自 己 紹 介 989 000: 東 京 海 上 火 災 保 険 株 式 会 社 ( 現 東 京 海 上 日 動 火 災 保 険 ) 主 業 務 : 資 産 配 分 /リスク 管 理 /ALM 子 会 社 として 設 立 された 東 京 海 上 あんしん 生 命 の 設 立 時 にALMを 担 当

生 命 保 険 概 論 生 命 保 険 を 支 える 理 論 ~ 金 利 の 基 礎 OLIS-プルデンシャル ジブラルタ 生 命 保 険 寄 附 講 座 November, 0 0 森 本 祐 司 ymorimoto@capitas.jp 無 断 複 製 等 を 禁 じます

自 己 紹 介 989 000: 東 京 海 上 火 災 保 険 株 式 会 社 ( 現 東 京 海 上 日 動 火 災 保 険 ) 主 業 務 : 資 産 配 分 /リスク 管 理 /ALM 子 会 社 として 設 立 された 東 京 海 上 あんしん 生 命 の 設 立 時 にALMを 担 当 998-999: 日 本 銀 行 金 融 研 究 所 金 融 と 保 険 の 融 合 について 他 の 論 文 を 公 表 000 003: モルガンスタンレー 証 券 会 社 債 券 統 括 本 部 ポートフォリオ 戦 略 部 長 顧 客 に 対 してリスク 管 理 ALMなどのアドバイス 003 006: インテグレイティド ファイナンス 証 券 株 式 会 社 創 設 者 の 一 人 がロバート マートン(997 年 ノーベル 経 済 学 賞 受 賞 者 ) 007-: キャピタスコンサルティング 株 式 会 社 代 表 取 締 役 007 年 月 に 設 立 財 務 リスク 管 理 に 関 するコンサルティングを 行 う 金 融 理 論 と 実 務 を 融 合 させ 戦 略 的 かつ 経 済 価 値 と 整 合 的 なアドバイスを 提 供 URL: http://www.capitas.jp/ 東 京 大 学 数 学 科 卒 /マサチューセッツ 工 科 大 学 経 営 大 学 院 修 了 日 本 アクチュアリー 会 準 会 員 国 際 アクチュアリー 会 ASTIN 委 員 日 本 アクチュアリー 会 保 険 会 計 部 会 保 険 監 督 部 会 ERM 委 員 会 ALM 研 究 会 等 メンバー 日 本 保 険 年 金 リスク 学 会 (JARIP) 理 事 無 断 複 製 等 を 禁 じます

これからの4 回 の 講 義 の 流 れ 生 保 ALMとリスク 管 理 を 概 観 する 第 一 回 : 金 利 の 基 礎 第 二 回 : 生 保 ALMの 基 礎 保 険 負 債 の 評 価 の 考 え 方 市 場 金 利 を 導 入 すると 第 三 回 : 生 保 ALMの 基 礎 解 約 を 導 入 するとどうなるか オプション 保 証 価 値 の 考 え 方 第 四 回 : 生 保 ALMの 基 礎 3 リスクマージンの 考 え 方 経 済 価 値 ベースで 考 えるとはどういうことか 無 断 複 製 等 を 禁 じます

ALMとは 何 か ALMとは ALM=Asset Liability Maagemet Asset = 資 産 Liability = 負 債 Maagemet = 管 理 資 産 と 負 債 を 管 理 する という 言 葉 から どのようなイメージが 浮 かぶか 資 産 と 負 債 は 会 計 的 な 用 語? 管 理 する とは? アクチュアリーの 世 界 とどう 関 わるのか? 資 産 負 債 純 資 産 無 断 複 製 等 を 禁 じます 3

ALMとは 何 か 資 産 負 債 とは 資 産 負 債 とは 何 か? 企 業 の 財 政 状 態 を 表 すもの( 貸 借 対 照 表 の 要 素 ) 資 産 : 将 来 得 られると 期 待 されるキャッシュフローの 現 在 価 値 負 債 : 将 来 支 払 うべきキャッシュフローの 現 在 価 値 会 計 的 にはいろいろと 定 義 があるが... 例 えば 生 命 保 険 会 社 の 平 成 年 6 月 末 時 点 の 貸 借 対 照 表 は 下 記 の 通 り 単 位 :0 億 円 JA 共 済 は 含 まず 各 項 目 の 意 味 は? 責 任 準 備 金 とは? それをどう 管 理 するのか? 現 預 金 等 0,786 保 険 契 約 準 備 金 9,89 有 価 証 券 等 38,600 うち 責 任 準 備 金 84,98 うち 公 社 債 60,968 その 他 負 債 3,074 うち 株 式 8,0 負 債 合 計 305,966 うち 外 国 証 券 4,43 貸 付 金 50,558 基 金 株 主 資 本 等 7,06 不 動 産 等 6,865 評 価 差 額 金 合 計,68 その 他 7,847 純 資 産 合 計 8,689 資 産 合 計 34,655 負 債 純 資 産 合 計 34,655 無 断 複 製 等 を 禁 じます 4

ALMとは 何 か ALMで 管 理 するもの 資 産 や 負 債 の 価 値 はある 時 点 では 確 定 している 価 値 とは 何 か 何 であるべきか については 後 述 とすると 管 理 する 必 要 は 何 故 あるのか? 価 値 は 時 間 経 過 とともに 変 動 する 何 故 変 動 するのか 資 産 や 負 債 の 評 価 が 変 わる ということ これがリスク リスクがあると 貸 借 対 照 表 の 資 産 や 負 債 が( 時 間 経 過 とともに) 変 動 する それは 企 業 にとっては 良 いことか 悪 いことか? 無 断 複 製 等 を 禁 じます 5

ALMとは 何 か バランスシートで 考 える 企 業 の 目 的 =( 将 来 の) 企 業 価 値 を 高 めること 企 業 価 値 = 純 資 産 = 資 産 - 負 債 バランスシートで 示 すと 現 時 点 のB/S 一 年 後 のB/S 資 産 A 負 債 L 純 資 産 C C 一 年 後 のB/S 価 値 が 確 定 している 投 資 妙 味 ゼロ 資 産 A 0 負 債 L 0 リスクが あれば 資 産 A 負 債 L 資 産 負 債 にリスク 価 値 が 不 確 定 純 資 産 も 変 動 高 まる 可 能 性! 純 資 産 C 0 純 資 産 C 現 時 点 の 価 値 は 確 定 している 無 断 複 製 等 を 禁 じます 6

ALMとは 何 か どこまでリスクをとれるのか? リスクをとれる 裏 づけ= 損 失 が 発 生 してもカバーできる 資 金 の 存 在 カバーに 用 いてよい 資 金 = 資 本 金 ( 純 資 産 ) 資 本 金 が 尽 きてしまう= 債 務 超 過 が 究 極 のリスク リスクがある 以 上 この 事 態 を 完 璧 には 回 避 できない 金 融 機 関 の 場 合 それ 以 外 のリスクも 債 務 超 過 になる 可 能 性 が 高 い 企 業 にはお 金 を 預 ける ことは 回 避 したい? どこまで 許 容 すべきか? 企 業 が 決 められるのか? 純 資 産 の 出 し 手 = 株 主 が 決 める? 資 産 価 値 負 債 価 値 純 資 産 無 断 複 製 等 を 禁 じます 7

リスク 管 理 の 目 的 リスクと 資 本 のバランス(Merto Model) 価 値 変 動 ( 資 産 価 値 変 動 + 負 債 価 値 変 動 ) 資 産 価 値 - 負 債 価 値 純 資 産 レベル リスク Time 時 点 Tでデフォルト ( 債 務 超 過 )に Now T 無 断 複 製 等 を 禁 じます 8

ALMとは 何 か 価 値 についての 再 考 資 産 の 価 値 や 負 債 の 価 値 はどのように 決 まるのか 会 計 上 の 考 え 方 はいろいろ 取 得 原 価 時 価 ( 市 場 取 引 価 格 ) その 他 保 険 負 債 の 考 え 方 については 次 回 以 降 本 来 価 値 とはどのように 考 えるべきか 将 来 のキャッシュフローの 現 在 価 値 その 価 値 であればそのキャッシュフローを 交 換 してよいと 一 般 に 考 えられるもの 一 般 に というのは 曲 者 だが それを 市 場 整 合 的 と 呼 ぶことにする こうして 求 められる 価 値 を 経 済 価 値 と 呼 ぶことにする 何 故 経 済 価 値 がよいのか については 後 述 ( 次 回 以 降 ) 無 断 複 製 等 を 禁 じます 9

ALMとは 何 か 価 値 を 決 める 要 素 について 価 値 を 決 めるのは 将 来 キャッシュフロー そのキャッシュフロー 自 体 確 定 していない ことが 多 い つの 変 動 要 素 発 生 する 額 が 変 動 する( 符 号 が 逆 転 することも) 発 生 するタイミングが 変 動 する さらに それを 現 在 価 値 に 引 き 戻 すことも 必 要 3 引 き 戻 す 考 え 方 は? まずは 将 来 キャッシュフローが 確 定 している 場 合 を 考 える 金 利 について キャッシュ フロー 3 価 値 現 時 点 将 来 時 点 無 断 複 製 等 を 禁 じます 0

現 在 価 値 を 考 える 将 来 の( 確 定 した)00 円 のキャッシュフローは 今 いくら? 市 場 では 大 体 そのレートが 決 まっている 例 えば 年 後 の00 円 の 現 在 価 値 は98 円 年 後 の00 円 が95 円 とする それをどのように 表 現 するか ひとつの 方 法 : 単 にその 比 率 を 表 す 年 後 0.98 年 後 0.95... これをディスカウント ファクターと 呼 ぶ 直 接 的 で 分 かりやすいのだが 別 の 方 法 : 金 利 今 の98 円 がどのくらいの 金 利 で 殖 やされれば 年 後 に00 円 になるのか 表 記 方 法 はいろいろ 無 断 複 製 等 を 禁 じます

金 利 の 表 現 方 法 いろいろ 素 朴 な 考 え 方 今 の98 円 を 年 後 の00 円 に 殖 やすには 98 円 (+x)=00 x.04% 今 の95 円 を 年 後 の00 円 に 殖 やすには 95 円 (+x)=00 x 5.6%? 一 般 には 年 というのがひとつの 基 準 単 位 時 間 となっている( 慣 習 ) どうやって 年 換 算 するか? やり 方 はいろいろ 年 で 殖 えたものを 単 純 に 積 み 上 げていく 方 法 ( 単 利 ) 95 円 (+x)=00 x.63% 年 で 殖 やした 方 法 で 再 度 年 後 も 運 用 すると 考 える 方 法 ( 複 利 ) 95 円 (+x) (+x)=00 x.60% 無 断 複 製 等 を 禁 じます

様 々な 複 利 表 現 方 法 様 々な 複 利 表 現 一 般 式 例 : 半 年 複 利 積 み 上 げていく 時 間 単 位 を 半 年 とする その 代 わり 計 算 ででてくる 金 利 を 倍 することで 一 年 換 算 とする 例 : 98 円 (+x/) =00 x.0305% 95 円 (+x/) 4 =00 x.58% 同 様 にして 四 半 期 月 次 金 利 なども 可 能 現 在 価 値 PV 年 後 のキャッシュフローFV /m 年 複 利 とする 場 合 PV æ ç + è æ çæ x = mçç è è x ö m ø FV PV m ö ø = m FV ö - ø 無 断 複 製 等 を 禁 じます 3

連 続 複 利 という 考 え 方 複 利 表 現 は 便 利 だが /m 年 の 倍 数 である 期 間 にしか 適 用 できない 通 常 の 運 用 の 世 界 では 対 応 方 法 はあるが 整 合 性 がない それを 回 避 する 方 法 : mを 大 きくすればよい どんどん 大 きくしていくとどうなるか? 連 続 複 利 x m æ ö lim ç + = exp m è m ø ( x) 一 般 的 な 表 記 : 現 在 価 値 PV t 年 後 のキャッシュフローFVの 連 続 複 利 PV exp æ x = lç t è ( tx) = FV PV ö ø FV 無 断 複 製 等 を 禁 じます 4

計 算 してみよう エクセル 等 を 用 いて 下 記 計 算 ができるか 検 算 してみよう 期 間 ( 年 ) 現 在 価 値 98 95 将 来 キャッシュフロー 00 00 ディスカウントファクター 0.98 0.95 m.0408%.5978%.0305%.58% 6.037%.570%.00%.5674% 365.003%.5648% 連 続 複 利.003%.5647% 金 利 の 大 きさや 複 利 運 用 の 現 実 性 にはあまり 意 味 がない 現 在 価 値 換 算 のツールとして 整 合 性 がとれているということが 大 事 無 断 複 製 等 を 禁 じます 5

割 引 金 利 を 用 いて 現 在 価 値 を 計 算 する 割 引 金 利 が 期 間 ごとに 決 まれば それを 用 いて 将 来 のキャッシュフローの 現 在 価 値 を 表 現 することができる 例 えば 年 目 から 年 目 までキャッシュフローが 確 実 に 存 在 する 取 引 を 考 える i 年 目 のキャッシュフローをC i として 期 間 i 年 の( 一 年 複 利 ) 割 引 金 利 をr i と 記 せば そのキャッ シュフローの 束 の 現 在 価 値 (PV)は 次 のように 書 ける PV C C = + + + + r C ( + r ) ( + r ) これを 期 間 i 年 の( 半 年 複 利 ) 割 引 金 利 をr i を 表 現 すれば C C = + + + PV 4 ( + r' ) ( + r' ) ( + r' ) 連 続 複 利 ( 期 間 i 年 の 連 続 複 利 割 引 金 利 を とする)を 用 いると r~i PV = C ~ r C exp ~ r C exp ~ exp - + - + + - r ( ) ( ) ( ) C 表 現 方 法 は 違 っても 計 算 結 果 は 同 じ( 金 利 はあくまでも 表 現 手 段!) 無 断 複 製 等 を 禁 じます 6

どうやって 金 利 を 認 識 するか: 国 債 市 場 の 無 リスク 金 利 をどのように 観 測 すればよいか キャッシュフローが 最 も 確 実 視 される 債 券 国 債 国 債 以 外 の 候 補 については 後 述 国 債 が 無 リスクかどうかの 議 論 についても 後 述 日 本 の 国 債 とはどのようなものなのか 昭 和 40 年 (965 年 )に 赤 字 国 債 発 行 再 開 現 時 点 の 残 高 :64 兆 円 (00 年 度 末 普 通 国 債 のみ) その 他 の 債 券 借 入 を 合 わせると000 兆 円 近 い 額 に どのような 期 間 のものが 発 行 されているか 超 長 期 国 債 :5 年 ( 変 動 利 付 国 債 ) 0 年 ( 利 付 債 ) 30 年 ( 利 付 債 ) 40 年 ( 利 付 債 ) 長 期 国 債 :0 年 ( 利 付 債 個 人 向 け 国 債 物 価 連 動 国 債 ) 中 期 国 債 : 年 ( 利 付 債 ) 3 年 ( 利 付 債 割 引 債 ) 5 年 ( 利 付 債 割 引 債 個 人 向 け 国 債 ) 短 期 国 債 :6カ 月 ( 割 引 債 ) 年 ( 割 引 債 ) 政 府 短 期 証 券 (60 日 割 引 債 ) 無 断 複 製 等 を 禁 じます 7

クーポンとしての 金 利 と 割 引 金 利 の 違 い ただし 一 般 的 に 販 売 されている 国 債 はいわゆる 利 付 債 半 年 毎 に 金 利 (クーポン 表 面 利 率 )が 支 払 われる 市 場 で 売 られている 国 債 は 金 利 ( 利 回 り)で 表 現 されている 新 聞 などでよく 見 かける 言 葉 : 国 債 金 利 は 上 昇 ( 価 格 は 下 落 ) 例 : 最 近 発 行 された0 年 利 付 国 債 ( 第 3 回 )の 発 行 条 件 表 面 利 率 :.0% 発 行 日 : 平 成 3 年 0 月 7 日 償 還 期 限 : 平 成 33 年 09 月 0 日 価 格 : 00.04 円 利 回 り: 0.995% これは 発 行 時 の 条 件 なので その 後 は 流 通 する 中 で 値 段 が 変 動 していく 値 段 は 例 えば 証 券 業 協 会 などで 集 計 され 公 表 されている( 公 社 債 店 頭 売 買 参 考 統 計 値 ) 無 断 複 製 等 を 禁 じます 8

利 付 債 のキャッシュフローと 価 値 利 付 債 のキャッシュフローは? 元 本 の 返 済 とクーポンからなる 元 本 は 償 還 期 限 に 支 払 われる クーポン( 表 面 利 率 )は 年 あたりに 支 払 われるキャッシュフローの 元 本 に 対 する 割 合 つまりクーポンをCとすると おおよそ 次 のようなキャッシュフローになる 00+C/ C/ C/ C/ C/ 0.5 年 年.5 年 9.5 年 0 年 このときの 金 利 ( 利 回 り)= 次 式 を 満 たすもの(PV= 価 格 ) C ( + r ) C ( + r ) C ( + r ) 00 ( + r ) PV = + + + + 無 断 複 製 等 を 禁 じます 9

利 付 債 の 金 利 とは? 利 付 債 の 金 利 ( 利 回 り)とは? 違 う 期 間 の 金 利 も 割 り 引 いているので 割 引 金 利 ではない どの 期 間 にも 同 じ 割 引 金 利 が 適 用 できると 仮 定 した 場 合 には 正 しい また PV=00のときはr=Cとなる( 確 認 してみよう) 残 念 ながら 現 実 にはそうではないケースが 殆 ど では 何 を 表 している? 便 宜 的 なもの? 一 つの 解 釈 : 内 部 収 益 率 (IRR) 投 資 プロジェクトの 評 価 指 標 のひとつ いろいろなところで 用 いられることもある ただし 問 題 点 ( 使 用 上 の 注 意?)もいくつかあるので 気 をつけよう いずれにせよ... 将 来 のキャッシュフローを 現 在 価 値 に 換 算 するための 金 利 ではない ではこれは 使 えない? 工 夫 が 必 要 無 断 複 製 等 を 禁 じます 0

利 付 債 割 引 金 利 へ 次 のような 例 を 考 える 簡 便 のため クーポンは 年 一 回 とする 年 から0 年 債 が 右 のようなクーポン 価 格 だったとする そのときの 割 引 金 利 は?( 簡 便 のため 一 年 複 利 ) 年 割 引 金 利 は 簡 単 に 計 算 できる 年 割 引 金 利 は? 3 年 割 引 金 利 は? 期 間 クーポン 価 格 0.0% 00. 0.30% 00. 3 0.50% 00 4 0.60% 99.6 5 0.80% 99.6 6.00% 99.7 7.00% 98.7 8.40% 00.7 9.0% 98. 0.60% 00.9 このようにして 計 算 される 割 引 金 利 をスポットレートと 呼 ぶ 金 利 モデル 等 では 期 間 を 限 りなくゼロに 近 づけた 瞬 間 短 期 金 利 のことをスポットレートと 呼 ぶこ ともあるので 注 意 無 断 複 製 等 を 禁 じます

実 務 的 な 割 引 金 利 入 手 方 法 現 実 の 国 債 は 年 二 回 利 払 いが 多 い 0 年 国 債 の 場 合 3 月 6 月 9 月 月 の0 日 となる 満 期 もそのどれかの 日 付 である 測 定 したい 日 ( 例 えば 今 日 )から 見 ると 中 途 半 端 なキャッシュフローが 多 いことに そこからどのように 割 引 金 利 を 導 出 するか? 簡 便 な 手 法 : 前 頁 のような 方 法 を 用 いるために 最 も 近 い 債 券 の 情 報 を 入 手 し その 債 券 のキャッシュフロー を 一 年 毎 と 仮 定 する もう 少 し 細 かく 設 定 する: 例 えば 年 限 5 年 であれば その 前 後 の 債 券 を 選 び 両 者 の 利 回 りの 平 均 値 を5 年 債 の 金 利 ( 価 格 は00 円 )とする 例 えば 財 務 省 のHP: 金 利 情 報 をご 参 照 次 頁 いずれの 場 合 でも どのような 近 似 をしているかの 認 識 が 重 要 無 断 複 製 等 を 禁 じます

財 務 省 の 金 利 情 報 とは 財 務 省 のHPに 国 債 の 金 利 情 報 が 掲 載 されている トップページ > 国 債 > 関 連 資 料 データ > 金 利 情 報 http://www.mof.go.jp/jgbs/referece/iterest_rate/idex.htm 主 要 年 限 毎 の 半 年 複 利 金 利 ( 半 年 複 利 ベースの 最 終 利 回 り)を 掲 載 前 日 の 終 値 をベースに 翌 日 9 時 半 までに 掲 載 昭 和 49 年 9 月 4 日 以 降 のデータが 日 次 ベースで 公 表 されている.5.5 0.5 H0.9.30 H.9.30 H.9.30 H3.9.30 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 無 断 複 製 等 を 禁 じます 3

任 意 の 時 点 の 割 引 金 利 を 決 めたい 場 合 実 際 には 任 意 の 時 点 (.3 年 など)の 割 引 金 利 が 必 要 になる 実 務 的 には 安 易 に 直 線 補 間 することが 多 い より 高 度 な 手 法 としてスプラインカーブなどを 用 いた スムージング 手 法 がある 適 当 に 年 限 の 区 切 りを 決 める(これをノット ポイントと 呼 ぶ) t=0 3 5 7 0 5 0 30 年 など 各 時 点 での 金 利 をr t とする 各 ノットポイント 間 を 滑 らかにつなぐカーブ(3 次 曲 線 )を 決 める それらが 次 の 条 件 を 満 たす 中 で 作 成 された 割 引 金 利 カーブから 計 算 された 価 格 と 実 際 の 市 場 価 格 が 最 も 小 さくなるように カーブのパラメータおよびノットポイントの 金 利 を 定 める 条 件 :ノットポイントでのカーブの 値 はr t に 一 致 する 条 件 :ノットポイントでのカーブの 一 次 微 分 値 を 一 致 させる( 滑 らかにつなぐ) 条 件 3:ノットポイントでのカーブの 二 次 微 分 値 を 一 致 させる 条 件 4: 端 (0 年 および 最 長 年 )でのカーブの 形 状 をなんらか 規 定 する 詳 細 はva Deveter ad Imai, Fiacial Risk Aalytics (996)などを 参 照 のこと 無 断 複 製 等 を 禁 じます 4

金 利 リスクについて 金 利 が 変 動 すると 価 格 が 変 動 する 今 この 瞬 間 に 金 利 が 変 動 すると 仮 定 する 最 初 は どの 年 限 のスポットレートも 同 じ 幅 だけ 変 動 する と 考 える 数 値 例 を 用 いる 下 記 のような 利 付 債 があったとする 上 述 した 手 法 で 割 引 金 利 (スポットレート)を 求 めていく 期 間 クーポン 価 格 債 券 A 年 3% 00 円 債 券 B 年 % 97.9 円 債 券 C 3 年 4% 0. 円 03 00 = Þ r + r 0 97.9 = + Þ + r r 4 0. = + + r ( + r ) = 3.00% 無 断 複 製 等 を 禁 じます 5 Þ r 3 = 3.5% = 3% 4 04 ( + r ) ( + r ) + 3 3

金 利 感 応 度 金 利 が 変 動 したら 価 値 はどう 変 動 するか( 金 利 感 応 度 ) 前 ページの 債 券 の 価 値 は 金 利 変 化 に 応 じて 下 記 のように 変 化 する 05 価 格 の 変 化 3% 価 格 の 変 化 率 04 % 03 0 債 券 A 債 券 B 債 券 C % 債 券 A 債 券 B 債 券 C 0 0% 00 99 -% 98 97 -% 96-3% -.0% -0.5% 0.0% 0.5%.0% -.0% -0.5% 0.0% 0.5%.0% 無 断 複 製 等 を 禁 じます 6

デュレーション 債 券 の 金 利 感 応 度 を 一 般 的 に 計 算 してみる 金 利 がx 変 動 した 場 合 の 価 値 をPV(x)と 書 く クーポンをC 各 金 利 をr 等 と 記 すと PV ( x) C = + + r + x C + + 00 + C ( + r + x ) ( + r + x ) 変 化 を 見 る x=0での 傾 きを 見 る 微 分 してx=0とする dpv dx dpv dx ( x) ( x) = - x= 0 3 ( + r + x) ( + r + x) ( + r + x) = - C C ( ) ( ) 3 + + r + r ( + r ) - - これを 現 在 価 値 で 割 る( 変 化 率 を 見 る) = デュレーション dpv dx ( x) x= 0 PV ( ) C C -- -- 00 + C 00 + C 無 断 複 製 等 を 禁 じます 7 + ì C C ( 00 + C) -í + + + PV 0 3 î( + r ) ( + r ) ( + r ) ýü þ 0 = + ( )

デュレーション( 続 き) 平 均 残 存 期 間 単 純 化 :C=0とする dpv dx ( x) PV ( ) 00 00 0 = - = - + x= 0 ( + r ) ( + r ) ( + r ) 単 純 化 :すべてのr i =r( 同 じ)と 考 える PV ( 0) dpv dx ( x) x= 0 C C 00 + C = - - -- + = - 3 ( + r) ( + r) ( + r) PV 0 ì í î C r + C ( )( + r) + ( + r) + + この 部 分 がに 近 ければほぼ = 債 券 の 年 限 ( 00 + C) ( + r) ýü þ 無 断 複 製 等 を 禁 じます 8

単 純 化 についての 注 記 これは 単 なる 単 純 化 ではない 市 場 で 一 般 に 債 券 の 利 回 り といった 場 合 一 つの 金 利 で 表 すことがあると 説 明 した その 場 合 の 次 のような 関 係 を 満 たす 金 利 のことをいう 厳 密 な 計 算 方 法 は 市 場 慣 行 に 対 応 する 必 要 があるので 要 注 意 C C 00 + C PV ( 0 ) = + + + + r ( + r ) ( + r ) いわゆる 内 部 収 益 率 (IRR)と 同 じ 導 出 するのはやや 面 倒 (エクセルのソルバー 等 最 適 化 モデルが 必 要 に) この 利 回 り(IRR) が 変 化 した 場 合 価 値 がどう 動 くか ということを 考 えている そういう 考 え 方 もかなり 一 般 的 ただし そのことと すべての 期 間 の 金 利 が 一 定 値 変 動 する ということでは 同 じではないことに 注 意 ( 現 実 的 にはかなり 近 い 値 だが...) 無 断 複 製 等 を 禁 じます 9

デュレーション( 続 き) なぜデュレーション? デュレーション: 存 続 時 間 残 存 期 間 ここでは 平 均 的 な 残 存 期 間 の 意 味 厳 密 には 各 キャッシュフローの 現 在 価 値 で 加 重 した 平 均 的 残 存 期 間 先 ほどの 債 券 についてデュレーションDを 式 で 表 すと 次 のとおり ì C C D = í + + + î( + r ) ( + r ) ( 00 + C) ( + r ) þ ýü PV 時 点 0 ( 0) 各 キャッシュフロー の 現 在 価 値 その 重 心 =デュレーション! 単 純 化 に 当 てはめると ( 0 ) ( x) dpv D = - PV dx + r ほぼ 平 均 的 な 残 存 期 間 と 価 格 変 化 率 は 等 しい! この 右 辺 を 修 正 デュレーション と 呼 ぶ Dのことを マコーレーのデュレーション と 呼 ぶ 無 断 複 製 等 を 禁 じます 30

一 般 の 複 利 方 法 で 考 える 年 f 回 複 利 で 考 える より 一 般 化 してk/f 年 でのキャッシュフローをC k 金 利 をr k とすると PV よってまじめに 微 分 すると dpv ( x) = dx C C ( x) = + + + æ r + x ö æ r + x ö æ r + x ö ç ç ç è + f ø è + f ø è + f ø C 無 断 複 製 等 を 禁 じます 3

連 続 複 利 で 考 える 連 続 複 利 で 考 える: 時 点 t i でのキャッシュフローをC i 金 利 をr i とすると(i=,,...,) PV ( x) = C (- t ( r + x) ) + C exp( - t ( r + x) ) + + C exp( - t ( r x) ) 微 分 するとどうなるか? exp + 無 断 複 製 等 を 禁 じます 3

デュレーションから 生 まれる 誤 解 債 券 の 金 利 感 応 度 残 存 期 間 したがって デュレーションのことを 年 という 単 位 で 呼 ぶことも 多 い 金 利 変 化 幅 デュレーションが 価 値 変 化 率 とみなせる しかし 近 似 が 成 り 立 つのはあくまでもキャッシュフローが 固 定 されている 世 界 での 話 また キャッシュフローが 同 じ 方 向 を 向 いているときには 直 感 的 に 分 かりやすいが... 何 でも 金 利 感 応 度 は 平 均 残 存 期 間 と 思 っていると 大 きな 落 とし 穴 に... 誤 解 : 変 動 利 付 債 年 間 の 債 券 で 年 回 利 払 いとする i 番 目 のクーポンはi- 番 目 のクーポンが 払 われた 時 点 つまりi- 年 目 で 決 定 され それはそのと きの 一 年 金 利 ( 年 回 複 利 )に 等 しくなるとする 額 面 00 円 で それは 満 期 ( 年 目 )に 支 払 われる 問 題 この 債 券 の 価 格 はいくらか? 金 利 感 応 度 はどうなるか? 無 断 複 製 等 を 禁 じます 33

誤 解 その:キャッシュフローに 出 入 りがある 場 合 キャッシュフローの 出 入 りが 両 方 あるもの デリバティブ 保 険 契 約 簡 単 な 問 題 先 ほど 例 示 した3つの 債 券 で 考 える 今 年 後 年 後 に5 円 ずつ 払 うと3 年 後 に00 円 もらえるという 債 券 Dがあるとする 問 題 : 債 券 Dの 現 在 価 値 はいくらか? 問 題 :この 債 券 のデュレーションはどの 程 度 か? あなたのデュレーション 予 想 は 3%よりもかなり 小 さい 3% 程 度 3%よりもかなり 大 きい 無 断 複 製 等 を 禁 じます 34

次 回 の 予 定 生 命 保 険 数 理 の 概 要 を 学 ぶ 生 命 保 険 数 理 に 市 場 金 利 の 概 念 を 加 えたらどうなるか 価 値 はどう 変 わる? 金 利 が 変 動 したらどうなる? 無 断 複 製 等 を 禁 じます 35