# 61 データの 整 理 検 索 コード 0697/10650 データを 階 級 ごとに 整 理 した 表 を 何 というか データを 階 級 (Class)ごとに 整 理 した 表 が 度 数 分 布 表 (Frequency Distribution Table)である 例 : 31 名 のテストの 点 数 元 データ 度 数 分 布 表 1 45 63 69 76 45 39 階 級 人 数 5 69 86 55 59 59 10 65 8 89 73 68 74 64 55 0 4 60 40 40 35 60 76 8 79 60 65 30 10 40 8 元 データとして 40 個 のマスに 31 個 のデータがある これらを 右 表 のように 整 理 し 50 14 たのが 度 数 分 布 表 である 対 応 した 階 級 にいくつのデータがあるのかを 示 しており 60 7 条 件 にあうようにクラス 分 けをするというイメージである 作 り 方 で 注 意 すべきことは 以 70 下 の 通 りである 80 1 1. 階 級 数 を 10~0 に 設 定 (データ 数 に 応 じて 設 定 ) 90. 階 級 の 間 隔 は 統 一 3. 同 じデータがつの 階 級 に 入 らないように 100 0 4. データ 数 と 各 階 級 の 度 数 の 合 計 が 一 致 することを 確 認 計 Excel を 利 用 すれば 100 個 以 上 のデータでも 簡 単 に 整 理 ができる 度 数 分 布 表 の 作 成 には Frequency 関 数 を 利 用 するが 配 列 を 利 用 しなければならない 1. 上 に 示 した 度 数 分 布 表 を 完 成 させる. 階 級 を 英 語 で 何 というか 3. Excel 関 数 で 頻 度 を 計 算 する 関 数 は 何 であるか
# 6 データのグラフ 化 検 索 コード 06386/10669 度 数 分 布 表 から 作 成 されるグラフを 何 というか 度 数 分 布 表 をもとにグラフ 化 したものが ヒストグラム(histogram)である 縦 軸 が 度 数 横 軸 が 各 階 級 幅 であり ヒストグラムの 特 徴 として 各 階 級 の 柱 の 面 積 が 級 度 数 を 正 確 に 反 映 していることが 挙 げられる データ 数 が 多 く 階 級 幅 が 細 かいときには 折 れ 線 グラフを 用 いるとデータが 連 続 してよくわかる 度 数 分 布 表 人 数 ヒストグラム 点 数 人 数 7 1 0 6 6 1 5 3 0 5 4 4 4 5 5 6 4 3 7 6 8 1 1 9 1 1 10 0 0 0 0 0 合 計 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 点 数 ゆが ヒストグラムを 見 るとデータの 分 布 (distribution)がよく 分 かる データの 散 らばり 具 合 歪 み(skewness) とが 尖 り(kurtosis)などが 把 握 できる 1. 上 のデータで 最 高 点 は 何 点 であるか. 上 のデータで 最 低 点 は 何 点 であるか 3. 上 のデータで 最 も 人 数 が 多 いのは 何 点 であるか
# 63 データの 代 表 値 検 索 コード 06394/10677 テストの 成 績 が 80 点 55 点 90 点 60 点 65 点 であるとき メジアンは 何 点 か メジアンは 中 央 値 であるから 5 つのデータであれば 上 から 3 番 目 下 から 3 番 目 のデータとなる 5 つ のデータを 並 べ 替 え(Sort)ると 90,80,65,60,55 という 順 になる( 降 順 ) よってメジアンは 65 点 メジアン(median)とは 中 央 値 中 位 数 のことである Excel では =median( 範 囲 )を 入 力 する データ の 代 表 値 として 他 に 算 術 平 均 (mean)やモード(mode)がある 最 もよく 利 用 されるが 平 均 である これは データの 総 和 をデータ 数 (n)で 割 ったものである 平 均 (μ)を 数 式 で 示 すと 以 下 のようになる 1 n n i1 x i 1 ( x n 1 x... x n ) 日 本 の 家 計 の 貯 蓄 分 布 を 表 現 したのが 右 割 合 A 図 である A はモード B C は 平 均 を 示 している この 図 からわかるように C 一 部 のお 金 持 ちが 平 均 を 押 し 上 げているの で 平 均 値 は 実 態 より も 大 きく 感 じる モード を 用 いる 方 が 日 本 経 済 の 実 態 をよく 表 したデ ータであろう 低 所 得 高 所 得 所 得 1. テストの 成 績 が 50 点 65 点 70 点 40 点 75 点 であるとき A) 平 均 は 何 点 か B) メジアンは 何 点 か. 11 人 のデータがある メジアンは 上 位 何 番 目 のデータを 利 用 すればよいか
# 64 データの 散 らばり 尺 度 検 索 コード 06408 テストの 成 績 が 80 点 55 点 90 点 60 点 65 点 であるとき レンジはいくつか データの 散 らばりの 尺 度 としてレンジ( 範 囲,Range)がある 範 囲 は 最 大 値 (maximum)から 最 小 値 (minimum)を 引 いたものである 最 大 値 は 90 最 小 値 は 55 なので レンジは 35( 長 さ)となる なお 最 大 値 を 求 める Excel 関 数 は=MAX 最 小 値 は=MIN である これはいずれも 位 置 を 示 してい る レンジは 全 データ(n 個 )のうちで つのデータしか 使 っていない すなわち 残 りのデータ(n - 個 )の はず 持 つ 情 報 は 使 われていない レンジの 問 題 点 としては 外 れ 値 ( 一 つだけとんでもなく 異 なった 値 のデー タ)の 影 響 を 受 けやすいことが 挙 げられる データ 数 が 大 きくなるに 従 い レンジも 大 きくなる 傾 向 があるの で 注 意 する レンジの 問 題 点 を 補 正 する 尺 度 として 四 分 位 範 囲 (interquartile range)がある これはデータを 小 さい 順 番 に 並 べ 四 分 割 ( 各 5%)し 上 位 5%の 点 ( 第 1 四 分 位 )と 75%の 点 ( 第 3 四 分 位 )の 範 囲 を 四 分 位 範 囲 とする 四 分 位 範 囲 = 第 3 四 分 位 点 - 第 1 四 分 位 点 Excel の 標 準 関 数 を 使 った 計 算 は =QUARTILE(データ, 3) - QUARTILE(データ, 1)となる ここ で 戻 り 値 は 0~4 であり それぞれ 図 中 の 数 値 を 表 示 する 0: 最 小 値 1: 第 1 四 分 位 点 : 第 四 分 位 点 ( 中 位 数 :メジアン) 3: 第 3 四 分 位 点 4: 最 大 値 1. 最 大 値 を 求 める Excel 関 数 は 何 か. 最 小 値 を 求 める Excel 関 数 は 何 か 3. 上 の 図 で 範 囲 (レンジ)を 示 しなさい
# 65 標 準 偏 差 / 検 索 コード 0110 テストの 成 績 が 80 点 55 点 90 点 60 点 65 点 であるとき 標 準 偏 差 はいくつか テストの 点 数 の 総 和 (summation)は 80+55+90+60+65=350 である 1 平 均 (μ)はこれをデータ 数 (n)で 割 ったものだから 350/5=70 点 となる かたよ 平 均 を 基 準 として どれだけ 偏 りがあるかが 偏 差 (deviation)である したがって x-μを 計 算 する 80-70, 55-70,., 65-70 であるから それぞれ 10-15 0-10 -5 となる プラス マイナスという 符 号 が 混 在 するので これを 乗 (3 偏 差 平 方 )すれば すべて 正 の 値 となる 100, 5, 400, 100, 5 を 合 計 する と 850 となり これを4 偏 差 平 方 和 と 呼 ぶ これをデータ 数 で 割 ったものが5 分 散 (variance:σ )であるか ら 170 となる ただし これは 次 元 であるので これを 1 次 元 に 戻 すために 平 方 根 (square root)を 取 る 標 準 偏 差 (standard deviation:σ)は 分 散 の6 平 方 根 なので 約 13.038 となる 標 準 偏 差 の 導 出 には 以 上 の1~6の 計 算 手 順 が 必 要 である 計 算 式 で 表 現 すると 下 のようになる 1 n n i 1 ( x i ) この 両 辺 を 乗 したσ は 分 散 となる 分 散 は 偏 差 平 方 の 平 均 でも 求 められる Excel で 標 準 偏 差 を 求 めるには STDEVP 関 数 を 利 用 する なお 上 記 の 計 算 を Excel で 実 行 するに は 1=AVERAGE 4=DEVSQ 5=VARP 6=SQRT を 利 用 する 自 学 自 習 : 統 計 学 入 門 テストの 成 績 が 80 点 75 点 70 点 60 点 65 点 であるとき 1. 平 均 は 何 点 か. 偏 差 平 方 和 はいくつか 3. 分 散 はいくつか 4. 標 準 偏 差 はいくつか
# 66 偏 差 値 / 検 索 コード 0110 テストで 平 均 点 が 60 点 標 準 偏 差 が 15 であった ある 学 生 は 75 点 をとったという 偏 差 値 はいくつにな るか 偏 差 値 計 算 は 標 準 化 した 値 (Z)を 10 倍 し これに 50 を 加 える すなわち 50+10 (75-60)/15 となり 偏 差 値 は 60 となる 標 準 化 の 計 算 には 平 均 (μ)と 標 準 偏 差 (σ)を 用 いる Z x 標 準 化 された Z は 平 均 が 0 標 準 偏 差 が 1 というスケールになる Z は 小 さな 値 で 符 号 はプラスとマ イナスがあるために 人 間 の 目 で 数 値 を 比 べるには 面 倒 である そのような 不 便 をなくすためにこれを 10 倍 し 50 を 加 える 偏 差 値 は 以 下 のような 計 算 となる x 50 10 50 10 Z 位 置 の 尺 度 としての 平 均 と 散 らばりの 尺 度 としての 標 準 偏 差 を 用 いており 平 均 を 50 とするモノサシで ある 偏 差 値 では 成 績 が1 番 でも 飛 び 抜 けた1 番 かどうかも 判 断 できる 最 高 点 がともに 95 点 であり そ れぞれの 偏 差 値 が 70 75 であった 場 合 に 後 者 の 科 目 の 方 が 他 の 受 験 生 の 平 均 的 能 力 に 比 較 してより 優 れていると 判 断 ができる Excel では standerdize 関 数 を 利 用 すれば Z が 計 算 できる 1. 平 均 点 が 70 点 のテストで 70 点 をとった 学 生 の 偏 差 値 はいくつであるか. 偏 差 値 が 50 であった これはどのようなことを 意 味 するか 3. 標 準 化 Z を 10 倍 し 50 を 加 える 操 作 にはどのような 意 味 があるか
# 67 正 規 分 布 / 検 索 コード 0110 正 規 分 布 のグラフはどのような 形 状 であるか 正 規 分 布 は Normal Distribution といい 以 下 の 図 のような 平 均 μを 中 心 として 左 右 対 称 (symmetry)の 釣 り 鐘 のような 形 をしている 平 均 値 に 近 い 値 は 高 く 平 均 から 離 れるほど 低 くなる 散 らばりの 尺 度 であ る 標 準 偏 差 σによって その 形 状 は 変 化 する すなわち σが 大 きければ 山 は 低 くなり 裾 野 が 広 くなる また この 曲 線 はガウス(Gauss) 曲 線 とも 呼 ばれる 標 準 正 規 分 布 とは 平 均 が 0 で 標 準 偏 差 が 1 という 場 合 であり N(0,1)と 表 現 する 以 下 は 標 準 正 規 分 布 である 0.45 0.40 0.35 0.30 0.5 0.0 0.15 0.10 0.05 0.00-5.0-4.6-4. -3.8-3.4-3.0 -.6 -. -1.8-1.4-1.0-0.6-0. 0. 0.6 1.0 1.4 1.8..6 3.0 3.4 3.8 4. 4.6 5.0 正 規 分 布 の 密 度 関 数 は 以 下 の 式 の 通 りである 1 1 f ( x) exp ( x ) 標 準 正 規 分 布 を Excel で 表 現 すると =EXP(-(X^)/)/SQRT(*PI()) になる 1. 平 均 0 標 準 偏 差 1 である 正 規 分 布 を 何 というか. N(0,1)とはどのような 意 味 か 3. Excel で 円 周 率 を 計 算 するには どのような 関 数 を 用 いるか
# 68 散 布 図 / 検 索 コード 0110 データ x とデータ y の 相 関 関 係 を 調 べる 場 合 どのようなグラフを 作 成 すればよいか 種 類 のデータの 関 係 を 調 べるには 横 軸 に x 縦 軸 に y をとった 散 布 図 (scatter diagram)が 適 当 であ びょう る Scatter とは ばら 撒 く という 意 味 である 散 布 図 をプロット 図 ともいう プロット(plot)とは 鋲 を 打 つよう なイメージである すなわち xy 平 面 にデータに 対 応 する 点 を 打 つことである 標 本 番 号 x y 1 9 11 7 10 3 10 1 4 5 6 5 8 10 6 8 7 7 6 9 8 7 9 9 9 8 10 10 10 合 計 平 均 標 準 偏 差 散 布 図 14 1 10 8 6 4 0 0 4 6 8 10 1 14 データ x の 平 均 を X で 表 し データ y の 平 均 をY で 表 す 1. plot とはどのような 意 味 か. scatter とはどのような 意 味 か 3. 上 の 表 の 空 欄 ( 合 計 平 均 標 準 偏 差 )を 計 算 する 4. 上 の 散 布 図 に x と y の 平 均 値 を 書 き 込 む
# 69 相 関 係 数 / 検 索 コード 0110 相 関 係 数 の 分 母 に 利 用 されているのはどのような 式 か (TIES) 以 下 の 式 はピアソンの 積 率 相 関 係 数 (correlation coefficient)である r ( ( x X )( y x X ) i i i Y ) ( y i Y ) 分 母 分 子 ともに xy の 各 偏 差 が 利 用 されている 分 母 は x の 偏 差 平 方 和 と y のそれで 構 成 され さらに それらの 積 に 対 し 平 方 根 をとったものである 分 母 は 平 方 根 がついており 必 ず 正 の 値 となる よって 分 子 である xy の 偏 差 の 積 和 がこの 係 数 r の 符 号 を 決 定 する また この 式 から 相 関 係 数 は1から-1の 値 をとることがわかる -1 r 1 r の 値 で 以 下 のように 判 断 する y r > 0 : 正 の 相 関 r < 0 : 負 の 相 関 r = 0 : 無 相 関 r = ±1 : 完 全 相 関 右 図 は x と y が 正 比 例 している 正 の 相 関 を 表 している また 完 全 相 関 の 場 合 には データが 一 直 線 上 に 並 ぶ Excel で 相 関 係 数 を 計 算 するには CORREL 関 数 を 利 用 する x 1. 上 の 相 関 係 数 r の 計 算 式 で y の 偏 差 平 方 和 を 表 している 箇 所 を 丸 で 囲 む. 相 関 係 数 が 1 であった そのときの 散 布 図 はどのようであるか 3. 前 の 設 問 にある x と y のデータの 相 関 係 数 を 計 算 する
礎 知 識 300 # 70 中 心 を 通 る 直 線 / 検 索 コード 以 下 の つのデータを 元 に 作 成 した 散 布 図 がある 図 中 に マークで 平 均 を 中 心 を 通 るような 直 線 を グラフに 記 入 しなさい また 直 線 の y 切 片 の 値 を 求 めなさい 標 本 番 号 x y 1 9 11 7 10 3 10 1 4 5 6 5 8 10 6 8 7 7 6 9 8 7 9 9 9 8 10 10 10 合 計 平 均 14 1 10 8 6 4 0 0 4 6 8 10 1 14 表 にある 10 個 のデータを xy グラフにプロットしたのが 上 のグラフである 横 軸 が x データで 縦 軸 が y デ ータである これらの 平 均 (7.9,9.)を 散 布 図 に のマークで 記 入 をする 平 均 はデータの 中 心 を 示 す 一 つの 指 標 であるから 中 心 を 通 る 直 線 は 平 均 を 通 るように 記 入 する 直 線 は 以 下 のような 式 で 表 現 される Y = a + b X ここで a は 直 線 の Y 切 片 であり b は 傾 きである 直 線 の 切 片 a は 縦 軸 Y との 交 点 で 測 る グラフに 補 助 目 盛 りをつけると 求 めやすい 直 線 の 傾 き b は Y の 増 加 量 /x の 増 加 量 で 測 定 する たとえば x の 増 加 量 を 10 としたときに Y がどれだけ 増 加 し たかを 計 算 すればよい y b x yの 増 加 量 xの 増 加 量 1. 各 自 が 記 入 した 直 線 の 傾 き b はおおよそいくつになるか 調 査 せよ. Y = a + b X のa b に 各 自 のデータを 当 てはめ X=10 であるときの Y の 値 を 求 めよ
# 71 残 差 と 残 差 平 方 和 / 検 索 コード 中 心 を 通 ると 思 われる 直 線 とデータの 差 を 何 というか 中 心 を 通 ると 思 われる 直 線 とデータの 差 を 残 差 (residual)あるいは 誤 差 (error 略 語 は e)と 呼 ぶこと がある データを 現 実 の 値 とすれば 直 線 上 の 点 は 推 定 された 値 となる ここでは 縦 方 向 (データ Y)の ズレに 注 目 する その 関 係 を 式 で 表 現 すれば 以 下 のようになる 現 実 値 - 推 定 値 = 推 定 誤 差 ( 残 差 )e 推 定 誤 差 e を 0 に 近 づけることは 推 定 誤 差 が 小 さくなることなので 中 心 を 通 る 直 線 の 基 準 として 望 ましい そこで 各 推 定 誤 差 の 和 (Σe)は 以 下 の ような S で 表 すことができる 14 1 10 8 6 4 a 0 e 0 4 6 8 10 1 14 S = e 1 + e + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 + e 7 + e 8 + e 9 + e 10 ただし この 式 の 右 辺 にある 各 e の 符 号 は 正 と 負 まちまちであるので それを 統 一 するために 各 e を 乗 し 符 号 をプラスに 揃 える 推 定 誤 差 を 平 方 した 値 (e )の 合 計 (Σe )は 次 のようになる S = e 1 + e + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 + e 7 + e 8 + e 9 + e 10 この S を 残 差 平 方 和 (residual sum of squares)という 1. 先 の 設 問 で a=,b=1 のとき 10 個 のデータの 残 差 を 求 めなさい. そのときの 残 差 の 合 計 (Σe)を 求 めなさい 3. そのときの 残 差 平 方 和 (Σe )を 求 めなさい
# 7 最 小 乗 法 / 検 索 コード 残 差 平 方 和 を 最 小 にする a, b の 組 み 合 わせの 公 式 を 求 めよ 誰 が 見 てもデータ 群 の 中 心 を 通 ると 思 われる 直 線 を 引 くには 客 観 的 な 基 準 が 必 要 である 残 差 平 方 和 S を 最 小 にすることは 推 定 の 誤 差 が 最 小 になることなので 中 心 を 通 る 直 線 を 求 めるひとつの 基 準 として 望 ましい 残 差 平 方 和 が 最 小 になるように a, b を 決 める 方 法 を 最 小 二 乗 法 (Ordinary Least Square Method:OLS)という 残 差 平 方 和 が 最 小 となる 公 式 は 以 下 の 通 りである ここで X とY はそれぞれデータ x と y の 平 均 値 を 表 している a, b を 求 める 計 算 は 以 下 の 手 順 で 行 う まずデータ x, y から b を 求 め この b と 平 均 X と 平 均 Y から a を 求 めればよい この 計 算 にはデー タから 平 均 の 差 である 平 均 偏 差 が 利 用 されているこ とに 注 意 する 残 差 平 方 和 が 最 小 となる a, b の 組 み 合 わせはひ とつしかなく そのとき 残 差 の 合 計 は 0 になる 最 小 乗 推 定 量 の 導 出 には 数 学 的 な 操 作 が 必 要 である が これについては 計 量 経 済 学 の 標 準 的 なテキスト を 参 照 されたい なお Excel では 右 図 のように 散 布 図 へ 近 似 曲 線 を 挿 入 できる 14 1 10 8 6 4 0 y = 0.690x + 3.743 0 4 6 8 10 1 14 1. 残 差 平 方 和 が 最 小 となる a, b はいくつになるか. そのときの 残 差 平 方 和 はいくつになるか 3. そのときの 残 差 の 合 計 はいくつになるか
# 73 確 率 計 算 打 率 3 割 の 打 者 が 1 試 合 で 3 回 の 打 席 が 回 ってくるものとする 1. 3 打 席 連 続 でヒットを 打 つ 確 率. 3 打 席 すべて 凡 退 3. 少 なくとも 1 回 ヒットを 打 つ 確 率 ( 正 答 率 :60%) / 検 索 コード 0110 1. 3 打 席 連 続 でヒットを 打 つ 確 率 0.3 0.3 0.3 = 0.07 =.7%. 3 打 席 すべて 凡 退 の 確 率 0.7 0.7 0.7 = 0.343 = 34.3% 3. 少 なくとも 1 回 ヒットを 打 つ 確 率 1-0.343 = 0.657 = 65.7% 全 事 象 (100%) A 確 率 (probability)とはその 事 象 (event)が 生 じる 可 能 性 を たくさんある ほとんどない というような 表 現 でなく 数 値 で 表 す 数 値 による 基 準 で 確 からしさ を 測 定 する 全 事 象 を 1(100%)とすると 事 象 が 生 じる 割 合 (0%~100%)が 確 率 である 高 校 までに 学 習 した 集 C B 合 を 使 えば 図 のようになる 全 体 集 合 と 部 分 集 合 の 面 積 の 割 合 として 表 現 する 例 題 にある 3 打 席 連 続 ヒットは 3 つの 円 (A,B,C)が 重 なった 部 分 (A B C)の 面 積 を 表 している (キャップ)は 積 事 象 といい 重 なった 部 分 を 示 す 一 回 でもヒットを 打 つという 事 象 は 3 つの 円 にある(A B C) 部 分 である (カップ)は 和 事 象 という これを 計 算 するには 全 打 席 凡 退 した 事 象 ではない 事 象 の 計 算 をする これを 排 反 事 象 という 上 の 図 (ベンズ)では 全 事 象 (1)から 網 掛 けの 面 積 (0.657)を 引 けばよい 打 率 3 割 の 打 者 が 1 試 合 で 4 回 の 打 席 が 回 ってくるものとする 1. 4 打 席 連 続 でヒットを 打 つ 確 率. 4 打 席 すべて 凡 退 3. 少 なくとも 1 回 ヒットを 打 つ 確 率
# 74 等 高 線 と 効 用 曲 面 / 検 索 コード 13803 Excel の3Dグラフの 等 高 線 を 利 用 して 以 下 の 効 用 関 数 の3 次 元 グラフ( 効 用 曲 面 )を 描 く U = x 0.3 0.3 1 x 財 (x 1 x )から 得 られる 効 用 データとグラフを 完 成 させる 完 成 したグラフをさまざまな 角 度 から 眺 める Excel の 第 A 列 に 0 から 0.5 きざみで 0 までの 値 ( 第 1 財 :x 1 の 数 )をとる( 縦 ~41 行 まで) 次 に 第 1 行 にも 同 じ 幅 で 値 ( 第 財 :x の 数 )をとる( 横 B~AP 列 まで) 関 数 の 式 をひとつのセル( 例 えば B)に 書 き 込 み(B への 入 力 :=($A^0.3)*(B$1^0.3)と 書 く) 計 算 する それを 縦 横 に 連 続 コピーして B から AP41 まで 1600(40 40) 個 作 成 する 計 算 の 際 に$マークをつけているのは 連 続 コピー(オートフィル) をしても 参 照 元 が 移 動 してしまわないように 列 や 行 を 固 定 するためである 1600 個 のデータを 元 にして 等 高 線 グラフを 利 用 すれば 滑 らかな3 次 元 (3 dimension)の 効 用 曲 面 を 描 くことができる 等 高 線 グラフは 地 図 の 等 高 線 と 同 じ 概 念 である 等 高 線 グラフの 元 になるデータ 高 さを 表 しており この 例 題 では 効 用 水 準 (U)である この 図 を 横 から 眺 めると 効 用 曲 線 (utility curve)が 上 か ら 眺 めると 無 差 別 曲 線 (indifference curve)が 現 れる 1. 上 の 例 題 で 作 成 した 効 用 曲 面 において 指 数 の 値 を 0.8 と 0. とする 場 合 の 曲 面 を 描 く. 上 の 例 題 と 比 べて グラフのどこが 異 なるか 3. この 関 数 を 何 というか (コブ ダグラス 型 関 数 )
# 75 3 次 関 数 と 費 用 関 数 / 検 索 コード 13781 以 下 の 表 は Excel で 作 成 した 牛 の 生 産 業 者 の 生 産 と 費 用 の 関 係 表 ( 単 位 は 牛 の 生 産 量 : 頭 数 費 用 : 万 円 )である この 表 の 空 欄 を 完 成 させ 固 定 費 用 を 示 す A B C D E 1 生 産 量 総 費 用 可 変 費 用 平 均 費 用 限 界 費 用 0 50 0 0 150 3 1 400 150 400.00 110 4 510 60 55.00 90 5 3 600 350 00.00 80 6 4 680 430 170.00 7 5 754 504 8 6 84 574 9 7 89 64 10 8 960 710 11 9 1030 780 1 10 1103 853 13 11 1180 930 14 1 16 101 15 13 1350 1100 16 14 1445 1195 17 15 1548 198 18 16 1660 1410 19 17 1784 1534 0 18 194 1674 1 19 086 1836 0 78 08 - 生 産 者 は 財 を 生 産 販 売 して 得 られる 利 潤 が 最 大 となるように 行 動 する 利 潤 (Profit)は 収 入 (Revenue)- 費 用 (Cost)で 表 せる ここでは 費 用 と 生 産 量 の 関 係 を 表 す 費 用 関 数 (cost function)が 数 値 で 示 されている B 列 にある 総 費 用 や C 列 の 可 変 費 用 を 折 れ 線 グラフで 描 くと 3 次 曲 線 として 表 現 され る これらの 曲 線 は C = ax 3 + bx + cx + d のような 3 次 関 数 となる 総 費 用 は 可 変 費 用 に 50 だけ 増 やし たものであることがわかる ここでの 50 は 固 定 費 用 という 表 で 空 欄 となっている 平 均 費 用 (average cost)は 総 費 用 を 生 産 量 で 割 ったものであるので セル D7 の 平 均 費 用 の 計 算 は =B7/A7 となる 限 界 費 用 (marginal cost)は 生 産 量 を 1 増 やした 時 に 増 加 する 費 用 なので セル E6 の 限 界 費 用 の 計 算 は =C7-C6 となる それぞれをオートフィルで 連 続 コピーする この 種 類 のデータ(D3~E1)をグラフ 化 すれば 次 関 数 の 曲 線 となる クロス 参 照 :#048 1. 折 れ 線 グラフで 総 費 用 を 描 く. 折 れ 線 グラフで 可 変 費 用 を 描 く 総 費 用 とどこが 異 なるか 3. 折 れ 線 グラフで 平 均 費 用 と 限 界 費 用 (D3~E1 を 範 囲 指 定 )を 同 時 に 描 く
# 76 株 価 データのグラフ / 検 索 コード 04979 以 下 のグラフは 日 経 平 均 株 価 (197 年 -008 年 )の 推 移 を 表 している ブラックマンデー と 呼 ばれる 時 期 は A~E のどれか 日 本 経 済 に 関 するデータは 日 本 銀 行 のサイト(http://www.boj.or.jp/)から 入 手 できる インターネット 上 の 経 済 データを 元 に Excel の 折 れ 線 グラフで 表 現 すると 経 済 の 動 きが 明 らかになる 例 題 のグラフは 日 経 平 均 株 価 ( 月 次 データ)を 利 用 し 横 軸 の 左 端 は 1970 年 で 右 端 は 008 年 ある ブラックマンデー は 日 本 の 株 価 が 最 高 値 になる 年 前 (1987 年 10 月 19 日 月 曜 日 )に 起 こり グラフでは B の 位 置 である 史 上 最 大 規 模 の 世 界 的 株 価 の 暴 落 であった 日 経 平 均 株 価 が 最 も 高 かったのはグラフでは C の 位 置 で あり 1989 年 1 月 9 日 の 38,915 円 である グラフの 横 軸 A は 1985 年 頃 であり プラザ 合 意 により 円 高 が 始 まった 頃 でもある E の 位 置 は 小 泉 純 一 郎 内 閣 が 構 造 改 革 に 着 手 し 不 良 債 権 処 理 などによって 株 価 にも 影 響 を 与 えたことによる クロス 参 照 :#133,97 1. 日 経 平 均 株 価 のデータは どのサイトから 入 手 できるか. 日 経 平 均 株 価 が 最 も 高 かったのはいくらか 3. 上 のグラフにある 縦 軸 にメモリラベル( 値 と 単 位 )を 記 入 する
# 77 為 替 データのグラフ / 検 索 コード 04987 以 下 のグラフは 円 のドルに 対 する 為 替 レートの 推 移 (1973 年 -008 年 )を 表 している プラザ 合 意 は A~ E のどの 時 期 であるか 正 答 率 : 70% この 経 済 データのグラフは 円 とドルの 交 換 レート(exchange rate)で 1 ドル 何 円 であるかを 表 している 縦 軸 の 一 番 上 は 0 円 一 番 下 は 350 円 である 通 常 のグラフとは 逆 (Excel で 軸 の 反 転 )になっているの は グラフの 上 方 への 動 きが 円 高 ということを 示 すためである グラフは 月 次 データを 利 用 しており 横 軸 の 左 端 は 1973 年 で 右 端 は 008 年 ある 1971 年 のニクソンショックまで 固 定 相 場 制 の 下 1 ドル 360 円 で あったが 変 動 為 替 相 場 制 へ 移 行 した プラザ 合 意 は 1985 年 9 月 日 (グラフの A の 位 置 )にニューヨ ークのプラザホテルで 開 催 されたドル 安 を 容 認 した 会 議 を 指 す 最 も 円 高 であったのは 1995 年 4 月 19 日 に 記 録 した 79 円 75 銭 が 最 高 値 である クロス 参 照 :#146,147 1. 上 のグラフの 縦 軸 にメモリラベル( 値 と 単 位 )を 記 入 する. 008 年 までに 1 ドルに 対 して 円 の 最 高 値 はいくらであったか 3. 急 激 な 円 高 は 日 本 経 済 にどのような 影 響 を 与 えたか (#147 参 照 )
# 78 スプレッドシートの 構 成 : 行 と 列 / 検 索 コード Excel では 表 のようなシートで 計 算 処 理 ができる Excel003 の1 枚 のシートには 全 部 でいくつのセルが あるか それは の 何 乗 か Excel を 表 計 算 ソフトといい スプレッドシート(spread sheet) 内 でさまざまな 計 算 ができる Excel003 の 1 枚 のシートの 中 に 行 (row)は 65,536(= 16 ) 列 (column)は 56(= 8 )があるので セル(cell)は 65,536 56=16,777,16(= 16 8 = 16+8 = 4 )となる Excel のシートには 行 番 号 ( 数 字 )と 列 番 号 ( 英 字 )が ついており この 番 号 を 参 照 してセル 番 地 が 一 意 に 決 定 される 以 下 の 表 は 5 行 4 列 で 構 成 されており マスであるセルは 0 個 ある 行 と 列 セル (cell) セル 内 での 配 置 (align) left center right 左 中 右 列 ( column) 行 (row) =5 行 4 列 横 方 向 / 縦 方 向 上 中 下 top middle bottom セル 内 での 垂 直 配 置 (valign) Excel ではさまざまな 計 算 ができ 数 学 ( 円 周 率 指 数 対 数 など)や 統 計 ( 平 均 標 準 偏 差 分 布 など) の 関 数 が 用 意 されている その 他 文 字 列 操 作 や 日 付 時 刻 なども 計 算 することができ 活 用 できる 場 面 は 多 い 例 えば 日 付 計 算 は 金 利 計 算 などに 応 用 できる 1. Excel で=^16 を 計 算 する. Excel で=pi()を 計 算 する 3. Excel を 利 用 して 今 日 までの 生 存 日 数 を 計 算 する
# 79 Excel のデータ 表 示 / 検 索 コード 457 兆 円 という 日 本 の GDP データを 桁 区 切 り 通 貨 スタイル 指 数 表 示 で 示 す 457 兆 を 桁 区 切 り(comma separated) 表 現 にすれば 457,000,000,000,000 という 表 記 になる このように 桁 数 が 大 ききなると 分 かりづらくなるので 3 桁 の 区 切 りで 表 現 するとよい また 通 貨 スタイルにすると 457,000,000,000,000 のようになる 桁 数 や 小 数 点 以 下 のそれが 大 きかったりする 場 合 Excel では 指 数 表 現 を 用 いることがある 例 えば 10000 を 1.00E+05 というように 0 を 省 くような 表 現 ができ 457 兆 は 4.57E+14 という 表 現 になる E の 後 に ある 符 合 が+は 桁 数 が 大 きいケース -は 小 数 点 を 表 現 する スタイル 名 入 力 データ セル 表 現 桁 区 切 り 457000000000000 457,000,000,000,000 通 貨 スタイル 457000000000000 457,000,000,000,000 指 数 457000000000000 4.57E+14 パーセント 小 数 0.03 3% 小 数 点 (3 桁 ) 3.1415965 3.14 小 数 点 (7 桁 ) 3.1415965 3.141597 Excel を 扱 う 際 の 注 意 として セルに 10E5 と 入 力 すると 100000 と 認 識 して 1.00E+05 と 表 示 される また 10/1 や 10-1 と 入 力 すると 日 付 と 判 断 し 10 月 1 日 と 表 示 される Excel では 1900 年 1 月 0 日 (このような 日 付 は 存 在 しない)を 基 準 0 として 日 付 の 計 算 を 行 う 日 付 と 時 刻 が 基 準 値 からカウントした 値 をシリアル 値 (serial value)としている 日 付 を 整 数 部 時 刻 を 小 数 部 と して 表 現 する 時 刻 は 4 時 間 を 0~1 の 値 で 割 り 当 てるので 例 えば 0.5 は 午 前 6 時 になる 40087.5 というシリアル 値 を 日 時 表 現 にすれば 009/10/1 1:00:00 となる 1. 3.5E-08 はどのような 数 値 の 指 数 表 現 であるか. 1 を 日 付 表 示 にすると 何 年 何 月 何 日 になるか 3. 37145 を 日 付 表 示 にすると 何 年 何 月 何 日 になるか 4. 0.5 を 時 刻 表 示 にすると 何 時 何 分 になるか