The University of Tokyo, Komaba Graduate School of Arts and Sciences I
凝縮系 固体 をデザインする 銅()面上の鉄原子の 量子珊瑚礁 IBM Almaden 許可を得て掲載 www.almaden.ibm.com/vis/stm/imagesstm5.jpg&imgrefurl=http://www.almaden.ibm.com/vis/ メゾスコピック領域 物性は 形 から 原子 分子 量子構造 ナノ構造 バルク固体 d!. nm nmµm Microscopic -µm Macroscopic Mesoscopic メゾスコピック領域では波動性が顕在化 ナノテクノロジー 電子の 大きさ の指標 λ = π mv d! de Broglie 波長 量子 サイズ効果 d!
www.periodictable.com/posters/poster.back..jpg An;Alchemist's;Dream:;; Superatoms;Mimic;Elements phys.org/news996495.html
ー周期構造中を伝わる振動 波動ー 物質の理論における重要な決断 電子が 粒子 であることを忘れる 古典論 半量子論 量子論 粒子 である電子の電磁力学 量子統計(フェルミディラック分布) にしたがう 粒子 としての電子 波動 としての電子の量子力学 イオンは不動の散乱体 伝導を促進しない 粒子 電子の波長と結晶のピッチが合致すると散乱の抑制 波動
V( r + a) = V( r) V( r) = m + V( r) ψ k( r) = E k ψ k ( r) ψ k ( r) = e i k r u k ( r) m ψ k ( x,y,z ) = E k ψ ( x,y,z ) ψ k ( r) = e i k r
m u = ee m u τ : τ u = eτ m E µ = eτ m τ = = + τ L x τ x ρ = σ ρ = m ne τ τ i J = neu = σ E σ = ne τ m u = u e iωt iωmu(ω ) = ee(ω ) m u(ω ) τ J(ω ) = ne m τ iω E(ω ) σ ω σ (ω ) = σ = ne τ τ iω m E(ω ) = µ J + ε µ E(ω ) E(ω ) ω E(ω ) = µ σ (ω )iω + ε µ ω ε(ω ) = + i σ (ω ) ε ω ε(ω ) ε(ω )E(ω ) c
ux = eτ m Ex eb m uy = eτ m Ey + eb m uz = eτ m Ez = µez m du dt = e( E + u B) m u τ τuy = µex ω cτuy τux = µey + ω cτux µ u x = + (ω c τ ) (E x ω c τe y ) µ u y = + (ω c τ ) (E y + ω c τe x ), u z = µe z z B t x y l -eu x B E H I x (J x ) u x E x w
J = enu = σ E Ohmの法則 Neµ σ= ω cτ + (ω c τ ) 伝導率テンソル Hall 電場 Hall 係数 Ey = RH = σ xy σ xx +σ xy ω c τ + (ω c τ ) J x = RH J x Bz 電子 VH -; J x Bz = + Ey Ne Pe I B wt Bz = RH x z Hall 電圧 VH = E y w = RH J x t t Ne τ eτ µ = R σ = R =µ Hall 移動度 H H H * * m m Ey Hall 角 tanθ H = = ω c τ = µbz Ex Ex 正孔 VH t +; +++++++ Ex p型半導体 J x = nux ε {T ( x uxτ )} ε {T ( x + uxτ )} 左からの エネルギー流 右からの エネルギー流 dε dt J x = nu τ dt dx dε n = cv dt = u τ cv ( T ) x 熱伝導率 Jx n型半導体 熱伝導の１次元モデル 正味の 熱流速 t κ = uτ cv = cv ul Jx
σ = ne τ m κ = u τc V c V = nk B κ σt = k B e =. 8 WΩ / K =. 8 WΩ / K =. 8 WΩ / K E = Q T Q : uq = u x u xτ ( ) u( x + uxτ ) = uxτ du x dx = τ d dx u x == τ d dt u 6 dt dx Q = e Q = k B e d dt mu = c V ne =.4 4 V/K u E = eτ m E uq + ue = c V = nk B
. f ( E,T, µ ) = exp E µ + ( ) k B T..8.6.4.. k B T µ > 4 k B T µ = 6 8 f ( E, T ) = exp[ E k B T ] µ ( ) N = f E, T, µ D( E)dE
パティショニング 分割 による粒子の統計性 FD統計にしたがう粒子 BE統計にしたがう粒子 A B = aa ab A B r=t= A B = aa ab NPBS (5:5) A r=t= B NPBS (5:5) 時間 バンチング bunching A B + A A B boson は群れたがる 状態密度 (DOS) Density-of-states B fermion は孤独を好む I. 電子状態(モード の指定法 ψ k ( x, y, z ) = Ekψ k ( x, y, z ) m () 箱の中の自由粒子 ψ k (, y, z ) = ψ k ( L, y, z ) Particle-in-a-box ψ k ( x,, z ) = ψ k ( x, L, z ) ψ k ( x, y, ) = ψ k ( x, y, L ) 固定端境界条件 エネルギー固有値 sink x L = kx = π nx L π E= n x + ny + nz m L ( ) ()周期(的)境界条件(P.B.C.)を満たす平面波 ψ k ( x, y, z ) = ψ k ( x + L, y, z ) = ψ k ( x, y + L, z ) = ψ k ( x, y, z + L )
e ik x L kx = = ( nx =, ±, ±,...) π E= n x + ny + nz m L エネルギー固有値 N= 絶対零度近似 π nx L ( f (E,, µ = E F )D( E ) de = 体積 D(E )de E(k) 単位エネルギー幅 あたりのモード数 L π dn de 状態密度 D( E ) = 変換因子 ) E + de d k d k あたりに１モード () 箱の中の自由粒子 L N = = 8π スピン n,n,n x y z L = 8π k ( EF ),k(e ) dkx dky dkz F 4π k dk () 周期(的 境界条件を満たす平面波 L N = k ( E ) dk x dk y dk z スピン π L L m N= k E = E ( ) F F π π F dn L m D( E ) = = E de π 課題１ 次元,,次元の状態密度のエネルギー依存性を図示せよ
N = L π k F = π N L (n) 4 πk F u F = k F m = π m k F = ( π n) ( n) 6 ms m E F = m k F = ( m πn) 5 ev T F = E F k B = mk B ( πn) 4 K N = L π m E F ln N = ln L π m + ln E F dn de = N E F Fermi /cm m - m/s ev 4 K Li 4.7..9 4.7 5.48 Na.65.9.7..75 K.4.75.86..46 Rb.5.7.8.85.5 Cs.9.64.75.58.8 Au 5.9..9 5.5 6.9 Ag 5.85..9 5.48 6.6 Cu 8.45.6.57 7. 8.
D( E F ) = L π m E F = N E F D( E) = L π m E = N E F E E F U = E F de E D( E) = N E / F U N = 5 E F E F de E = N 5 E F du = µdn µ = E F @T = p = U V = U V U E F k F n / V / f ( E,T, µ ) =. exp E µ + ( ) k B T.5 df de = k B T e ( E µ ) k BT ( ) k BT +) (e E µ k B T.8..6.4 k B T.5...5.....4.6.8...4...4.6.8...4 E µ E µ
( ) : = g E G E I = I = E df de ( )d E f (E)g( E)dE [ ] + df = f (E)G(E) df de de G( E)dE G ( µ ) de = G( E)dE G( E) = G ( µ ) + ( E µ ) dg + ( de µ E µ ) d G + de µ I = df de G( E)dE df de = G(µ) + π G µ ( ) d G 6 k BT ( ) + ( E µ ) d G de µ de µ de I = µ g( E)dE + π 6 k BT ( ) dg de µ
n = n = de f (E, T )D( E) de D( E) + π 6 k BT ( ) de D E @T = E F = de D( E) ) π µ 6 k B T ( ) dd(e) de µ ( ) dd(e) de = ( E F µ )D( E F ) π ( 6 k B T ) dd(e) de EF EF µ = E F π ( ) ( ) 6 k BT D E F dd(e) de EF..8 C V = nk B ( ) U(T ) = de E f (E)D E C(T ) = d dt π = de E D( E) + π 6 k BT = U() + π 6 k BT ( ) D(E F ) 6 k B T ( ) d ( ) D(E F ) [*].6.4... [ ] de ED(E) N,V = π k B D(E F ) T..4.6.8...4 µ
Q = e Q = k B e d dt mu = c V ne =.4 4 V/K [ ] k B T E F Q = π k B k B T 6 e E F =.4 k B T E F 4 [ V/K] ne
B Al