: (a) ( ) A (b) B ( ) A B 11.: (a) x,y (b) r,θ (c) A (x) V A B (x + dx) ( ) ( 11.(a)) dv dt = 0 (11.6) r= θ =

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ゆゆこくだら
5 years ago
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1 ψ e iα ψ, ψ ψe iα (11.1) *1) L = ψ(x)(γ µ i µ m)ψ(x) ) ( ) ψ e iα(x) ψ(x), ψ(x) ψ(x)e iα(x) (11.3) µ µ + iqa µ (x) (11.4) A µ (x) A µ(x) = A µ (x) + 1 q µα(x) (11.5) ( ) ( 11.1 ) * 1) ψ 1 ψ ψ 1 ψ 1 = cosαψ 1 + sinαψ ψ ψ = sinαψ 1 + cosαψ ψ = ψ 1 + iψ = e iα ψ (11.)

2 : (a) ( ) A (b) B ( ) A B 11.: (a) x,y (b) r,θ (c) A (x) V A B (x + dx) ( ) ( 11.(a)) dv dt = 0 (11.6) r= θ =

3 11 3 ( 11.(b)) A (x) V A (A x, A y ) = (Acosφ, Asinφ) (A r, A θ ) A B (x + dx) V B dθ A r V Br = Acos(φ dθ) Acosφ + dθasinφ = A r + dθa θ A θ V Bθ = Asin(φ dθ) Asinφ dθacosφ = A θ dθa r (11.7) (dx µ ) (Γ) p λ (x + dx) = pλ (x) Γ λ µ ν dx µ p ν (11.8) ( 11.3) 11.3: ( ) ( ) ( )

4 11 4 ψ (x + dx) = ψ(x) iqa µ dx µ ψ(x) (11.9) A µ ( ) ( 11.4) 11.4: (a) ( ) ( ) π/ 1/R 30 (b) (c) dx µ dy ν ψ ψ + δψ I δψ = iq A µ dx µ iqf µ ν dx µ dx ν, F µ ν = µ A ν ν A µ (11.10) α e i α ψ = ψ + δψ (1 i α)ψ α = iδψ/ψ (11.11) α dx µ dx ν = iδψ/ψ dx µ dx ν = qf µ ν (11.1)

5 11 5 µ F µ ν = q j ν (11.13) R µ ν g µ ν R = 8πGT µ ν (11.14) G R µ ν R(= g µ ν R µ ν ) (11.10) * ) x x+dx x+dx x+dx x+dx D µ = Dψ dx µ lim ψ(x µ + dx µ ) ψ (x µ + dx µ ) dx µ 0 dx µ = dψ dx µ + iqa µ(x)ψ = ( µ + iqa µ )ψ (11.15) ( ) ( ) d p dτ = 0 (τ ) = Dp dτ = 0 * ) ds = g µ ν (x)dx µ dx ν ds Γ λ µ ν (x) = 1 g λρ ( µ g ρν + ν g ρµ ρ g µ ν ) [Γ µ ] ρ σ = Γρ σµ R ρ σµ ν R µ ν R ρ σµ ν = [ µ Γ ν ν Γ µ + (Γ µ Γ ν Γ ν Γ µ )] ρ σ R µ ν = R ρ µρν, R µ ν = g µρ g νσ R ρσ, R = R µ µ = g µρ R ρµ

6 11 6 ( ) Λ(x) x Λ( µ ψ(x)) = 0 = Λ(D µ ψ(x)) = (Supergravity) ( ) ( ) ( ) (Brane world) ( 11.5)

どの方向を向いてもエネルギーは同じなのでこの基底状態は無限に縮退しているしかしスピンを持つ電子の数は非常に大きいので方向を変えて他の真空状態に移るには多量のスピンに同時にエネルギーを与えねばならず事実上方向を変えることはできないつまり自由度が大きい場合いったん選んだ基底状態は固定される結果元々は存在した回転対称性が破れるこれを対称性の自発的破れという南部

7 第 11 章ゲージ対称性 7 図 11.5: 磁区左図 (a) 高温では電子スピンはバラバラの方向を向く (b) キューリー温度以下ではスピンの向きがそろう右図磁区の写真ピン相互作用による引力が働いていてスピンをそろえる方がエネルギーが低く熱運動に勝つからであるこのとき磁化すべき特定の方向は存在しないが実現した基底状態では磁化はある一定の方向を向いているどの方向を向いてもエネルギーは同じなのでこの基底状態は無限に縮退しているしかしスピンを持つ電子の数は非常に大きいので方向を変えて他の真空状態に移るには多量のスピンに同時にエネルギーを与えねばならず事実上方向を変えることはできないつまり自由度が大きい場合いったん選んだ基底状態は固定される結果元々は存在した回転対称性が破れるこれを対称性の自発的破れという南部ゴールドストーンボソンしかし場の一部を部分的 (局所的) に別の基底状態に移すことは可能である強磁性体の場合一部のスピンにゆらぎを与えることは可能でありそのときスピン相互作用によりゆらぎが次々に伝播するので波動が生じるこの波動は長波長の極限でもとの真空を静的に再現するから波数 k 0 で ω 0 すなわち質量ゼロの粒子の発生であるこれを南部ゴールドストーンボソンという場の理論は自由度が無限大なので基底状態 (真空) を少し動かすにも無限大のエネルギーを必要とするすなわち一旦選んだ真空は固定されるので自発的に対称性の破れた真空状態では元々の対称性は見えなくなる対称性が自発的に破れると質量ゼロのボソンが発生するということは南部ジョナラジニオが最初にフェルミオン対の凝縮体として π メソンが発生すると提案しその後ゴールドストーンが一般的に定式化したものでゴールドストーン定理というこのように巨視的に多数の粒子を含む系がある温度を境に一つの秩序状態に移行する現象は物性の世界では日常的に観察されていて相転移と呼ばれる以上のような相転移は系のポテンシャルエネルギー V が次のような形をしていると実現できる V (φ) = µ φ + λ φ 4 µ = A(T Tc ), λ>0 (11.16) Tc は相転移の起こる温度である φ は物性では秩序パラメターと呼ばれる量で強磁性体の場合は磁化の強さである高温 (T > Tc ) では µ > 0 でエネルギーは φ = 0 の時に最低値を取るしかし低温では µ < 0 となりポテンシャルは W 字形となりエネルギーが最低値をとる φ の値は有限になる (図 11.6) つまり基底状態における秩序パラメターの値 (量子力学では場の期待値) は有限値を取る場の理

8 11 8 φ V φ (11.17) φ=v φ = v, v = µ λ (11.18) 11.6: (a) µ > 0 φ = 0 (b) µ < 0 φ = v φ 1,φ ϕ ( ) L = ( µ φ) ( µ φ) V (φ) (11.19) φ 1, φ φ e iθ φ, φ φ e iθ µ > 0 L = ( µ φ) ( µ φ) µ φ λ φ 4 (11.0) φ = 0 µ < 0 V φ 1,φ φ = v/, φ = 0 φ 1 = v + φ 1, φ = φ < φ 1 >=< φ >= 0 (11.1) φ 1, φ φ 1, φ L G = 1 ( µφ 1 µ φ 1 λv φ 1) + 1 ( µφ µ φ ) ] [λvφ 1 φ + λ φ 4, φ = φ 1 + φ (11.) 4

9 11 9 λv φ 1 φ φ φ 1 φ φ = 1 (v + φ 1 )e i φ v (11.3) φ ( φ 1, φ v) 1 (v + φ 1 )e i φ v = 1 (v + φ 1 )(1 + i φ v + ) 1 [ ( ) ] φ v + φ 1 + iφ + (11.4) V [ 1 L G = ( µφ 1 µ φ 1 λv φ 1) {λvφ 31 + λ φ }] + 1 ( ( µφ µ φ ) 1 + φ ) 1 (11.5) v 11.. ( ) λ 10 6 cm λ (11.19) - (11.3) L = 1 4 F µ ν F µ ν + (D µ φ) (D µ φ) V (φ) (11.6) L = 1 4 F µ ν F µ ν + 1 ( ) µ φ 1 µ φ λv φ 1 λv4 4 + (A (qv) µ 1qv µφ )(A µ 1qv )( µ φ 1 + φ ) (11.7) 1 v

10 B µ = A µ 1 qv µ φ (11.8) F µ ν B = µ B ν ν B µ = µ A ν ν A µ = F µ ν (11.9) L = 1 ( 4 F µ ν B F Bµ ν + m B B µb µ 1 + φ ) ( µ φ 1 µ φ 1 m v Hφ 1) (11.30a) m B = qv, m H = λv (11.30b) m B m H φ ( 9 ) φ φ iα, L f ermion higgs = g H ψ L ψ R φ + h.c.( ) (11.31) ψ L ψ L e iα * 3) ( 1 L f ermion higgs g H ψ L ψ R (v + φ 1 ) + h.c. = m f + gh φ 1 )(ψ L ψ R + ψ R ψ L ) m f = g (11.3) Hv (11.6) (11.31)( ) ( ) ( * 3)

11 11 11 ) ( )

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