = tan 60 = cos 10 = sin10 = tan 10 = cos 40 = sin40 = tan 40 = cos 00 = sin00 = tan 00 = 問 三角関数表より cos 50 =0.648, sin 50 = であるので右図の点 P の座標は P(0.648, 0.766) である (1) 右図の点 P 0,P 00,P 000 の座標を記入せよ P 0 (, ) P 00 (, ) P 000 (, ) () 次の値を求めよ cos 10 = sin10 = cos 0 = sin0 = cos 10 = sin10 = () tan 50 = sin 50 cos 50 = = であることを用いて次の値を求めよ tan 10 = tan 0 = tan10 =

22 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 0 < 三角関数 4 > 問 1 前ページの性質を一般化する (1) 右図を参考にして次式を cos θ または sin θ で表せ sin(180 θ) = cos(180 θ) = sin(θ +180 )= cos(θ +180 )= sin(60 θ) = cos(60 θ) = () tan θ = sin θ cos θ であることを用いて次式を tan θ で表せ tan(180 θ) = tan(θ +180 )= tan(60 θ) = 問 三角関数表 (9 ページ ) と問 1 の結果より次の値を求めよ cos 0 = sin0 = tan0 = cos 160 = sin160 = tan160 = cos 00 = sin00 = tan00 = cos 40 = sin40 = tan40 =

23 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 1 < 三角関数の相互関係 > 角度 θ を表す点を P(X, Y ) とすると, 三角関数の定義から sin θ = Y, cos θ = X, tan θ = Y X である 原点 O と点 P の距離は 1 だから X + Y =1 より が成り立つ cos θ +sin θ =1 ( 注 ) 記号 cos θ は (cos θ) =(cosθ) (cos θ) の意味であり, cos(θ ) と区別するために用いられる すなわち cos θ =(cosθ) 6=cos(θ ), sin θ =(sinθ) 6=sin(θ ) 問 1 tan θ を cos θ と sin θ で表せ 問 1+tan θ を cos θ で表せ 問 三角関数の定義から,sin は y 座標だから第 1 象限と第 象限が正であり, 第 象限と第 4 象限が負である すなわち θ 第 1 象限第 象限第 象限第 4 象限 sin θ + + cos θ tan θ となる 表を完成させよ 例角度 θ は 0 から 180 までの間の角で,sin θ = 1 である このとき µ 1 sin θ +cos θ =1 だから cos θ =1 sin θ =1 = 8 9 r 8 よって cos θ = ± 9 = ± 問 4 角度 θ は 0 から 180 までの角で,cos θ = 1 1 である このとき sin θ の値を求めよ

24 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 平面座標の三角表示 > 座標平面内で原点以外の任意の点を P(X, Y ) とする 点 P と原点 O(0, 0) との距離を r とする 線分 OP と x 軸との角度 θ を右図のように測る 三角関数の定義 (p17) より cos θ = X r, sin θ = Y r となるので, 点 P の座標は P の座標 : (X, Y )=(r cos θ,rsin θ) ( 平面座標の三角表示 ) と表される これを平面座標の三角表示ということにする 例右図の点 P の座標は P:(rcos θ,rsin θ) =(4cos10, 4sin10 ) Ã µ = 4 1! ³, 4 =, である 問次の各場合に点 P の座標を求めよ ((4) は三角関数表を用いる ) (1) () () (4)

25 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 一般角 > 座標平面上の原点 O を中心として線分 OP が回転する このとき x 軸を始線といい,OP を動径という 反時計まわりをプラス方向, 時計まわりをマイナス方向として, 始線に対する動径の回転の大きさと向きを表す角を一般角という 例 1 < 一般角の三角関数 > 点 P が原点を中心とした半径 1 の円周上にあるとき, 一般角 θ に対する三角関数を 60 までの場合と同様に, 点 P の座標 (X, Y ) で cos θ = X, sin θ = Y, tan θ = Y X と定める 任意の一般角 θ に対して cos(θ +60 )=cosθ sin(θ +60 )=sinθ tan(θ +60 )=tanθ が成り立つ ( 注 ) X =0のとき tan θ の値は定義されない 例 sin 400 =sin40, cos( 60 )=cos00, tan 800 = tan 80 問 次の三角関数の値を 0 から 60 までの角度の三角関数で表せ (1) sin 460 () cos( 70 ) () tan 500 (4) sin( 00 ) (5) cos650 (6) tan 860

26 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 4 < 一般角の三角関数 > 問 1 0 ページおよび前ページを参考にして, 次の値を cos θ, sin θ, tan θ で表せ cos (θ +60 )= sin(θ +60 )= tan(θ +60 )= cos (θ 60 )= sin(θ 60 )= tan(θ 60 )= cos (180 θ) = sin(180 θ) = tan (180 θ) = cos (θ +180 )= sin(θ +180 )= tan(θ +180 )= cos (60 θ) = sin(60 θ) = tan (60 θ) = cos ( θ) = sin( θ) = tan( θ) = 例 1 cos 405 =cos( )=cos45 = 1, sin 540 = sin ( ) = sin 180 =0, tan ( 60 )= tan 60 = 問 次の値を求めよ sin 40 = cos450 = tan495 = sin ( 45 )= cos( 90 )= tan( 10 )= 例 cos 400 =cos40 =0.766, sin 500 =sin140 =sin40 =0.648 tan ( 100 )= tan 100 = tan 80 =5.671 問 三角関数表を見て, 次の値を求めよ sin 80 = cos400 = tan510 = sin ( 40 )= cos( 100 )= tan( 50 )=

27 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 5 < 三角関数の値 > 問 1 角度 θ が次の各場合の三角関数の値を求めて表に記入せよ 問 三角関数表をみて, 次の値を求めよ sin( 50 ) cos( 40 ) tan( 0 ) sin 10 cos 140 tan 160 sin 00 cos 190 tan 0 sin 80 cos 90 tan 10 sin 70 cos 80 tan 410

28 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 6 < 三角方程式 1 > 17 ページで学んだように, 単位円と角 θ を表す動径との交点を P とすると, である ( 図 1) 例題 1 sin θ = 点 P の y 座標 0 5 θ 5 60 の範囲で sin θ = 1 を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) まず単位円を描き,y 座標が 1 である直線 y = 1 を引く その直線と単位円との交点を P, Q とする x 軸からの角度は図 のようになる 例題 ( 答 ) θ =0 または θ = θ の範囲で sin θ = を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) 例題 1 と同様に単位円に直線 y = を引き, 単位円との交点を R, S とすると図 のようになる 例題 ( 答 ) θ = 45 または θ = θ 5 60 の範囲で sin θ = を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) 図 4 より ( 答 ) θ =5 または θ =15 問次式を満たす角度 θ を ( ) 内の範囲で求めよ (1) sin θ = (0 5 θ 5 60 ) () sin θ = ( θ ) () sin θ = 1 (0 5 θ 5 60 )

29 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 7 < 三角方程式 > 17 ページで学んだように, 単位円と角 θ を表す動径との交点を P とすると, である ( 図 1) 例題 1 cos θ = 点 P の x 座標 θ の範囲で cos θ = 1 を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) まず単位円を描き,x 座標が 1 である直線 x = 1 を引く その直線と単位円との交点を P, S とする x 軸からの角度は図 のようになる 例題 ( 答 ) θ =60 または θ = θ の範囲で cos θ = を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) 単位円に直線 x = を引き, 単位円との交点を Q, R とすると図 のようになる 例題 ( 答 ) θ =15 または θ = θ 5 60 の範囲で cos θ = を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) 図 4 より ( 答 ) θ =15 または θ =5 問次式を満たす角度 θ を ( ) 内の範囲で求めよ (1) cos θ = ( θ ) () cos θ = 1 ( θ ) () cos θ = (0 5 θ 5 60 )

30 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 8 < 三角方程式 > 単位円と角 θ を表す動径との交点を P(X, Y ) とすると である 問 1 tan θ = Y X 図 1 の場合に tan θ = T であることを示せ ( 証明 ) 例題 θ 5 70 の範囲で tan θ = を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) まず単位円を描き,y 軸上に をとる y = と x =1 との交点から原点に直線を引くと図 の直角三角形ができる この直角三角形は斜辺の長さが になるので内角が 0,60,90 の直角三角形になる 図 より ( 答 ) θ =60 または θ =40 ( 注 ) 0 ページより tan(θ +180 )=tanθ であるから tan 40 = tan 60 である 例題 90 5 θ 5 70 の範囲で tan θ = 1 を満たす角度 θ を求めよ ( 解 ) 図 4 のように直線 x =1とy = 1 の交点から原点に直線を引く 図 4 より ( 答 ) θ = 45 または θ =15 問 90 5 θ 5 70 の範囲で次式を満たす角度 θ を求めよ (1) tan θ =1, () tanθ = 1, () tanθ =

31 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 9 < 三角関数のグラフ 1 > 単位円と角 θ を表す動径との交点を P とすると sin θ = 点 P の y 座標 cos θ = 点 P の x 座標である この性質を用いて sin θ と cos θ のグラフを描こう 問 1 図 に 0, 60, 90, 10, 40, 70 のときの y =sinθ の通る点が作図 してある 他の角度について y =sinθ の通る点を点線で作図し, 0 から 60 までの範囲で y =sinθ のグラフを ( 図 に ) 実線で描け 問 図 に 0, 0, 60, 180, 10, 40 のときの x =cosθ の通る点が作図 してある 他の角度について x =cosθ の通る点を点線で作図し, 0 から 60 までの範囲で x =cosθ のグラフを ( 図 に ) 実線で描け

32 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 0 < 三角関数のグラフ > 図 1 のように角 θ を表す動径と直線 x =1 との交点の座標を (1,T) とすると,8 ページより T =tanθ =tan(θ +180 ) となる この性質を用いて y =tanθ のグラフを描こう 問 図 は 15 おきに角度を目もり, その一部について y =tanθ の通る点を点線で作図してある 他の角度についても y =tanθ の通る点を点線で作図し, グラフを 90 から 70 の範囲の実線で描け ( 注 ) θ = ±90, θ = 70 のときは tan θ の値は定義されない

33 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 1 < 加法定理 1 > sin(α + β) や cos(α + β) は sin α,cos α,sin β,cos β を用いた式で表すことが できる α,β が鋭角の場合, 次の図で考えてみよう 角 β だけ回転 左図の直角三角形を原点を中心にして角度 β だけ回転し, 右図のように 直角三角形 OPQ をかく このとき点 P の y 座標は,r sin(α + β) とも書けるし, a sin β + b cos β とも書けるので となる ここで r sin(α + β) =b cos β + a sin β (1) a r =cosα, b r =sinα,r = a + b であるから,(1) の両辺を r でわると となる sin(α + β) =sinα cos β +cosα sin β () 問 上の右図において, 点 P の x 座標が,r cos(α + β) とも,a cos β b sin β とも書けることを用いて cos(α + β) =cosα cos β sin α sin β () となることを示せ () 式,() 式は,α, β が一般の角の場合にも成り立つ () 式をサインの加法定理 () 式をコサインの加法定理という

34 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 加法定理 > 前ページよりサインとコサインの加法定理は sin(α + β) =sinα cos β +cosα sin β cos(α + β) =cosα cos β sin α sin β である さらに 4 ページの結果より より が成り立つ 問 1 sin( β) = sin β, cos( β) =cosβ sin(α β)=sin α +( β) =sinα cos( β)+cosα sin( β) =sinα cos β cos α sin β 上と同様にして次式が成り立つことを示せ cos(α β) =cosα cos β +sinα sin β 例 sin(15 )=sin(45 0 )=sin45 cos 0 cos 45 sin 0 = 問 1 = 6 cos(105 )=cos( )=cos60 cos 45 sin 60 sin 45 = 1 6 = 4 次式の値を求めよ (1) sin 75 4 () sin 105 () sin 165 (4) cos 15 (5) cos 75 (6) cos 165

35 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) < 加法定理 > 例 tan 75 = sin 75 cos 75 = sin 45 cos 0 + cos 45 sin 0 cos 45 cos 0 sin 45 sin 0 = sin 45 cos 0 +cos 45 sin 0 cos 45 cos 0 cos 45 cos 0 sin 45 sin 0 cos 45 cos 0 = tan 45 + tan 0 1 tan 45 tan 0 = = +1 1 = ( +1) ( ) 1 = =+ 問 1 上の例を参考にして, 次式が成り立つことを示せ tan(α + β) = tan α +tanβ 1 tan α tan β ( ) 問 ( ) 式と,tan( β) = tan β を用いて次式を示せ tan(α β) = tan α tan β 1+tanα tan β 問 次の値を求めよ (1)tan 105 ()tan 15

36 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 4 < 加法定理の応用 1 > sin (α ± β) =sinα cos β ± cos α sin β, tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β cos (α ± β) =cosα cos β sin α sin β ( 複合同順 ) ( 加法定理 ) 例 1. sin (θ +π) =sinθ cos π +cosθ sin π =(sinθ) 1+(cosθ) 0=sinθ. sin ( θ) =sin(0 θ) =sin0cosθ cos 0 sin θ =0 cos θ 1 sin θ = sin θ. tan (θ + π) = tan θ +tanπ 1 tan θ tan π = (tan θ)+0 1 (tan θ) 0 =tanθ 問 1 加法定理を用いて次式を展開せよ ( 途中式も書くこと ) (1) cos (θ +π) = () tan (θ +π) = () cos ( θ) = (4) tan ( θ) = (5) sin (θ + π) = (6) cos (θ + π) = (7) sin (π θ) = (8) cos (π θ) = (9) tan (π θ) = ³ (10) sin θ + π = ³ (11) cos θ + π = ³ π θ (1) sin = ³ π θ (1) cos = 問 (1) sin (α) = 加法定理で β = α とおくことにより, 次式を sin α, cos α, tan α だけで表せ () cos (α) = () tan (α) = ( 注 ) sin α +cos α =1 を用いると cos (α) は, cos α だけ, または sin α だけで 表すことができる

37 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 5 < 加法定理の応用 > 例 1 sinθ +cosθ ³ = (sin θ) +(cosθ) 1 ³ = sin θ cos π 6 +cosθsin π 6 ³ =sin θ + π 6 一般に定数 a, b と角度 α が図 の場合に a sin θ + b cos θ = r sin(θ + α) が成り立つ ここで r = a + b, a r =cosα, b r =sinα である 例 図 より sin θ + cosθ =sin µθ + π 例 図 4 より sin θ cos θ = sin ³ θ π 4 問次式を r sin(θ + α) の形にせよ (1) sin θ +cosθ () cosθ +sinθ = = () cos θ sin θ (4) 4cosθ 4 sinθ = =

38 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 6 < 円周率 > 古代から円の円周と直径の長さの比が一定であることは知られていた それは大きな円と小さな円は相似だから 大きな円の円周大きな円の直径 = 小さな円の円周小さな円の直径 が成り立つからである この比を円周率という すなわち円周の長さ円周率 = 直径の長さ = 円周の長さ 半径の長さ となる ギリシャの数学者アルキメデス (BC 67 BC 1) は円に内接する正多角形の辺の長さを計算して, 円周率が約.14 であることを示した その後さらに円周率を正確に求める計算が行われ, 現在ではコンピュータを使って 10 億桁まで知られている 円周率が不規則な無限小数 (= 無理数 ) であることがわかったのは 18 世紀の終り ( 約 00 年前 ) である また円周率をギリシャ語の円周率 ( περιϕερης) の頭文字をとって π としたのは 18 世紀の始めであった π の小数点以下 0 桁までは 円周率 π = である これを江戸時代の人は 身一つ世一つ生くに無意味, 曰くなく御文や読む と覚えたそうである 今後, 円周率は常に π を用いる 例 半径 5cm の円周の長さを求めたい 円周の長さを ` とおくと π = ` 5 = ` 10 より ( 答 ) ` =10π (cm) 問 1 次の半径の円周を求めよ (1) 半径 cm () 半径 r ( 単位不要 ) 問 次の長さを求めよ ( 単位不要 ) (1) 半径 r の半円の弧の長さ () 半径 r の 1 円の 4 弧の長さ () 半径 r, 中心角 60 の弧の長さ

39 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 7 < 弧度法 1 > 右図のように, 角度 θ を, 半径 1の円の弧 AB の長さ ` で表す方法を弧度法という 単位をラジアンで表し, θ = `( ラジアン ) と記す 例 (1) θ =60 のとき, 半径 1の円周の長さは π だから 60 =π( ラジアン ) である (π は円周率 ;.14) () θ =180 のとき, 半径 1 の 半円の孤の長さは π だから 180 = π( ラジアン ) () θ =90 のとき, 半径 1 の 円周の 1 4 の長さは π だから 90 = π ( ラジアン ) 以上の例から,1( ラジアン ) は弧の長さが1に対する角度 θ で, 1( ラジアン )= 180 π ; 57. である ( 注 ) 60, 180, 90 等の通常の角度を示す記法を度数法という 問次の表を完成せよ

40 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 8 < 弧度法 > 問 1 右図は半径 1 の円の内部に度数法による角度が記されている この円周の外の内に弧度法による角度を記せ ( ただし単位ラジアンは省略してよい ) 例 0 から 60 以外の一般角も弧度法によって表される (1) 40 = =π + π ( ラジアン )=7 π ( ラジアン ) () 510 = = π 5 π ( ラジアン )= π ( ラジアン ) 問 次の角度を弧度法で表せ (1) 540 () 70 () 60 (4) 405 (5) 750 (6) 855 問 前ページおよび下の図をヒントに下の問に答えよ ( 単位不要 ) (1) 半径 r の円周の長さ ` を求めよ ` = () 半径 r の円の面積 S を求めよ S =

41 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 9 < 三角関数のグラフ > 問 表を完成し,y =sinx と y =cosx および y =tanx のグラフを描け (1) y =sinx () y =cosx () y =tanx

42 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 40 < 正弦波 1 > 定数 A, B, C に対し, 正弦関数 y = A sin(bx + C) のグラフを 正弦波という 例加法定理より ³ sin x + π =sinxcos π +cosxsin π であるが cos π = cos 90 =0, sin π =sin90 =1 より ³ sin x + π =cosx となる 従って y =cosx のグラフも正弦波である 前ページの y =sinx と y =cosx のグラフを比べてほしい y =cosx のグラフ は y =sinx のグラフを x 軸方向に π だけ平行移動したものである このようなとき cos x のグラフは sin x のグラフより位相が π だけ 遅れている という あるいは sin x のグラフは cos x のグラフより 位相が π だけ進んでいる という 一般の正弦波関数 y = A sin(bx + C) において,( ( この場合は Bx + C) を位相という ³ 問次の表を完成し,y =sin x π のグラフを描け ) の中の部分

43 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 41 < 正弦波 > 例 y =sinx のグラフを描きたい まず以下の表を作り, それを元にグラフを描く このグラフでは実線が y =sinxのグラフであり, 点線が y =sinx のグラフである このグラフを見れば分かるが,y =sinxのグラフは y =sinxのグラフを y 軸方向に 倍したものである このグラフの最大値は であり, 最小値は である このような場合に この正弦波の振幅は という 一般の正弦波の場合に,x 軸からの距離の最大値を振幅という 問 y = sinx のグラフを描き, その振幅を求めよ

44 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 4 < 正弦波 > 例 1 このグラフは y =sinxのグラフである この正弦波は π ごとに同じ波形をくり返している このような関数を周期関数といい, 一つの波形の (x 軸方向の ) 長さを周期という y =sinxの周期は π である 例 y =sin(x) のグラフを, 次の表を元にして描く このグラフは π ごとに同じ波形を繰り返しているので, y =sin(x) の周期は π である 問次の表を完成し,y =sin(x) のグラフを描き, その周期を求めよ

45 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 4 < 正弦波 4 > 正定数 A,B,C に対して, 正弦波 y = A sin(bx + C) のグラフを考える Bx + C =0 x = C B Bx + C =π x = π C B より, 周期は π B となる また振幅は A である 問次の正弦波のグラフの概形を描き, 周期と振幅を求めよ (1) y = ³ sin x + π 4 () y =sin(x π)

46 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 44 < 正弦波 5 > 例 y = sinx +cosxのグラフを描きたい 5 ページ例 1 より ³ sinx +cosx =sin x + π 6 と表されるので, グラフは下図のようになる このグラフの周期は π であり, 振幅は である 問 次の関数のグラフを描き, 周期と振幅を求めよ (1) y =sinx +cosx () y =sin(x) cos(x)

47 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 45 < 正弦波と回転 1 > 正弦波 y =sinθは, 原点を中心として半径 1 の円周上を点 A(1, 0) から出発して反時計回りに回転する動点 P の y 座標を表す ³ 余弦関数 y =cosθ =sin θ + π は, 原点を中心として半径 1 の円周上を点 B(0, 1) から出発して反時計回りに θ 回 転した点 Q の y 座標を表す

48 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 46 < 正弦波と回転 > 例 y =sinθ +cosθ のグラフを描きたい, 5 ページより sinθ +cosθ = 1 sin(θ + α) と表される ここで cos α =, sin α = µ α ; 4 = π である ( 図 1) ³ このことは y =sinθとy =cosθ =sin θ + π の つの正弦波の和が 1 つの正弦 波 y = 1 sin(θ + α) になることを意味する さらにこれは つの回転 ( 図 の点 P 1 の回転と図 の点 P の回転 ) の和が 1 つの回転 ( 図 4 の点 P の回転 ) になっていることを意味する 図 4 は図 1 の長方形 OP 1 PP が O を中心として角度 θ だけ回転した状態の図である ( 注 ) 図 4 は加法定理の証明 (1 ページ ) と同じ図である

49 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 47 < 解答 1 ~ 6 > < 1 ページ. 三角比 1 > 問の解答 < ページ. 三角比 > 問の解答 cos A = 5, tan A = 5 5 < ページ. 三角比 > 問の解答 tan A = BC AC より, θ sin θ 1 1 cos θ 1 tan θ 1 BC = AC tan A =10 tan 5 = =7.00 木の高さは =8.50 ( 答 ) 8.50(m) < 5 ページ. 三角比 5 > 問の解答 (1) P(, 1) () P(1, 1) sin 0 = 1 cos 0 = tan 0 = 1 sin 45 = 1 cos 45 = 1 tan 45 =1 () P(1, ) sin 60 = cos 60 = 1 tan 60 = < 4 ページ. 三角比 4 > 問 1 の解答 sin A = BC BC = sin A = sin 56 = 0.89 =.487 ;.5 < 6 ページ. 鈍角の三角比 1 > 問の解答 (1) r =1 のとき P Ã 1,! cos A = AC AC = cos A = cos 56 = = ; 1.7 sin 10 = cos 10 = 1 tan 10 = BC ;.5(m), AC ; 1.7(m) 問 の解答 (1) 40 sin 18 = = 1.6 ; 1.4 ( 答 )1.4(m) () r =のとき P( 1, ) sin 10 = cos 10 = 1 tan 10 = () 40 cos 18 = = ; 8.0 ( 答 )8.0(m) 問 の解答 X = r cos θ, Y = r sin θ

50 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 48 < 解答 7 ~ 11 > < 7 ページ. 鈍角の三角比 > 問 1 の解答 (1) r =1 のとき P sin 150 = 1 µ, 1 cos 150 = µ () r =のとき P,1 tan 150 = < 9 ページ. 三角関数表 > 問の解答 (1) sin 95 =0.996, cos 95 = tan 95 = () sin 17 =0.7986, cos 17 = tan 17 = 1.70 () sin 14 =0.6018, cos 14 = tan 14 = (4) sin 180 =0, cos 180 = 1 tan 180 =0 sin 150 = 1 問 の解答 cos 150 = tan 150 = < 10 ページ. 三角比と辺の長さ > 問 1 の解答 (1)AB= 0 cos 5 = = sin θ = Y cos θ = X tan θ = Y X 問 の解答 (1) P µ 1, 1 sin 15 = cos 15 = tan 15 = 1 () µ Q, sin 45 = cos 45 = tan 45 =1 µ () R 0, 1 sin 90 =1 cos90 =0 < 8 ページ. 鈍角の三角比 > 問 1 の解答 µ 1 P, µ, Q 1, sin 60 = cos 60 = 1 tan 60 = sin 10 = cos 10 = 1 tan 10 = 問 の解答 µ P, 1 sin 0 = 1 sin 150 = 1 問 の解答 µ, Q, 1 cos 0 = tan 0 = 1 cos 150 = tan 150 = 1 (1) sin 110 =0.997 cos 110 = 0.40 tan 110 =.7475 BC= 0 sin 5 = = 8.45 ()DH= 10 cos 40 = = EH= 10 sin 40 = = 6.48 問 の解答 AB= r cos θ BC= r sin θ 問 の解答 EH= r sin(180 θ) =r sin θ DH= r cos(180 θ) = r cos θ < 11 ページ. 正弦定理 1 > 問の解答 (1)A =70 a sin 70 =R a =R sin 70 =1.8794R ()A =90 a sin 90 =R a =R ()A =10 a sin 10 =R a =R sin 10 =R = R () sin 140 =0.648 cos 140 = tan 140 = () sin 165 =0.588 cos 165 = tan 165 = 0.679

51 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 49 < 解答 1 ~ 17 > < 1 ページ. 正弦定理 > 問 1 の解答 b sin 60 = 8 sin 60 b = sin 45 sin 45 8 = 8=4 6 1 問 の解答 c sin 10 = sin 45 c = sin10 sin 45 = 問 の解答 (1) = 6 1 a sin 60 = 10 sin 45 a = sin60 sin = 1 10 = 5 6 () R = 5 6 sin 60 = 5 6 =10 R =5 < 15 ページ. 余弦定理 > 問 1 の解答 b = c + a ca cos B 問 の解答 c = a + b ab cos C 問 の解答 ³ ³ (1) a = cos 0 = a = ³ () b = + cos45 =5 b = 5 ³ () c = +1 1 cos 150 =7 c = 7 ³ ³ (4) b = + 6 6cos15 =15 b = 15 < 1 ページ. 正弦定理の応用 > 問 1 の解答 A+B+C=180 より C=54 AC sin 70 = sin 70 AC = sin 54 sin 54 問 の解答 (1) 60 = =117.5(m) BH () sin 45 = sin 45 BH = sin 60 sin 60 = 00 6 < 16 ページ. 余弦定理 > 問 1 の解答 BC = cos 6 =100 問 の解答 cos A = b + c a bc 問 の解答 (1) cos A = b + c a bc ( 答 )BC = 10(m), cosb = a + c b ac = 9+ 5 = 1 ( 答 )A =45 () tan 0 = CH BH CH = BH tan 0 = 00 () cos B = a + c b ac = = ( 答 )B = 150 < 14 ページ. 余弦定理 1 > 問の解答 HC= b sin A BH= c b cos A より 4BCH に三平方の定理を適用すると BC =CH +HB a =(bsin A) +(c bcos A) = b sin A + c bc cos A + b cos A = b (sin A +cos A)+c bc cos A a = b + c bc cos A < 17 ページ. 三角関数 1 > 問の解答 sin 180 = 0, cos 180 = 1, tan180 =0 sin 70 = 1, cos70 =0 sin 60 = 0, cos 60 =1, tan60 =0

52 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 50 < 解答 18 ~ 19 > < 18 ページ. 三角関数 > 問 1 の解答 P, P 0, cos 45 = cos 15 = sin 45 = sin 15 = tan 45 =1 tan 15 = 1 P 00, P 000, cos 5 = cos 15 = sin 5 = sin 15 = tan 5 =1 tan 15 = 1 問 の解答 P, 1 P 0, 1 cos 0 = cos 150 = sin 0 = 1 sin 150 = 1 tan 0 = tan 150 = P 00, 1 P 000, 1 cos 10 = cos 0 = sin 10 = 1 sin 0 = 1 tan 10 = tan 0 = < 19 ページ. 三角関数 > 問 1 の解答 P 1, P 0 1, cos 60 = 1 cos 10 = 1 sin 60 = sin 10 = tan 60 = tan 10 = P 00 1, P 000 1, cos 40 = 1 cos 00 = 1 sin 40 = sin 00 = tan 40 = tan 00 = 問 の解答 (1) P 0 ( 0.648, ) P 00 ( 0.648, ) P 000 (0.648, ) () cos 10 = sin 10 = cos 0 = sin 0 = cos 10 =0.648 sin 10 = () tan 10 = tan 0 = tan 10 =

53 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 51 < 解答 0 ~ 4 > < 0 ページ. 三角関数 4 > 問 1 の解答 (1) sin(180 θ) =sinθ cos(180 θ) = cos θ sin(θ +180 )= sin θ cos(θ +180 )= cos θ sin(60 θ) = sin θ cos(60 θ) =cosθ () tan(180 θ) = tan θ tan(θ +180 )=tanθ tan(60 θ) = tan θ 問 の解答 cos 0 =0.997 sin 0 =0.40 tan 0 =0.640 cos 160 = sin 160 =0.40 tan 160 = < ページ. 平面座標の三角表示 > 問の解答 (1) P(, 1) () P(, ) () P(, ) (4) P( 6.48, 7.660) < ページ. 一般角 > 問の解答 (1) sin 460 =sin100 () cos( 70 )=cos90 () tan 500 =tan140 (4) sin( 00 ) = sin 160 (5) cos 650 =cos90 (6) tan 860 =tan140 cos 00 = sin 00 = 0.40 tan 00 =0.640 cos 40 =0.997 sin 40 = 0.40 tan 40 = < 1 ページ. 三角関数の相互関係 > 問 1 の解答 tan θ = sin θ cos θ 問 の解答 1+tan θ =1+ sin θ cos θ = cos θ +sin θ cos = 1 θ cos θ 問 の解答 θ 第 1 象限第 象限第 象限第 4 象限 sin θ + + cos θ + + tan θ + + 問 4 の解答 sin θ =1 cos θ =1 µ 1 = = 5 µ = 1 0 < θ < 180 より sin θ > 0 よって sin θ = 5 1 < 4 ページ. 一般角の三角関数 > 問 1 の解答 cos (θ +60 )=cosθ cos (θ 60 )=cosθ cos (180 θ) = cos θ cos (θ +180 )= cos θ cos (60 θ) =cosθ cos ( θ) =cosθ tan (θ +60 )=tanθ tan (θ 60 )=tanθ tan (180 θ) = tan θ tan (θ +180 )=tanθ tan (60 θ) = tan θ tan ( θ) = tan θ sin (θ +60 )=sinθ sin (θ 60 )=sinθ sin (180 θ) =sinθ sin (θ +180 )= sin θ sin (60 θ) = sin θ sin ( θ) = sin θ 問 の解答 sin 40 = cos 450 =0 tan495 = 1 sin ( 45 )= cos ( 90 )=0 tan( 10 )= 問 の解答 sin 80 =0.40 cos 400 = tan 510 = sin ( 40 )= cos ( 100 )= tan ( 50 )=

54 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 5 < 解答 5 ~ 9 > < 5 ページ. 三角関数の値 > 問 1 の解答 < 8 ページ. 三角方程式 > 問 1 の解答 三角形の相似より Y : X = T :1 Y X = T 1 = T よって tan θ = Y X = T 問 解答 (1) tan θ =1 ( 90 5 θ 5 70 ) ( 答 ) θ =45, θ =5 問 の解答 sin( 50 )= cos( 40 )= tan( 0 )= sin 10 = cos 140 = tan 160 = sin 00 = 0.40 cos 190 = tan 0 =0.891 sin 80 = cos 90 =0.40 tan 10 = sin 70 =0.176 cos 80 =0.997 tan 410 = () tan θ = 1 ( 90 5 θ 5 70 ) ( 答 ) θ =0, θ =10 () tan θ = ( 90 5 θ 5 70 ) ( 答 ) θ = 60, θ =10 < 6 ページ. 三角方程式 1 > 問の解答 (1) sin θ = ( 答 ) θ =45, θ =15 (0 5 θ 5 60 ) < 9 ページ. 三角関数のグラフ 1 > 問 1 の解答 () sin θ = ( θ ) ( 答 ) θ = 60, θ = 10 () sin θ = 1 (0 5 θ 5 60 ) ( 答 ) θ =10, θ =0 < 7 ページ. 三角方程式 > 問の解答 問 の解答 (1) cos θ = ( θ ) ( 答 ) θ = 0, θ =0 () cos θ = 1 ( θ ) ( 答 ) θ = 10, θ =10 () cos θ = (0 5 θ 5 60 ) ( 答 ) θ =45, θ =15

55 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 5 < 解答 0 ~ > < 0 ページ. 三角関数のグラフ > 問の解答 < ページ. 加法定理 > 問 1 の解答 cos(α β) =cos(α +( β)) =cosαcos( β) sin α sin( β) =cosαcos β sin α{ sin β} =cosαcos β +sinαsin β 問 の解答 (1) sin 75 =sin45 cos 0 +cos45 sin 0 6+ = 4 () sin 105 =sin60 cos 45 +cos60 sin = 4 () sin 165 =sin10 cos 45 + cos 10 sin 45 6 = 4 (4) cos 15 = cos 45 cos 0 +sin45 sin 0 6+ = 4 (5) cos 75 = cos 45 cos 0 sin 45 sin 0 6 = 4 (6) cos 165 = cos 10 cos 45 sin 10 sin = 4 < 1 ページ. 加法定理 1 > 問の解答 点 P の x 座標が r cos(α + β) とも,a cos β b sin β とも言えるので r cos(α + β) =a cos β b sin β 1 である a r =cosα, b r =sinα より 1 の両辺を r で割ると cos(α + β) = a r cos β b r sin β である ( 証明終了 ) =cosα cos β sin α sin β

56 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 54 < 解答 ~ 6 > < ページ. 加法定理 > 問 1 の解答 tan(α + β) = = = = 問 の解答 sin(α + β) cos(α + β) sin α cos β +cosα sin β cos α cos β sin α sin β sin α cos β+cos α sin β cos α cos β cos α cos β sin α sin β cos α cos β tan α +tanβ 1 tan α tan β tan(α +( β)) = = = = = 問 の解答 sin(α +( β)) cos(α +( β)) sin α cos( β)+cosα sin( β) cos α cos( β) sin α sin( β) sin α cos( β)+cos α sin( β) cos α cos( β) cos α cos( β) sin α sin( β) cos α cos( β) tan α +tan( β) 1 tan α tan( β) tan α tan β 1+tanα tan β (1) tan 105 = tan 60 +tan45 1 tan 60 tan = 1 = = () tan 15 =tan(45 0 ) = tan 45 +tan( 0 ) 1 tan 40 tan( 0 ) = ( 1 ) = +1 = +1 1 = < 4 ページ. 加法定理の応用 1> 問 1 の解答 (1) cos(θ +π) =cosθ cos π sin θ sin π =cosθ () tan(θ +π) = tan θ +tanπ 1 tan θ tan π =tanθ () cos( θ) =cos(0 θ) =cos0cosθ sin 0 sin θ =cosθ (4) tan( θ) =tan(0 θ) = tan 0 tan θ 1 + tan 0 tan θ = tan θ (5) sin(θ + π) =sinθ cos π +cosθ sin π = sin θ (6) cos(θ + π) =cosθ cos π sin θ sin π = cos θ (7) sin(π θ) =sinπ cos θ cos π sin θ =sinθ (8) cos(π θ) =cosπcos θ +sinπsin θ = cos θ tan π tan θ (9) tan(π θ) = 1+tanπtan θ = tan θ (10) sin(θ + π )=sinθ cos π +cosθ sin π =cosθ (11) cos(θ + π )=cosθ cos π sin θ sin π = sin θ (1) sin( π θ) =sinπ cos θ cos π sin θ =cosθ (1) cos( π θ) =cosπ cos θ +sinπ sin θ =sinθ 問 の解答 (1) sin(α) =sinα cos α () cos(α) =cos α sin α =cos α 1 =1 sin α () tan(α) = tanα 1 tan α < 5 ページ. 加法定理の応用 > 問の解答 (1) sin θ +cosθ = sin(θ + π 4 ) () cosθ +sinθ =sin(θ + π ) () cos θ sin θ = sin(θ + π 4 ) (4) 4cosθ 4 sinθ =8sin(θ + 7π 6 ) < 6 ページ. 円周率 > 問 1 の解答 =8sin(θ 5π 6 ) (1) ` =4π (cm) () ` =πr 問 の解答 (1) πr () π r () π r

57 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 55 < 解答 7 ~ 9 > < 7 ページ. 弧度法 1 > 問の解答 < 8 ページ. 弧度法 > 問 1 の解答 問 の解答 (1) π () π () 7 π (4) 9 4 π (5) 5 6 π (6) 19 4 π 問 の解答 (1) ` =πr () S = πr < 9 ページ. 三角関数のグラフ > 問の解答 (1) y =sinx () y =cosx

58 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 56 < 解答 9 ~ 4 > < 9 ページ. 三角関数のグラフ > 問の解答 () y =tanx <40 ページ. 正弦波 1 > 問の解答 < 41 ページ. 正弦波 > 問の解答 < 4 ページ. 正弦波 > 問の解答 振幅 周期 π

59 高知工科大学基礎数学シリーズ 三角関数 ( 改訂版 ) 57 < 解答 4 ~ 44 > < 4 ページ. 正弦波 4 > 問の解答 (1) y = sin(x + π 4 ) 周期 π 振幅 (1) y =sin(x π) 周期 π 振幅 < 44 ページ. 正弦波 5 > 問の解答 (1) y =sinx +cosx = sin(x + π 4 ) 周期 π 振幅 () y =sin(x) cos(x) =sin(x π ) 周期 π 振幅

Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,

Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき, 図形と計量 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする 地点の目の位置 ' から 木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 と なる 地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が であ るとき, 木の高さを求めよ ただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 絶対値の意味を理解し適切な処理することができる 例題 1-3 の絶対値をはずせ 展開公式 ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 を利用して根号を含む分数の分母を有理化することができる 例題 5 5 + 2 の分母を有理化せよ 実数の整数部分と小数部分の表し方を理解している

More information

学力スタンダード(様式1)

学力スタンダード(様式1) (1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 稔ヶ丘高校学力スタンダード 有理数 無理数の定義や実数の分類について理解し ている 絶対値の意味と記号表示を理解している 実数と直線上の点が一対一対応であることを理解 し 実数を数直線上に示すことができる 例 実数 (1) -.5 () π (3) 数直線上の点はどれか答えよ

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 千早高校学力スタンダード 自然数 整数 有理数 無理数の用語の意味を理解す る ( 例 ) 次の数の中から自然数 整数 有理 数 無理数に分類せよ 3 3,, 0.7, 3,,-, 4 (1) 自然数 () 整数 (3) 有理数 (4) 無理数 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1 ) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など 実 数の構成を理解する ( 例 ) 次の空欄に適当な言葉をいれて, 数の集合を表しなさい 実数の絶対値が実数と対応する点と原点との距離で あることを理解する ( 例 ) 次の値を求めよ (1) () 6 置き換えなどを利用して 三項の無理数の乗法の計

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 第 1 章第 節実数 東高校学力スタンダード 4 実数 (P.3~7) 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれの集 合について 四則演算の可能性について判断できる ( 例 ) 下の表において, それぞれの数の範囲で四則計算を考えるとき, 計算がその範囲で常にできる場合には

More information

20~22.prt

20~22.prt [ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点

More information

重要例題113

重要例題113 04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 ) > 0

More information

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70

Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70 Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=:

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 学習指導要領 数と式 (1) 式の計算二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深め 式を多面的にみたり目的に応じて式を適切に変形したりすること 東京都立町田高等学校学力スタンダード 整式の加法 減法 乗法展開の公式を利用できる 式を1 つの文字におき換えることによって, 式の計算を簡略化することができる 式の形の特徴に着目して変形し, 展開の公式が適用できるようにすることができる 因数分解因数分解の公式を利用できる

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれの集 合について 四則演算の可能性について判断できる ( 例 ) 下の表において それぞれの数の範囲で四則計算を考えるとき 計算がその範囲で常にできる場合には を 常にできるとは限らない場合には を付けよ ただし 除法では 0 で割ることは考えない

More information

Microsoft Word - 町田・全 H30学力スタ 別紙1 1年 数学Ⅰ.doc

Microsoft Word - 町田・全 H30学力スタ 別紙1 1年 数学Ⅰ.doc (1) 数と式 学習指導要領 都立町田高校 学力スタンダード ア 数と集合 ( ア ) 実数 根号を含む式の計算 数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な 循環小数を表す記号を用いて, 分数を循環小数で表 無理数の四則計算をすること すことができる 今まで学習してきた数の体系について整理し, 考察 しようとする 絶対値の意味と記号表示を理解している 根号を含む式の加法, 減法, 乗法の計算ができる

More information

2017年度 長崎大・医系数学

2017年度 長崎大・医系数学 07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が,

More information

2013年度 九州大・理系数学

2013年度 九州大・理系数学 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a> とし, つの曲線 y= ( ), y= a ( > ) を順にC, C とする また, C とC の交点 P におけるC の接線をl とする 以下 の問いに答えよ () 曲線 C とy 軸および直線 l で囲まれた部分の面積をa を用いて表せ () 点 P におけるC の接線と直線 l のなす角を ( a) とき, limasin θ(

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など 実数 の構成を理解する ( 例 ) 次の空欄に適当な言葉をいれて, 数の集合を表しなさい ア イ 無理数 整数 ウ 無理数の加法及び減法 乗法公式などを利用した計 算ができる また 分母だけが二項である無理数の 分母の有理化ができる ( 例 1)

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 ア整式 ( ア ) 式の展開と因数分解二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深め 式を多面的にみたり目的に応じて式を適切に変形したりすること (ax b)(cx d) acx (ad bc)x bd などの基本的な公式を活用して 二次式の展開や因数分解ができる また 式の置き換えや一文字に着目するなどして 展開 因数分解ができる ( 例 ) 次の問に答えよ (1) (3x a)(4x

More information

高ゼミサポSelectⅢ数学Ⅰ_解答.indd

高ゼミサポSelectⅢ数学Ⅰ_解答.indd 数と式 ⑴ 氏点00 次の式を展開せよ ( 各 6 点 ) ⑴ (a-)(a -a+) ⑵ (x+y+)(x+y-5) 次の式を因数分解せよ (⑴⑵ 各 6 点, ⑶⑷ 各 8 点 ) ⑴ x y+x -x-6y ⑵ x -x - ⑶ a +5b ⑷ (x+y+z+)(x+)+yz 数と式 ⑵ 氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の循環小数を分数で表せ. a-5 = ⑵ 次の等式を満たす実数

More information

<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>

<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364> 4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,

More information

p tn tn したがって, 点 の 座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点 の 座標は p p tn p tn よって, 点 の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点 は放物線 4 p 上を動くこと

p tn tn したがって, 点 の 座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点 の 座標は p p tn p tn よって, 点 の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点 は放物線 4 p 上を動くこと 567_ 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線 ( 放物線 楕円 双曲線 ) の標準形の, についての方程式と, 三角関数による媒介変数表示は次のように対応している.. 放物線 () 4 p (, ) ( ptn, ptn ) (). 楕円. 双曲線 () () (, p p ), tn tn (, ) ( cos, sin ) (, ), tn cos (,

More information

< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A>

< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A> 数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:

More information

2018年度 筑波大・理系数学

2018年度 筑波大・理系数学 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(

More information

数学 Ⅲ 無限等比級数の問題解答 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は ( 答 ) であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって

数学 Ⅲ 無限等比級数の問題解答 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は ( 答 ) であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって 収束し その和は < の無限等比級数 であるから 初項 < 公比

More information

Microsoft Word - 201hyouka-tangen-1.doc

Microsoft Word - 201hyouka-tangen-1.doc 数学 Ⅰ 評価規準の作成 ( 単元ごと ) 数学 Ⅰ の目標及び図形と計量について理解させ 基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り それらを的確に活用する機能を伸ばすとともに 数学的な見方や考え方のよさを認識できるようにする 評価の観点の趣旨 式と不等式 二次関数及び図形と計量における考え方に関 心をもつとともに 数学的な見方や考え方のよさを認識し それらを事象の考察に活用しようとする 式と不等式 二次関数及び図形と計量における数学的な見

More information

平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と

平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と 平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム 微分積分の拡張 変数関数問題へのアプローチ 予選決勝優勝法からラグランジュ未定乗数法 松本睦郎 ( 札幌北高等学校 変数関数の最大値 最小値に関する問題には多様なアプローチ法がある 文字を固定した 予選決勝優勝法, 計算のみで解法する 文字消去法, 微分積分を利用した ラグランジュ未定乗数法 がある

More information

2011年度 大阪大・理系数学

2011年度 大阪大・理系数学 0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ

More information

" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な

 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な 1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径

More information

2014年度 筑波大・理系数学

2014年度 筑波大・理系数学 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 都立大江戸高校学力スタンダード 平方根の意味を理解し 平方根の計算法則に従って平方根を簡単にすることができる ( 例 1) 次の値を求めよ (1)5 の平方根 () 81 ( 例 ) 次の数を簡単にせよ (1) 5 () 7 1 (3) 49 無理数の加法や減法 乗法公式を利用した計算がで

More information

2015-2017年度 2次数学セレクション(複素数)解答解説

2015-2017年度 2次数学セレクション(複素数)解答解説 05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点

More information

2018年度 神戸大・理系数学

2018年度 神戸大・理系数学 8 神戸大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ t を < t < を満たす実数とする OABC を 辺の長さが の正四面体とする 辺 OA を -t : tに内分する点を P, 辺 OB を t :-tに内分する点を Q, 辺 BC の中点を R とする また a = OA, b = OB, c = OC とする 以下の問いに答えよ () QP と QR をt, a, b, c を用いて表せ

More information

2019年度 千葉大・理系数学

2019年度 千葉大・理系数学 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a, a とし, のとき, a+ a + a - として数列 { a } () のとき a+ a a a - が成り立つことを証明せよ () åai aaa + が成り立つような自然数 を求めよ i を定める -- 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 三角形 ABC は AB+ AC BCを満たしている また,

More information

2016年度 筑波大・理系数学

2016年度 筑波大・理系数学 06 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ k を実数とする y 平面の曲線 C : y とC : y- + k+ -k が異なる共 有点 P, Q をもつとする ただし点 P, Q の 座標は正であるとする また, 原点を O とする () k のとりうる値の範囲を求めよ () k が () の範囲を動くとき, OPQ の重心 G の軌跡を求めよ () OPQ の面積を S とするとき,

More information

Microsoft Word - 数学Ⅰ

Microsoft Word - 数学Ⅰ () 数と式 ア数と集合 ( ア ) 実数 数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な 無理数の四則計算をすること 自然数 整数 有理数 無理数の包含関係など 実数の構成を理解する ( 例 ) 次の空欄に適当な言葉をいれて, 数の集合を表しなさい イ 整数 ウ ア 無理数 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれ の集合について 四則演算の可能性について判断 できる ( 例 ) 下の表において,

More information

Microsoft Word - スーパーナビ 第6回 数学.docx

Microsoft Word - スーパーナビ 第6回 数学.docx 1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16

More information

学習指導要領

学習指導要領 () いろいろな式 学習指導要領ア式と証明 ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し それらを用いて式の展開や因数分解をすること また 整式の除法や分数式の四則計算について理解し 簡単な場合について計算をすること 都立清瀬高校学力スタンダード 変数の 次式の展開や因数分解ができる ( 例 ) 次の式を展開せよ y ( 例 ) 次の式を因数分解せよ 8 7y

More information

STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長

STEP 数学 Ⅰ を解いてみた   から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長 STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in(

More information

( 表紙 )

( 表紙 ) ( 表紙 ) 1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい.

More information

学習指導要領

学習指導要領 習熟度別クラス編成において 基礎クラスの学力スタンダード 表示は ( 基礎 ) と応用クラスの学力スタンダード 表示は ( 応用 ) を設定する () いろいろな式 ア式と証明 ( ア ) 整式の乗法 除法, 分数式の計算三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し それらを用いて式の展開や因数分解をすること また 整式の除法や分数式の四則計算について理解し 簡単な場合について計算をすること 文字の 次式の展開や因数分解ができる

More information

相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を

相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を 台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =

More information

2011年度 東京工大・数学

2011年度 東京工大・数学 東京工業大学前期日程問題 解答解説のページへ n n を自然数とする 平面上で行列 n( n+ ) n+ の表す 次変換 ( 移動とも いう ) を n とする 次の問いに答えよ () 原点 O(, ) を通る直線で, その直線上のすべての点が n により同じ直線上に移 されるものが 本あることを示し, この 直線の方程式を求めよ () () で得られた 直線と曲線 (3) を求めよ n Sn 6

More information

平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ

平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ 1 正三角形 の外接円の, を含まない弧 上に点 をとる. このとき, = + となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 図のように直線 上に点 を, 三角形 が正三角形となるようにとることができる. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である.

More information

1999年度 センター試験・数学ⅡB

1999年度 センター試験・数学ⅡB 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) [] 関数 y cos3x の周期のうち正で最小のものはアイウ 解答解説のページへ 0 x 360 のとき, 関数 y cos3x において, y となる x はエ個, y となる x はオ 個ある また, y sin x と y cos3x のグラフより, 方程式 sin x cos3x は 0 x 360のときカ個の解をもつことがわかる

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) いろいろな式 学習指導要領紅葉川高校学力スタンダードア式と証明展開の公式を用いて 3 乗に関わる式を展開すること ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算ができるようにする 三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し そ 3 次の因数分解の公式を理解し それらを用いて因数れらを用いて式の展開や因数分解をすること また 分解することができるようにする 整式の除法や分数式の四則計算について理解し

More information

2017年度 信州大・医系数学

2017年度 信州大・医系数学 7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の点 O(, ), A ( a, a ), B( b, b ), C( b, b) を考える さらに,, に対し, D( acos asi, asi + acos ), E( bcos bsi, bsi + bcos ) とおく () OA = OD を示せ () OA OC = かつ OA OB = OD OE ¹ であるとする

More information

2015年度 岡山大・理系数学

2015年度 岡山大・理系数学 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を

More information

2011年度 筑波大・理系数学

2011年度 筑波大・理系数学 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ

More information

学習指導要領 ( イ ) 集合集合と命題に関する基本的な概念を理解し それを事象の考察に活用すること 向丘高校学力スタンダード 三つの集合について 共通部分 和集合を求めることができる また 二つの集合について ド モルガンの法則 を理解する ( 例 ) U ={ n n は 1 桁の自然数 } を

学習指導要領 ( イ ) 集合集合と命題に関する基本的な概念を理解し それを事象の考察に活用すること 向丘高校学力スタンダード 三つの集合について 共通部分 和集合を求めることができる また 二つの集合について ド モルガンの法則 を理解する ( 例 ) U ={ n n は 1 桁の自然数 } を (1) 数と式 学習指導要領ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し 簡単な無理数の四則計算をすること 向丘高校学力スタンダード 自然数 整数 有理数 無理数 実数のそれぞれの 集合について 四則演算の可能性について判断できる ( 例 ) 下の表において それぞれの数の範囲で四則計算を考えるとき 計算がその範囲で常にできる場合には を 常にできるとは限らない場合には をつけよ ただし

More information

. 角の二等分線と調和平均 平面上に点 を端点とする線分 と を重ならないようにとる, とし とする の二等分線が線分 と交わる点を とし 点 から に垂直に引いた直線が線分 と交わる点 とする 線分 の長さを求めてみよう 点 から に垂直な直線と および との交点をそれぞれ, Dとする つの直角三

. 角の二等分線と調和平均 平面上に点 を端点とする線分 と を重ならないようにとる, とし とする の二等分線が線分 と交わる点を とし 点 から に垂直に引いた直線が線分 と交わる点 とする 線分 の長さを求めてみよう 点 から に垂直な直線と および との交点をそれぞれ, Dとする つの直角三 角の二等分線で開くいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 0. 数直線上に現れるいろいろな平均下図は 数 (, ) の調和平均 相乗平均 相加平均 二乗平均を数直線上に置いたものである, とし 直径 中心 である円を用いていろいろな平均の大小関係を表現するもっとも美しい配置方法であり その証明も容易である Q D E F < 相加平均 > (0), ( ), ( とすると 線分 ) の中点 の座標はである

More information

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 2 Q ABC 2 1 BC AB, AC AB, BC AC 1 B BC AB = QR PQ = 1 2 AC AB = PR 3 PQ = 2 BC AC = QR PR = 1

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 2 Q ABC 2 1 BC AB, AC AB, BC AC 1 B BC AB = QR PQ = 1 2 AC AB = PR 3 PQ = 2 BC AC = QR PR = 1 ... 0 60 Q,, = QR PQ = = PR PQ = = QR PR = P 0 0 R 5 6 θ r xy r y y r, x r, y x θ x θ θ (sine) (cosine) (tangent) sin θ, cos θ, tan θ. θ sin θ = = 5 cos θ = = 4 5 tan θ = = 4 θ 5 4 sin θ = y r cos θ =

More information

Microsoft PowerPoint - 9.pptx

Microsoft PowerPoint - 9.pptx 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 行列演算と写像 ( 次変換 3 拡大とスカラー倍 p ' = ( ', ' = ( k, kk p = (, k 倍 k 倍 拡大後 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる ' = k ' 拡大前 拡大 4 拡大と行列の積 p ' = ( ', '

More information

2015年度 金沢大・理系数学

2015年度 金沢大・理系数学 05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ四面体 OABC において, 3 つのベクトル OA, OB, OC はどの つも互いに垂直で あり, h > 0 に対して, OA, OB, OC h とする 3 点 O, A, B を通る平面上の点 P は, CP が CA と CB のどちらとも垂直となる点であるとする 次の問いに答えよ () OP OA + OB とするとき, と

More information

2014年度 千葉大・医系数学

2014年度 千葉大・医系数学 04 千葉大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 袋の中に, 赤玉が 3 個, 白玉が 7 個が入っている 袋から玉を無作為に つ取り出し, 色を確認してから, 再び袋に戻すという試行を行う この試行を N 回繰り返したときに, 赤玉を A 回 ( ただし 0 A N) 取り出す確率を p( N, A) とする このとき, 以下の問いに答えよ () 確率 p( N, A) を N と

More information

2015年度 京都大・理系数学

2015年度 京都大・理系数学 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの関数 y= si( x+ ) と y = six のグラフの 0 x の部分で囲まれる領域 を, x 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を求めよ ただし, x = 0 と x = は領域を囲む線とは考えない -- 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ次の つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ

More information

(2000 )

(2000 ) (000) < > = = = (BC 67» BC 1) 3.14 10 (= ) 18 ( 00 ) ( ¼"½ '"½ &) ¼ 18 ¼ 0 ¼ =3:141596535897933846 ¼ 1 5cm ` ¼ = ` 5 = ` 10 () ` =10¼ (cm) (1) 3cm () r () () (1) r () r 1 4 (3) r, 60 ± 1 < > µ AB ` µ ±

More information

Microsoft PowerPoint - 9.pptx

Microsoft PowerPoint - 9.pptx 9/7/8( 水 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 拡大とスカラー倍 行列演算と写像 ( 次変換 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる p = (, ' = k ' 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 拡大 4 拡大と行列の積 拡大後 k 倍

More information

【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(比例と反比例の応用/点の移動/速さ)

【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(比例と反比例の応用/点の移動/速さ) FdDt 中間期末過去問題 中学数学 1 年 ( 比例と反比例の応用 / 点の移動 / 速さ ) http://www.fdtet.com/dt/ 水そうの問題 [ 問題 ](2 学期期末 ) 水が 200 l 入る水そうに, 毎分 8 l の割合で水を入れていく 水を入れはじめてから 分後の水の量を y l とするとき, 次の各問いに答えよ (1), y の関係を式に表せ (2) の変域を求めよ

More information

2017年度 神戸大・理系数学

2017年度 神戸大・理系数学 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とする f ( si + とおく < < 4 であることを用い て, 以下の問いに答えよ ( < < のとき, f ( < であることを示せ ( 方程式 f ( は < < の範囲に解をただ つもつことを示せ ( ( における解を とする lim であることを示し, lim を求めよ 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ

More information

【】 1次関数の意味

【】 1次関数の意味 FdText 数学 1 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 直線と角 解答欄に次のものを書き入れよ 1 直線 AB 2 線分 AB 1 2 1 2 右図のように,3 点 A,B,Cがあるとき, 次の図形を書き入れよ 1 直線 AC 2 線分 BC - 1 - 次の図で a, b, c で示された角を A,B,C,D の文字を使って表せ a : b : c :

More information

FdData中間期末数学2年

FdData中間期末数学2年 中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 年 方程式とグラフ [ 二元一次方程式 ax + by = c のグラフ ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 二元一次方程式 x + y = 4 のグラフをかけ http://www.fdtext.com/dat/ [ 解答 ] 方程式の解を座標とする点の全体を, その方程式のグラフという 二元一次方程式 x + y = 4 の解は無数にあるが, 例えば,

More information

測量士補試験 重要事項 基準点測量「偏心補正計算」

測量士補試験 重要事項 基準点測量「偏心補正計算」 測量士補試験重要事項基準点測量 偏心補正計算 (Vr.0) 偏心補正計算 < 試験合格へのポイント > 偏心補正計算は 偏心補正計算の出題はその計算方法から 正弦定理を用いるものと余弦定理を用いるものに大別されるが 出題は正弦定理を用いる問題が主である 正弦定理を用いる問題は 与えられた数値を単に公式に当てはめればよいため 比較的簡単に解答することができる また ほぼ 100% の確率で問題文に図が示してあるため

More information

2017年度 千葉大・理系数学

2017年度 千葉大・理系数学 017 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ n を 4 以上の整数とする 座標平面上で正 n 角形 A1A A n は点 O を中心とする半径 1 の円に内接している a = OA 1, b = OA, c = OA 3, d = OA4 とし, k = cos とおく そして, 線分 A1A3 と線分 AA4 との交点 P は線分 A1A3 を n :1に内分するとする

More information

2017年度 金沢大・理系数学

2017年度 金沢大・理系数学 07 金沢大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ ( 6 z + 7 = 0 を満たす複素数 z をすべて求め, それらを表す点を複素数平面上に図 示せよ ( ( で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z, z, とするとき, z, z と 積 zz を表す 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ ただし, 偏角は 0 以上 未満とする -- 07 金沢大学

More information

相関係数と偏差ベクトル

相関係数と偏差ベクトル 相関係数と偏差ベクトル 経営統計演習の補足資料 07 年 月 9 日金沢学院大学経営情報学部藤本祥二 相関係数の復習 r = s xy s x s y = = n σ n i= σn i= n σ n i= n σ i= x i xҧ y i തy x i xҧ n σ n i= y i തy x i xҧ x i xҧ y i തy σn i= y i തy 式が長くなるので u, v の文字で偏差を表すことにする

More information

2018試行 共通テスト 数学ⅠA 解答例

2018試行 共通テスト 数学ⅠA 解答例 第 1 問 共通テスト ( 試行調査 018) 数学 Ⅰ 数学 A 解答例 [1] (1) 1 のみを要素としてもつ集合が集合 A の部分集合 であることは, C = {1} とおくと, CÌ Aと表される () 命題 x Î, y Î ならば, x+ yîである が偽であることを示すための反例は, x Î かつ y Î かつ x+ yï から探すと, ( x, y ) = (3-3, 3-1),

More information

2018年度 東京大・理系数学

2018年度 東京大・理系数学 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母

More information

2011年度 東京大・文系数学

2011年度 東京大・文系数学 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ x の 次関数 f( x) = x + x + cx+ d が, つの条件 f () =, f ( ) =, ( x + cx+ d) dx= をすべて満たしているとする このような f( x) の中で定積分 I = { f ( x) } dx を最小にするものを求め, そのときの I の値を求めよ ただし, f ( x) は f ( x)

More information

05 年度センター試験数学 ⅡB () において,cos q 0 であるから,P ( cos q, sin q) より, 直線 OP を表す方程式は y sin q sin q x cos q cos q x すなわち, (sin q) x - (cos q) y 0 ( ) ク 点 O,P,Q が

05 年度センター試験数学 ⅡB () において,cos q 0 であるから,P ( cos q, sin q) より, 直線 OP を表す方程式は y sin q sin q x cos q cos q x すなわち, (sin q) x - (cos q) y 0 ( ) ク 点 O,P,Q が 05 年度大学入試センター試験解説 数学 ⅡB 第 問 []() 点間の距離の公式から, OP ( cos q ) + ( sin q ) ( cos q + sin q ) ア PQ { ( cos q + cos 7q ) - cos q } + { ( sin q + sin 7q ) - sin q } cos q + sin q 7 7 イ である また, OQ ( cos q + cos

More information

機構学 平面機構の運動学

機構学 平面機構の運動学 問題 1 静止座標系 - 平面上を運動する節 b 上に2 定点,Bを考える. いま,2 点の座標は(0,0),B(50,0) である. 2 点間の距離は 50 mm, 点の速度が a 150 mm/s, 点 Bの速度の向きが150 である. 以下の問いに答えよ. (1) 点 Bの速度を求めよ. (2) 瞬間中心を求めよ. 節 b a (0,0) b 150 B(50,0) 問題 1(1) 解答 b

More information

テレビ講座追加資料1105

テレビ講座追加資料1105 数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい 類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形

More information

公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si

公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係

More information

2016年度 九州大・理系数学

2016年度 九州大・理系数学 0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,

More information

断面の諸量

断面の諸量 断面の諸量 建設システム工学科高谷富也 断面 次モーメント 定義 G d G d 座標軸の平行移動 断面 次モーメント 軸に平行な X Y 軸に関する断面 次モーメント G X G Y を求める X G d d d Y 0 0 G 0 G d d d 0 0 G 0 重心 軸に関する断面 次モーメントを G G とし 軸に平行な座標軸 X Y の原点が断面の重心に一致するものとする G G, G G

More information

2010年度 筑波大・理系数学

2010年度 筑波大・理系数学 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ -- 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0

More information

【】三平方の定理

【】三平方の定理 FdText 数学 3 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 三角形 x を求めよ (3) (4) (5) (6) (3) (4) (5) (6) [ 解答 ] (1) 34 cm (2) 2 2 cm (3) 13cm (4) 2 7 cm (5) 5 3cm (6) 11 cm - 1 - 次の三角形, 台形の高さ (h) を求めよ (3) (4) (3)

More information

丛觙形ㆮ隢穓ㆮ亄ç�›å‹ƒç·ı

丛觙形ㆮ隢穓ㆮ亄ç�›å‹ƒç·ı 三角形の面積は == 三角形の面積の二等分線 == ( 面積 )=( 底辺 ) ( 高さ ) 2 の公式で求められます. 次の図のように, ABC の頂点 A から対辺 BC の中点 ( 真ん中の点,1 対 1 に内分する点 ) D に線分 AD をひくと, ABD と DCA とは, 底辺が等しく, 高さが共通になるから, これら 2 つの三角形の面積は等しくなります.( 高さは底辺と垂直 ( 直角

More information

70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1

70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1 70 : 0 : A B (0 ) (30 ) 50 1 1 4 1.1................................................ 5 1. A............................................... 6 1.3 B............................................... 7 8.1 A...............................................

More information

Microsoft Word - 微分入門.doc

Microsoft Word - 微分入門.doc 基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,

More information

< BD96CA E B816989A B A>

< BD96CA E B816989A B A> 数 Ⅱ 平面ベクトル ( 黄色チャート ) () () ~ () " 図 # () () () - - () - () - - () % から %- から - -,- 略 () 求めるベクトルを とする S であるから,k となる実数 k がある このとき k k, であるから k すなわち k$, 求めるベクトルは --,- - -7- - -, から また ',' 7 (),,-,, -, -,

More information

解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 29 年 12 月 17 日実施 ) 数 学 数学 2= 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 1 整理して (60 分 100 点 ) (2 3+ 2)(

解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 29 年 12 月 17 日実施 ) 数 学 数学 2= 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 1 整理して (60 分 100 点 ) (2 3+ 2)( 解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 9 年 月 7 日実施 ) 数 学 数学 = 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 整理して (60 分 00 点 ) 3+ ( 3+ )( 6 ) ( 与式 ) = = 6 + + 6 (3 + ) すなわち 5 6 (5 6 )(3+ ) = = 3 9 8 = 4 6

More information

2016年度 広島大・文系数学

2016年度 広島大・文系数学 06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を正の定数とし, 座標平面上において, 円 C : x + y, 放物線 C : y ax + C 上の点 P (, ) を考える - におけるC の接線 l は点 Q( s, t) でC に接してい る 次の問いに答えよ () s, t および a を求めよ () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ () 円 C

More information

2016年度 京都大・文系数学

2016年度 京都大・文系数学 06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面内の領域の面積を求めよ x + y, x で, 曲線 C : y= x + x -xの上側にある部分 -- 06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ ボタンを押すと あたり か はずれ のいずれかが表示される装置がある あたり の表示される確率は毎回同じであるとする この装置のボタンを 0 回押したとき,

More information

2014年度 九州大・文系数学

2014年度 九州大・文系数学 014 九州大学 ( 文系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ 座標平面上の直線 y =-1 を l 1, 直線 y = 1 を l とし, x 軸上の 点 O(0, 0), A ( a, 0) を考える 点 P( x, y) について, 次の条件を考える d(p, l1 ) PO かつ d(p, l ) PA 1 ただし, d( P, l) は点 P と直線 l の距離である (1) 条件

More information

() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =

() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, = 図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7

More information

問 題

問 題 数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,

More information

4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1

4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた   平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,

More information

1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ

1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ 1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 15 () ( i ) (ii) 4 (iii) 7 1 ( () r, AOB = θ 0 < θ < ) OAB A OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < sin θ < θ < tan θ 0 x, 0 y (1) sin x = sin y (x, y) () cos x cos y (x, y) 1 c

More information

(Microsoft Word - \202\334\202\306\202\337_\222\371\220\263\224\305_.docx)

(Microsoft Word - \202\334\202\306\202\337_\222\371\220\263\224\305_.docx) 数学学習指導設計 Ⅱ 高等学校第 2 学年 三角関数 / 加法定理 テーマ : 加法定理の理解と学習 H1 武智正樹丸尾総太郎松下悠平榊原祥子 1 目次 1. 三角関数/ 加法定理 を取り扱う理由と目的 3 ページ 2. 高等学校教科書における三角関数の取り扱い 5 ページ 3. 高等学校教科書における加法定理の証明とその問題点 問題設計における注意点 7 ページ 4. 問題の構想と問題作成 10

More information

エンマの唇

エンマの唇 第 話トラクトリックス Trcri 追跡曲線 Ercis HoundKurv 問題猟犬曲線問題パリの医師であり解剖学者 フランス王立科学アカデミー会員のクロード ペロ-はズボンのポケットから鎖のついた銀の懐中時計を取り出し テーブルの向こうまで引き出し どんな曲線に対して 各点 での接線と 軸との間が一定の長さ になるだろうか? この問題を提出した (67~676) 当時 フェルマーもこの式を求めることが出来なかった

More information

二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2

二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2 三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)

More information

点におけるひずみの定義 ( その1)-(ε, ε,γ ) の定義ひずみは 構造物の中で変化しているのが一般的である このために 応力と同様に 構造物内の任意の点で定義できるようにした方がよい また 応力と同様に 一つの点に注目しても ひずみは向きによって値が異なる これらを勘案し あ

点におけるひずみの定義 ( その1)-(ε, ε,γ ) の定義ひずみは 構造物の中で変化しているのが一般的である このために 応力と同様に 構造物内の任意の点で定義できるようにした方がよい また 応力と同様に 一つの点に注目しても ひずみは向きによって値が異なる これらを勘案し あ 3. 変位とひずみ 3.1 変位関数構造物は外力の作用の下で変形する いま この変形により構造物内の任意の点 P(,,z) が P (',',z') に移動したものとする ( 図 3.1 参照 ) (,,z) は変形前の点 Pの座標 (',', z') は変形後の座標である このとき 次式で示される変形前後の座標の差 u ='- u ='- u z =z'-z (3.1) を変位成分と呼ぶ 変位 (

More information

平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問

平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問 平成 1 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の ~(7) の問いに答えなさい (- ) を計算しなさい 表合計 次の ~(6) の問いに答えなさい 合計 関数 y = x のグラフについて正しいものを, 次のア ~ エからすべて選んで記号を書きなさい アイウエ グラフは原点を通る

More information

ÿþŸb8bn0irt

ÿþŸb8bn0irt 折戸の物理 スペシャル補習 http://orito-buturi.com/ NO.3 今日の目的 : 1 微分方程式をもう一度 三角関数の近似について学ぶ 3 微分の意味を考える 5. 起電力 の電池, 抵抗値 の抵抗, 自己インダクタンス のコイルとスイッチを用いて右図のような回路をつくった 始めスイッチは 開かれている 時刻 t = でスイッチを閉じた 以下の問に答えよ ただし, 電流はコイルに

More information

測量試補 重要事項

測量試補 重要事項 用地測量面積計算 < 試験合格へのポイント > 座標法による面積計算に関する問題は その出題回数からも定番問題と言えるが 計算自体はさほど難しいものではなく 計算表を作成しその中に数値を当てはめていくことで答えを導くことができる 過去問をしっかりとこなし 計算手順を覚えれば点の取りやすい問題と言える 士補試験に出題される問題は過去の例を見ても 座標が簡単な数値に置き換えることができるようになっている

More information

線形代数とは

線形代数とは 線形代数とは 第一回ベクトル 教科書 エクササイズ線形代数 立花俊一 成田清正著 共立出版 必要最低限のことに限る 得意な人には物足りないかもしれません 線形代数とは何をするもの? 線形関係 y 直線 yもも 次式で登場する (( 次の形 ) 線形 ただし 次元の話世の中は 3 次元 [4[ 次元 ] 次元 3 次元 4 次元 はどうやって直線を表すの? ベクトルや行列の概念 y A ベクトルを使うと

More information

2014年度 名古屋大・理系数学

2014年度 名古屋大・理系数学 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ空間内にある半径 の球 ( 内部を含む ) を B とする 直線 と B が交わっており, その交わりは長さ の線分である () B の中心と との距離を求めよ () のまわりに B を 回転してできる立体の体積を求めよ 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 t に対して 点 P( t, t ), Q(

More information

2015年度 信州大・医系数学

2015年度 信州大・医系数学 05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ 軸と共有点をもつための a, b, c が満 たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および 軸とで囲まれた部

More information

<4D F736F F D EBF97CD8A B7982D189898F4B A95748E9197BF4E6F31312E646F63>

<4D F736F F D EBF97CD8A B7982D189898F4B A95748E9197BF4E6F31312E646F63> 土質力学 Ⅰ 及び演習 (B 班 : 小高担当 ) 配付資料 N.11 (6.1.1) モールの応力円 (1) モールの応力円を使う上での3つの約束 1 垂直応力は圧縮を正とし, 軸の右側を正の方向とする 反時計まわりのモーメントを起こさせるせん断応力 の組を正とする 3 物体内で着目する面が,θ だけ回転すると, モールの応力円上では θ 回転する 1とは物理的な実際の作用面とモールの応力円上との回転の方向を一致させるために都合の良い約束である

More information

Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf

Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf 塾 TV(05 年 4 月版) 一問一答 i-0 式の計算 次の計算をしなさい () xy x y 4 (4) a a 4 ( () ab a b a aaaa aaa a a (7) a a aa a 6a ) ( () x y 4 x y ab 4 x5 y 5 (5) 6 xy 6 xy (6) a b a b 4 6xy 6xy (8) 4 x y xy 4 xxyyy xy (4) ( x

More information

2 2.1 ( ) ( 1) 1 ( ) C: y = ax 2 k : x = p P C P l P l h h k m m p 2 l( 2) y = ax 2 y = 2ax P(p, ap 2 ) l y = 2ap(x p) + ap 2 y = 2apx ap 2 p 0 h y =

2 2.1 ( ) ( 1) 1 ( ) C: y = ax 2 k : x = p P C P l P l h h k m m p 2 l( 2) y = ax 2 y = 2ax P(p, ap 2 ) l y = 2ap(x p) + ap 2 y = 2apx ap 2 p 0 h y = 2008, Vol.7, 48-59 2 1 2 2008 8 1 ( ) 1 1 3 y = ax 2 I 2 2 C 2 2 ([1],[2]) ( ) 2 ( ) 2 [3] () 2.3 1 2 48 2 2.1 ( ) ( 1) 1 ( ) C: y = ax 2 k : x = p P C P l P l h h k m m p 2 l( 2) y = ax 2 y = 2ax P(p,

More information

座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に

座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると,

More information