5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を の式で表せ (4) 引いたカード 枚の番号が連続している確率 ( すなわち, つの番号の差の絶対値が である確率 ) を の式で表せ --
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ座標空間内に 点 A (,, ), B(,, ), C(,, ) をとり, つのベクトル AP と BP + CP の内積が になるような点 P( x, y, z) の集合を S とする 点 A, B, C を通る平面を とするとき, 次の問いに答えよ () 集合 S は球面であることを示し, その中心 Q の座標と半径 r を求めよ () 原点 O から最も遠い距離にある S 上の点の座標を求めよ () () で求めた点 Q は, 平面 上にあることを示せ (4) () で求めた点 Q を通って平面 に垂直な直線を l とする 球面 S と直線 l のすべての共有点について, その座標を求めよ --
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 自然数,,, に対して, 関数 f( x) x (-x) を考える () 曲線 y f ( x ) 上の点 ( a, f ( a)) における接線が原点を通るとき, a を の式で表せ ただし, a > とする () x の範囲で, 曲線 y f( x ) と x 軸とで囲まれた図形の面積を B とする また, () で求めた a に対して, x a の範囲で, 曲線 y f ( x ), x 軸, および直線 x a で囲まれた図形の面積をC とする B およびC を の式で表せ C () () で求めた B およびC に対して, 極限値 lim ( ) B lim + が自然対数の底 e であることを用いてよい を求めよ ただし, --
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ座標空間内の 8 点 (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,,), (,,), (,,) を頂点とする立方体を考える < < のとき, 点 (,,), (,, ), (,, ) を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を f ( ) とし, f ( ) f () とする 関数 f ( ) について, 次の問いに答えよ () ののとき, f ( ) を の式で表せ () 関数 f ( ) の における最大値を求めよ () 定積分 ò f ( ) d の値を求めよ -4-
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 番号 k のカードは k 枚なので, 用意したカードを N 枚とすると, N å k ( ) () N 枚のカードから 枚のカードを引く N C 通りが同様に確からしく, N C N( N- ) ( ) { ( ) - } ( )( ) 8 + - ( ) ( )( ) 8 - k このとき, 引いた 枚のカードの番号がともに k である場合は, k では, C k( k- ) 通りより, 求める確率は, k ( k- ) 4 k( k-) ( - ) ( )( ) ( - ) ( + )( + ) 8 なお, この式は k のときも成立している () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を q とおくと, () より, 4 k( k-) q å 4 ( k -k) ( - ) ( )( ) ( - ) ( )( + ) å 4 { ( )( ) - ( ) } ( - ) ( )( ) 6 { ( ) } ( - )( ) + - 4 ( + ) (4) 引いたカード 枚の番号が k と k + のとき, その確率は, kc k+ C 8 k( k+ ) ( - ) ( )( ) ( - ) ( + )( + ) 8 すると, 引いたカード 枚の番号が連続している確率 p は, - 8 k( k+ ) 8( k-) k p å å ( - ) ( )( ) ( - ) ( )( ) 8( k-) k å q 8 ( - ) ( )( ) ( + ) [ 解説 ] 確率についての基本的な問題です () までは文理共通です -- 電送数学舎 5
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () B(,, ), C(,, ) に対し, 線分 BC の中点 M は M (,, ) となり, BP + CP MP, BP + CP MP また, A (,, ) に対し, 条件より AP ( BP + CP), AP MP すると, AP または MP または AP^ MPとなり, 点 P は 点 A, M を直径の両端とする球面を描く よって, その中心 Q は線分 AM の中点より, Q (,, ) 4 4 であり, 半径 r は, ( ) ( ) ( ) 6 r AQ - + + 4 4 4 () OQ ( ) ( ) ( ) 6 + + より, 球面 S は原点 O を通る 4 4 4 これより, O から最も遠い距離にある S 上の点を R とすると, OR OQ より, R (,, ) である () () より, OQ OA + OB + OC と表せる 4 4 すると, + + から, 点 Q は 点 A, B, C を通る平面 上にある 4 4 S : x- + y- + z- 6 4 4 4 また, 平面 に垂直な直線の方向ベクトルを u ( a, b, c) とおくと, u AB ( a, b, c) ( -,, ), u AC ( a, b, c) ( -,, ) (4) () より, ( ) ( ) ( ) ( ) すると, a bかつ a cより, u a(,, ) ( ) となり, 直線 l は, ( x, y, z),, + (,,) ( は実数 ) 4 4 より, + + から となり, 8 8 よって, S と l の共有点の座標は, 複号同順で, x y z ( ) (,, ) (,, ),, (,, ) 4 4 4 4 4 4 4 [ 解説 ] 空間図形の問題です なお, 平面 の方程式は x+ y+ z ですので, これを利用 すると, 後半の記述量を圧縮できます -- 電送数学舎 5
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f( x) x (- x) x -x に対して, f ( x) ( ) x -( ) x + さて, 点 ( a, f ( a )) における曲線 y f ( x ) の接線の方程式は, y - f ( a ) f ( a )( x-a ) 原点を通ることより, - f ( a ) f ( a )(-a ), f ( a ) a f ( a ) となり, a - a a {( ) a -( ) a }, すると, a > より - ( ) a となり, () x において, f ( x ) より, () ò f x dx ò a a -( + ) a である + B ( ) ( x -x ) dx é x x ù êë - úû - + ( + )( + ) また, () より < a < なので, x a において f( x ) となり, a ò C ò f( x) dx ( x -x ) dx é x x ù ê ë - úû ( ) - ( ) ( )( ) -( ) ( ) ( )( )( ) ( + )( + )( + ) C ( ) + B ( ) ( + ) + + ( ) + + + ( + ) C よって, lim である B e e [ 解説 ] 微積分の総合問題です () の後半の計算がやや面倒ですが, 全体的には標準レベルです e の定義式も問題文中にありますし -- 電送数学舎 5
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () まず, 辺の長さが の立方体に対して, < < において, 点 A (,,), B(,, ), C(,, ) を通る 平面 で切断したとき, 切り口は右図の網点部にようになり, その面積を f ( ) とすると, (i) < のとき 切り口は 辺の長さが の正三角形 ABC なので, f ( ) ( ) si6 (ii) < < のとき 切り口は六角形となる また, 平面 上の立方体の外部の つの正三角形は, 正三角形 ABC と相似になり, その相似比は ( -): から, - { ( ) } f ( ) - { ( ) } - - - ( - 6 + ) (iii) < のとき 切り口は正三角形となり, その面積は (i) の f ( ) と について対称になるので, x x z z O y y f ( ) (-) (i)~(iii) より, f ( ) f () も合わせると, f ( ) - ( - 6+ ) (<< ), () () から, < < のとき, ( ) f ( ) - - + 4 ( 7 ) - - + + 6 6 f ( ) ( ), f ( ) (-) ( ) 4 すると, において, y f ( ) のグラフを かくと, 右図のようになり, f ( ) は のとき最 O 大となり, 最大値は である 4 () I ò f ( ) d d- ( - 6+ ) d+ (-) d ò ò ò ( ) - é ù é ù é ù êë - - + - úû êë úû êë úû y x -4- 電送数学舎 5
[ 解説 ] 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 まったく同じ問題が繰り返し出題されている超有名問題です また, 点 A, B, C を通る平面の方程式は x+ y+ z より, この式を用いて立方体の辺との交点の座標 を求めても構いません なお, () と () の設問は付録扱いでしょう -5- 電送数学舎 5