2.6 全微分 重積分 置換積分 ヤコビアン全微分筆者は 全微分をあまり正確には理解していないと自覚しています いくつかの公式は知っていますし それを使うことも出来るのですが 上手ではありません 多次元の時に 具体的なイメージが浮かばないのです ましてや 数学的な証明になるとまったく自信がありません

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1 .6 全微分 重積分 置換積分 ヤコビアン全微分筆者は 全微分をあまり正確には理解していないと自覚しています いくつかの公式は知っていますし それを使うことも出来るのですが 上手ではありません 多次元の時に 具体的なイメージが浮かばないのです ましてや 数学的な証明になるとまったく自信がありません 例によって 大雑把にでも 何の話か理解するために 最も簡単な例から考えます 関数が 変数のみで表されている時には 普通の微分も全微分も違いがありません (xx) と書いても良いし 偏微分の記号を使って (xx) = lim ff(xx + Δxx) ff(xx) Δx Δxx = lim ff(xx + Δxx) ff(xx) Δxx Δxx と書いても 実際 何の違いもありません 意味が違ってくるのはff(xx, yy) のように 関数が複数の変数の関数の時です (xx,yy) と (xx,yy) では明らかに意味が違います (xx, yy) ff(xx + Δxx, yy) ff(xx, yy) = lim Δxx Δxx この式は 関数の中に含まれるyyをxxとは独立した 定数のように取り扱って xxで微分するという意味です (xx, yy) の方に どんな意味があるのかと問われると このままでは返答のしようがないのですが たとえば yy = gg(xx) のように yがxxの関数ならば (xx, gg(xx)) = lim Δxx h(xx + Δxx) h(xx, yy) Δxx のように 変数 xxの関数になってしまうから 意味があります しかし yy = gg(xx) で無い場合に この式の意味を問われても 私には返答ができません 全微分も微分なので ある曲面の接線の傾きを考えているのですが 変数ではありませんから 接線というよりは接平面を考えていると捉えたほうが良いでしょう 接線の傾きを考えるよりも x 方向 y 方向に傾きを持った面が 全体としてどんな傾きをもっているか 逆に x 方向 とy 方向にそれぞれ微小分動いたときに その曲面がどのくらい変化するかを考えることだと言ったほうが理解しやすいかもしれません

2 具体的に図に書くと次のようなことです ff(xx, yy) yy Δxx 図 48 全微分の空間的な意味 3 次元空間に ff(xx, yy) があって この場合はff(,) を起点として考えていますが x 方向と y 方向に同時にΔxx Δyy 移動したときに ff(xx, yy) の増加分 Δff(xx, yy) はどのようになるかということです この同時に動かすというのが問題で 小学校以来 計算は丁寧に順番にやるように習っています 同時に動かせるはずがありません この図からも明らかなように 平面という特殊な場合を除くと xxを先に動かすかyyを先に動かすかで 結果は違うでしょう そこで 微分の時にいつも出てくる考え方ですが Δxx Δyyが限りなく小さくなれば 近似的に平面だと考えます これを式で表すと Δff(xx, yy) = lim ff(xx + Δxx, yy + Δyy) ff(xx, yy) Δxx ですが ff(xx, yy + Δyy) + ff(xx, yy + Δyy) を右辺に書き加えて Δff(xx, yy) = lim ff(xx + Δxx, yy + Δyy) ff(xx, yy + Δyy) + ff(xx, yy + Δyy) ff(xx, yy) Δxx,Δyy = lim Δxx,Δyy + Δxx, yy + Δyy) ff(xx, yy + Δyy) ff(xx Δxx + Δxx ff(xx + Δxx, yy) ff(xx, yy) = lim Δxx Δxx Δxx + lim,δyy ff(xx, yy + Δyy) ff(xx, yy) Δyy Δyy ff(xx, yy + Δyy) ff(xx, yy) Δyy Δyy となります 途中 赤字で書いたところの変形 ff(xx + Δxx, yy + Δyy) ff(xx, yy + Δyy) = ff(xx + Δxx, yy) ff(xx, yy) については そんなことはないだろうというツッコミはありそうです しかし Δyyが無限に小さければ 近似的に等式が成り立つでしょう ということで 偏微分の定義で Δ を に書き換えて 微分の式らしくして ff(xx + Δxx, yy) ff(xx, yy) (xx, yy) lim = Δxx Δxx ff(xx, yy + Δyy) ff(xx, yy) (xx, yy) lim =,Δyy Δyy (xx, yy) = (xx, yy) + Δyy xx (xx, yy) Δff(xx, yy)

3 となります これが全微分の公式と言う名前の公式です もっと変数が増えても のようになります (xx, yy, zz) = (xx, yy, zz) + (xx, yy, zz) + (xx, yy, zz) 全微分というものを 式としてどうのように表すのか というのは ありそうな疑問で す 微分を習ったときに たとえば xx = ff(uu) という 変数で表されている関数を変数 uu で 微分する場合 (uu) あるいはと書くと習いました この場合は 変数なのだから 全微 分も = だから 全微分も偏微分も区別がありません しかし 次のような場合には 全微分と偏微分は明らかに違うものです 次のような 変換を考えます 関数と言ってもよいでしょう xx = AAAA 太字で書いたのは このそれぞれが ベクトルないし行列だということです きちんと書けば ということです を考えます もともとの変換式を xx について書けば となります 全微分の公式に従えば ですから xx aa aa aa nn uu xx aa aa aa nn uu = xx nn aa nn aa nn aa nnnn uu nn xx = aa uu + aa uu + + aa nn aa nn xx = xx uu uu + xx uu uu + + xx uu nn uu xx xx xx uu uu xx xx = uu uu nn xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn nn uu nn と書けます この場合は たまたま 線形になっているので

4 xx uu = aa, xx uu = aa, xx ii uu jj = aa iiii,, xx nn uu nn = aa nnnn ですから xx xx uu uu xx xx uu uu xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx aa aa aa nn aa uu nn aa aa nn = = AA xx aa nn aa nn aa nnnn nn uu nn です だから とかけますけれど これは特殊な例です = AA 重積分の考え方分散分析のところで 二項分布から正規分布の確率密度の分布の式を求めるときに 畳み込み法と 重積分について触れたのですが 重積分を取り上げて独立して数学的な説明まではしませんでした 具体的にどういう計算をしているのかは分かったと思うのですが それでも いきなり 積分記号がいくつも重なった重積分で書かれた式を見ると 何を書いているのかとっさに意味が解らずに 腰が引けてしまいます 式は何やら恐ろしげなのですが 多くの場合 式の意味するところはそんなに難しいことではありません そこで 例によって あまり数学的ではないけれど 感覚的にこんなものだという解析をします 始めにやるのは 重積分で書かれていない 普通の積分だって 重積分的に解釈することができるということです これまた例によって 馬鹿馬鹿しいほど簡単なことから考えます 筆者は高等数学を学んだことがないから 簡単なことから考えていかざるを得ないのです 不自由なものです 数学ができる人がうらやましい と言う式です 簡単すぎてかえって意味が解りませんか 雑念なく積分の定義通りに理解すれば十分です xxという変数があって それを小さな部分に分けて作った Δxxをたしあわせる (integrate する ) と言う意味です どこからどこまでたしあわせるのかがこの式ではわかりません たしあわせる範囲が決まっていないということで これは不定積分という形です これまた さらに簡単すぎて具体的に考えると意味が解りませんが

5 = ですから ( この式の意味はxxをxxで微分すればであるということです ) をで積分すればxxです 当たり前のことを 何でわざわざ繰り返して説明しているのかと言われそうですが もう少し付き合ってください ということで この不定積分の答えは = xx + CC ですね CCはxxの積分範囲が決まっていないので どこからたしあわせるかわからないので どこからたしあわせても良いように 定数 CCを付け加えておくということで これを積分定数と呼びます xxの積分範囲をaa xx bbと決めておけば これは定積分になって bb aa = [xx] aa bb = bb aa となります この計算を積分記号を使わないでそのまま表すと ということなのですが これを bb aa nn nn bb aa lim nn nn kk= = Δxxとして書きなおすと lim bb aa Δxx Δxx Δxx kk= aa か bb の直線を 細かく細分化して さらにそれを元通りにたしあわせれば その長さは bb aa に決まっています 人を馬鹿にするなと言われそうです これは 長さですから 幅を持っていません この積分に幅を持たせることを考えます 最初はごく微量の幅を持たせたいので xxと独立し直交している成分を y として Δyだけ幅を持たせます つまり 面積が ΔxxΔyの微小な長方形を考えて これをたしあわせて 面積を求めるということをしたいのです こういう考え方を式に表したのが という式です 微積分ではΔxxΔyの無限小のものをと表すという式の記述における約束やすでに納得されていると思います しかし 重積分の式は 不定積分でいったいどこからどこの範囲で積分するのかわかりません だから 微分式の逆関数として考えれば何らかの意味を考えられるかもしれませんが このままでは 何のことかわかりません そこで 積分する範囲を決めて 定積分とすれば 具体的な意味が発生します

6 D というのが積分範囲です この場合は x-y 平面なのだから aa xx bb, cc yy のよう に積分範囲 D を決めれば これで という式が 具体的な形の面積を意味するこ とになります ここでは aa, bb, cc, ですが もちろん これが範囲を表す ff(aa), ff(bb) のような 数式でもかまいません しかし まず わかりやすい 図 48. 面積と重積分図のような 長方形の面積を求める場合 D の範囲は xx bb, yy です これを計算するとき 普通 yy bb xx xx bb 図 49. 面積の計算手順のように 黄色で表した 微小な長方形の面積を求めて それをたしあわせる つまりxx 方向に積分するということをするでしょう これを重積分で表現すると bb = と言う計算になります bb = [yy] bb = ( ) = [] bb = (aaaa ) = aaaa つまり ff(y) = を y で積分して長さを出して その結果をに Δxx をかけて xx で積分するとい う計算です 小学校で習った長方形の面積は横の長さ 縦の長さだということを難しくいっただけなのです つまり 人間は頭の中で 普通に重積分をしているのです なんだか わかりきったことを言っているようですが でも 確かに重積分を解いているのです この例では yyはxx 独立していて 何の関係もないのですが これを発展させて

7 yy y=αxx + y=αxx bb xx 図 5 平行四辺形の面積と重積分のような平行四辺形について考えます 重積分の式そのものは変わりませんが 積分範囲が違います D の範囲は aa xx bb, αααα yy αααα + です ですから bb = αααα+ αααα bb = () bb = [yy] αααα αααα+ = [] bb = (aaaa ) = aaaa bb = (αααα + αααα) 平行四辺形の体積が底辺 高さだということは 小学校で習いました ですから 計算結果は当然 長方形の場合も平行四辺形の場合も同じです さらに発展させます yy y=βxx y=βxx βb y=αxx + y=αxx bb xx 図 5. 重積分の例 のようなときにどうするかです 全体は部分の総和ですから この場合は

8 yy A SS y=βxx y=βxx βb S 3 S B bb C y=αxx + y=αxx xx 図 5. 図 5 の計算手順 とつの3 角形 (S SS 3 ) とつの平行四辺形 (S ) の3つの部分に分けて計算して 3つをたしあわせればよいでしょう そうすると y=βxxと y=αxx + の交点 A y=βxx βb とy=αxx の交点 B y=αxx + と y=βxx βbの交点 C の座標が必要になります まず それぞれの連立方程式を解きます A について y=βxx y=αxx + を解いて, ββββ B についてを解いて C についてとなります それぞれの面積を計算します ββββ ββ αα, ββββ + ββ αα, y=βxx βb y=αxx y=βxx βb y=αxx + を解いて αααααα ββ αα αααα(bb + ) ββ αα

9 SS について D の範囲は xx SS = βxx = = αxx, αxx yy βxx だから βxx [yy] αxx = (ββ αα)xxxxxx = = (ββ αα) ( ββ αα () ) = (ββ αα) SS について D の範囲は ββββ xx, αxx yy αxx + だから SS = ββββ αxx+ = = ββββ αxx = () SS 3 について D の範囲は ββββ SS 3 = = となるので ββββ+ αxx+ ββββ = [xx] = = ββββ ββββ+ ββββ βxx βb ββββ [yy] αxx αxx+ = ββββ (ββ αα) [xx ] (αxx + αxx) ββββ = ( ββ αα (ββββ ) ) = ββ αα (ββ αα) ββββ+ xx, βxx βb yy αxx + だから ββββ+ ββββ = (α β)xx + + βb αxx+ [yy] βxx βb = ββββ+ ββββ ββββ+ (αxx + βxx + βb)xx = (ββ αα) [xx ] ββββ + ( + βb)[xx] ββββ = + (ββ αα) ββββ ββ αα ββββ ββ αα ββββ + + ( + βb) ββ αα + + βb) ββββββ + ( ββ αα ββ αα = ββββββ + ββββββ + = ββ αα SS = SS + SS + SS 3 = = (ββββ ) + (ββ αα) (ββ αα) + (ββ αα) (ββ αα) ( + ββββββ + ) = ββββββ (ββ αα) ββββ ββ αα ββββ+ = ββ αα ここで この計算結果が正しいことを確認しておきましょう 小学校で習った通りに 底辺かける高さで 平行四辺形の面積を計算します

10 yy y=βxx y=βxxy=αxx βb + H A S 3 C y=αxx S h SS O bb B xx 図 53. 図 5 の面積の重積分を使わない計算手順原点を O とすれば 底辺は OB で 高さは 原点から直線 y=αxx + に下した垂線 (yy = xx) と αα y = αxx + との交点 H と原点との距離 hです H は y=αxx + の連立方程式の解ですから yy = αα xx αxx + = αα xx xx = y = ( + αα ) ( + αα ) H = ( ( + αα ), ( + αα ) ) h = OH = ( + αα ) + ( + αα ) = ( + αα ) ( + αα ) = + αα OB = ββββ ββ αα + αααααα ββ αα = (ββββ) ( + αα ) (ββ αα) = ββββ + αα ββ αα h OB = ββββββ ββ αα 確かに間違いありません これで 式の意味は理解できたと思います しかしこれでは 重積分など使わなくても解ける簡単な問題を わざわざ難しくして解いているようです もう少し 実用的で役に立ちそうなことを考えてみましょう

11 重積分が魅力的な考え方だとわかる最初の例は 立体の体積を求める計算です zz C(,,) B(,,) yy O(,,) A(,,) xx 図 54. 三角錐の体積三角錐の体積は 底面積 高さだから に決まっているだろうと言われてしまえばそれ 3 6 までなのですが そういうことを知らないことにして考えます まず三角形 ABC の平面の式が問題になりますが x + y + z = であることは明らかでしょう ためしに三角形の頂点 A,B,C の座標を入れてみてください ちゃんと成り立っています 3 点で成り立てば 平面はの定義としては十分です つまり z = x y です 一つのやり方としては D の範囲 xx,, yy xx, zz xx yy という3 重積分だとして計算することが考えられます xx xx yy = xx = [zz] xx yy xx = ( xx yy) = ( xx)yy yy = ( xx)yy yy xx xx

12 = ( xx) ( xx) = (( xx) ) = 3 [( xx)3 ] = 6 となるのですが 3 行目の変形のところに注目してください は xx = ( xx yy) ( xx yy) D の範囲は xx,, yy xx という 重積分で表せます こういう問題は ( xx yy) という 重積分として解く方が普通ですたとえば n 個の変数で説明される確率変数 ( たとえば 個々の確率の積としてそれらの同時発生確率を計算する場合を考えてください ) があるとき 同時発生確率をff(xx, xx, xx nn ) のように表して ある範囲内で データが得られる確率を n 重積分で 下記の用の計算することができます 三角錐の計算例で ff(xx, xx, xx nn )xx xx xx nn と計算しようとするときには だと考えれば良いでしょう つまり ffx, yy, zz = xx xx xx nn で表されるn 次元空間の体積 (?) を直接計算しているのですが

13 ( xx yy) と計算するときは xx yy 平面上の D と言う平面図形の上の それぞれの点に ( xx yy) の 高さの柱が立っていて その高さの平面 D で積分しているのです 重積分がその威力を特に発揮するのは このff(xx, xx, xx nn ) の部分が複雑な形をしている場合で 積分を容易にするために しばしば 普通の積分 ( 編積分 ) でも良く出てきた置換積分を使います この置換積分が有効に使われるためには ヤコビアンという概念を導入する必要があります ヤコビアンは 統計検定 のところの 正規分布や t 分布を作る過程で 簡単に触れましたが もう一度 きちんと整理した話をしておきます ヤコビアン xx = AAAA について考えたいのですが 式が大きくなると考えにくいので n= の場合から考えます xx xx = aa aa aa aa uu uu uu uu = aa aa aa aa xx xx aa aa aa aa = aa aa aa aa aa aa aa aa この場合は n がだから この空間の最小の単位として単位平面を考えることができます ここで突然ですが A: (, ) uu C: (, ) O: (, ) B: (, ) 図 55. 単位面積という正方形の面積を考えます もちろん答えはです これを重積分的に解けば D の範囲を xx, xx として uu uu = uu duu = という書き方になります また 簡単なことを難しく表現しました 次に uu

14 xx A : (aa, aa ) C : (aa + aa, aa + aa ) O : (, ) 図 56. 変換と面積の拡大という平行四辺形の面積を考えます このひし形が 次の式による変換によって出来ていることは 理解できるでしょうか xx xx = aa aa aa aa uu uu B : (aa, aa ) xx わかりにくければ 次の計算を確認してください xx xx = aa aa aa = aa xx xx = aa aa aa aa = aa aa xx xx = aa aa aa aa = aa aa xx xx = aa aa aa aa = aa + aa aa + aa ここで 平行四辺形の面積と正方形の面積の比を考えます やり方はいろいろありそうなのですが あまり 面倒な計算はしたくありあません そこで 以前にやった計算の結果をそのまま使うことにします yy y=βxx y=βxx βb y=αxx + h H A SS O S S 3 B bb C xx y=αxx 図 57 ひし形の面積計算

15 平行四辺形 OBCA の面積は ββββββ A:, ββββ, B: ββββ, αααααα, C:ββββ+, αααα(bb+) と知っていますから, ββββ = (aa, aa ), ββββ, αααααα = (aa, aa ) として αα, ββ, bb, を解きます から つづいて から で さらに ββ αα = aa ββββ ββ αα = aa ββ = aa aa ββββ ββ αα = aa αααααα ββ αα = aa α = aa aa β α = aa aa aa aa = aa aa aa aa aa aa ββ αα = aa aa aa aa aa aa aa = aa = aa aa aa aa aa ββββ ββ αα = aa

16 bbaa aa aa aa aa aa aa aa = aa bb = aa aa aa aa aa ββββββ ββ αα = aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa = aa aa aa aa となります ですね aa aa aa aa = aa aa aa aa 以前 行列式とは その変換がもたらす大きさだと説明しました この計算でその実感が持てたでしょうか 極めて微小な正方形を考えます それを xx xx = aa aa aa aa uu uu という変換をしてできた図形の面積は 元の微小な正方形の aa aa aa aa 倍の面積になるとい うことです どんなに複雑な図形でも 微小な正方形が集まってできていると考えれば それを変換してできる図形の面積は 元の図形の面積の aa aa aa aa 倍の面積になるというこ とです これは次元が増えても同じで 微小な立方体を xx aa aa aa 3 uu xx = aa xx 3 aa 3 aa aa 3 aa 3 uu aa 33 uu 3 aa aa aa 3 で変換すると 変換された結果できた3 次元の空間の体積は 元の立方体のaa aa 3 aa aa 3 aa 3 aa 33 倍になるということであり 元の空間の形がどうであれ 変換されてできた空間の体積は aa aa aa 3 元の空間の体積のaa aa 3 aa aa 3 aa 3 倍になるということです 4 次元以上でも同じことが言え aa 33 ますが 日本語でどう表現したらよいのかわかりません 言いたいことはわかると思いま す つまり ならば xx aa aa aa nn uu xx aa aa aa nn uu = xx nn aa nn aa nn aa nnnn uu nn

17 aa aa aa nn aa aa aa nn xx xx xx nn = uu uu uu nn aa nn aa nn aa nnnn ということです ということは当然 微小な図形についてもいえて ならば Δxx aa aa aa nn Δuu Δxx aa aa aa nn Δuu = Δxx nn aa nn aa nn aa nnnn Δuu nn aa aa aa nn aa aa aa nn Δxx Δxx Δxx nn = Δuu Δuu Δuu nn aa nn aa nn aa nnnn です ところで 全微分に戻って考えると = xx xx uu uu xx xx uu uu xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn uu nn です つまり xx xx uu uu xx xx = uu uu nn xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn nn uu nn これは aa aa aa nn aa aa aa nn = nn aa nn aa nn aa nnnn nn と言う形になっています 単位になっている正方形を考えたときには φφ (uu, uu nn ) φφ xx = (uu, uu nn ) φφ nn (uu, uu nn ) と書いたときに φφ ii (uu, uu nn ) が 線形 ( 一次の多項式 ) になっているので

18 の全微分が xx aa aa aa nn uu xx aa aa aa nn uu = xx nn aa nn aa nn aa nnnn uu nn になりますが aa aa aa nn aa aa aa nn = nn aa nn aa nn aa nnnn nn φφ ii (uu, uu nn ) が線形でなくても 全微分の結果を 下記のように表せます xx xx uu uu xx xx = uu uu nn xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn nn uu nn 微小部分がこのような関係であれば これらを寄せ集めて出来た xx xx xx uu uu xx xx = uu uu nn xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn nn uu nn ならば aa aa aa nn aa aa aa nn nn = nn aa nn aa nn aa nnnn ということですが 無限に小さな単位の関係がこのようになるならば それらを集めでできた複雑な図形というか下記の式で与えられる何かのかたまりの大きさ は ff(xx, xx nn ) xx xx nn 積分記号の D はxxの積分範囲

19 ff(xx, xx nn ) xx xx nn φφ φφ uu uu nn = ff{φφ ii (uu, uu nn ), φφ nn (uu, uu nn )} φφ nn φφ uu uu nn uu nn uu nn で与えられるということです ( 積分記号の D は xx の積分範囲 : は uu の積分範囲 uu nn はヤコビアンと言う名前がついていて JJ φφ のように表します φφ nn φφ nn uu nn uu nn φφ φφ uu 整理して公式的に書けば のとき とすれば ff(xx, xx nn ) φφ (uu, uu nn ) φφ xx = (uu, uu nn ) φφ nn (uu, uu nn ) J φφ = φφ uu xx xx nn = ff{φφ ii (uu, uu nn ), φφ nn (uu, uu nn )} JJ φφ uu uu 式 77 となるということです 全微分 重積分 置換積分 ヤコビアンをまとめて説明すればこのようなことです 実は私たちは このことを小学校 中学校 高校の数学で繰り返し習っています ただ その時は 変数の置換積分の延長で考えていて 全微分 重積分 ヤコビアという言葉を使っていないだけなのです 円の面積は π だと習いましたね 小学校 中学校ではこのことを結構 苦労して教えています 何しろ微積分なしで これを教えるのは至難の業です 高校では積分法の中で置換積分として教わるのですが これが重積分だという説明はしていません おかげで 覚えにくく 説明が技巧的な感じでした まず 高校ではこの問題をどう解いたかを思い出しましょう 重積分が使えないということが前提です

20 θ xx, xx xx xx, xx 図 58. 球の体積計算 ( 直交座標から極座標に変換 ) 太線部の長さを考えて これを xx の範囲で積分すると習いました xx この計算はできないこともないでしょうが めんどうなので xx = cos θθ とおいて これらを使って 下記の変形をして だから xx xx = この過程を重積分で書くと xx = sin θθ = sin θθ = sin θθ = sin θθ cos θθ = cos θθ sin θθ = sin θθ sin θθ = ( cos θθ) cos θθ = [θθ] = xx xx [sin θθ] = ( ) こんな面倒な計算は誰だってやりたくない そこで 気の利いた置換を考えて xx = ll cos θθ y = ll sin θθ とします = cos θθ

21 = ll sin θθ = sin θθ 丁寧にやれば となるので xx = = = ll cos θθ + = cos θθ ll sin θθ + = sin θθ + ll cos θθ θθ = cos sin θθ ll sin θθ ll cos θθ つまり ヤコビアン だから となります = llllllllll cos θθ sin θθ ll sin θθ ll cos θθ = ll(cos θθ sin θθ) = ll JJ φφ = ll 積分範囲は ll, θ π = ll = ll[θθ] = = ll = どうせ置換をするのであれば 初めから極座標で計算する方が楽です Δll ll θθ 図 59. 球の体積 ( 極座標で計算 ) 円周の内 角 θθで切り取られる円弧の長さはll θθです θθの微小分の増加 Δθに伴う長さの増加はllΔ θθです 半径 llの微小な増加分 Δllとして 同時に Δ θθ Δllが同時に増加したときの増加部分はllΔθθΔllの面積を持つ長方形に近似できますからこれを l r, θ πの範囲で重積分します

22 この計算は となります llllllllll llllll = ll[θθ] = = ll = π ところで 直交座標と極座標の計算を比較してみます 極座標の変換は すると xx = ll cos θθ yy = ll sin θθ = cos θθ = ll sin θθ = sin θθ 全微分の公式を使って となるので xx = = = ll cos θθ + = cos θθ ll sin θθ + = sin θθ + ll cos θθ θθ = cos sin θθ ll sin θθ ll cos θθ JJ cos θθ = sin θθ ll sin θθ ll cos θθ = ll(cos θθ sin θθ) = ll

23 重積分の置換積分の公式 ff(xx, xx nn ) に当てはめて考えると だから なので xx xx nn = ff{φφ ii (uu, uu nn ), φφ nn (uu, uu nn )} JJ φφ uu uu xx xx となっていることが確かめられました 置換積分を用いた重積分例 ff(xx, yy) = ff{φφ ii (, θθ), φφ (, θθ)} = = llllllllll = JJ 円の面積の求め方も 重積分を使った上手い計算の例なのですが 残念ながら答えを知っているので あまりありがたみがわかりません 有用性がわかりやすい例を示します y A B y = βxx C y = αxx xx = αyy D xx = ββββ xx 図 6. 重積分の応用例この図で 4つの曲線に囲まれた部分の面積を求めます ここまでの解説に使ったやり方のみでやるならば ひし形の計算と同様に 交点 A(xx aa, yy aa ) B(xx bb, yy bb ) C(xx cc, yy cc ) D(xx, yy ) を求めて 3つの部分に分けて SS について 積分範囲 D を xx aa xx xx bb, xx yy ββ βxx として SS = xx bb βxx βxx = = xx aa [yy] xx = βxx xx xx aa ββ xx aa ββ xx ββ = ββ 3 xx3 3ββ xx3 SS について 積分範囲 D を xx bb xx xx cc, xx ββ yy xx αα として xx bb xx aa xx bb xx bb

24 SS = xx cc xx αα xx αα = = xx bb [yy] xx = xx bb ββ αα ββ xx xx bb xx ββ = 3 αα ββ xx3 SS 3 について 積分範囲 D を xx cc xx xx, αxx yy xx αα として xx cc xx bb xx cc xx cc SS 3 = xx xx αα xx xx αα = = [yy] αxx xx αxx = xx cc xx cc αα ααxx xx = 3 αα xx3 αα 3 xx3 xx cc S = SS + SS + SS 3 = ββ 3 xx3 xx bb 3ββ xx3 + 3 αα xx cc ββ xx3 + 3 αα xx3 αα xx 3 xx3 xx aa xx xx bb cc これを計算すれば 答えは出るには出ますが こんな計算誰もやりたくないでしょう 回で間違えずに計算するのは至難の業です こういう時は置換積分を考えます y = αxx ですから y = βxx xx = ααy xx = ββy xx = uuuu y = vvvv つまり 変数と定数を逆転させて u α vv βの範囲で変動するものとして ββ αα の積分として 計算しようということです をに代入して y vv = uuuu を に代入して ここから y 3 = uuvv xx uu = vvvv xx 3 = vvuu xx cc xx

25 y = uu 3vv 3 xx = uu 3vv 3 y = 3 uu 3 vv 3 y = 3 uu 3vv 3 = 3 uu 3 vv 3 だから = 3 uu 3vv 3 = + = y y + この式を線形代数的な記法で書けば = y y という変換になります ここでヤコビアン ( 変換前の平面の図形と返還後の図形の拡大倍率 ) を知っていれば ヤコビアンは JJ = = y y y y = 3 uu 3 vv 3 3 uu 3vv 3 3 uu 3vv 3 3 uu 3 vv 3 = = 3 なので SS = = JJ αα ββ = JJ = JJ [vv] bb αα ββ αα αα ββ αα = JJ (ββ αα) = JJ (ββ αα)[uu] = JJ (ββ αα) αα ββ ββ ββ αα = (ββ αα) 3 αααα となります この例では 重積分とヤコビアンの有効性が示されていると思います

26 三重積分の典型的な例として 球体の体積を求める例を示します zz y r -r -r r r xx -r 図 6 直交座標での球の表現あまり上手に書けていませんが 黒い色の輪は円ではなくて半径 r の球体を表しています この体積を求めます 球の式は x + yy + zz = です 極座標の取り方は 軸の取り方によって 変わります 南極 北極と緯度経度の取り方が頭の中にあるので 下図のように直交座標の Z 軸を極座標の軸にとるのが普通だと思います zz y θ φ xx 図 6. 極座標で表した球しかし ここでは 直交座標での計算とイメージを合わせるために あえて 次のように座標を取ります 説明の都合上 便宜的にそうするというだけです

27 zz zz y y P ( cos θ,, sin θθ) l θ θ P( cos θ, sin θθ sin φφ, sin θθ cos φφ) φ H ( cos θ, sin θθ sin φφ, ) xx H( cos θ,, ) 図 63. 極座標変換の図という極座標変換の式は です なので 全微分の公式を使って xx = llcosθ y = ll sin θθ sin φφ z = ll sin θθ cos φφ / = cosθ / = ll sin θθ / = / = sin θθ sin φφ / = ll cos θθ sin φφ / = ll sin θθ cos φφ / = sin θθ cos φφ / = llcos θθ cos φφ / = ll sin θθ sin φφ cosθ ll sin θθ = sin θθ sin φφ ll cos θθ sin φφ ll sin θθ cos φφ sin θθ cos φφ llcos θθ cos φφ ll sin θθ sin φφ したがって ヤコビアンは cosθ ll sin θθ [JJ] = sin θθ sin φφ ll cos θθ sin φφ ll sin θθ cos φφ sin θθ cos φφ llcos θθ cos φφ ll sin θθ sin φφ

28 = cosθ ll cos θθ sin φφ ( ll sin θθ sin φφ) + ( ll sin θθ) ll sin θθ cos φφ sin θθ cos φφ cosθ ll sin θθ cos φφ ll cosθ cos φφ ( ll sin θθ) ll sin θθ sin φφ ( ll sin θθ sin φφ) = ll (cos θθ sin φφ sin θθ + sin 3 θθ cos φφ + cos θθ cos φφ sin θθ + sin 3 θθ sin φφ ) = l sin θθ (cos θθ sin φφ θθ + sin θθ cos φφ + cos θθ cos φφ + sin θθ sin φφ ) = ll sin θθ ( cos θθ (sin φφ + cos φφ)+sin θθ(cos φφ + sin φφ)) = ll sin θθ ((sin θθ + cos θθ)(cos φφ + sin φφ)) = ll sin θθ ということを理解したうえで 直交座標 極座標 ヤコビアンを使って解くという3つの方法で球の体積を求めます まず 直交座標からやります 球体ですから = xx + yy + zz という制約で体積を求めます 直交座標で 平面ずつ考えたいので 図 63 をx 軸方向とy 軸方向から見ます z φ O P H y z O P P θ H x Δxx 図 64-. X 軸方向からの図図 64- について この平面上で 破線で描かれた円の面積は この計算は という置換で簡略化されて OP = yy + zz = xx PH = zz = xx yy 図 64- Y 軸方向からの図 xx xx zzzzzz = xx yy xx xx y = xx sin φφ = xx cos φφ xx yy = ( xx )( sin φφ) = xx cos φφ = xx cos φφ xx zzzzzz xx = ( xx ) cos φφφφφφ

29 この式は次の置換で簡略化されます = ( xx ) ( xx ) + cos φφ cos φφ = cos φφ sin φφ = + cos φφ cos φφφφφφ = ( xx ) cos φφφφφφ = xx + cos φφφφφφ xx [φφ] [sin φφ] = xx ( + ) = ( xx ) これは 図 64- の破線で書いた円の面積だから これにxxの微小な幅であるΔxxをかけて 微小な体積として 図 64- の x 軸方向に xx の範囲で積分したものが 求める体積です これはそのまま積分して ( xx ) ( xx ) = xx = [xx] xx3 3 = ( 3 ) = 43 3 極座標でやると, 半径をllとして 図 64- の破線の円の半径はll sin θθで 直交するφの微小な変化量 Δφに対する変化量はll sin θθδφ 一方これと直交するの図 64- の実線の円の半径は llでθθの微小な変化 Δθに対する, 円弧の長さの変化量はllΔθ これらを掛け合わせた ll sin θθδθδφが円周上の面積の微小な変化です この平面に直交 半径の微小な変化 Δllをかけたものが 体積の変化だから これらを 積分範囲で積分すれば 体積になります 積分範囲は φについては一周分だから φ πで θは半周分だから π θ, llは ll です これを重積分で書けば ll sin θθ

30 = ll sin θθ = ll sin θθ = ll [cos θθ] = 4 ll = 4π ll3 3 となります = 4π3 3 ヤコビアンを使って機械的にやろうとすれば = [JJ] D の範囲は r xx, xx yy xx, z xx yy R の範囲は ll, θθ π, φ π = ll sin θθ RR = ll sin θθ = sin θθ = ( [cos θθ] ) = 4π ll = 4π3 3 となります ヤコビアンの良いところは 複雑なものについても頭を悩ます必要がないことです RR ここで 球体の表面積の求め方について 体積の場合と同じく直交座標による重積分 極座標を用いた重積分 ヤコビアンによる計算の計算を比較しておきましょう これは 全微分に対する感覚的な理解を助けると思います まず 座標から直交座標の変換を確認し

31 ておきましょう 球の体積のところでやった極座標系をそのまま使います xx = llcosθ y = ll sin θθ sin φφ z = ll sin θθ cos φφ [JJ] = ll sin θθ 表面積の場合 ll = ( 一定 ) xx + yy + zz = です 直交座標で球体の表面積を求めるのは相当厄介です 頭に描いてもらいたいのはリンゴの皮むきです 一回転剥いたときの リンゴの皮の長さを考えます それから 皮の幅をかけてい回転剥いた時の皮の面積を考えて 最後にそれを全部たしあわせます 極座標と直交座標の関係を示した図を x 軸の方向から見ると zz O φ P H P A B H yy yy Δyy 図 65 X 軸方向から見たベクトルと接線 POHと BPAについて POH BPA だから PB = PA OP PH PH OP = PA PB = Δyyy + zz zz = xx Δy zz これを y 方向に積分しますが 積分範囲は xx y xx です xx xx xx zz マイナスをつけたのは PB を傾きと考えた場合 負の値になるからです この定積分を解くことになりますが

32 ですから と置きます xx = yy + zz y= xx cos φφ z= xx sin φφ π θ π = xx sin φφ = zz xx zz = xx = xx zz xx xx [φφ] = xx この円周の長さに幅をかけるのですが ここでも 下図のような関係になっています P θ 拡大 H θ P zz 図 66. リンゴの皮むき方式による皮の幅 より O θ xx PH OP = P H PP zz = Δxx PP H Δxx PP = Δxx zz これが リンゴの皮むき のたとえにすれば 皮の幅に相当するものですから それを円周の長さとかけた面積は

33 xx Δxx zz = xx ll zz Δxx これを xx の範囲で xx 軸に沿って積分したものが球体の表面積です xx ll zz 再び 三角関数を使った置換積分で計算します だから 変換するまでもなく となります この計算を重積分で書くと xx = cos θθ zz = sin θθ xx = cos θθ = sin θθ = sin θθ xx zz = = xx xx = [xx] = 4 xx zz xx = xx ということです ということを頭に入れておいて 極座標での計算を考えます 極座標でやればもっと簡単です 直交座標の場合と同様に 図 64- の x-z 平面で 破線の線の円の半径は rsin θθ, したがって φを回転させたときにの 微小な回転による増加量は sin θθ Δφ, 一方 図 64- に示した y-z 平面では θをの微小な変化 Δθに対する円弧の長さの変化は で これらは直交しているので これらを同じに変化させた場合の 微小な変化量は sin θθ ΔφΔθである これを 積分範囲を決めて積分すると sin θθθθθθθθθθ = 4π 直交座標での計算と合わせるために 積分範囲を π φφ と移動しておきます 極座標変換のヤコビアンを使って この関係を書いてみると 両者の関係が良くわかります 今のところの結果は 以下の式のようになっています sin θθθθθθθθθθ = xx これを3 重積分の形で無理無理書こうという話です 無理無理やるのだからかなり怪しげな議論です 加える軸は 左辺についてはベクトルの長さllで 右辺についてはxy 平面に直交するz 軸です 工夫しなければならないところはつあって つ目は 左辺の を何 xx

34 かの積分の結果として表さなければならないということです これは比較的簡単で (xx ββ ) = xxだから llllllを加えれば良いことになります 右辺は を加えればよいので αα すが 積分範囲 α βが問題です いろいろな屁理屈はありそうですが とりあえず やってみるという感じで 単位量 =の厚みの体積は 底面の面積と数字的に同じになるか らという理由で を書き加えます llsin θθθθθθθθθθθθθθ = yy xx 右辺の逐次積分の順番を入れ替えておきます 理由はありません 趣味の問題です llsin θθθθθθθθθθθθθθ 左右を入れ替えて 符号も入れ替えます xx xx = xx = llsin θθθθθθθθθθθθθθ xx ここでヤコビアンを使った計算を思い出します xx xx xx yy ff(xx, yy, zz) xx xx yy = ffηη (ll, θθ, φφ), ηη (ll, θθ, φφ), ηη 3 (ll, θθ, φφ)jj ηη xx = ηη (ll, θθ, φφ) = llcosθ yy = ηη (ll, θθ, φφ) = ll sin θθ sin φφ zz = ηη 3 (ll, θθ, φφ) = ll sin θθ cos φφ ( 知っているギリシャ文字の数が限界に近づいていますが なんとか頑張ります ) JJ ηη = ll sin θθ 何がしたいのかと言うと これを xx xx ff(xx, yy, zz) xx xx xx yy xx yy = llsin θθθθθθθθθθθθθθ = ffηη (ll, θθ, φφ), ηη (ll, θθ, φφ), ηη 3 (ll, θθ, φφ)jj ηη このように書きたいのです ff(xx, yy, zz) とffηη (ll, θθ, φφ), ηη (ll, θθ, φφ), ηη 3 (ll, θθ, φφ)をどのようにすれば良いかということなのですが ffηη (ll, θθ, φφ), ηη (ll, θθ, φφ), ηη 3 (ll, θθ, φφ)jj ηη = llsin θθ で

35 だから JJ ηη = ll sin θθ なので つまり xx xx ffηη (ll, θθ, φφ), ηη (ll, θθ, φφ), ηη 3 (ll, θθ, φφ) = ll ff(xx, yy, zz) = xx yy xx yy xx + yy + zz = = ll JJ ηη 多分これで正解だと思いますが 右辺はそのまま変形しただけだからそれで良いとして 左辺がどうなるのか 計算しておきたいところです 最後の から手を付けます xx yy xx yy xx yy z = sin θθ cos φφ = sin θθ sin φφ xx yy = zz xx yy = zz = sin θθ = ( sin θθ sin φφ) = sin θθ [cos φφ] xx yy = sin θθ 次に 番目の積分です 積分範囲にxx しか含まれていないから xxで積分する方が楽ですね xx xx yy xx x = xx xx yy xx cos θθ = cos θθ = π + = πr xx = cosθ = sin θθ sin θθθθθθ = sin θθ π = [θθ] + [sin θθ] 最後に sin θθ = cos θθ = [yy] = 4

36 で確かに正しいことが確認できました 難しい計算ではないのですが 途中錯覚を起こしやすく 途中で結構間違えて混乱します やってみる場合は 落ち着いてやりましょう なんで こんな計算をわざわざしたのかというと xx xx xx yy xx yy = ll JJ ηη という 変換を具体的な像として頭の中に描きたかったのです まず右辺についてみます JJ ηη という倍率を定数と考えてて取り外すと ll ですが これは という直交した3つの長さをかけあわせた 直方体の体積のようではありませんか この微小な直方体を ll 方向に llになるまでたしあわせて llで割ったら で表される 微小な長方形の面積ですね 図に書くと図 67-のようになります xx zz yy 変換 ll 図 67- 直交座標での表面関. 図 67-. 極座標での表面関つまり 図 67- の直交極座標系で赤い楕円 ( 実際には立体的に湾曲した面 ) を極座標系の長方形に変換しているのです 面積や体積の計算をするときには 直交している方が計算しやすいので 空間を極座標系にとって 直交系の湾曲した立体を 直交した立体に変換しているのです 地球上で暮らしている時に 我々は鉛直に建てた柱は並行していると感じていますが これは近似的にそうなのであって 実は図 67- のように並行していません また 平方メートルの床を作ったら それに合わせて天井も 平方メートルの天井を作ります 本当は天井の方が少し大きいはずですね 私たちの頭も 図 67- から図 67- の変換を行っているのです 最後に極座標と直交座標を使って全微分について考えます 重積分の場合とは違って 下の図のように座標系を取って 極座標変換します その方が 微分における傾きが想像しやすいからです

37 zz y θ φ xx 図 68. 球面の傾斜と全微分この変換は xx = ll sin θθ cos φφ yy = ll sin θθ sin φφ zz = llcosθ sin θθ cos φφ ll cosθcos φφ ll sin θθ sin φφ = sin θθ sin φφ llcosθ sin φφ ll sin θθ cos φφ cosθ ll sin θθ ですが から = + = xxxxxx zz xx + yy + zz = = yy xx = zz yy = xx zz = tan θθ (cos φφφφφφ + sin φφφφφφ) ここで ちょっとしたテクニックを使います + yyyyyy ll sin θθ cos φφ + ll sin θθ sin φφφφφφ = = zz llcosθ

38 と + = tan θθ + cos φφ + sin φφ は下図の直角三角形の一つの角 ω に関する cos ωω と sin ωω ですね + ω dy 図 69. 直交する微小な変化と中心角度の関係 これを使えば = tan θθ + (cos φφ cos ωω + sin φφ sin ωω) = tan θθ + cos(φφ ωω) となります つまり φφ = ωωの時 は最小値 tan θθ + φφ = ωω + の時 = φφ = ωω + の時 は最大値 tan θθ + になります 球に上から水を落とすと 上からみて放射状に水が落ちていくのはそのためだと納得できます 球面上で xx 方向にcos ωω 移動し yy 方向にsin ωω 移動すれば 球の中心において x 軸に対してωωの角度の方向に 最大斜度を降下したことになり 反対に 球面上で最大斜度の方向に tan θθ 降下すれば xx 方向にcos ωω 移動し yy 方向にsin ωω 移動することになるということです z φ O P H y z O P P θ H x Δxx 図 64- ( 再掲 ) 図 64-( 再掲 ) 図 64 を見れば そのことは自明なのですが 全微分の公式

39 xx xx xx uu uu xx xx = uu uu nn xx nn xx nn uu uu xx uu nn xx uu nn xx nn nn uu nn この例では = + yy を 極座標変換を媒介して 実感してもらいたかったのです 感覚的に分かったでしょうか