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よりおもちやま
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1 一般相対論の心東京大学理学部一般相対論講義第 13 回 2006 年 7 月 11 日須藤靖

2 目次一般相対論講義のまとめ一般相対論をめぐるいくつかのトピックの補足白色矮星中性子星重力レンズ暗黒エネルギー重力波 Things that I would encourage you to check by next Tuesday (i.e., final exam. day) 2

3 ハッブルインシュタイン一般相対論講義のまとめア3

4 一般相対論の心ミクロの世界を記述する量子力学とならんで現代物理学におけるもっとも重要な枠組み単にある現象を説明するモデルといった程度のレベルではなく重力とは何か対称性保存則とは何か自然法則とは何かそれを記述する表現方法は何かなど自然界に対する認識を改めさせてくれる 4

5 一般相対論の根底にある指導原理一般相対性原理どんな座標系でも物理法則は同じ方程式物理法則の共変性一般座標変換に対する不変性そもそも座標系とは便宜上導入した 2 次的なものに過ぎず本来はそれを必要としない物理学の幾何学化等価原理重力と加速度は局所的には区別できない重力の特殊性重力は力か? 5

6 アインシュタイン方程式一般相対論および宇宙論の基礎方程式物理学におけるもっとも美しい方程式の一つ両辺にアインシュタインの思想と叡智が満ちている 1 2 8π G T c Rµν Rgµν + Λ gµν = 4 R µν : リッチテンソル ( 時空の曲がり具合を決める ) R : スカラー曲率 ( 時空の曲がり具合を決める ) g µν : 計量テンソル ( 時空の性質を決める ) T µν : エネルギー運動量テンソル ( 物質場の性質を決める ) Λ : アインシュタインの宇宙定数 ( 実効的に万有斥力を及ぼす ) G : ニュートンの万有引力定数 c : 光速度 µν µ と ν は 0,1,2,3 のどれかの値をとる添え字 6

7 アインシュタイン方程式の心 1 2 Rµν Rgµν + Λ gµν = 4 左辺は時空の幾何学で決まる量だけからなる右辺はその時空に存在する物質の性質を表すしたがって標語的には時空 = 物質 8π G T c という関係を具体的に表現したものと言える実際には時空の幾何学 ( ( 物質の運動 ) ) 物質分布時空の幾何学 ( ( 重力場 ) ) 物質分布という関係を通じてアインシュタイン方程式を満たすような時空の幾何学と物質分布の解が同時に決定される µν 7

8 重力 = 時空の曲がり見かけ上の位置 1.75 地球太陽実際の位置月 8

9 重力による時空の曲がり太陽背景の星 Misner, Thorne and Wheeler: Gravitation (1972) 三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 9

10 一般相対論の検証重力赤方偏移太陽の周りの光線の湾曲水星の近日点移動 10

11 白色矮星中性子星 11

5 万度主星シリウス A は全天で一番明るい星 : 約 50 年周期の実視連星現在までに

12 白色矮星 1915 年ウォルターアダムスはシリウス B が太陽ほどの質量を持ちながら天王星以下の半径でしかない奇妙な星であることを発見最初に発見された白色矮星 ( フェルミディラック統計は 1926 年チャンドラセカール質量は 1931 年 ) 1.06 太陽質量半径 1.1 万 km 有効温度 1.5 万度主星シリウス A は全天で一番明るい星 : 約 50 年周期の実視連星現在までに数百個の白色矮星が発見されているプロキオンシリウス冬の大三角シリウス B シリウス B べテルギウス可視光画像オリオンシリウス A X 線衛星チャンドラ画像シリウス A 12

超新星爆発と中性子星 8~30 太陽質量の恒星は進化の最終段階で超新星爆発を起こしその結果

Landau (+Bohr): 中性子星の可能性を議論 1934 年 Baade & Zwicky:

Volkoff: 中性子星の構造モデル 1967 年 Hewish & Bell: パルサーの発見

13 超新星爆発と中性子星 8~30 太陽質量の恒星は進化の最終段階で超新星爆発を起こしその結果中性子星が誕生すると考えられている 1932 年 Chadwick: 中性子の発見 1932 年 Landau (+Bohr): 中性子星の可能性を議論 1934 年 Baade & Zwicky: 中性子星のアイディア+ 中性子星が超新星で誕生するとまで予言 1939 年 Oppenheimer & Volkoff: 中性子星の構造モデル 1967 年 Hewish & Bell: パルサーの発見 1968 年 Gold: パルサー = 高速自転中性子星超新星 1987A ( 爆発前 ) 超新星 1987A ( 爆発後 ) 13

14 パルサー =( 超新星残骸中の ) 中性子星おうし座 X 線観測衛星チャンドラによる X 線イメージ 14

15 孤立した中性子星 RX J 距離が分かっている表面から X 線輻射が観測されている輻射強度から半径がわかる ( ステファンボルツマンの式 ) スペクトルから温度がわかる高密度物質の状態方程式が検証できる通常のモデルでは説明できないほど小さい ( 半径 4-8km) とされクォーク星である可能性が検討されたが今では問題ないと考えられている X 線観測衛星チャンドラによる X 線イメージ 15

16 重力レンズ 16

17 重力レンズの分類像 1 観測天体レンズ天体 ( 銀河銀河団 ) 像 2 光線は重力場によって曲げられる天体が多重像をつくる ( 強い重力レンズ ) 天体の形状が変形を受ける ( 弱い重力レンズ ) 天体の見かけの明るさが増光する ( マイクロレンズ ) 17

18 HST による強い重力レンズ像 18

19 すばるが見た最大のクエーサー重力レンズすばる 8.2m 望遠鏡すばる望遠鏡の画像レンズ銀河団 ( 距離 :62 億光年 ) 稲田大栗ほかSDSSグループ Nature 426 (2003) 810 クエーサー SDSS J1004 (98 億光年 ) すばる望遠鏡の画像 ( 拡大 ) 1 SDSS 専用 2.5m 望遠鏡万光年 SDSS の画像 19

100 億光年先からの一般相対論的蜃気楼 (SDSS J1004+4112) 2003

20 100 億光年先からの一般相対論的蜃気楼 (SDSS J ) 2003 年に東京大学の稲田直久と大栗真宗が SDSS で発見すばるで確認 Inada et al. Nature 426(2003)810 20

J1004+4112 : 一般相対論的蜃気楼 http://hubblesite.

21 98 億光年先にあるクエーサー銀河団の重力を受けてクエーサーからの光線が曲げられてみかけ上 5 つの異なる天体として観測される 62 億光年先にある銀河団重力レンズ天体 SDSS J : 一般相対論的蜃気楼 21

22 ハッブル望遠鏡で見た SDSS J 年 5 月 23 日ハッブル望遠鏡写真公開 22

23 100 億年を遡る 2006 年 5 月 23 日ハッブル望遠鏡写真公開 23

24 SDSS J

25 弱い重力レンズレンズなしレンズあり z=0.3 に太陽質量の重力レンズ天体がある場合に予想されるイメージ

26 重力マイクロレンズによる MACHO 探査ダークハロー ( 暗黒物質 ) 我々の銀河系 9kpc 銀河系ハロ - の MACHO 天体による重力マイクロレンズ現象で大マゼラン星雲の星が増光する兆候を探す MACHO 天体 (Massive Halo Compact Object) 50kpc 大マゼラン星雲 26

27 MACHO イベントの光度曲線 27

28 Massive Compact Halo Object の発見最初に発見された重力マイクロレンズ現象 (Alcock et al. 1993) 28

29 銀河系ダークマターの組成銀河系ハローには確かに MACHO が存在する質量は太陽の 0.1 から 1 倍程度ハロー全体に占める質量は 2 割程度 ( つまりそれ以外のダークマターも存在する ) MACHO mass fraction Lasserre et al. (2000): EROS collaboration 29

30 暗黒エネルギー 30

フリードマン方程式 Alexander Friedmann (1888-1925) 1

宇宙の曲率宇宙定数 2 2 Λ a& ( t) 8πG K ( t) = = ρ(

31 フリードマン方程式 Alexander Friedmann ( ) 1 R + Λ = 8 2 フリードマン方程式 µν Rgµν gµν π GTµν H ハッブルパラメータ Albert Einstein ( ) Georges Édouard Lemaître ( ) 宇宙の曲率宇宙定数 2 2 Λ a& ( t) 8πG K ( t) = = ρ( t) + 2 a( t) 3 a ( t) スケールファクター ( アインシュタイン方程式 ) 平均質量密度 3 31

32 膨張宇宙の運動方程式ニュートン力学による球殻の運動方程式 2 d R 2 dt GM( < R) G 4π 3 = = ρr 2 2 R R 3 4πG 3 一般相対論による宇宙膨張の方程式もほぼ同じ質量密度のみならず圧力もまた重力源となる万有斥力に対応する宇宙項 (Λ) が存在し得る = ρr R M(<R) 2 d R 2 dt 4πG = ( ρ + 3 Λ 3 p 4πG フリードマン方程式 ) R 32

33 宇宙論パラメータハッブル定数に加えてダークマターと宇宙定数 ( ダークエネルギー ) の値が宇宙膨張を支配する宇宙の構造とその進化の観測を通じてこれらの値が決定できる ( 観測的宇宙論 ) ダークマターと宇宙定数の量を表す無次元パラメータ密度パラメータ Ω m ρ m ρ c 宇宙定数 Ω Λ ρ Λ ρ c 臨界密度 ρ c Ω m H 8πG : 2 0.3, 10 Ω 29 Λ h 2 g/cm

34 宇宙定数 ( ( ダークエネルギー ) の歴史 1916 年 : 一般相対論 1917 年 : アインシュタインの静的宇宙モデル 1980 年代以降 : 真空のエネルギー密度 1 R + Λ = 8 2 µν Rgµν gµν π GTµν 宇宙定数 ( 時空の幾何学量 ) R 1 2 Rg 移項 = 8π G T Λ g 8π G µν µν µν µν 物質場 ( 真空のエネルギー密度?) 宇宙定数の自然な大きさ : プランク密度 5 c 93 3 Λ Λ = g/cm ΩΛ 10 2 hg 3H0 観測的制限 : 0.7 Ω Λ 121 物理学史上最大の理論と観測の不一致! 34

宇宙のサイズ暗黒エネルギーとは何か宇宙の加速膨張 137 億年減速膨張時間万有斥力? 宇宙定数? ダークエネルギー? 一般相対論の破綻? 宇宙の加速膨張の発見 (1998( 年 ) 重力は引力なので必ず減速膨張重力を打ち消すような万有斥力万有斥力が必要加速膨張の原因は何か?

35 宇宙のサイズ暗黒エネルギーとは何か宇宙の加速膨張 137 億年減速膨張時間万有斥力? 宇宙定数? ダークエネルギー? 一般相対論の破綻? 宇宙の加速膨張の発見 (1998( 年 ) 重力は引力なので必ず減速膨張重力を打ち消すような万有斥力万有斥力が必要加速膨張の原因は何か? 万有斥力を及ぼす奇妙な物質 ( ダークエネルギー )? アインシュタインの宇宙定数 (1917 年 )?) 真空がもつエネルギー? 宇宙論スケールでの一般相対論 ( 重力法則 ) の破綻いずれも未知の物理学を切り拓く鍵 Science 誌が選んだ breakthrough of the year 1998 年宇宙の加速膨張 2003 年ダークエネルギー 35

36 ダークエネルギーの登場理論と観測の 120 桁の違いを説明するには宇宙論的観測の解釈がおかしくやはり Λの値は 0 fine tuning を認めるあるいはそのようなモデルをでっちあげる人間原理に持ち込む Λは素粒子論的な起源をもつものではないアインシュタイン方程式の左辺にいる限りエネルギー運動量保存則より Λは定数しか許されない ( 宇宙定数 ) 一方いったん右辺に移項してしまえば定数である必然性はなくなる ( 時間変化する宇宙定数全くうけなかった ) 超新星の観測によって Λの値が 0でない可能性が高くなると単なる定数ではなく宇宙を満たす物質の性質として特徴付けようという一般的な観点が格好よさげに見えてきた 36

37 ダークエネルギーと宇宙の状態方程式宇宙の状態方程式圧力とエネルギー密度の比が w p = wρw w=0: ダークマター w=1/3: 輻射 w=-1: 宇宙定数相対論では重力は Δφ=4 =4πG( G(ρ+3p)=4πGρ(1+3w) なので w<-1/3 万有斥力 wが時間に依存しなければ ρ(t) a(t) -3(w+1) -1<w<0: ( 一般の ) ダークエネルギーここまでくると wが定数である理由すらなくなる w=w(t) 37

38 ダークエネルギーは宇宙定数か? ダークエネルギーの状態方程式 ( 現時点では物理ではない単なるパラメトリゼーション ) p=wρ ρ(t) a(t) -3(w+1) w=-1: 宇宙定数 -1<w< 1<w<-1/3: 1/3: ( 一般の ) ダークエネルギー WMAP+others w= ± Spergel et al. ApJS 148(2003)175 38

39 超新星と銀河分布からのダークエネルギー超新星レガシーサーベイ 1 年目 (Astier et al. 2006) への制限 SDSS LRG BAO (Eisenstein et al. 2005) w=-1.023±0.090( 系統誤差 ) ±0.054( 統計誤差 ) 39

40 重力波 40

41 宇宙を見る新しい目 ( 日本評論社 ) 日本物理学会編 :2004 年 3 月刊 1 章宇宙マイクロ波背景輻射で見る宇宙小松英一郎 2 章 X 線で見る宇宙大橋隆哉 3 章ガンマ線で見る宇宙谷森達 4 章重力波で見る宇宙三尾典克 5 章最高エネルギー宇宙線手嶋政廣 6 章コンピュータシミュレーションから見る宇宙吉田直紀 7 章超新星で測る宇宙膨張とダークエネルギー土居守 8 章ニュートリノと素粒子物理梶田隆章 9 章超新星ニュートリノで見る宇宙佐藤勝彦 10 章究極の宇宙論 : 太陽系外惑星探査須藤靖 41

42 重力波とは一般相対性理論から予言される重力の波動現象電磁気学電荷の加速度運動電磁波の放出一般相対論質量の加速度運動重力波の放出 +Q -Q m m 三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 42

43 回転体からの重力波単位時間当たり放出されるエネルギー W =( 質量 ) 2 ( 半径 ) 4 ( 周波数 ) 6 地上の物体 : 検出不可能な大きさ天体現象からの重力波を狙う三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 43

44 重力波存在の間接的証拠連星中性子星 PSR 公転周期 : 7.75 時間公転周期の変化率 : Pulsar 1.44M 1.39M Neutron star (-2.425±0.002) s/s 重力波の放出によってエネルギーを失い年後に合体一般相対論 :( ±0.005) s/s 理論と観測の差は1% 以下重力波の存在の証明 1993 年ノーベル物理学賞 : テイラー & ハルス三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 44

45 天文学的重力波源連星中性子星の合体頻度 :200Mpc の範囲内で年に数回期待される振幅 h = ~10-21 ブラックホールの合体超新星爆発頻度 :10Mpc の範囲内で月に 1 回期待される振幅 h < 10-22? パルサー連続波 h < 10-26? 初期宇宙起源の背景重力波三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 45

46 中性子星合体にともなう重力波放射の数値シミュレーション 46

47 重力波の検出期待される重力波の振幅 : h ~10-21 太陽太陽地球間の距離の変化を原子半径程度の精度で決定するようなもの地球水素原子 - + L = km 三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 8 L = m 47

48 重力波の偏光パターン 2つの偏光を持つ横波時間変動の様子重力波の力線三尾典克 2003年度科学セミナープレゼンより 48

49 共振型重力波検出器メリーランド大学の Weber が開発弾性体の共振を利用 Resonant-mass Type Mechanical Resonator 共振周波数 : 約 1kHz h ~ 三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 49

50 レーザー干渉計重力検出器光の干渉を用いた高性能な計測装置鏡レーザー鏡ビームスプリッター光検出器マイケルソン干渉計三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 50

51 宇宙レーザー干渉計 :LISA LISA: Laser interferometer space antenna NASA( 米国 ) とESA( 欧州 ) の共同プロジェクト 3 台の飛翔体の距離 ( km) をレーザーで測定三尾典克 2003 年度科学セミナープレゼンより 51

52 NASA Beyond Einstein Program Science and Technology Precursors MAP LIGO Hubble Chandra GLAST 52

53 NASA Origins 米国の宇宙科学ロードマップ 53

54 Things that I would encourage you to do by next Tuesday solve all the problems in the mid-term exam. (once again) by yourself the role of the energy-momentum conservation law in general relativity the Einstein equations from the variational principle derivation of the Schwarzschild solution 54

55 相対論的人生観世の中に絶対的な幸せはない世の中はすべて相対的みんな平等に貧しければ貧しさなど気づかない本来は十分満ち足りていても周りがもっと裕福に見えると不満を感じてしまう貧しければ自然に助け合い人間関係が濃くなる富めば富むほど面倒な人間関係を嫌い利己的になるむずかしい勉強をやっていることが重要ではなく今まで知られていたことに相対的にどのような新しいものを付け加えたかが勝負次はどうするよりもいつ ( どこまできたら ) やめるかのほうが重要でかつ難しい実際には既存のしがらみのために極めて困難だが 55

56 貧しいけど幸せ貧しいから幸せ 56

宇宙のダークエネルギーとは何か

宇宙のダークエネルギーとは何か宇宙のダークエネルギーとは何か東京大学院理学系研究科物理学専攻須藤靖東邦大学理学部物理学科公開講座ミクロの物質とマクロの宇宙 2007 年 7 月 7 日 http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~suto/mypresentation_2007j.html イタリアの青空夜来たる 6 つの太陽をもつ惑星ラガッシュに 2049 年に一度の夜が訪れる ( すばる観測所