1 1 Introduction 1.1 ( ) ( ) Malthus ( ) (1.1.1) ( ) α = ( ) ( + ) 0 ( ) ( + ) lim ( ) = 0 t ( ) α = ( ) αt م = ( ) ( ) = ( 0 ) 0 (1.1.2) αt م 0 = ( ) (1.1.1) ( ) ( α + (1 = ( + ) = 0 1 ( ( ) 2... ) geometric sequence = 0 n ( α + (1 = ( ) t ( α + (1 = ( ) 0 t 0 (1 + ( α t t = { 1 ( α + (1 α t } αt αt م αt م 0 = ( )
2 1 Introduction (1.1.2) Logistic ث Malthus (1.1.3) (( ) ث)( ) α = ( ) ( + ) [Verhulst 1845] 0 ( ) ( + ) lim ( ) = 0 t (1.1.4) (( ) ث)( ) α = ( ) Logistic ل لα = ( ث) ( 1 ) 1 + = α ل ث ث 1 1 log ث + α = ث Kαtم = ث ل = = ( 0 ) 0 Kαtم ث Kαt م + 1 0 = 0 ث Kαt م = Kαt م 0 ث (1.1.5) Kαt م 0 + 0 ث n = ( ) ( n ث) n α n + = n+1
1.2. 3 1.2 Random walk ) ( + {( + ) + ( ) } = 1 ( + ) 2... + ( ) t + ( ) = ( + )... + ( ) xx 2 ( ) + 1 2 ( ) x ± ( ) = ( ± ) 2 ( ) 2 ( ) xx + 2 ( ) = 1 2 t ( ) 0 ( ) 0 ڤ ء = (1.2.1) ( ) xx ء = ( ) t
4 1 Introduction 2 random walk )} + ) + ) ) ( + ) + ) ) } = 1 ) + ) 4 (1.2.2) (( ) yy + ( ) xx )ء = ( ) t 2 (1.2.3) 0 = ) ) yy + ) ) xx Laplace 1 n ( ) ) n+1 + n 2 n 1 ) = ( ) )) n n+1 ) + ) n 1 n ) ) = ( ) n ) = ( ) (... + ( ) xx 2 ( ) + 1 2 ( ) x ± ( ) = ( ± ) = ( ) n±1 2 ( ) ( ) xx 2 ( ) = ( ) tt 0 0 ڤ ك = (1.2.4) ( ) xx ك = ( ) tt
5 2 2.1 Theorem 2.1.1 (Cauchy). (2.1.1) ق = (ف) ) )ن = ( ) ق = ف = )ن ) ف = (2.1.1) Theorem 2.1.2 (Lipschitz). (2.1.1) ق = ف = )ن ) i) ii) ڤ ج 0 1 ج ڤ ) 2 )ن ) 1 )ن 2 (2.1.1) ف = 2.1.1. ل = 0 (0) = ل Lipschitz 2 = 1 4 = 0 2.2 Euler ( ) ع ( ) و i = ),ىو + ف i ) = i, i ع = ) i ) ع ) 2 و)د + ) )نو + ( ) = (و + ) (و)د (و)د lim ڤ و 0 h 0 ع = 0 i+1 ع = ) i ع i )نو + i ع
6 2 2.3 Runge-Kutta (2 ) 2,3,4 4 2 ) 3 و)د + β 2 و + α 1 و + ( ) = (و + ) 1 = ) )ن 2 = ( 1 و + و + )ن α β 2 2 = ) 2 و)د + ) ) y ن 1 و + ) ) x ن و + ) )ن = ) 2 و)د + ) ) y ن( )ن و + ) ) x ن و + ) )ن )(2.3.1) 3 و)د + )) ) y ن( )ن + ) ) x ن ) β 2 و + ) )ن( β α )و + + ( ) = (و + ) 2 و + ( ) و + ( ) = (و + ) ) 3 و)د + ( ) 2 ) )ن = ( ) ) )ن ل = ( ) ل ) ) y ن( )ن + ) ) x ن = 2 و + ( )نو + ( ) = (و + ) (2.3.2) ) 3 و)د + )) ) y ن( )ن + ) ) x ن) 2 (2.3.1)(2.3.2) α + β = 1 β = 1 2 β = 1 2
2.4. Runge-Kutta (3 ) 7 α = β = 1 = = 1 Heun 2 Heun 0 = 0 ع )) i ع i )نو + i ع و + i )ن 2 و + ) i ع i )ن 2 و + i ع = i+1 ع 0 ع = 0 1 = ) i ع i )ن 2 = ( 1 و + i ع و + i )ن i+1 ع = 2) + ( 1 2 و + i ع = 1 (0) 2 = = و 0.1 2.4 Runge-Kutta (3 ) ) 4 و)د + γ 3 β 2 و + + α 1 و + ( ) = (و + ) 1 = ) )ن 2 = ( 1 و + و + )ن 3 = ( 1 و + 2 و + و + )ن
8 2 α β γ 2 2 و + ) y ن 1 + x ن )و + ) )ن = 2 ) 3 و)د + ) yy ن 2 21 + xy ن 2 1 + xx ن 2 ) 2 2 و + ) y نن + x ن )و + ن = ) 3 و)د + ) yy ن 2 ن 2 + xy نن 2 + xx ن 2 ) 2 3 = 2 و + ) y ن( 2 + 1 ) + x ن )و + ) )ن ) 3 و)د + } yy ن 2 ( 1 + 2 ) + xy ن( 1 + 2 ) 2 + xx ن 2 } 2 = ) y نن + y نن + x ن )و + ن 2 و + ) 3 و)د + } yy ن 2 ن 2 + yy ن 2 ن 2 + xy نن 2 + yy ن 2 ن 2 + xy نن 2 + y 2 نن 2 + y ن x ن 2 + xx ن 2 } 2 } y نن( γ + γ x + (β + ن( γ {(β + 2 و + ) )ن( γ α )و + β + + ( ) = (و + ) 3 و + 2 {(β 2 + ن( γ 2 xx + 2(β + γ + نن( γ xy + (β 2 + + 2 γ 2γ + ن 2 ن( 2 γ yy ) 4 و)د + } y 2 نن 2γ y + ن x ن 2γ + 2 و + ( ) و + ( ) = (و + ) 3 و + ( ) 2 ) 4 و)د + ( ) 6 (( ) )ن = ( ) ) ) y ن( )ن + ) ) x ن = ( ) ن 2 y ن + x ن y ن + 2 ن yy ن + ن xy ن 2 + xx ن = ( ) 2 و + ( )نو + ( ) = (و + ) ) y نن + x ن) 2 (و + ) α + β + γ = 1 3 و + ) 4 و)د + ) y 2 نن + y ن x ن + yy ن 2 ن + xy نن 2 + xx ن) 6 = 1 2 γ + γ β + γ = 1 2 β + = 1 6 γ 6 = 1 γ 3 = 1 2 γ γ 2 + + 2 γ β 2 + 3 = 1 γ + γ β 2 + γ 2 = 1 3 β +
2.5. Runge-Kutta (4 ) 9 Kutta Kutta 1 = 2 = 1 = 1 = = 3 = 2 β α = γ = 1 6 2 0 ع = 0 1 = ) i ع i )ن 2 = 1) 2 و + i ع 2 و + i )ن 3 = ( 1 و 2 و 2 + i ع و + i )ن i+1 ع = 3) + 4 2 ( 1 + 6 و + i ع 2.5 Runge-Kutta (4 ) 0 = 0 ع ) i ع i )ن = 1 1) 2 و + i ع 2 و + i )ن = 2 2) 2 و + i ع 2 و + i )ن = 3 ( 3 و + i ع و + i )ن = 4 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i ع = i+1 ع 4 Runge-Kutta 2.6 2 ) )ن =
10 2 1 { = ««= «) )ن 1 «) )ن = ««) )ه = (0) = 0 «(0) = «0. 2.6.1 Euler Euler 0 ع = 0 «0 = 0 غ i+1 ع = ) i غ i ع i )نو + i ع i+1 غ = ) i غ i ع i )هو + i ع ) 2 و)د + «) )نو + ( ) = (و + ) ) 2 و)د + «) )هو + ( )» = (و + )» 2.6.2 Runge-Kutta (2 ) Heun 0 ع = 0 «0 = 0 غ 1 = ) i غ i ع i )ن 1 = ) i غ i ع i )ه 2 = ( 1 و + i غ 1 و + i ع و + i )ن 2 = ( 1 و + i غ 1 و + i ع و + i )ه i+1 ع = 2 2 و + 1 2 و + i ع 2 2 و + 1 2 و + i غ = i+1 غ
2.6. 11 (2.6.1) ) 3 و)د + 2 2 و + 1 2 و + ( ) = (و + ) (2.6.2) ) 3 و)د + 2 2 و + 1 2 و + ( )» = (و + )» Proof. 1 = «) )ن 1 = «) )ه 2 = ( 1 و + «1 و + و + )ن = ) 2 و)د + «) ) z ن 1 و + «) ) y ن 1 و + «) ) x نو + «) )ن = ) 2 و)د + «) ) z ن(» )هو + «) ) y ن(» )نو + «) ) x نو + «) )ن (2.6.1) 2 و + نو + = (2.6.1) ) 3 و)د + ) z ن ه + y ن ن + x ن) 2 2 و + ( ) و + ( ) = (2.6.1) ) 3 و)د + ( ) 2 (2.6.1) (2.6.2) 2 و + نو + ( ) = ) 3 و)د + ) «z ن + y ن + x ن) 2 2 و + نو + ( ) = ) 3 و)د + ) z ن ه + y ن ن + x ن) 2
12 2 2.6.3 Runge-Kutta (4 ) Runge-Kutta (4 ) 0 ع = 0 «0 = 0 غ 1 = ) i غ i ع i )ن 1 = ) i غ i ع i )ه 2 = 1) 2 و + i غ 1 2 و + i ع 2 و + i )ن 2 = 1) 2 و + i غ 1 2 و + i ع 2 و + i )ه 3 = 2) 2 و + i غ 2 2 و + i ع 2 و + i )ن 3 = 2) 2 و + i غ 2 2 و + i ع 2 و + i )ه 4 = ( 3 و + i غ 3 و + i ع و + i )ن 4 = ( 3 و + i غ 3 و + i ع و + i )ه i+1 ع = 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i ع i+1 غ = 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i غ ل ل ل ل 0 ڤ ل ك ق ف ( ق ف) = ( ل ك) = Lotka-Volterra = ق log ف + ل log ك ( ) ( ) ) (( ) FitzHugh- ل ل ل ل 3 + )ك = 3 (2.6.3) (( )ة + (2.6.4) ف + ق =
2.6. 13 ( )ة = ( )ة { ) 属 ) ش mod ) (0 0 ة 0 ( ) = ك 0.8, = ق 0.7, = ف 10 ة 0, 属, ش 2.1: = ش 0.5, = 0 ة 3, 属 = 0.3 2.6.4 3 ( ) ل ل ( ) ل ل ( )»ل ل ) + ) = +» =»ق =,, ق 1962 E. N. Lorenz Lorenz = 8 3 ق 28 = 10 =
14 2 ( ) ل (» )ن= ل ( ) ل (» )ه= ل ( )»ل (» )و= ل Runge-Kutta (4 ) «0 = 0 غ 0 = 0 ع 0 = 0 ظ ) i غ i ع i ظ i )ن = 1 ) i غ i ع i ظ i )ه = 1 ) i غ i ع i ظ i )و = 1 1) 2 و + i غ 1 2 و + i ع 1 2 و + i ظ 2 و + i )ن = 2 1) 2 و + i غ 1 2 و + i ع 1 2 و + i ظ 2 و + i )ه = 2 1) 2 و + i غ 1 2 و + i ع 1 2 و + i ظ 2 و + i )و = 2 2) 2 و + i غ 2 2 و + i ع 2 2 و + i ظ 2 و + i )ن = 3 2) 2 و + i غ 2 2 و + i ع 2 2 و + i ظ 2 و + i )ه = 3 2) 2 و + i غ 2 2 و + i ع 2 2 و + i ظ 2 و + i )و = 3 ( 3 و + i غ 3 و + i ع 3 و + i ظ و + i )ن = 4 ( 3 و + i غ 3 و + i ع 3 و + i ظ و + i )ه = 4 ( 3 و + i غ 3 و + i ع 3 و + i ظ و + i )و = 4 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i ظ = i+1 ظ 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i ع = i+1 ع 4) + 2 3 ( 1 + 2 2 + 6 و + i غ = i+1 غ
2.6. 15 x = ) «) n = ( 1 2 3) x = ) «) x O «ز latitude ϕ longitude θ (2.6.5) ϕ) cos )ز ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin = 3) 2 ( 1 n α α α : cos ϕ cos θ + cos ϕ sin θ + sin ϕ«= 0. p 1 =( sin θ cos θ 0) p 2 =( sin cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ) p 1, p 2 n p 1 = n p 2 = p 1 p 2 = 0 p 1 p 1 = p 2 p 2 = 1 x n α x α x =x (x n)n x = 1p 1 + 2p 2 1, 2 (2.6.6) ( 1 2) 1, 2 (2.6.6) p 1, p 2 x p 1 = 1 x p 2 = 2 1 =x p 1 =x p 1 (x n)(n p 1 ) =x p 1 2 =x p 2 =x p 2 (x n)(n p 2 ) =x p 2
16 2 n = ( 1 2 3) 21 = ز + 22 + 23 ) ( 3 ϕ = arcsin ز ( ) 1 arccos ( 2 0 ) cos ϕ ز θ = ( ) 1 arccos ) 0 ڤ ( 2 cos ϕ ز x = ) «) n ( 1 2) p 1 =( sin θ cos θ 0) p 2 =( sin cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ) 1 =x p 1 2 =x p 2 gnuplot Excel Excel 2.2: = 0 «1.1, = 0 2.1, = 0 3, n = (2 3 4)
17 3 3.1 1 xء = b x 0 {x k } x x k x k+1 Jacobi x k x k+1 1+k 11 ف n k 1n ف + + 2 k 12 ف + 1 = 1 ق k+1 22 ف + 1 k 21 ف n k 2n ف + + 2 = 2 ق. k+1 nn ف + + 2 k n2 ف + 1 k n1 ف n = ق n ء j i ڤ ii ف... 2 = 1 ى ij ف Jacobi Gauss-Seidel x k x k+1 1+k 11 ف n k 1n ف + + 2 k 12 ف + 1 = 1 ق 1+k 21 ف 22 ف + 1 n k 2n ف + + 2 = 2 ق. 1+k n1 ف n2 ف + 1 nn ف + + 2 n = ق n Jacobi ء
18 3 SOR x k y k+1 Gauss-Seidel k+1 11 ف 1 ق = n k 1n ف + + 2 k 12 ف + 1 k+1 21 ف k+1 22 ف + 1 2 ق = n k 2n ف + + 2. k+1 nn n ف + + k+1 n2 2 ف + k+1 n1 1 ف = k+1 n ق x k+1 x k+1 = x k + ω(y k+1 x k ) ω ڤ (0 ω ڤ 2) ω = 1.9 3.2 )... 2 = 1 ى) ) n... 2 1 ) i ن 1 Newton = 0 ( )ن 0 k k+1 Newton 1 = 0 ) k )( k ) ن + ) k )ن ( )ن k k+1 = 0 ) k k+1 )( k ) ن + ) k )ن ) k )ن k = k+1 ) k ) ن
3.3. 19 Newton ) f(x)... 2 = 1 ى) (x) i ن f(x) = 0 x 0 x k x k+1 Newton 1 f(x) f(x k ) + x )ت k )(x x k ) = 0 = ( x )ت f 1 x 1 (x) f 2 x 1 (x). f n x 1 (x) f 1 x 2 (x) f 2 x 2 (x). f n x 2 (x) f 1 x n (x) f 2 x n (x) f n x n (x) ت(x) Jacobi k k+1 1 f(x k ) + x )ت k )(x k+1 x k ) = 0 ( 1 x k+1 = x k x )ت )) k f(x k ) 1+k 1 1+k 2. 1+k n k f 1 1 x = k 1 (x k ) f 2. 2 x 1 (x k ). k f n n x 1 (x k ) f 1 x 2 (x k ) f 2 x 2 (x k ). f n x 2 (x k ) f 1 x n (x k ) f 2 x n (x k ) f n x n (x k ) 1 ) k (x 1 ن ن 2 (x k ). ) k n (x ن 3.3 xء = λx 0 x λ x ء = ةλ 0
20 3 λ λ x k+1 = xء k {x k } λ y k+1 = xء k x k+1 = y k+1 / k+1 1 ( k+1 1 = 0 k+1 i ) λ x = lim k xk xء = λx QR ء ر ز زر = ء (QR ) ء 2 ء 1 ء 3... k ء = k ز k ر k+1 ء = k ر k ز ء k ء ء k
21 4 4.1 2 و + ( ) نو + ( )ن = (و + )ن 3 و + ( ) ن 2 4 و + ( ) (3) ن 6 ) 5 و)د + ( ) (4) ن 24 2 و + ( ) نو ( )ن = (و )ن 3 و ( ) ن 2 4 و + ( ) (3) ن 6 ) 5 و)د + ( ) (4) ن 24 (و )ن (و + )ن و 2 = ) 2 و)د + ( ) ن (4.1.1) (و )ن + ( )ن 2 (و + )ن و = 2 ) 2 و)د + ( ) ن (4.1.2) ( )ن (و + )ن و (4.1.3) (و)د + ( ) ن = (و )ن ( )ن و (4.1.4) (و)د + ( ) ن = ) و )ن ) و + )ن و 2 ) ) x ن (4.1.5) ) و )ن + ) )ن 2 ) و + )ن و 2 ) ) xx ن (4.1.6) ) )ن + ) + )ن ) و + )ن ) + و + )ن و ) ) xy ن (4.1.7)
22 4 ( ) ن = ( ) ن = ( ) ن = ( ) ن = (و )ن (و + )ن ) 2 و)د + و 2 (4.1.8) (و )ن + ( )ن 2 (و + )ن ) 2 و)د + 2 و (4.1.9) ( )ن (و + )ن (و)د + و ( ) (4.1.10) (و )ن ( )ن (و)د + و ( ) (4.1.11) 4.2 2 ODE = ( ) = ( ) (4.2.1) ق ڤ ڤ ف ) )ن = ( ) (4.2.2) β = (ق) α = (ف) (و ) (و + ) ) 2 و)د + و 2 (و ) + ( ) 2 (و + ) ) 2 و)د + 2 و (و ) + ( ) 2 (و + ) (و ) (و + ) 2 و)د + 2 و )) 2 و)د + )ن = ) و 2 (و ) (و + ) ζ) ) z ن( 2 و)د + ) )ن = و 2 (و ) (و + ) (ζ = و 2 ( 2 )د + («) z ن + (»)ن = ) + («z ن ) (و ) + ( ) 2 (و + ) )ن + 2 و (و ) (و + ) ) 2 و)د = ) و 2 و)د 2 ) j 1 ع + j ع 2 j+1 ع j 1 ع j+1 ع j ع j )ن + 2 و ) = 0 و 2 ) ي (1 (4.2.3) β n+1 = ع α = 0 ع (4.2.4)
4.2. 23 1 2 ( ) + ( ) + ( ) = = β (ق) α = (ف) ف ق = و يو + ف = j 1 + j 1 ع + j ع 2 j+1 ع 2 و j 1 ع j+1 ع ) j ) + و 2 = 0 ) j ) + j ع( j ) + ) j ) 2 و = j+1 ع(( j ) و + 1 2 ( 1 + j ع(( j ) 2 و + (2 + j 1 ع(( j ) و 1 2 ( 1 = 1 ي 2... = ي 1 1))α ) و + 1 2 (1 + ) 1 ) 2 و = 2 ع(( 1 ) و + 1 2 ( 1 + 1 ع(( 1 ) 2 و + (2 n))β ) و 1 2 (1 + ) n ) 2 و = n ع(( n ) 2 و + (2 + n 1 ع(( n ) و 1 2 ( 1 2 1 + 1 ) 1 ) 2 و + 2 (1 ) و 1 1 2 2) ) و + 1 2 1 ) 2 ) 2 و + 2 2) ) و ) n ) 2 و + 2 n) ) و 1 2 1 2 + 1 (1 ) 1 ) ) و 1))α 0 ) 2 ) 2 و =. ) n ) +. n))β ) و 1 2 (1 1 ع 2 ع. n ع 4 3 20 5 + = (0) = 0 (1) = 0 ( = 5 ) 2 1 1 2 و 5 2 + و 1 1 + 1 2 و 1 2 1 2 و 5 + 2 2 و 2 2 و 5 + 2 n و + 1 2 1 1 ع 2 ع. n ع 1 4 + 1 3 20 2 4 + 2 3 20 = 2 و. n 4 + n 3 20
24 4 2 (Neumann 2 ( ) + ( ) + ( ) = = β (ق) α = (ف) = 1 Nuemann و ف 1 ع 1 ع = α 1 ع = 1 ع αو 2 و 2 ) j ) 2 و = j+1 ع(( j ) و + 1 2 ( 1 + j ع(( j ) 2 و + (2 + j 1 ع(( j ) و 1 2 ( 1 = 0 1 ي 2... = ي 0 ) 0 ) 2 و = 1 ع(( 0 ) و + 1 2 ( 1 + 0 ع(( 0 ) 2 و + (2 + 1 ع(( 0 ) و 1 2 ( 1 ) 0 ) 2 و = 1 ع(( 0 ) و + 1 2 ( 1 + 0 ع(( 0 ) 2 و + (2 + ( αو 2 1 ع)(( 0 ) و 1 2 ( 1 ))α 0 ) 2 وو 2 ) ) 0 ) 2 و = 1 ع 2 0 ع(( 0 ) 2 و + (2 + 1 2 و = (ف) 2 و + 2 2 (ف) 2 1) ) و 1 2 1 ) 1 ) 2 و + 2 1) ) و + 1 2 1 ) 0 ) ) 1 ). ) n ) ) n ) 2 و + 2 n) ) و 1 2 1 ) 2 و + و 2 ) 0 ))α + 0. n))β ) و 1 2 (1 0 ع ع 1. n ع
4.3. 25 4.3 Laplace { yy + xx = 0 (ء ) )) ) ) = ) )ن (ءك ) )) = ) ( ء ءك ء )ن ( ءك ) 2 ) و ) ) xx ) ) yy ) و ) + ) ) 2 ) و + ) 2 و ) ) + ) ) 2 ) + ) 2 i+1,j ص + i,j ص 2 i 1,j ص 2 و i,j+1 ص + i,j ص 2 i,j 1 ص + ) ء i i ) )) = 0 2 ) ء i j ) )) ) j i )ن = i,j ص ) i j ) ء [0 [ل [0 = ء [ل sin = 2 ) ل)ن sin = ) 0 )ن 0 = (ل )ن = 0) )ن و = = π n 1)... 2 = 1 ي ى) = 0 i,j ص 4 i,j+1 ص + i,j 1 ص + i+1,j ص + i 1,j ص يل 0,j = sin ص 0 = i,n ص = i,0 ص يل n,j = 2 sin ص ( 1) 2 ء uء = b
26 4 ; t n 1,n 1 ) ص... 2,2 ص 2,1 ص 1,n 1 ص... 1,2 ص 1,1 ص) = ة ة ة = ء... ة 4 1 1 1 4 1 =... = ة 1... ; 1 4 1 b = ص... 0,2 ص 0,1 ص + 1,0 ص) 0,n 1 + ص 0,n ص... 0 2,0 ص n,n 1 + ص n 1,n ) t 4.3.1 Laplace 2 ) ) ) ) )) x y = 0 = 0 y x + 1 φ φ x = φ y = 2 ψ ψ x = = y ψ φ, ψ φ = 0 ψ = 0 Ω = ) ) φ 0 in Ω ) φ ) = 属 ) ) on Ωك
4.3. 27 φ ψ φ, ψ Cauchy-Riemann φ x = ψ y φ y = ψ x ) ) ψى + ) ) φ = ( ى + )ن = (»)ن Cauchy ( ζ )ن 1 = (»)ن ζل «ζ ىل 2 ) φ ) «= م 0 iθ 0, ζ = م iθ (Poisson ) 20 2 = (»)ن ل 2 φ( 0 θ 0 ) = 2 20 ل 2 2π 0 2π 0 φ( θ) + ) ψى θ) 2 + 20 2 0 cos(θ θ 0 ) θل 属 ( θ) 2 + 20 2 0 cos(θ θ 0 ) θل
28 4 Lotka-Vortella (»ق ف) = ( ) ( ل ك)» = ( ) «= β (ق) α = (ف) ف ق, = و ق ف 0 ڤ ل ك ف i = ىو + ف ع i = ) ع i غ ( i = )غ i = 0 ى ( 1 1 ى 1 n = β ع α = 0 ع i 1 ع i+1 ع و 2 i 1 غ i+1 غ و 2 ) i غق ف) i ع = ) i عل ك) i غ = «( ) 0 غ 1 غ و n 1 غ n غ و ) 0 عل ك) 0 غ = ) n عل ك) n غ = 2 + 2 2 + 2 ) ش) n ) T غ 1 غ 0 غ n ع 1 ع 0 ع) = ع ع ء 1 ت + ع =: ع
4.3. 29 ء = 0 ع 2 ع 0 2وع 1 (ف قغ 1 ). ع n ع n 2 2وع n 1 (ف قغ n 1 ) 0 غ 1 غ 0 + وغ 0 (ك لع 0 ) غ 2 غ 0 + 2وغ 1 (ك لع 1 ). غ n غ n 2 + 2وغ n 1 (ك لع n 1 ) غ n غ n 1 + وغ n (ك لع n ) J = 1 1 1 2h(a bz 1 ) 1 2hbY 1...... 1 2h(a bz n 1 ) 1 2hbY n 1 1 0 hdz 0 1 + h(c dy 0 ) 1 2hdZ 1 1 2h(c dy 1 ) 1...... 2hdZ n 1 1 2h(c dy n 1 ) 1 hdz n 1 1 + h(c dy n)
31 5 5.1 2 ODE ( )ن = ( ) + = β (ق) α = (ف) n ( ) = j ϕ j ( ) j j=0 ق = n ڤ ڤ 2 ڤ 1 ڤ 0 = ف [ق ف] (1 2) = ( ) ϕ i 1 i i 1 i ] i i 1 ] 1+i i i+1 ] i+1 i ] 0 3) ( ) (ف) = = (ق) 0 1 ( 0 = = b a b a ل( ) (( )ن ( ) ( ) + ( ) ( ل(( ) ( )ن ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (
32 5 n ( ) = j ϕ j,( ) ( ) = ϕ i 2 = 1 ى) ( ) 1) 0 = = 4) b a j=0 n ( ) + ( ) i j( )ϕ j ϕ j=0 n ( ) ϕ ( )ن i ( ) ϕ ( ) i j ϕ j ل j=0 n b { j ϕ i ϕ ( ) + ( ) j ϕ ( ) i ϕ ( ) j ( ) } b ل( ) ϕ ( )ن i ل j=0 a a = ij ف = i ن b a b a { ϕ ل } ( ) ϕ ( ) j ϕ ( ) i + ( ) j ϕ ( ) i ل( ) ϕ ( )ن i 1 n i ن = j ij ف 1) 2 = 1 ى) (5.1.1) j=0 0 = α n = ( ) = β j n j ϕ j ( ) j=0 5.1.1. = 5 sin ل = ( 1 ) = ( 0 ) 0 و = 1 = ij ف 1 0 { ϕ ل } ( ) ϕ ( ) j ϕ i ( ) j ϕ ( ) i 1 ى 1 ii ف = h ] h و ] 1 2 2 و h 2 = ل 2 و و 3 h = و 3 2 و 2 = i±1,i ف = i,i±1 ف h 0 1 ( و 2 و ] h [ ( 1 2 2 و و = ل 3 + و 2 2 و 3 0 6 و و = 1 3 و + 2 و و = 1
5.2. Poisson 33 = i ن 1 0 ل( ) ϕ ( )ن i ( )ن )ن i 1 ), )ن i ), )ن i+1 ) = i ن = 0 ) i 1 )ن ) i )ن ) ( ) ) i )ن + و h h ( ) ) i )ن ) i+1 )ن ( + ) i )ن + و 0 ) i 1 )ن ) i )ن [ و [ ) i )ن ) i+1 )ن + و ) 1 + و ل ) 1 + و ل 3 2 )) i 1 )ن i) )ن 2 ) + و 3 ( i )ن + و 2 ] 0 h 3 2 )) i )ن 2 i+1) )ن) + و 3 ( i )ن + و 2 و( i )ن + 2 و )) i 1 )ن i) )ن 2 ) 3 و )) i 1 )ن ) i )ن) = و( i )ن + 2 و )) i )ن 2 i+1) )ن) + 3 و )) i )ن ) i+1 )ن) )) i+1 )ن + ) i )ن 4 + i 1) )ن)و = 6 (5.1.1) ] h 0 5.2 Poisson Ω, Γ = ) ) Ω ) ) ) )ن = ) ) yy + ) ) xx Γ ) ) ) )ه = ) ) n ) ) j ϕ j i=1 1) Ω 3 1 2 3 Ω ذ 1 ذ m Γ ذ m+1 ذ n ذ i = ) i i ) 2) ϕ i ) ) ذ i ذ 1 i 3 0 1
34 5 Γ ) )) = 0 ) ) ) 1 ) 3) ل ل( ) (( )ن ) ) yy + ) ) xx ) = 0 Ω { } { } ل ل ن ل ل yy + ل ل xx = Ω ل ل(( ) ( )ن ) ) ) y ) y ) ) ) x ) x ) = = ( ) 0 = = Ω Ω n ) 2 = 1 ى) ) ) = ϕ i ) ) ), ) j ϕ j j=1 n ل ل( ) )ϕ i )ن } y )) ) )) y (ϕ i ) )) x + (ϕ j ) )) x (ϕ i ) j {(ϕ j j=1 n j j=1 4) Ω = ij ف = i ن ل ل( ) )ϕ i )ن ل ل } y )) ) )) y (ϕ i ) )) x (ϕ j ) )) x (ϕ i ) { (ϕ j Ω Ω Ω ل ل } y )) ) )) y (ϕ i ) )) x (ϕ j ) )) x (ϕ i ) { (ϕ j ل ل( ) ϕ(( i )ن n ) 2 = 1 ى) i ن = j ij ف j=1 ) ى 1 + ( ) i i )ه = i