Microsoft PowerPoint - 15意思決定科学3_LP復習.pptx
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- まいか ひのと
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1 意思決定科学 線形計画法 堀田敬介 205/0/9,Fr.
2 はじめに 問題の見直し問題の本質を再考 モデルの妥当性評価現実との乖離の検証 問題モデル化解く解釈 評価 提案 解決 問題 目的の明確化 代替案立案モデル構築 結果の解釈 評価代替案評価 選択 意思決定 最適化モデル 線形計画法 凸 2 次計画法 錐計画法 整数計画法
3 線形計画法 例題 : 効率的なアルバイト 時給 200 円の清掃作業, 時給 900 円のウェイター 2つ. 各仕事を行うとストレスがたまるが, 各々 5,3である.,200/h 5 stress 900/h 3 stress 週末に5 時間, アルバイトをする時間を取ることができる. 健康のため, ストレス許容量は2である. さて, この条件のもとで, 最大のアルバイト料を得るにはどちらのアルバイトをどれだけすればいいか? 時給 200 円 時給 900 円だから,5 時間全てを清掃作業で! でも, ストレス :5 5=25 > 2 許容量
4 線形計画法 例題 : 効率的なアルバイト 時給 200 円の清掃作業, 時給 900 円のウェイター 2つ. 各仕事を行うとストレスがたまるが, 各々 5,3である. 週末に5 時間, アルバイトをする時間を取ることができる. 健康のため, ストレス許容量は2である. 定式化 a s. t , 2 0 アルバイト代最大化アルバイト時間制約許容ストレス制約アルバイト時間は非負 最適化モデル線形計画法,LP; Lear Progra
5 線形計画法 解いてみよう a s. t , 図的解法が使えるのは 2 次元 頑張って 3 次元 まで. それ以上の高次元ではどうするの? 図的解法 2, 9 最適解 :, 2 = 3, 2 2 ウェイターを 3 時間清掃作業を 2 時間 最適値 : 5,
6 線形計画法 単体法で解く a s. t , 2 0 a. z s. t. z = s = s 2 = 2, 2,s, s 2 0 reduced cost basc varable a. z s. t. z +3/2s +0/7s 2 =8 2 +5/2s -/2s 2 = 2-3/2s +/2s 2 = 3, 2, s, s 2 0 単体法 sple ethod rato test obasc varable z 2 s s2 rhs Ob s / s /5 pvot sple tableau z 2 s s2 rhs 2 Ob 0-3/5 0 84/5 s 0 0 2/5 - /5 4/5 2/ 0 3/5 0 /5 2/5 7/ z 2 s s2 rhs Ob 0 0 3/2 0/ /2 - / /2 /2 3
7 線形計画法 単体法で解く 2 7/ rato test 表と点が対応, 2 =0, 0 単体法 sple ethod z 2 s s2 rhs Ob s / s /5, 2 =2/5, 0 表と点が対応 z 2 s s2 rhs 2 Ob 0-3/5 0 84/5 s 0 0 2/5 - /5 4/5 2/ 0 3/5 0 /5 2/5 7/ Ob. Value 0 reduced cost 負の方向 2/ rato test Ob. Value 8 84/5-3/5 2/5 5/ rato test, 2 =3, 2 表と点が対応 z 2 s s2 rhs Ob 0 0 3/2 0/ /2 - / /2 /2 3
8 演習 :LP による定式化 最適勉強時間 太郎君は期末試験に備えて 2 科目 A, B の勉強をしたい A の勉強時間 時間あたり期末試験 0 点アップできる B の勉強時間 時間あたり期末試験 20 点アップできる A の勉強時間 時間あたり 20 の疲労度がたまる B の勉強時間 時間あたり 30 の疲労度がたまる 太郎君に残された勉強時間は最大 0 時間 太郎君の許容できる蓄積総疲労度は最大 240 単位取得のために,A も B も 60 点以上が必要 2 科目の総得点が最大となるように,A,B の勉強時間を割り振りたい. それぞれ何時間ずつ勉強すればよいか?
9 演習 2:LP による定式化 最適生産量問題 ある工場では 3 つの製品 A,B, C を作っている. A,B,C を 単位作るのに, それぞれ以下の材料が必要材料 P が其々 6kg,2kg,3kg, 材料 Q が其々 3kg, 2kg,5kg, 材料 R が其々 4l,3l,2l, 材料 S が其々 5g,g,9g この工場で使用できる材料 P,Q,R,S の量は, 其々 2500kg,3000kg, 800l,5000g である. A,B,C を 単位売って得られる利益が各々 7 万円,4 万円,5 万円. 利益最大となる,A,B,C の生産単位はいくらか?
10 線形計画法 単体法の考え方 a s. t = 6, 2, 3, 4 0 最適解 a optal soluto *=6,0,0,0 最適値 the optal value 2 =6-7/2 2-3/2 3-3/2 4 被約費用 reduced cost a. z = s. t. = 6-7/2 2-3/2 3-3/2 4, 2, 3, 4 0 辞書 dctoar 最適辞書 a optal dctoar 基底変数 basc varable 非基底変数 o-basc varable 基底解 a basc soluto =6,0,0,0 実行可能基底解 a feasble basc soluto 0 を満たす基底解
11 線形計画法 単体法の幾何学的意味 この例題では全端点で非退化 a s. t , 2, 3 0 基底変数 6 入替 非基底変数 [ ] 2 0 2,0,2 3 0,0,2,8,4,0 0,0,2 a s. t = = = 2, 2, 3, 4, 5, [ 3 2] 2,7/3,2,0,0,0 2,7/3,2,,,0,0, ,3,2,0,4,0 0,3,2 0 3,0, ,3,0,0,0,2 [ ] 3,3,0 0,,0, 6,0,0 0 3 基底変数 4 入替 非基底変数 2 0,4,0
12 演習 3: 単体法と幾何学的意味 以下の問題を単体法で解いてみよう a s. t , 2, 3 0 a. z = s. t = = = 2, 2, 3, 4, 5, 6 0 z rhs rato test Ob / / /0 z rhs rato test Ob 0 - -/2 0 / /6 0 0 /2 0 / / /0, 2, 3, 4, 5, 6 ; z 0, 0, 0, 24, 6, 2; 0 非基底変数 基底変数 3, 0, 0, 8, 0, 2; 3 非基底変数 基底変数 3, 3, 0, 0, 0, 2; 6
13 PC ソフトを利用して LP を解く 赤字は湘南校舎 PC で使えるソフト ソフトを利用して解いてみよう! Gurob 商用,Acadec 利用期間限定無料 Xpress MP 商用, 学生試用版無料 IBM Ilog Cple 商用,Acadec 利用無料 SCIP フリー Ecel Solver 商用 LINGO/LINDO 商用 GLPK フリー Matlab 商用 Octave フリー etc.
14 参考 : 数理モデル 線形計画問題を解く 2 つの解法 単体法 sple ethod 内点法 teror pot ethod 3 G.B.Datzg 947 N.Kararkar 984 参考 : 主双対内点法 主 双対問題 行列表記 a. c t s.t. A = b 0. b t s.t. A t +s = c A O S O A Newto 方程式 t O OΔ I Δ X Δs 0 0 d 2 Jacob 行列 Newto 方向ベクトル d,, s
15 Coffee break sple? Def. Let S be a arbtrar set E. The cove hull of S,deoted b HS, s the collecto of all cove cobato of S. I other words, f ad ol f, 0 Def. The cove hull of a fte uber of pots,.., k+ E s called a poltope. Def. A collecto of vectors,.., k E s cosdered to be learl depedet, f ples that λ =0 for all. 0 Def. A collecto of vectors,.., k+ E s cosdered to be affel depedet, f 2 -,.., k+ - are learl depedet. Def. If,.., k+ are affel depedet, H,.., k+ s called a sple wth,.., k+. cf. M.S.Bazarra, et. al. Nolear Prograg Wle979,993
16 Coffee break sple? The regular -desoal sple = =2 =3 cf. J.Matousek, et. al. Uderstadg ad Usg Lear Prograg sprger2000
17 双対問題 主問題 P Pral 双対問題 D Dual a s. t , s. t , 2 0 対称型の主 双対問題 a s. t. + 2 = = 2, s. t 標準型の主 双対問題 一般的には
18 双対問題 双対問題の考え方 a P s. t , 目的関数値は43 以下! 目的関数値は37 以下! , D s. t , 2, 3 0, 2, 3 0 ze
19 演習 4: 主問題と双対問題 以下の線形計画問題に対する双対問題を示せ P a s. t ー ー ー 2 3 ー 2 3 ー , 2, 3 0
20 双対定理 弱双対定理 任意の実行可能解, 2,, 2 について, が成り立つ P 証明 4 a s. t , D s. t , 一般的には
21 双対定理 双対定理 主問題 P に最適解 *, 2* が存在するならば, 双対問題 D にも最適解 *, 2* が存在し, 最適値は等しい, 即ち, が成り立つ 4 * + 3 2* = 5 * * P a s. t , 2 0 D s. t , 2 0 証明略 一般的には
22 双対定理 相補性定理 主問題 P と双対問題 D の実行可能解, 2,, 2 が P,D の最適解であるための必要十分条件は, が成立することである , P a s. t , 2 0 D s. t , 2 0 証明略 一般的には
23 双対理論からの解法の考察 ~ 全てを満たす *, 2*, *, 2* が 主 双対 最適解 対称型の 主 双対線形計画問題を解くことは , 2 0, 2 0 主実行可能条件 双対実行可能条件 相補性条件 を満たす解, 2,, 2 を見つけること., 主 単体法 sple ethod 双対単体法 dual sple ethod 主双対 内点法 pral-dual IPM, を満たしつつ, の成立で終了, を満たしつつ, の成立で終了, を満たしつつ, の成立で終了 注 : 反復中, を満たさないなどバリエーションがある 一般的には
24 演習 5: 双対定理 以下の LP について, 双対問題を作成し, 弱双対定理が成り立っていることを確認せよ また, 単体法により最適解を求め, 双対定理, 相補性定理が成り立っていることを確認せよ P a s. t ー ー , 2, 3 0
25 参考文献 今野浩 線形計画法 日科技連 987 反町洋一 線形計画法の実際 産業図書 992 H.P.Wllas 数理計画モデルの作成法 産業図書 995 大山達雄 最適化モデル分析 日科技連 993 福島雅夫 数理計画入門 朝倉書店 996 田村明久 村松正和 最適化法 共立出版 2002 藤田宏 今野浩 田邉國士 最適化法 岩波書店 994 小島正和 土谷隆 水野眞治 矢部博 内点法 朝倉書店 200 森雅夫 松井知己 オペレーションズ リサーチ 朝倉書店 2004
26 演習 解答 : 最適生産量問題 a s. t , 2, 3 0 z 2 3 s s2 s3 s4 rhs Ob rato test s s s s z 2 3 s s2 s3 s4 rhs Ob rato test s s s z 2 3 s s2 s3 s4 rhs Ob rato test s #DIV/0! s z 2 3 s s2 s3 s4 rhs Ob rato test s
27 双対問題 : 一般的な書式 主問題 P Pral 双対問題 D Dual a. c + + c s. t. a + +a b : a + +a b,, 0. b + + b s. t. a + +a c : a + +a c,, 0 目的関数 : 最大化制約式 : 本変数 : 個 目的関数 : 最小化制約式 : 本変数 : 個 対称型の主 双対問題
28 双対問題 : 行列表記 主問題 P a. s. t. c a b Pral.,, s. t. 0,, 双対問題 D b a c 0 Dual,,,, a. c t s.t. A b 0. b t s.t. A t c 0 対称型の主 双対問題
29 双対定理 弱双対定理任意の実行可能解 =,,, =,, について, b c,, 0,,.. a. b a s t c P,, 0,,... c a s t b D 証明 b a a c 0,
30 双対定理 双対定理主問題 P に最適解 * =,,, が存在するならば, 双対問題 D にも最適解 * =,, が存在し, 最適値は等しい, 即ち, が成り立つ. b c * *,, 0,,.. a. b a s t c P,, 0,,... c a s t b D 証明略
31 双対定理 相補性定理主問題 P と双対問題 D の実行可能解 =,,, =,, が,PD の最適解であるための必要十分条件は, が成立することである.,, 0,, 0 a b c a,, 0,,.. a. b a s t c P,, 0,,... c a s t b D 証明略
32 双対理論からの解法の考察 ~ 全てを満たす =,,, =,, が 主 双対 最適解 対称型の 主 双対線形計画問題を解くことは a a b b c a,,,,,, c a 0 0,, を満たす =,,, =,, を見つけること. 0,,,, 主実行可能条件双対実行可能条件 相補性条件 0,, 主 単体法 sple ethod 双対単体法 dual sple ethod 主双対 内点法 pral-dual IPM, を満たしつつ, の成立で終了, を満たしつつ, の成立で終了, を満たしつつ, の成立で終了 注 : 反復中, を満たさないなどバリエーションがある
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mi max regret l m ( ) ! Aissi, H., Bazga, C., & Vaderpoote, D. (2009). Mi max ad mi max regret versios of combiatorial optimizatio problems: A survey. Europea joural of operatioal research, 197(2), 427-438.!
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新たな基礎年金制度の構築に向けて
[ ] 1 1 4 60 1 ( 1 ) 1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 1 2 1 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1996 1 3 4.3(2) 1997 1 65 1 1 2 1/3 ( )2/3 1 1/3 ( ) 1 1 2 3 2 4 6 2.1 1 2 1 ( ) 13 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 60 1 1 2.2 (1) (3) ( 9
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正則化学習法における最適化手法 鈴木大慈東京大学情報理工学系研究科数理情報学専攻 2013/2/18@ 九州大学伊都キャンパス文部科学省委託事業数学協働プログラム 最適化ワークショップ : 拡がっていく最適化 1 高次元データ スパース正則化学習法 最適化手法 proximal point algorithm 確率最適化手法 2 問題設定スパース正則化学習 3 高次元線形判別 物体認識 音声認識 自然言語処理
<4D F736F F D208CF68BA48C6F8DCF8A C30342C CFA90B68C6F8DCF8A7782CC8AEE967B92E8979D32288F4390B394C529332E646F63>
2. 厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 2 203 年 4 月 7 日 ( 水曜 3 限 )/8 本章では 純粋交換経済において厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 が成立することを示す なお より一般的な生産技術のケースについては 4.5 補論 2 で議論する 2. 予算集合と最適消費点 ( 完全 ) 競争市場で達成される資源配分がパレート効率的であることを示すための準備として 個人の最適化行動を検討する
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製品競争下での インストア広告サービスの 戦略的効果 慶應義塾大学大学院松林研究室 M2 小林春輝 目次 1. はじめに 2. モデルの定式化 3. 分析 考察 4. 結論 はじめに ICT の著しい発展 多様な消費者ニーズを把握しやすくなり 製品開発に活用 メーカー企業に製品ラインナップを拡大させるインセンティブを与え熾烈な品揃え競争 市場に存在する過剰な製品数 はじめに このメーカー内のそれぞれの製品を比較検討
ＯＲ学会チュートリアル はじめよう整数計画
OR 学会春季研究発表会チュートリアル 数理計画法 (RAMP) 研究部会企画 はじめよう整数計画法 藤江哲也 兵庫県立大学大学院経営研究科 04 年 3 月 7 日 ( 金 ) 大阪大学豊中キャンパス OR 学会誌 0 年 4 月号 本チュートリアルの目指すところ はじめてコース 初級コース 初中級コース 中級コース 上級コース 初めてラケットを持つ方のコースです 簡単なルールやマナーなども覚えます
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m u. 固有値とその応用 8/7/( 水 ). 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 行列による写像から固有ベクトルへ m m 行列 によって線形写像 f : R R が表せることを見てきた ここでは 次元平面の行列による写像を調べる とし 写像 f : を考える R R まず 単位ベクトルの像 u y y f : R R u u, u この事から 線形写像の性質を用いると 次の格子上の点全ての写像先が求まる
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第 3 章 フーリエ変換 3.1 フーリエ積分とフーリエ変換 第 章では 周期を持つ関数のフーリエ級数について学びました この章では 最初に 周期を持つ関数のフーリエ級数を拡張し 周期を持たない ( 一般的な ) 関数のフーリエ級数を導きましょう 具体的には 関数 f(x) を区間 L x L で考え この L を限りなく大きくするというアプローチを取ります (L ) なお ここで扱う関数 f(x)
2015年度 信州大・医系数学
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ 軸と共有点をもつための a, b, c が満 たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および 軸とで囲まれた部
オートマトン 形式言語及び演習 3. 正規表現 酒井正彦 正規表現とは 正規表現 ( 正則表現, Regular Expression) オートマトン : 言語を定義する機械正規表現 : 言語
オートマトン 形式言語及び演習 3. 酒井正彦 www.trs.css.i.nagoya-u.ac.jp/~sakai/lecture/automata/ とは ( 正則表現, Regular Expression) オートマトン : 言語を定義する機械 : 言語を記号列で定義 - 記述しやすい ( ユーザフレンドリ ) 例 :01 + 10 - UNIX の grep コマンド - UNIX の
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 富山富山県立大学中川慎二
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 勉強会 @ 富山富山県立大学中川慎二 * OpenFOAM のソースコードでは, 基礎式を偏微分方程式の形で記述する.OpenFOAM 内部では, 有限体積法を使ってこの微分方程式を解いている. どのようにして, 有限体積法に基づく離散化が実現されているのか,
,798 14, kg ,560 10, kg ,650 2, kg ,400 19, kg ,
/ HS / TEL FAX 2007 1 18,000 9,540.00 0.53 kg 2007 1 99,000 38,518.00 0.39 kg 2007 1 30,200 11,778.00 0.39 kg 2007 1 15,000 5,565.00 0.37 kg 2007 1 21,000 7,400.00 0.35 kg 2007 1 40,000 20,579.00 0.51
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0. 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 2 行列による写像から固有ベクトルへ m n A : m n n m 行列によって線形写像 f R R A が表せることを見てきた ここでは 2 次元平面の行列による写像を調べる 2 = 2 A 2 2 とし 写像 まず 単位ベクトルの像を求める u 2 x = v 2 y f : R A R を考える u 2 2 u, 2 2 0 = = v 2 0
微分方程式補足.moc
Bernoulli( ベルヌーイ ) の微分方程式 ' + P( ) = Q() n ( n 0,) 微分方程式の形の補足 ( 階 ) 注意 : n =0 のときは 階線形微分方程式 n = のときは変数分離形となる 解法 : z = -n とおいて関数 z の微分方程式を解く z' =( - n) -n ' よりこれを元の微分方程 式に代入する - n z' + P() = Q() n 両辺を n
ネットワークフローとその代表的な問題
ネットワークフローと その代表的な問題 金子紘也 ( 日本電気株式会社情報ナレッジ研 ) Internet Week 2013 S8 SDN 時代を生き抜く為のグラフ理論とネットワークのアルゴリズム入門 ネットワークフローとは? フロー最適化 最大フロー 線形計画法による解法 多品種フロー問題 Max-min fairness まとめ 01 02 03 04 05 06 ネットワークフローとは? フロー最適化
1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 =
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (.8 より ˆ ( ( ( q -, ( ( c ( H c c ë é ù û - Ü + c ( ( - に限る (. である 一方 フェルミ型は 成分をもち その成分を,,,,
Microsoft PowerPoint - 09意思決定科学6_AHP.pptx
// 意思決定科学 階層化意思決定法 Alytc Herrchy Process 情報学部 堀田敬介 年 月 日,Tue. Cotets はじめに AHPの基礎 意思決定の特徴 階層構造 一対比較 一対比較の見直し グループAHP 不完全一対比較 評価基準の独立性 AHPからANPへ はじめに 幾つかのものを比べたい JR 系電子マネーのキャラクター 図出展 :JR 北海道,JR 東日本,JR 東海,JR
家庭系パソコンの回収再資源化にかかる論点
1 134 1212 134 2 1 137 1212 (1) 12 12,102 40.2 4,865 2-1 12 21,497 2-2 50.1 2-3 1 kg 2 12 2-1 13 12% 2-1 (2) 2-2 4 4 7 2-3 4 (3) 13.8 2-4 46 10 80 3 3 4 3 2-5, 2-6 13 9 2-7 18 2 2 8 5,000 30 25% 25 2 2
OCW-iダランベールの原理
講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す
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// データ構造とアルゴリズム IⅠ 第 回単一始点最短路 (II)/ 全点対最短路 トポロジカル ソート順による緩和 トポロジカル ソート順に緩和 閉路のない有向グラフ限定 閉路がないならトポロジカル ソート順に緩和するのがベルマン フォードより速い Θ(V + E) 方針 グラフをトポロジカル ソートして頂点に線形順序を与える ソート順に頂点を選び, その頂点の出辺を緩和する 各頂点は一回だけ選択される
経済数学演習問題 2018 年 5 月 29 日 I a, b, c R n に対して a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( a, b) + 2( b, c) + 2( a, c) が成立することを示しましょう.( 線型代数学 教科書 13 ページ 演習 1.17)
経済数学演習問題 8 年 月 9 日 I a, b, c R n に対して a + b + c a + b + c + a, b + b, c + a, c が成立することを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.7 II a R n がすべての x R n に対して垂直, すなわち a, x x R n が成立するとします. このとき a となることを示しましょう. 線型代数学 教科書
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magio 1 magio g g g g gg g gg g 2 g g g g g g 3 4 g g g g g g g g g g g 5 g g g g g g g g g 6 g g g g g g g g 7 g g g g g 8 g imagio MP 6000 T.38 imagio MP 6000 g g g imagio MP 6000 9 g g g g g 10 g gg
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. カーネル法への招待 正定値カーネルによるデータ解析 - カーネル法の基礎と展開 - 福水健次統計数理研究所 / 総合研究大学院大学 統計数理研究所公開講座 0 年 月 34 日 概要 カーネル法の基本 線形データ解析と非線形データ解析 カーネル法の原理 カーネル法の つの例 カーネル主成分分析 : PCA の非線形拡張 リッジ回帰とそのカーネル化 概要 カーネル法の基本 線形データ解析と非線形データ解析
航空機の運動方程式
可制御性 可観測性. 可制御性システムの状態を, 適切な操作によって, 有限時間内に, 任意の状態から別の任意の状態に移動させることができるか否かという特性を可制御性という. 可制御性を有するシステムに対し, システムは可制御である, 可制御なシステム という言い方をする. 状態方程式, 出力方程式が以下で表されるn 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム x Ax u y x Du () に対し,
データ解析
データ解析 ( 前期 ) 最小二乗法 向井厚志 005 年度テキスト 0 データ解析 - 最小二乗法 - 目次 第 回 Σ の計算 第 回ヒストグラム 第 3 回平均と標準偏差 6 第 回誤差の伝播 8 第 5 回正規分布 0 第 6 回最尤性原理 第 7 回正規分布の 分布の幅 第 8 回最小二乗法 6 第 9 回最小二乗法の練習 8 第 0 回最小二乗法の推定誤差 0 第 回推定誤差の計算 第
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付録 2 2 次元アフィン変換 直交変換 たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換 座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換が と書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換 と 0 次の項による変換 アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えて とすれば このようなもの 2 次元ベクトルの線形写像
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9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 行列演算と写像 ( 次変換 3 拡大とスカラー倍 p ' = ( ', ' = ( k, kk p = (, k 倍 k 倍 拡大後 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる ' = k ' 拡大前 拡大 4 拡大と行列の積 p ' = ( ', '
課題７：株価データの分析
1 Excel による経済 経営分野の情報処理 Ⅴ 線形計画問題 1. 線形計画問題とは 私たちは何かをしようとするとき, しばしば事前にその計画を立てます とくに, 企業や政府などの大きな組織においては, 実際の業務の実行に先だって, 適切な計画を立てたり, そのためのシステムを設計したりすることがきわめて重要です こうした計画は, 通常難しい問題を含んでいますが, これらの一部は, 最適化問題として定式化し計算によって解を求めることができます
9 ZIMPL 言語と SCIP による数理最適化 Mathematical Optimization with ZIMPL and SCIP ネットワーク情報学部 School of Network and Information 高野祐一 Yuichi TAKANO Keywords : Mat
9 ZIMPL 言語と SCIP による数理最適化 Mathematical Optimization with ZIMPL and SCIP ネットワーク情報学部 School of Network and Information 高野祐一 Yuichi TAKANO Keywords : Mathematical optimization, Software, Modeling language,
3-category
3-category alg-d http://alg-d.com/math/kan_extension/ 2018 年 8 月 29 日 次元がもう一つ上がり,2-morphism の間の射も存在するのが 3-category である. 即ち定義. (at-at)- 豊穣圏を strict 3-category という. 3-category の場合も weak バージョンがあり, それを tricategory
リードタイムが変動する在庫管理モデルの安定性解析 西平 w(k)= u(k-l(k)) ( 2 ) となる このモデルに対して, メモリーレスフィードバック u(k)= Kx(k) (3) を施すことを考える また, 本稿では内部安定性を考えるため, 外生信号 d(k)= 0とすると, システム (
山形大学人文学部研究年報第 14 号 (2017.2)125-130 研究ノートリードタイムが変動する在庫管理モデルの安定性解析 スイッチドシステムとしての考察 山形大学人文学部法経政策学科 西平直史 1. はじめに 在庫管理問題において, リードタイムの存在がしばしば問題を難しくすることがある リードタイムとは, 供給が必要になった時点と実際に供給が行われる時点との差であり, 生産活動や輸送活動などに要する時間のことである
<4D F736F F F696E74202D20837E834E838D2D91E682618FCD EF97708DC58FAC89BB96E291E E B8CDD8AB B836
B.3 費用最小化問題 生産要素価格 生産量所与生産量所与 生産費用を最小化する生産要素投入量の決定 利潤最大化問題より まずは費用最小化問題 1 利潤最大化の必要条件 2 利潤最大化問題 = 生産財価格の受容者としての 利潤最大化問題 収穫一定 規模の経済の下で不適 1 B.3.1. 生産費用の概念 定義 B.26 固定費用 -fied cost 生産計画期間中に投入量変更不可な生産要素費用 1
Information Theory
前回の復習 講義の概要 chapter 1: 情報を測る... エントロピーの定義 確率変数 X の ( 一次 ) エントロピー M H 1 (X) = p i log 2 p i (bit) i=1 M は実現値の個数,p i は i 番目の実現値が取られる確率 実現値 確率 表 裏 0.5 0.5 H 1 X = 0.5 log 2 0.5 0.5log 2 0.5 = 1bit 1 練習問題の解答
線形代数とは
線形代数とは 第一回ベクトル 教科書 エクササイズ線形代数 立花俊一 成田清正著 共立出版 必要最低限のことに限る 得意な人には物足りないかもしれません 線形代数とは何をするもの? 線形関係 y 直線 yもも 次式で登場する (( 次の形 ) 線形 ただし 次元の話世の中は 3 次元 [4[ 次元 ] 次元 3 次元 4 次元 はどうやって直線を表すの? ベクトルや行列の概念 y A ベクトルを使うと
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ISSN 1343-3997 No.07-08 Excel による経済 経営分野の情報処理 Ⅴ 線形計画問題 2007 年 12 月 10 日作成 2010 年 5 月 12 日修正 目 次 1. はじめに 線形計画問題とは 2. 簡単な線形計画問題 3. やや複雑な線形計画問題 4. おわりに参考文献練習問題 Faculty of Economics, Wakayama University (
Information Theory
前回の復習 情報をコンパクトに表現するための符号化方式を考える 情報源符号化における基礎的な性質 一意復号可能性 瞬時復号可能性 クラフトの不等式 2 l 1 + + 2 l M 1 ハフマン符号の構成法 (2 元符号の場合 ) D. Huffman 1 前回の練習問題 : ハフマン符号 符号木を再帰的に構成し, 符号を作る A B C D E F 確率 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
( 前半 ) 目次 1. 辞書学習の導入と先行研究の紹介. 辞書学習の応用事例 3. 辞書学習のサンプル複雑度とは ( 後半 ) 4. 既存の辞書学習のアルゴリズム 5.Bayes 推定を用いた辞書学習のアルゴリズム /53
スパース表現を探す - 辞書学習におけるサンプル複雑度と アルゴリズム - 坂田綾香 A, 樺島祥介 B A 統計数理研究所, B 東京工業大学 1/53 ( 前半 ) 目次 1. 辞書学習の導入と先行研究の紹介. 辞書学習の応用事例 3. 辞書学習のサンプル複雑度とは ( 後半 ) 4. 既存の辞書学習のアルゴリズム 5.Bayes 推定を用いた辞書学習のアルゴリズム /53 ( 前半 ) 目次
JSMECM教育認定
一般社団法人日本機械学会 018/09/6 計算力学技術者 級問題集 ( 固体力学分野 )018 年度版 ( 第 9 版 3 刷 ) P 項目誤正 175 問 -6/ 上 8 行 1 1 sin cos sin cos rs y y xy rs y x xy i 計算力学技術者 級 ( 固体力学分野の有限要素法解析技術者 ) の認定の範囲 認定技術者の技術レベル本認定を取得した技術者は, 基本的な固体力学の問題に対して,
厚生の測度
公共経済学 消費者行動の理論 消費者 ( 家計 ) 行動 消費者の行動の特徴 消費可能集合 ( 予算制約 ) 選好 効用 選択 需要 顕示選好 2 消費者の行動の特徴 経済主体企業 家計 ( 政府 ) 家計 価格 資本 労働 株式 賃料 賃金 配当 財 サービス市場 需要 家計 = 価格受容者 (rce taker) 供給 家計の所得 企業 数量 3 消費可能集合 () 家計が直面する制約 予算制約
調和系工学 ゲーム理論編
ゲーム理論第三部 知的都市基盤工学 5 月 30 日 ( 水 5 限 (6:30~8:0 再掲 : 囚人のジレンマ 囚人のジレンマの利得行列 協調 (Cooperte:C プレイヤー 裏切 (Deect:D ( 協調 = 黙秘 裏切 = 自白 プレイヤー C 3,3 4, D,4, 右がプレイヤー の利得左がプレイヤー の利得 ナッシュ均衡点 プレイヤーの合理的な意思決定の結果 (C,C はナッシュ均衡ではない
Microsoft Word - 素粒子物理学Ｉ.doc
6. 自発的対称性の破れとヒッグス機構 : 素粒子の標準模型 Dc 方程式.5 を導くラグランジアンは ϕ ϕ mϕϕ 6. である [H] Eu-nn 方程式 を使って 6. のラグランジア ンから Dc 方程式が導かれることを示せ 6. ゲージ対称性 6.. U 対称性 :QED ディラック粒子の複素場 ψに対する位相変換 ϕ ϕ 6. に対して ラグランジアンが不変であることを要請する これは簡単に示せる
2010年度 筑波大・理系数学
00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ -- 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0
2016年度 京都大・文系数学
06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面内の領域の面積を求めよ x + y, x で, 曲線 C : y= x + x -xの上側にある部分 -- 06 京都大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ ボタンを押すと あたり か はずれ のいずれかが表示される装置がある あたり の表示される確率は毎回同じであるとする この装置のボタンを 0 回押したとき,
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最適レギュレータ 松尾研究室資料 第 最適レギュレータ 節時不変型無限時間最適レギュレータ 状態フィードバックの可能な場合の無限時間問題における最適レギュレータについて確定系について説明する. ここで, レギュレータとは状態量をゼロにするようなコントローラのことである. なぜ, 無限時間問題のみを述べるかという理由は以下のとおりである. 有限時間の最適レギュレータ問題の場合の最適フィードバックゲインは微分方程式の解から構成される時間関数として表現される.
2011年度 筑波大・理系数学
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ
2 4 証券ポートフォリオ 2 証券の 2 銘柄のポートフォリオを作成するとき リスクとリターンはどのように変化するか説明しなさい なお 相関係数が 正 0 負の場合に分けて説明すること また 具体例をあげて説明しなさい (1) 正規分布とは何か説明しなさい (2) 偏差値とは何か説明しなさい (3
商業数学 後藤 晃範 科目番号 1009 配当学期単位クラス研究室 通年 4 000 5 号館 08-03 号室 学修テーマ 経営の意思決定のための数理的手法 学修概要 現実の経済現象を写像し数式化することがモデル化であり これを数理的な手法を用いて解き その解を現実に即して解釈することで われわれは複雑な現実の経済や会計現象の本質を捉えようとしている 他にも 現実の社会では 商行為を行うにあたり
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9/7/8( 水 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 拡大とスカラー倍 行列演算と写像 ( 次変換 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる p = (, ' = k ' 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 拡大 4 拡大と行列の積 拡大後 k 倍
2017年度 信州大・医系数学
7 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の点 O(, ), A ( a, a ), B( b, b ), C( b, b) を考える さらに,, に対し, D( acos asi, asi + acos ), E( bcos bsi, bsi + bcos ) とおく () OA = OD を示せ () OA OC = かつ OA OB = OD OE ¹ であるとする
曲線 = f () は を媒介変数とする自然な媒介変数表示 =,= f () をもつので, これを利用して説明する 以下,f () は定義域で連続であると仮定する 例えば, 直線 =c が曲線 = f () の漸近線になるとする 曲線 = f () 上の点 P(,f ()) が直線 =c に近づくこ
伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 漸近線の求め方に関する考察 たまい玉井 かつき克樹 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊. 漸近線についての生徒からの質問 数学において図を使って直感的な説明を与えることは, 理解を深めるのに大いに役立つ
Microsoft PowerPoint - NA03-09black.ppt
きょうの講義 数値 記号処理 2003.2.6 櫻井彰人 NumSymbol@soft.ae.keo.ac.jp http://www.sakura.comp.ae.keo.ac.jp/ 数値計算手法の定石 多項式近似 ( 復習 )» 誤差と手間の解析も 漸化式» 非線型方程式の求解 数値演算上の誤差 数値計算上の誤差 打ち切り誤差 (truncaton error)» 使う公式を有限項で打ち切る
応用数学A
応用数学 A 米田 戸倉川月 7 限 1930~2100 西 5-109 V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z FdV = V e x e y e z F = = 2e z 2e z dv = 2e z 3 23 = 64π 3 e z y x z 4π V n Fd = 1 F nd 2 F nd 法線ベクトル n g x,
Microsoft PowerPoint - H21生物計算化学２.ppt
演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A
数学 IB まとめ ( 教科書とノートの復習 ) IB ということで計算に関する話題中心にまとめました 理論を知りたい方はのみっちー IA のシケプリを参考にするとよいと思います 河澄教授いわく テストはまんべんなく出すらしいです でも 重積分 ( 特に変数変換使うもの ) 線積分とグリーンの定理は
数学 IB まとめ ( 教科書とノートの復習 ) IB ということで計算に関する話題中心にまとめました 理論を知りたい方はのみっちー IA のシケプリを参考にするとよいと思います 河澄教授いわく テストはまんべんなく出すらしいです でも 重積分 ( 特に変数変換使うもの ) 線積分とグリーンの定理はほぼ間違いなく出ると思うんで 時間がない人はこのあたりに絞ってやるとよいと思います 多分 前にも書きましたが
Microsoft Word - 5章摂動法.doc
5 章摂動法 ( 次の Moller-Plesset (MP) 法のために ) // 水素原子など 電子系を除いては 原子系の Schrödiger 方程式を解析的に解くことはできない 分子系の Schrödiger 方程式の正確な数値解を求めることも困難である そこで Hartree-Fock(H-F) 法を導入した H-F 法は Schrödiger 方程式が与える全エネルギーの 99% を再現することができる優れた近似方法である
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グラフの禁止構造条件について 古谷倫貴 ( 北里大学一般教育部 ) 話の流れ 1. 禁止部分グラフ a. 問題設定 b. ハミルトン閉路のための禁止部分グラフ c. 完全マッチングのための禁止部分グラフ d. 禁止部分グラフ条件の完全決定の難易 2. 自明な禁止部分グラフ条件 3. 禁止部分グラフ条件の比較 問題設定 グラフのある性質 P について,P のための ( 十分 ) 条件として良いものを考えたい.
OS Windows Vista Windows XP PowerPoint2003 Word2003 (a Test No. OS 1 Windows Vista PPT2003 2 Windows Vista Word2003 3 Windows XP PPT2003 4 Windows XP
C ommunication In embedded softwares, designing a test process that considers how to perform tests in an efficient way, has been an important problem in a whole development process. By the software test,
2014年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G
2018年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(
Matrix and summation convention Kronecker delta δ ij 1 = 0 ( i = j) ( i j) permutation symbol e ijk = (even permutation) (odd permutation) (othe
Matr ad summato covto Krockr dlta δ ( ) ( ) prmutato symbol k (v prmutato) (odd prmutato) (othrs) gvalu dtrmat dt 6 k rst r s kt opyrght s rsrvd. No part of ths documt may b rproducd for proft. 行列 行 正方行列
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論理回路 第 回論理回路の数学的基本 - ブール代数 http://www.info.kindai.ac.jp/lc 38 号館 4 階 N-4 内線 5459 takasi-i@info.kindai.ac.jp 本科目の内容 電子計算機 computer の構成 ソフトウェア 複数のプログラムの組み合わせ オペレーティングシステム アプリケーション等 ハードウェア 複数の回路 circuit の組み合わせ
特殊なケースでの定式化技法
特殊なケースでの定式化技法 株式会社数理システム. はじめに 本稿は, 特殊な数理計画問題を線形計画問題 (Lear Programmg:LP) ないしは混合整数計画問題 (Med Ieger Programmg:MIP) に置き換える為の, 幾つかの代表的な手法についてまとめたものである. 具体的には以下の話題を扱った. LP による定式化 絶対値最小化問題 最大値最小化問題 ノルム最小化問題 MIP
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電気通信大学 3. 命題論理 植野真臣 情報数理工学コース 本授業の構成 10 月 8 日 : 第 1 回命題と証明 10 月 15 日 : 第 2 回集合の基礎 全称記号 存在記号 10 月 22 日 : 第 3 回命題論理 10 月 29 日 : 第 4 回述語論理 11 月 5 日 : 第 5 回述語と集合 11 月 12 日 : 第 6 回直積と冪集合 11 月 19 日 : 第 7 回様々な証明法
2014年度 信州大・医系数学
4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 3 個の玉が横に 列に並んでいる コインを 回投げて, それが表であれば, そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える また, それが裏であれば, そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える この操作を繰り返す () 最初に中央にあったものが 回後に中央にある確率を求めよ () 最初に右端にあったものが 回後に右端にある確率を求めよ
今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未
力学 III GA 工業力学演習 X5 解析力学 5X 5 週目 立命館大学機械システム系 8 年度後期 今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未定乗数法
非線形最適化のアルゴリズムとソフトウエア
数理計画の実務と 半正定値対称行列 田辺隆人 anabe@msi.co.p nuop-info@msi.co.p ( 株 )NTT データ数理システム 数理計画法アルゴリズム 線形計画法 ( 単体法 内点法 ) 二次計画法 ( 有効制約法 内点法 ) 非線形計画法 ( 逐次二次計画法, 内点法 ) 非線形半正定値計画 ( 内点法 ) 線形混合整数計画法 ( 分枝限定法 ) 混合整数二次計画法 ( 分枝限定法
2002.N.x.h.L.......g9/20
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 8 9 1 11 11 12 13 k 14 l 16 m 17 n 18 o 19 k 2 l 2 m 21 n 21 o 22 p 23 q 23 r 24 24 25 26 27 28 k 28 l 29 m 29 3 31 34 42 44 1, 8, 6, 4, 2, 1,2 1, 8 6 4 2 1, 8, 6, 4, 2, 1,2 1, 8
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Johnon のアルゴリズム データ構造とアルゴリズム IⅠ 第 回最大フロー 疎なグラフ, 例えば E O( V lg V ) が仮定できる場合に向いている 隣接リスト表現を仮定する. 実行時間は O( V lg V + V E ). 上記の仮定の下で,Floyd-Warhall アルゴリズムよりも漸近的に高速 Johnon のアルゴリズム : アイデア (I) 辺重みが全部非負なら,Dikra
【】 1次関数の意味
FdText 数学 1 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 直線と角 解答欄に次のものを書き入れよ 1 直線 AB 2 線分 AB 1 2 1 2 右図のように,3 点 A,B,Cがあるとき, 次の図形を書き入れよ 1 直線 AC 2 線分 BC - 1 - 次の図で a, b, c で示された角を A,B,C,D の文字を使って表せ a : b : c :
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本日の内容 繰り返し計算 while 文, for 文 例題 1. 最大公約数の計算例題 2. 自然数の和 while 文例題 3. フィボナッチ数列例題 4. 自然数の和 for 文例題 5. 九九の表繰り返しの入れ子 今日の到達目標 繰り返し (while 文, for 文 ) を使って, 繰り返し計算を行えるようになること ループカウンタとして, 整数の変数を使うこと 今回も, 見やすいプログラムを書くために,
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通信路 (7 章 ) 通信路のモデル 情報 送信者 通信路 受信者 A a,, a b,, b B m = P( b ),, P( b m ) 外乱 ( 雑音 ) n = P( a,, P( a ) n ) 送信情報源 ( 送信アルファベットと生成確率 ) 受信情報源 ( 受信アルファベッと受信確率 ) でもよい 生成確率 ) 受信確率 ) m n 2 イメージ 外乱 ( 雑音 ) により記号 a