Microsoft PowerPoint - sys_intro_17

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ようたはしかわ
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1 数理計画法特論田地宏一 Advaced Lecures o Mahemaical rogrammig 目標 ( 非線形 ) 最適化の理論を修得し, システムや制御における最適化問題への応用を目指す. ( 学部の ) 数理計画法と基礎数学 1~5( と同等 ) の知識を前提とする.

2 参考書等おすすめ今野, 山下非線形計画法日科技連 1978 福島非線形最適化の基礎朝倉書店 1 D.. Berseas, E. Nedic ad A.E. Ozdaglar, Cove Aalysis ad Opimizaio Ahea cieific, 3 I. Griva,.G. Nash, A. ofer, Liear ad Noliear Opimizaio, d ed. IAM, 9. Boyd, L. Vadeberghe, Cove Opimizaio, Cambridge Uiversiy ress, 4 他多数 pdf. free 3 1. 数理計画問題 4

3 数理計画問題与えられた制約条件の下で, 目的関数を最小化 ( または最大化 ) する数学モデル. 目的関数 f ( ) 最小 ( 最大 ) 制約条件または mi f ( ) 5 R, f : R R, : 実行可能集合,feasible se (regio) : であり, 実行可能解,feasible poi (soluio) 実行可能解の中で目的関数値が最小 ( または最大 ) となる点を最適解 (opimal soluio) R 6

4 はg h i j ( ), ( i 1,, m) ( ),( j 1,, l) X 不等式制約等式制約その他 ( 整数制約など ) のように数式の組で表されることが多い R g h i j ( ) ( ) X, ( i,( j 1, 1,, m), l) 実行可能集合 (feasible se) : 実行可能解 (feasible soluio) 7 局所的最適解と大域的最適解 f () a b c a, b, cは局所最適解, とくにbは大域的最適解 local (global) opimal soluio opima (miima) 8

5 局所的最適解と大域的最適解 f () a b c a, b, cは局所最適解, とくにbは大域的最適解各点での近傍での ( 大域的 ) 最適解 9 応用 1. 変分問題懸垂線, 最速降下線など最適制御問題 mi d d ( ( )) ( ( ), u( )), F(,, u) d ( ) X, u( ) U 1

6 . 学習, パターン認識, 画像処理ニューラルネットワーク,VMなど 3. 統計学, 統計分析最尤推定 : 尤度関数が最大となる統計量回帰分析 : 二乗誤差が最小となる直線 ( 曲面 ) 4. ファイナンス, 金融工学最小二乗法構造設計トラスの構造部材を決めるロボットアームの長さ, 配置, 把持位置 6. 運動制御運動予測トルク変化最小軌道, ジャーク最小軌道... 工学経済学医学生物学などのあらゆる分野にある 1

7 数理計画問題の分類連続的 : 変数が連続的な実数値をとる離散的 : 整数値や -1 などの離散値をとる ( そのようなものを含む ) 線形計画法は, 両方の性質を持つ 13 線形計画 Liear rogrammig, L 目的関数, 制約条件がすべて一次式 mi c A b, 非線形計画 Noliear rogrammig, NL 目的関数や制約条件の中に一次式でないものを含む 14

8 二次計画 Quadraic rogrammig, Q 目的関数が二次関数制約条件はすべて一次式 mi 1 A Q Q が半正定値のとき, 凸二次計画という b q 15 制御問題の例 (LQR, モデル予測制御 ) mi ( ) A Q これは変分問題 f ( ) ( ) Q( ) u( ) Bu, m u( ) M ( ) 離散化 Ru( ) d mi N Q 1 f N A N 1 Bu Q, m u u Ru M (,, N 1) Q : 半正定値, R: 正定値凸二次計画 16

9 整数計画法 Ieger rogrammig, I i 決定変数付いたもの. 連続の場合より難しいの一部または全部に整数制約が混合整数計画 Mied Ieger rogrammig, MI 組合せ最適化 Combiaorial Opimizaio 17 区分的アフィンシステムのモデル予測制御 mi p 1 N 1 N q.8.8 u u ru if if ( p, q, r ) M M ただし M : 十分大を追加 -1 変数と補助変数をもちいて制約条件を書き替える z 18

10 mi p M z z N 1 M.8 N, or 1 1 z q M (1 u M, -1 混合整数計画問題 M ), 1.6z M ru z ( p, q, r M (1 ) は,1 以外の値をとらない Mied Ieger Quadraic rogrammig, MIQ ) 19 半正定値計画 emidefiie rogrammig, D ma b i m 1, i A i C : 半正定値対称行列制御系の解析 : Liear Mari Iequaliy, LMI 設計 :Biliear Mari Iequaliy, BMI

11 システムの安定性 A リヤプノフの定理より, ならば安定. これは LMI. A A 等価な D ma I A A,, λ> の解を持つことと, 安定性が等価 1 有界実補題 (Bouded Real Lemma) A Bu, y C, () H ノルムが γ 以下の必要十分条件 A A B C C B I これも LMI. 前述と同様の方法で D にできる

12 フィードバック安定化 A Bu, y 出力フィードバック A BLC u C Ly をもちいて安定化 A BLC 変数 L とのBMI 非線形 ( 非凸 )Dとなる ma I A BLC A BLC,, 3 二次錐計画 ecod Order Coe rogrammig, OC R 1, 1 二次錐 Lorez 錐 1 1 のとき 3 のとき 3 4

13 二次錐計画 = 目的関数は線形, 二次錐およびそれらの直積を制約に含む摩擦円錐の拘束 = クーロン摩擦を考慮した力学系 y, 凸二次不等式凸二次計画問題 Q q c D や OC は非線形計画 5 凸計画 Cove rogrammig 目的関数, 制約式がすべて凸関数 L,D(LMI),OCなどを含む効率よい解法がある ( 商用非商用多数 ) echology ( 技術 ) である凸 : 理論的にも重要かつ美しい 6

14 今後の予定多変数関数の微積分および線形代数のまとめ凸集合と凸関数の基本的な性質最適性条件と双対問題以下はオプション解法について, 微分不可能な最適化, -procedure (-lemma) と KY 補題, 学習制御その他 ( 要望に応えます ) 7 本日のスライドおよび, 多変数関数の微積分と線形代数のまとめは hp:// にあります. レポート問題なども随時追加します. 8

Microsoft PowerPoint - no1_17

Microsoft PowerPoint - no1_17 数理計画法田地宏一 Inrodcion o Mahemaical rogramming 教科書 : 新版数理計画入門福島雅夫朝倉書店参考書 : 最適化法田村村松著共立出版工学基礎最適化とその応用矢部著数理工学社 6Linear and Nonlinear Opimizaion: second ediion I.Griba.G. Nash and A. ofer IAM 9 など多数