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1 9/7/8( 水 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 拡大とスカラー倍 行列演算と写像 ( 次変換 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる p = (, ' = k ' 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 拡大 4 拡大と行列の積 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は 行列を用いても次のように表現できる p = (, ' k ' = k 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 変形と行列 p ' = ( ', ' 座標のみを ( k, p = (, k倍 = 倍 k 倍行列を用いるといろいろな変形が表現できる ' k ' = 変形後 変形前 拡大 5 変形 6

2 9/7/8( 水 行列による図形の変形 行列による図形の変形 A'(, D '( d, d A (, D( d, d B( b, b Cc (, c 倍 B '( b, b C'( c, c A (, D( d, d B( b, b Cc (, c 座標だけ 倍 A'(, D '( d, d B '( b, b C'( c, c 図形の拡大は行列を用いて表現できる ' ' = 図形の変形は行列を用いて表現できる ' ' = 7 8 練習 次の図形に各変換をほどしたとき うつされる図形の頂点の座標と外形を描け 回転を表す行列 p' = ( si θ, siθ + cos θ ( ' ' = D(, C(, A (, B(, ( ' ' = ( (4 ' ' = ' ' = 9 p = (, 原点を中心に θ 回転 回転も行列を用いて表すことができる 回転を表す行列は少し複雑である ( 興味のある人は自分で導くとよい ' siθ 回転後 ' = siθ 回転 p ' = ( ', ' θ p = (, 回転前 行列による図形の回転 変形の組み合わせと行列の積 A (, 原点を中心に θ 回転 θ A (, A'( ', ' A''( '', '' A'( ', ' ' ' = '' siθ '' = siθ ' siθ ' = siθ '' siθ ' '' = siθ ' siθ = siθ siθ = siθ 変形の組み合わせは行列の積で表現される

3 9/7/8( 水 変形の組み合わせと行列の積 A (, A'( ', ' A''( '', '' 練習 次の 連の変形を一括して表すつの行列を求めよ 倍 45 度回転 ' siθ ' = siθ '' ' '' = ' Y 軸方向に / 倍 '' ' '' = ' siθ = siθ siθ = siθ 変換の順序と積の順序を注意する事 交換はできない 4 練習 正則でない行列による写像 = 一つ前の練習問題で求めた行列により 次の図形がどのような図形に変換されるかをもとめよ A(, (, ' ' = 6 (,9 B(, C(, (, ' ' = 6 5 正則でない行列では 複数の点から一つの点に写像される 6 正則でない行列による図形の変形 B A D C ' ' = 6 正則でない行列による写像を用いると 図形は つぶれる = A' C ' B ' D ' 練習 ' ' = 4 によって写像を表す 以下の座標を持つ四角形 ABCDに対して 各頂点が上写像によって移される点の座標をそれぞれ求めよ また それらの点が一直線上にあることを確かめよ A(, B(, C(, D(, 7 8

4 9/7/8( 水 線形写像 ここでは 行列によって表される写像の性質を調べる 線形写像 定義 ( 線形写像 から への写像 : が, 次の ( ( を満たすとき は から への線形写像であるという ( 任意の, に対して ( + = ( + ( ( 任意の と任意のスカラー k に対して ( k = k( 9 正比例の拡張概念 正比例は : の線形写像である 線形写像例 : ( = 写像元 写像先 線形でない写像例 : ( = = ( = ( ( + = ( + ( = + = ( + ( ( ( k = ( k = k = k ( この つをまとめて一つのつのグラフとして表すことも多い 実は 写像はきちんと図示できるものだけではない ( ( + = ( + = = ( + ( 線形でない写像例 : ( = + ( k ( k ( = + = k + k + k ( ( = k + = k = ( 一つの図で 線形写像を表したときには 原点を通らなければならない 線形写像例 A : ( =, p = (, ( + = A ( + = A+ A = ( + ( ( ( ( k = A( k = ka = k ( k A = k k 倍 k 倍 k 倍 p ' = ( ', ' = ( k, k なお 写像 : は ( : のように 一枚の図で表すことはできない よって 定義域中の要素と 値域中の要素の対応 ( 関係 だけに注目する 4 4

5 9/7/8( 水 線形写像例 解 : + b b =,, k = b が線形写像かどうか調べよ に対して 線形写像の条件を調べる ( b + b ( + b ( + b = + b = = + b ( + b + ( + b ( k k ( k = k = = k k+ k k k ( = k k = = + k+ k ( k = k( b b ( + ( b = + b = + b b + + ( + b = ( + b + ( + b ( + b = ( + ( b 5 よって 線形写像である 6 線形写像例 4 : ( = A, 線形写像でない例 : [,] ( α = si α, ( ( + = A( + ( = A + A ( k = A( k = ( + ( = ka = k ( 行列の形 ( 大きさ から 定義域の次元と 値域の次元 ( の最大値 が直ちにわかる = A = ( 角度 ( ラジアン から正弦 ( サ ( α + β = イン をもとめる関数 ( 写像 si( α + β = siα cos β + cosα si β siα + si β = ( α + ( β ( ( kα = si( kα k si = k α ( α 7 8 練習次の写像が 線形写像かどうかを答えよ ( ( : + + : ( : + (4 : e 9 正比例と線形写像 スカラー 項ベクトル : = ( = : 正比例 = ( = A 線形写像 スカラー スカラー 行列 項ベクトル 5

6 9/7/8( 水 線形写像の性質 ( 線形写像と零元 線形写像 : される すなわち = ( に対して 零元は 零元に移 = ( 線形写像の性質 は ( 線形写像と定義域の写像先 からへの線形写像 に対して 次の集合 = { } ( ( の部分空間である 定義域全体の移動先 ( 証明略 証明 b,, k に対して 線形写像の条件を調べる ( ', b' ( とすると ' = (, b' = ( b なる b, が存在する b ' b' ( b + b ' b' ( ' + b' = ( + b + b なので ' + b' = ( + b ( ' + b' = ( + ( b = ( + b 4 ( ' = ( (, とすると k' = k( = ( k と書ける なので k' = k( = ( k ( k 以上より 和の公理とスカラー倍の公理を満たすので の部分空間である QED 像 (Ige 定義 ( 像 線形写像 : に対して 部分空間 ( を の像といい 定義域全体の移動先 I( と書く すなわち { } I( = ( 値域の部分集合 ( 部分空間 ( I( 5 6 6

7 9/7/8( 水 像の例 p = (, : ' k ' = k k 倍 k 倍 平面すべてに移される I( = k 倍 = I( p ' = ( ', ' = ( k, k 7 像の例 B A D C : ' ' = 6 平面のすべての点は 直線上に移される { } I( = (, = = A' C ' B ' D ' {(, = } 8 練習次の写像の像を求めよ ( : I 線形写像の性質 は ( 元への写像元 からへの線形写像 に対して 次の集合 { = = } ( ( の部分空間である 原点に移される移動元 ( : + 9 ( 9 ( 4 証明 ( ', b' ( ' + b' ( を示す = ( ' = ( b' とする このとき 線形写像の定義より ( ' + b' = ( ' + ( b' = + = + b ' ' ( ( ' (, k k' ( を示す = ( ' とする このとき 線形写像の定義より ( k' = k( ' = k = k ' ( ( ' b ' ( ' QED 4 4 7

8 9/7/8( 水 核 (Kerel 定義 ( 核 線形写像 : に対して 部分空間 ( を の核といい Ker( 値域側の原点に移される移動元と書く 定義域の部分集合 ( 部分空間 ( { } Ker( = ( = 核の例 p = (, ' k ' = k k 倍 k 倍 k 倍 原点は原点からしか移されない { } Ker( = p ' = ( ', ' = ( k, k 4 44 核の例 = 練習次の写像 の核 ker を求めよ ' ' = 6 ( : = 直線上の点が 原点に移される Ker( = (, = ( : 像と核の次元定理 : ( 次元定理 線形写像 : di Ker( + di I( = 証明略 l l l l ' ' = 6 l = ker : = に対して次式が成り立つ I : = ( l ( l ( l ( l ( l 47 例題次の写像に関して di Ker( + di I( = を確かめよ : 解 I = より di I = ker = k k より di ker = di I + di ker = = 48 8

9 9/7/8( 水 練習次の写像に関して di Ker( + di I( = を確かめよ : + 9 線形写像と行列 定理 ( 線形写像と行列 ( 線形写像 : に対して 次式を満たす 行列 A= A が一意に決定できる ( = A ( 行列 A に対して 写像 A : を A ( = A で定めると A は線形写像である 証明略 49 5 ( 線形写像の 表現行列 定義 ( 表現行列 線形写像 : に対して 行列 A= A を の表現行列という 線形写像は その表現行列がわかれば すべてがわかる 線形写像と基底 性質 : ( 線形写像と基底 線形写像 : は の標準基底 { e, e,, e } の像線形空間の全体の像は {( e, ( e,, ( e} その線形空間の基底の像が決まれば の一次結合により一意に 任意の元 に対して 像特定される 線形空間の要素は無数だ ( が 基底は有限 は 一意に特定される 言い換えると つの線形写像 g, が { e で同じ像をとれば 全く同じ写像になる, e,, e } 5 証明略 5 標準基底の像と 空間全体の像 e = e = 座標だけ 倍 ' ' = 座標だけ 倍 e' = Ae = e' = Ae = 基底の像と表現行列 性質 ( 基底の像と表現行列 線形写像 : に対して の標準基底 { e, e,, e } の像を {( e, ( e,, ( e } とする このとき の表現行列 A は A = ( ( ( e e e と表せる 証明略

10 9/7/8( 水 標準基底の像と 空間全体の像 e = e = 座標だけ 倍 ' ' = 座標だけ 倍 e' = Ae = e' = Ae = 例題次の線形写像 : 表現行列を求めよ に対して + 解 写像より + = = A = ( 別解 + 練習次の写像 表現行列を求めよ ( : より = = ( e ( e = = A= ( ( = e e 57 ( : 表現行列と線形写像 性質 ( 表現行列と線形写像 表現行列が A= であるような から への線形写像 について次がなりたつ ( I( = ( = L{,,, } ( 証明略 di I = rk( A 例題 次の写像 に関して 表現行列をA= とする このとき ( I( = L {,,, } ( di I = rk( A を確かめよ : 59 6

11 9/7/8( 水 解 ( ( = A = A = I = = L,, di I = di = rka = rk = より 合成写像と表現行列の積性質 ( 合成写像と表現行列の積 つの線形写像 :, g: l の表現行列をそれぞれ A= A, B = Bg とすれば A は 型で B は l 型である l また 合成写像 g : 表現行列をC とすれば C は l 型であり C = BA と表せる di I = rka 6 証明略 6 イメージ = = A = A z = z = B = B z l g l z g z = z = BA = BA z l ( g ( = g ( と覚えればよい 6