04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 )<(B の次数 ) 0 恒等式 () + + c + + c が についての恒等式,, c c () + + c 0 が についての恒等式 0, 0, c 0 0 大小の判定 > > 0 04 実数の性質 () すべての実数 について, 0 ( 等号成立は, 0 のとき ) () 実数, について, + 0 ( 等号成立は, 0 かつ 0 のとき ) 05 平方の大小 > 0, > 0 のとき, > > 06 相加平均と相乗平均 () > 0, > 0 のとき, + ( 等号成立は, のとき ) 07 相加平均と相乗平均 () > 0, > 0, c> 0 のとき, + + c ) c ( 等号成立は, cのとき ) > 0, > 0, c> 0, d > 0 のとき, + + c+ d ) 4 cd ( 等号成立は, c d のとき ) 4 一般的には, > 0( i,,, ) のとき, i + + + ) --
08 絶対値を含む不等式 () ( 0 のとき) ( 0 のとき) () () (4) (5) + + htt://www.geocities.j/ikemth 09 虚数単位 i 平方して- になるような数を i と表し, 虚数単位という. i > 0 のとき, i とくに, i 0 複素数相等の定義,,c,d が実数のとき, + i c+ di c, d とくに, + i 0 0, 0 共役な複素数, が実数のとき, 複素数 α + i に対して, 虚部の符号を変えた数 α i を α と共役な複素数という. () 互いに共役な複素数の和 α + α と積 αα はともに実数である. () α が実数 α α 複素数の四則,,c,d が実数のとき, () 加法 ( + i) + ( c+ di) ( + c) + ( + d) i () 減法 ( + i) ( c+ di) ( c) + ( d) i () 乗法 ( + i)( c + di) ( c d) + ( d + c) i + i ( i)( c di) ( c d) ( c d) i (4) 除法 + + + c + di ( c + di)( c di) c + d ( c+ di' 0) --
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 次方程式の解の公式 () 次方程式 + + c 0 の解は, ± 4c () 次方程式 + + c 0 の解は ± c 4 次方程式の判別式 次方程式 + + c 0 の判別式を D 4c とおくと, () D 4c> 0 異なる つの実数解をもつ () D 4c 0 ただ つの実数解 ( 重解 ) をもつ () D 4c> 0 異なる つの虚数解をもつ 次方程式の実数解条件は, D 4c) 0 5 次方程式の解と係数の関係 次方程式 + + c 0 の つの解を, c α + β, αβ α β とすると, 6 次方程式の解と係数の関係 次方程式 + + c + d 0 の つの解を,, α + β + γ c αβ + βγ + γα d αβγ 7 基本的な対称式の変形 () () α + β ( α + β) αβ () α + β ( α + β) αβ( α + β) α + β () + α β αβ α β γ とすると, --
8 基本的な対称式の変形 () () α + β + γ ( α + β + γ) ( αβ + βγ + γα) () () htt://www.geocities.j/ikemth α + β + γ ( α + β + γ )( α + β + γ αβ βγ γα ) + αβγ αβ + βγ + γα + + α β γ αβγ 9 つの実数 α, β の符号 α > 0かつ β > 0 α + β > 0かつαβ > 0 α < 0かつ β < 0 α + β < 0かつαβ > 0 αとβ が異符号 αβ < 0 0 解と因数分解 次方程式 + + c 0 の つの解を, + + ( α)( β ) c α β とすると, 数を解とする 次方程式 つの数 α, β を解とする 次方程式の つは, ( α + β) + αβ 0 剰余定理 () 整式 P ( ) を 次式 で割ったときの余りは, P ( ) に等しい. () 整式 P ( ) を 次式 + で割ったときの余りは, P に等しい. 因数定理 が整式 P ( ) の因数 P ( ) 0 4 の解 次方程式 の虚数解の つを ω とすると, () の解は,, ω, ω である. () ω () + ω+ ω 0 5 ド モアブルの定理任意の整数 に対して が成り立つ ( ) cos + isi cos + isi -4-
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 第 章図形と方程式 0 数直線上の 点間の距離数直線上の 点 A( ), B( ) 間の距離 AB は, AB 0 数直線上の内分点 外分点 中点の座標数直線上の 点 A( ), B( ) に対して, 線分 AB を + m () m: に内分する点の 座標は, m+ + m () m: に外分する点の 座標は, m + () 中点の 座標は, 0 平面上の 点間の距離 点 A(, ), B(, ) 間の距離は, AB ( ) + ( ) とくに, 原点 O と点 A(, ) の距離は, OA + 04 中線定理 ABC の辺 BC の中点を M とすると, AB + AC ( AM + BM ) 05 平面上の内分点 外分点 中点の座標平面上の 点 A(, ), B(, ) に対して, 線分 AB を + m + m () m: に内分する点の座標は,, m+ m+ + m + m () m: に外分する点の座標は,, m m () 中点の座標は, +, + 06 三角形の重心 点 A(, ), B(, ), C(, ) を頂点とする ABC の重心の座標は, + +, + + -5-
htt://www.geocities.j/ikemth 07 直線の方程式 () 点 (, ) を通り, 傾き m の直線の方程式は, m( ) () 異なる 点 (, ),(, ) を通る直線の方程式は, ' のとき, ( ) のとき, () ' 0, ' 0 のとき, 切片が, 切片が の直線の方程式は, + 08 直線の平行 垂直条件 直線 m+, m + について, () 平行である m m, ' () 一致する m m, () 垂直である mm 09 点と直線の距離公式点 (, ) と直線 + + c 0 の距離 d は, + + c d + 0 直線の交点を通る直線 直線 + + c 0, + + c 0の交点を通る直線は, + + c + k( + + c ) 0(k は任意の実数 ) と表される. 円の方程式中心 (, ), 半径 r の円の方程式は, ( ) + ( ) r 原点を中心とする半径 r の円の方程式は, + r 円と直線の位置関係 () 円 ( ) + ( ) r と, 直線 m + + l 0 の位置関係は, 式から つの文字を消去して得られる 次方程式の判別式を D とすると, D > 0 共有点は 個 ( 異なる 点で交わる ) D 0 共有点は 個 ( 接する ) D < 0 共有点はない -6-
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 円と直線の位置関係 () 円 ( ) + ( ) r と, 直線 m + + l 0 の位置関係は, 円の中心 と直線の距離を d とすると, d < r 共有点は 個 ( 異なる 点で交わる ) d r 共有点は 個 ( 接する ) d > r 共有点はない 4 円の接線の方程式 () 円 + r 上の点 (, ) における接線の方程式は, + r 5 円の接線の方程式 () () 円 ( ) + ( ) r 上の点 (, ) における接線の方程式は, ( )( ) + ( )( ) r () 円 + r の傾き m の接線の方程式は, ± + m r m 6 アポロニウスの円 定点 A,B からの距離の比が m: である点の軌跡は, () m' のとき, 線分 AB を m: に内分する点と外分する点を直径の両端とする円である.( アポロニウスの円 ) () m のとき, 定点 A,B を結ぶ線分 AB の垂直二等分線である. 7 不等式の表す領域 () 不等式 > m+ の表す領域は, 直線 m+ の上側不等式 < m+ の表す領域は, 直線 m+ の下側 () 不等式 + < r の表す領域は, 円 + < r の内部 不等式 + > r の表す領域は, 円 + < r の外側 第 章三角関数 0 一般角の三角関数右図のように角 をとるとき, si ( 正弦 ) r cos ( 余弦 ) r t ( 正接 ) P(,) -r r O -r r -7-
0 単位円原点 O を中心とする半径 の円 ( 単位円 ) 上の点 P (, ) をとると, cos, si と表せる. すなわち, 点 P の座標は P (cos, si ) になる. htt://www.geocities.j/ikemth P(cos,si) - O - 0 三角関数の値の範囲 si, cos t はすべての実数値をとる 04 三角比の符号 si cos t + + - + - + - - - + + - 05 三角関数の間の関係 si () t cos () si + cos () + t cos 06 弧度法 80 π ( ラジアン ) ( ラジアン ) 80 757. π 07 扇形の弧の長さと面積半径 r, 中心角 ラジアンの扇形の弧の長さ l と面積 S は, l r, S r rl -8-
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 08 還元公式 負角余角補角 π π + π π + π + ( は整数 ) si si cos cos si si si cos cos si si cos cos cos t t t t t t t si cos si cos t cos si si t si cos cos t t t si cos si cos cos si si cos t t t t 09 周期関数関数 f ( ) が 0 でない定数 c に対して, つねに, f ( + c) f( ) となるとき, このような関数を周期関数といい,c を周期という. 正の周期のうちで最小のものを基本周期という. 0 si のグラフ O - 値域 : 原点について対称 ( 奇関数 ) 周期 : π 5-9-
cos のグラフ htt://www.geocities.j/ikemth O - 値域 : 軸について対称 ( 偶関数 ) 周期 : π 5 t のグラフ 4 - O 5-4 値域 : 実数全体原点について対称 ( 奇関数 ) 周期 :π, + π ( は整数 ) が漸近線 加法定理 () si( + ) si cos + cos si si( ) si cos cos si () cos( + ) cos cos si si cos( ) cos cos + si si tα + t β () t( α + β) tα tβ tα t β t( α β) + tα tβ α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β -0-
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 4 倍角の公式 () si sicos () cos cos si cos si t () t t 5 倍角の公式 () si si 4si () cos 4 cos cos t t () t t 6 半角の公式 cos () si () () + cos cos cos t + cos 7 三角関数の合成 si + cos + si( + α) ただし, cos α, siα + + 8 直線のなす角 直線 m +, m + のなす角をα とすると, m m mm ' のとき, tα + mm mm のとき, 直線は垂直 第 4 章指数関数と対数関数 40 指数の定義 > 0 で,m が整数, が整数のとき, ( ) m 0 m m,,, とくに, --
40 累乗根 > 0, > 0 で,m,, が正の整数のとき, () ( ) () () (4) ( ) m m htt://www.geocities.j/ikemth (5) m m (6) m m 40 指数法則 > 0, > 0 で,,q が実数のとき, q q () + q () ( ) q q (4) (5) () ( ) q 404 指数関数 のグラフ () > のとき () 0< < のとき O O --
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 405 指数関数の性質 () 定義域は実数全体, 値域は正の実数全体であり, q q () グラフは定点 (0,) を通り, 軸が漸近線である. () > のとき増加関数で, 0< < のときは減少関数である. q > のとき, < q < q 0< < のとき, < q > 406 対数と指数の関係 > 0, ' のとき, log M 407 対数の性質 M > 0, N > 0 のとき, () log 0, log () log MN log M + log N M () log log M log N N r (4) log M rlog M 408 底の変換公式,,c が正の数で, ', c' のとき, logc log log c 409 対数関数 log のグラフ () > のとき () 0< < のとき log O O log --
htt://www.geocities.j/ikemth 40 対数関数の性質 () 定義域は正の実数全体, 値域は実数全体であり, log log q q () グラフは定点 (,0) を通り, 軸が漸近線である. () > のとき増加関数で, 0< < のときは減少関数である. > のとき, < q log < log q 0< < のとき, < q log > log q 4 桁数 を正の整数とするとき, () log0 < + の整数部分は + 桁 () log0 < + の小数第 位に初めて 0 でない数が現れる 第 5 章微分と積分 50 平均変化率関数 f( ) において, の値が から まで変わるときの f ( ) の平均変化率は, f ( ) f( ) 50 微分係数の定義式 f ( + h) f( ) f( ) f( ) f ( ) lim lim h 0 h 50 導関数の定義式 f ( ) lim f + h f h 0 ( ) ( ) h 504 導関数の公式 のとき,( ) (),, () k が定数のとき,( k ) 0 () k が定数で, kf( ) のとき, kf ( ) (4) f( ) + g( ) のとき, f ( ) + g ( ) f( ) g( ) のとき, f ( ) g ( ) -4-
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 505 接線 法線の方程式曲線 f( ) 上の点 (, ( )) f( ) f ( )( ) f ( ) ' 0 のとき法線の方程式は, f( ) ( ) f ( ) f における接線の方程式は, 506 f ( ) の符号と関数の値の増減関数 f( ) の値の増減は, f ( ) > 0 となる の値の範囲で の値は増加する. f ( ) < 0 となる の値の範囲で の値は減少する. 507 f ( ) の極大 極小関数 f( ) について, f ( ) 0となる の値の前後で f ( ) の符号が, 正から負に変わるとき, f ( ) は極大になり, 負から正に変わるとき, f ( ) は極小になる. 508 不定積分 F ( ) f( ) のとき, f( ) d F( ) + C ( Cは積分定数 ) 509 の不定積分 + + d + C C ( は積分定数 ) 50 不定積分の性質 () kf( d ) k f( d ) ( kは定数 ) f ( ) + g ( ) d f( d ) + gd ( ) () { } { } f ( ) g ( ) d f( d ) gd ( ) 5 定積分の定義 f ( ) の原始関数のつを F( ) とすると, [ ] f ( d ) F( ) F ( ) F ( ) -5-
5 定積分の性質 () f ( ) d 0 () f ( d ) f( d ) c () f ( d ) f( d ) + f( d ) c は定数 (4) kf( d ) k f( d ) ( k ) (5) { + } + { } f ( ) g ( ) d f( d ) gd ( ) f ( ) g( ) d f( ) d g( ) d htt://www.geocities.j/ikemth 5 次方程式と定積分 次方程式 + + c 0 の つの実数解が α, β であるとき, β β ( + + c) d ( )( ) d α α β α ( β α) 6 54 微分と積分の関係 d が定数のとき, f () tdt f( ) d 55 面積と定積分曲線 f( ) と 軸および 直線, とで囲まれた部分の面積 S は, の範囲で f( ) 0のとき, S f( ) d f( ) 0のとき, S f( ) d 56 曲線間の面積 つの曲線 f( ) と g( ) が, の範囲で f ( ) g( ) のとき, この つの曲線と 直線, とで囲まれた部分の面積 S は, { ( ) ( )} S f g d -6-