素粒子物理学２ 素粒子物理学序論B 2010年度講義第2回
=1.055 10 34 J sec =6.582 10 22 MeV sec c = 197.33 10 15 MeV m = c = c =1
1 m p = c(mev m) 938M ev = 197 10 15 (m) 938 =0.2 10 13 (cm) 1 m p = (MeV sec) 938M ev = 6.58 10 22 (sec) 938 =7.0 10 25 (sec)
G = 6.67 10 11 m 3 kg 1 s 2 = 6.71 10 39 c(gev/c 2 ) 2 G MM = Mc 2 r r = Mc M = c/g M = 1/G = 1.22 10 19 (GeV )
Mc < 2GM c 2 M> 1 2 mc2 <G Mm r c 2G = 1 2 m pl r< 2GM c 2
m = E = t = 6.58 10 22 MeV sec 2.6 10 8 sec =2.5 10 14 MeV E t(= Γ τ) = τ = / E = /Γ =4.2 10 24 sec
dω θ, φ n i /sec/cm 2 dσ dn = n i (θ, φ)dω dω dσ σ = dω dω
H 0 φ n = E n φ n, (H 0 + V (x, t))ψ = i ψ t V φ m φ nd 3 x = δ mn
遷移振幅 時刻 t=-t/2 から t=t/2 への遷移を考える (**)の解は ψ = an (t)φn (x)e ien t という形に表せるとする n daf = i dt (**)に入れて φf*をかけ体積vで積分 (*)を使う an (t) n ai ( T /2) = 1 相互作用前はH0の固有状態 daf = i dt af (t) = i Tf i af (T /2) = i T /2 T /2 φ f V φn d3 xei(ef En )t dt an ( T /2) = 0, (n = i) d3 xφ f V φi ei(ef Ei )t t dt T /2 d 3 xφ f V i(ef Ei )t φi e d3 x[φf (x)e ief t ] V (x, t)[φi (x)e iei t ] 14
フェルミの黄金律 ポテンシャルが時間に依存しない場合を考える Vf i Tf i = ivf i +T /2 T /2 d3 xφ f (x)v (x)φi (x) dtei(ef Ei )t = 2πiVf i δ(ef Ei ) 単位時間あたりの遷移確率 エネルギー保存 Δt = 2乗しても確率にならない Tf i 2 W = lim T T ρf 終状態密度 wf i = W def ρf (Ef ) ρf (Ef )def は Ef と Ef + def = 2π def ρf (Ef ) Vf i 2 δ(ef Ei ) wf i = 2π Vf i ρf (Ei ) の間の状態数 2 15
W fi = T fi 2 TV =(2π)4 δ(4) (p c + p D p A p B ) M 2 V 4 T fi = in A N B N C N D (2π) 4 δ (4) (p D + p C p B p A )M T fi = 2πiV fi δ(e f E i ) Vd 3 p C (2π) 3 2E C F = v A 2E A V Vd 3 p D (2π) 3 2E D 2E B V
dσ = V 2 1 v A 2E A 2E B V 4 M 2 (2π) 4 δ (4) (p C + p D p A p B ) Vd3 p C (2π) 3 2E C Vd 3 p D (2π) 3 2E D dσ = M 2 F dlips dlips =(2π) 4 δ (4) d 3 p C (p C + p D p A p B ) (2π) 3 2E C d 3 p D (2π) 3 2E D
ラザフォード散乱 非相対論的取り扱い Vf i = 3 d xφ f (x)his φi (x) φi = N eipi x, φf = N eipf x i(pi pf )x 2 e Ze d3 x HIS = 4πV r HIS Ze2 4π = 4πV q 2 1 Ze2 HIS = 4π r N = 1/ V iqx 4π e 3 =... = 2 I d x r q q pi pf q 2 = (pi pf )2 = 4p2 sin2 (θ/2) V d3 p V dp 2 V mpdω ρf = δ(ei Ef ) = p dω = 3 3 (2π) (2π) de 8π 3 入射粒子の速度をv=p/mとすると入射フラックスはv/V (σ=wfi V/v) dσ Ze2 2 4m2 Z 2 α2 m2 =( ) = 4 4 4 dω 4π q 4p sin (θ/2) e2 1 α= 4π 137 18
dσ dω =(Ze2 4π )2 4m2 q 4 = Z2 α 2 m 2 4p 4 sin 4 (θ/2) H IS = 1 4π Ze 2 r
不変振幅 知りたい物理が不変振幅に含まれている Tf i = ina NB NC ND (2π)4 δ 4 (pd + pc pb pa )M 例として 仮想的に スピンを持たない電子とミューオンの 散乱を考える ゲージ対称性に基づくQEDより V = ie( µ Aµ + Aµ µ ) e2 A2 e pa jµ(e) e p 無視 C γ pb µ jµ(µ) pd µ 20
不変振幅 知りたい物理が不変振幅に含まれている Tf i = ina NB NC ND (2π)4 δ 4 (pd + pc pb pa )M 例として 仮想的に スピンを持たない電子とミューオンの 散乱を考える ゲージ対称性に基づくQEDより V = ie( µ Aµ + Aµ µ ) e2 A2 e pa jµ(e) e p C γ pb µ jµ(µ) pd µ 無視 電磁場Aμによる電子の散乱 Tf i = i φ f (x)v (x)φi (x)d4 x = i φ f ie(aµ µ + µ Aµ )φi d4 x = i jµ(e) Aµ d4 x jµ(e) = ena NC (pc + pa )µ ei(pc pa )x 20
不変振幅 続き e pa jµ(e) e p C γ pb µ jµ(µ) pd µ ミューオンが電磁場Aμを作ると考える 1 (µ) q = pd pb Aµ = 2 jµ q jµ(µ) = enb ND (pd + pb )µ ei(pd pb )x 21
p e A j (e) µ e p C γ p B j (µ) µ µ µ p D
不変振幅 続き = Tf i = i 1 (µ) (e) jµ (x)( 2 )jµ (x)d4 x q ina NB NC ND (2π)4 δ 4 (pd + pc pb pa )M gµν µ im = (ie(pa + pc ) )( i 2 )(ie(pb + pd )ν ) q e pa jµ(e) e p C γ pb µ jµ(µ) pd µ 21
不変振幅 続き = Tf i = i 1 (µ) (e) jµ (x)( 2 )jµ (x)d4 x q ina NB NC ND (2π)4 δ 4 (pd + pc pb pa )M gµν µ im = (ie(pa + pc ) )( i 2 )(ie(pb + pd )ν ) q 不変振幅 M はファインマンダイアグラムに対応している e pa jµ(e) e p C γ pb µ jµ(µ) pd µ 21
モット(Mott)散乱 QED クーロンポテンシャルに散乱されるスピン1/2の電子 ラザフォード散乱の相対論版 Hint = ej Aµ µ Ze Aµ = ( ; 0, 0, 0) 4πr j = ψγ ψ µ µ スピン状態を si, sf とすると Tf i = = = d4 xf Hint i d4 xpf, sf ej µ (x) pi, si Aµ (x)... ちょっと面倒な計算 スピノール があって dσ 4Z 2 α2 2 2 θ 2 = E (1 v sin ) 4 dω q 2 ラザフォード散乱に比べて m E θ 1 1 v sin ( ) スピンの効果 2 2 2 22
dγ = 1 2E C M 2 d 3 p A (2π) 3 2E A M Γ = M 2 F dlips d 3 p B (2π) 3 2E B (2π) 4 δ 4 (p C p A p B )
= c = c =1