- Turing - 1 Turing Turing Turing, Turing 1
わるダイナミクスの理解が深まれば幸いである 文献等については全く網 羅的ではなく, 本予稿を作成するに用いた教科書的なもの [1, 2, 3, 4, 5, 6]) のみを中心に記載したので重要なものが多々抜けていると思われる どう かご容赦願いたい 2 周期構造-泡筏- はん で押したようなという言葉があるが 周期構造を作るには 鋳 型 を用いるのが簡単である 鋳型にものを流し込み それを並べてい けばよい このようなものとしては図１のような 泡筏 あわいかだ がひとつの例となる -ファインマン物理講義録 電磁波と物性 岩波書 店参照 - 図 1: 泡筏 図 2: 泡の不整合パターン
defect, dislocation ) 3, Young-Laplace,
4 - - diblock copolymer), ), F ɛ,σ minimizer F ɛ,σ = Ω { ɛ 2 2 u 2 + W u) 1) + σ N ) 1/2 u m) ) } 2 dx 2 u H 1 Ω) m = 1 udx, Ω W u) u = ±1, m 1 < m < 1) Ω
3: :, N ) 1 u m 0 σ > 0 [1], [6] Euler-Lagrange H 1 Ω), f = W u t = {ɛ 2 u + fu) σ N ) 1 u m)} = {ɛ 2 u + fu)} σu m), u n = u) n = 0, 2) ux, 0) = u 0 x), u 0 = m Cahn-Hilliard u = m,, min F ɛ,σ u) 3) u A m { 1 } with A m := u u H 1 0, 1), udx = m 0, Ren-Wei [1] 41 m = 0 W z) = W z) ɛ 0 > 0, 420) 0 < ɛ < ɛ 0 u ɛ,σ
i) u ɛ,σ, P ɛ,σ P ɛ,σ = 2 3 2 A ɛ ) 1 3 + Oɛ 2 3 ) σ ii) F ɛ,σ u ɛ,σ ) = σ 8 3 2 A ɛ ) 2 3 + Oɛ 4 3 ) σ 1 A = 4 W s) ds 1 41 = Oɛ 1 3 )) = Oɛ)) = O1)) ɛ 0 0, Cahn-Hilliard,,, F ɛ,σ O1), u = m N ) 1/2, 0 0,, Oɛ 1/3 ) Chen-
[7, 8] ) local minimizer 42 [1]) ɛ 0, 418) local minimizer Turing minimizer, Turing v { v = ɛ 2 u fu), 0 = ɛ 2 u + fu) + v, 0 = v σu m) u t, u,, minimizer Turing ) Turing 5
51 ) 20000 20000 t t 0 0 30 x a) 0 0 30 x b) 4: 4 [9, 1, 4, 5] 4 Gray-Scott 52 [10] 5 3,
3200 t 25 a) x 1600 15 図 5: 不均一性から生じるパルス生成 a) パルス生成の時空プロット b) 不均一性をつなぐヘテロクリニック解 c) 不安定固有関数 複素固有 値) の形状 出展は [10]
, 6 U = u, v) ) du dt dv dt = fu, v) = gu, v) 4) U = u, v ) U - - u = D t u u + fu, v) v = D 5) t v v + gu, v) N- D u, D v U = 0, 0) fu, v) = u1 u)1 + u) v, gu, v) = ɛu γv) 6) ɛ, γ ) 6) f u g u f v g v ) = + + U 4) ) f u g v f v g u > 0 f u + g v < 0 7)
u, v)- - activator-inhibitor system) f u > 0 u f v < 0 v g u > 0 u v g v < 0 u 0, 0) v = u 0, 0) fu, v) = 0 v u 20) 5) U = 0, 0) t z 1 z 2 ) = D u 0 0 D v ) z 1 z 2 ) + a c ) b d z 1 z 2 ) z 1 z 2 ) 8) = Φ k expω k t + ik r) 9) 17) k R N ω k ω k k ω 2 k T ω k + S = 0 10) T = T k 2 ) = f u + g v k 2 D u + D v ), S = Sk 2 ) = f u g v f v g u D v f u + D u g v )k 2 + D u D v k 4 11) T, S h = k 2 7) T < 0 D u = D v 7) S > 0 T < 0 10) D u D v T h) < 0 ω k
S = 0 D u, D v ) k ω k f u g v f v g u > 0 S = 0 h D v f u + D u g v > 0 12) ds/dh = 0 D v f u + D u g v ) 2 4f u g v f v g u )D u D v = 0 13) k c { fu g v f v g u k c = D u D v } 1 4 14) U V L = 2π k c 15) - ) U + + 7) 12) f u g v f u g v < 0 f v g u < 0 16) u v u v f u > 0 g v < 0 17)
f v f v < 0 g u > 0 18) f v > 0 g u < 0 19) ) substrate-depleted ) + + v u f v > 0) v substrate u v??) k, F ) 1, 0) 7) 12) D v > D u 20) ) ) 15) ɛ = 3, γ = 2/3) x u, v)- 5) x u, v)- 13) U = 0, 0) 6 u, v)- 0, 0) 2 6 D u, D v ) = 10, 10) 7 D u < D v
time = 000 v u v x u time = 050 time = 100 time = 200 time = 400 6: :D u = 10, D v = 10 u, v)-
time = 000 u v x v u time = 005 time = 050 time = 200 time = 800 7: D u = 04, D v = 250 v- u- u
0, 0) 24) 6 0, 0) 7 D u = 04, D v = 250 v- v a > 0 0, 0) 0, 0) - - 7 fu, v) = 0 1 8 f u g v [1] : I - - 7, 1999)
100 06 t u -06 0 x 100 0 8: [2],, 524)2000)404-416 [3] Y Nishiura, Far-from-equilibrium Dynamics, AMS, 2002) [4] :, 2003) [5], : - -, ), 2006 2 [6] : 2000) [7] T Teramoto and YNishiura Stable gyroid morphology in a gradient system with nonlocal effects, J Phys Soc Jpn, 717): 1611-1614 2002) [8] :, 153): 16-27 2005) [9] JEPearson, Complex patterns in a simple system, Science Vol2161993),189-192
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