シミュレーション物理4

2014計算機実験1_1

H26 1 1 1 seto@ics.nara-wu.ac.jp 数学モデリングのプロセス 問題点の抽出 定義 仮定 数式化 万有引力の法則 m すべての物体は引き合う r mm F =G 2 r M モデルの検証 モデルによる 説明 将来予測 解釈 F: 万有引力 (kg m s-2) G: 万有引力定数 (m s kg ) 解析 数値計算 M: 地球の質量 (kg) により解を得る m: 落下する物質の質量

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は

取扱説明書 [N-03A]

235 1 d dt 2 1 i 236 1 p 2 1 ty 237 o p 238 1 i 2 1 i 2 1 u 239 1 p o p b d 1 2 3 0 w 240 241 242 o d p f g p b t w 0 q f g h j d 1 2 d b 5 4 6 o p f g p 1 2 3 4 5 6 7 243 244 1 2 1 q p 245 p 246 p p 1

A

A05-132 2010 2 11 1 1 3 1.1.......................................... 3 1.2..................................... 3 1.3..................................... 3 2 4 2.1............................... 4 2.2

計算機シミュレーション

. 運動方程式の数値解法.. ニュートン方程式の近似速度は, 位置座標 の時間微分で, d と定義されます. これを成分で書くと, d d li li とかけます. 本来は が の極限をとらなければいけませんが, 有限の小さな値とすると 秒後の位置座標は速度を用いて, と近似できます. 同様にして, 加速度は, 速度 の時間微分で, d と定義されます. これを成分で書くと, d d li li とかけます.

NumericalProg09

数値解析および プログラミング演習 [08 第 9 回目 ] の解法 - 4. Ruge-Kua( ルンゲ クッタ 法 Ruge-Kua-Gill( ルンゲ クッタ ジル / ギル 法 5. 多段解法 解法の対象 常微分方程式 d( d 初期値条件 (, の変化に応じて変化する の値を求める. ( 0 ( 0 と 0 は,give 0 常微分方程式の初期値問題 と言う. 3 Ruge-Kua 法の導出

微分方程式 モデリングとシミュレーション

1 微分方程式モデリングとシミュレーション 2018 年度 2 質点の運動のモデル化 粒子と粒子に働く力 粒子の運動 粒子の位置の時間変化 粒子の位置の変化の割合 速度 速度の変化の割合 加速度 力と加速度の結び付け Newtonの運動方程式 : 微分方程式 解は 時間の関数としての位置 3 Newton の運動方程式 質点の運動は Newton の運動方程式で記述される 加速度は力に比例する 2

A

A04-164 2008 2 13 1 4 1.1.......................................... 4 1.2..................................... 4 1.3..................................... 4 1.4..................................... 5 2

偏微分方程式、連立１次方程式、乱数

数値計算法 011/6/8 林田清 大阪大学大学院理学研究科 常微分方程式の応用例 1 Rutherford 散乱 ( 原子核同士の散乱 ; 金の薄膜に α 粒子をあてる ) 1 クーロン力 f= 4 0 r r r Ze y からf cos, si f f f y f f 粒子の 方向 y方向の速度と座標について dv Ze dvy Ze y, 3 3 dt 40m r dt 40m r d dy

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数値計算入門 武尾英哉. 離散数学と数値計算 数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけること できなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない.

取扱説明書[N906i]

237 1 dt 2 238 1 i 1 p 2 1 ty 239 240 o p 1 i 2 1 u 1 i 2 241 1 p v 1 d d o p 242 1 o o 1 o 2 p 243 1 o 2 p 1 o 2 3 4 244 q p 245 p p 246 p 1 i 1 u c 2 o c o 3 o 247 1 i 1 u 2 co 1 1 248 1 o o 1 t 1 t

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応用数学 Ⅱ (7) 7 連立微分方程式の立て方と解法. 高階微分方程式による解法. ベクトル微分方程式による解法 3. 演算子による解法 連立微分方程式 未知数が複数個あり, 未知数の数だけ微分方程式が与えられている場合, これらを連立微分方程式という. d d 解法 () 高階微分方程式化による解法 つの方程式から つの未知数を消去して, 未知数が つの方程式に変換 のみの方程式にするために,

ヤコビ楕円関数とはなにか

ヤコビ楕円関数とはなにか December 8, 0 Aio Arimoto. 非線形微分方程式ヤコビの楕円関数 n,cn,dn の一番分かりやすい導入は次の微分方程式の解とするもので 3 dx ある 0 として 上での初期値問題 yz dt, dy xz dt, dz xy dt, x0 0, y 0 z0の解の各成分 x t, yt, zt はそれぞれ,, コビの楕円関数と呼ばれる 命題. x

曲面のパラメタ表示と接線ベクトル

L11(2011-07-06 Wed) :Time-stamp: 2011-07-06 Wed 13:08 JST hig 1,,. 2. http://hig3.net () (L11) 2011-07-06 Wed 1 / 18 ( ) 1 V = (xy2 ) x + (2y) y = y 2 + 2. 2 V = 4y., D V ds = 2 2 ( ) 4 x 2 4y dy dx =

slide1.dvi

1. 2/ 121 a x = a t 3/ 121 a x = a t 4/ 121 a > 0 t a t = a t t {}}{ a a a t 5/ 121 a t+s = = t+s {}}{ a a a t s {}}{{}}{ a a a a = a t a s (a t ) s = s {}}{ a t a t = a ts 6/ 121 a > 0 t a 0 t t = 0 +

解析力学B - 第11回: 正準変換

解析力学 B 第 11 回 : 正準変換 神戸大 : 陰山聡 ホームページ ( 第 6 回から今回までの講義ノート ) http://tinyurl.com/kage2010 2011.01.27 正準変換 バネ問題 ( あえて下手に座標をとった ) ハミルトニアンを考える q 正準方程式は H = p2 2m + k 2 (q l 0) 2 q = H p = p m ṗ = H q = k(q

スライド 1

非線形数理秋の学校 パターン形成の数理とその周辺 - 反応拡散方程式理論による時 空間パターンの解析を中心に - 2007 年 9 月 25 日 -27 日 モデル方程式を通してみるパターン解析ー進行波からヘリカル波の分岐を例としてー 池田勉 ( 龍谷大学理工学部 ) 講義概要, 講義資料, 講義中に使用する C 言語プログラムと初期値データ, ヘリカル波のアニメーションをウェブで公開しています :

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シミュレーション工学 ( 後半 ) 東京大学人工物工学研究センター 鈴木克幸 CA( Compter Aded geerg ) r. Jaso Lemo (SC, 98) 設計者が解析ツールを使いこなすことにより 設計の評価 設計の質の向上を図る geerg の本質の 計算機による支援 (CA CAM などより広い名前 ) 様々な汎用ソフトの登場 工業製品の設計に不可欠のツール 構造解析 流体解析

d dt A B C = A B C d dt x = Ax, A 0 B 0 C 0 = mm 0 mm 0 mm AP = PΛ P AP = Λ P A = ΛP P d dt x = P Ax d dt (P x) = Λ(P x) d dt P x =

3 MATLAB Runge-Kutta Butcher 3. Taylor Taylor y(x 0 + h) = y(x 0 ) + h y (x 0 ) + h! y (x 0 ) + Taylor 3. Euler, Runge-Kutta Adams Implicit Euler, Implicit Runge-Kutta Gear y n+ y n (n+ ) y n+ y n+ y n+

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06 年 8 月 日 ( 月 )-6 日 ( 金 ) 千葉大学総合校舎 号館 4 階情報演習室 宇宙磁気流体 プラズマシミュレーションサマースクール 差分法の基礎 三好隆博 広島大学大学院理学研究科 時限目の目標 線形移流方程式 コンピュータ を計算機で解く! 内容 はじめに 差分法 移流方程式の差分法 高次精度風上差分法 はじめに はじめに 微分方程式 未知関数とその導関数を含む方程式 自然現象などを記述する基礎方程式

数値計算：常微分方程式

( ) 1 / 82 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 / 82 ( ) 3 / 82 C θ l y m O x mg λ ( ) 4 / 82 θ t C J = ml 2 C mgl sin θ θ C J θ = mgl sin θ = θ ( ) 5 / 82 ω = θ J ω = mgl sin θ ω J = ml 2 θ = ω, ω = g l sin θ = θ ω ( )

演習1

神戸市立工業高等専門学校電気工学科 / 電子工学科専門科目 数値解析 2019.5.10 演習 1 山浦剛 (tyamaura@riken.jp) 講義資料ページ http://r-ccs-climate.riken.jp/members/yamaura/numerical_analysis.html Fortran とは? Fortran(= FORmula TRANslation ) は 1950

パソコンシミュレータの現状

第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に

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基礎物理コース I 第 5 回 A 7/6/5, :-:, 9-49, 後藤貴行 -5B, -8-56, gotoo-t@sophia.ac.jp パソコンで微分方程式を解く. 基本 ( ( ( これが式で与えられる は微小量とする ( 何に比べて小さいかは後で述べる ( ( (. 簡単な例 ただの積分, ( e ( [ もちろん 解析的に解けて ( e ( ( e 6 前の値 78 となる ] (

( 慣性抵抗 ) 速度の 2 乗に比例流体中を進む物体は前面にある流体を押しのけて進む. 物 aaa 体の後面には流体が付き従う ( 渦を巻いて ). 前面にある速度 0 の流体が後面に移動して速度 vとなったと考えてよい. この流体の質量は単位時間内に物体が押しのける体積に比例するので,v に比例

空気抵抗があるときの自由落下 抵抗が速度に比例する場合 1. 絵を描く, 座標と情報, 記号を記入する x F0 v

FEM原理講座　（サンプルテキスト）

サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成 サンプルテキストについて 各講師が 講義の内容が伝わりやすいページ を選びました テキストのページは必ずしも連続していません 一部を抜粋しています 幾何光学講座については 実物のテキストではなくガイダンスを掲載いたします 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体

OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 富山富山県立大学中川慎二

OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 勉強会 @ 富山富山県立大学中川慎二 * OpenFOAM のソースコードでは, 基礎式を偏微分方程式の形で記述する.OpenFOAM 内部では, 有限体積法を使ってこの微分方程式を解いている. どのようにして, 有限体積法に基づく離散化が実現されているのか,

OCW-iダランベールの原理

講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す

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時間に依存するポテンシャルによる 量子状態の変化 龍谷大学理工学部数理情報学科 T966 二正寺章指導教員飯田晋司 目次 はじめに 次元のシュレーディンガー方程式 3 井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 4 4 中央に障壁のある井戸型ポテンシャルの固有エネルギーと固有関数 3 5 障壁が時間によって変化する場合 7 6 まとめ 5 一次元のシュレディンガー方程式量子力学の基本方程式 ψ (

1 28 6 12 7 1 7.1...................................... 2 7.1.1............................... 2 7.1.2........................... 2 7.2...................................... 3 7.3...................................

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y = Asin 2πt T t t = t i i 1 n+1 i i+1 Δt t t i = Δt i 1 ( ) y i = Asin 2πt i T 29 (x, y) t ( ) x = Asin 2πmt y = Asin( 2πnt + δ ) m, n δ (x, y) m, n 30 L A x y A L x 31 plot sine curve program sine implicit

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学

波動方程式と量子力学 谷村吉隆 京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp ベクトルと行列の作法 A 列ベクトル c = c c 行ベクトル A = [ c c c ] 転置ベクトル T A = [ c c c ] AA 内積 c AA = [ c c c ] c =

情報活用資料

y = Asin 2πt T t t = t i i 1 n+1 i i+1 Δt t t i = Δt i 1 ( ) y i = Asin 2πt i T 21 (x, y) t ( ) x = Asin 2πmt y = Asin( 2πnt + δ ) m, n δ (x, y) m, n 22 L A x y A L x 23 ls -l gnuplot gnuplot> plot "sine.dat"

2014 年 10 月 2 日 本日の講義及び演習 数値シミュレーション 2014 年度第 2 回 偏微分方程式の偏微分項をコンピュータで扱えるようにする 離散化 ( 差分化 ) テイラー展開の利用 1 階微分項に対する差分式 2 階微分項に対する差分式 1 次元熱伝導方程式に適用して差分式を導出

04 年 0 月 日 本日の講義及び演習 数値シミュレーション 04 年度第 回 偏微分方程式の偏微分項をコンピュータで扱えるようにする 離散化 ( 差分化 テイラー展開の利用 階微分項に対する差分式 階微分項に対する差分式 次元熱伝導方程式に適用して差分式を導出 Ecel を利用した温度変化シミュレーション 永野 ( 熱流体システム研究室 hagao@tc.ac.p 重要! 熱の伝わり方 ( 伝熱モード

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Licca is always with you 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

1 1 x y = y(x) y, y,..., y (n) : n y F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (x, y, y ) = 0 1 y(x) y y = G(x, y) y, y y + p(x)y = q(x) 1 p(x) q(

1 1 y = y() y, y,..., y (n) : n y F (, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (, y, y ) = 0 1 y() 1.1 1 y y = G(, y) 1.1.1 1 y, y y + p()y = q() 1 p() q() (q() = 0) y + p()y = 0 y y + py = 0 y y = p (log y) = p log

今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未

力学 III GA 工業力学演習 X5 解析力学 5X 5 週目 立命館大学機械システム系 8 年度後期 今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未定乗数法

A Precise Calculation Method of the Gradient Operator in Numerical Computation with the MPS Tsunakiyo IRIBE and Eizo NAKAZA A highly precise numerical

A Precise Calculation Method of the Gradient Operator in Numerical Computation with the MPS Tsunakiyo IRIBE and Eizo NAKAZA A highly precise numerical calculation method of the gradient as a differential

, 3, STUDY ON IMPORTANCE OF OPTIMIZED GRID STRUCTURE IN GENERAL COORDINATE SYSTEM 1 2 Hiroyasu YASUDA and Tsuyoshi HOSHINO

, 3, 2012 9 STUDY ON IMPORTANCE OF OPTIMIZED GRID STRUCTURE IN GENERAL COORDINATE SYSTEM 1 2 Hiroyasu YASUDA and Tsuyoshi HOSHINO 1 950-2181 2 8050 2 950-2181 2 8050 Numerical computation of river flows

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δx δx n x=0 sin x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +... x ak = (-mod(k,2))**(k/2) / fact_k ( ) = a n δ x n f x 0 + δ x a n = f ( n) ( x 0 ) n f ( x) = sin x n=0 58 I = b a ( ) f x dx ΔS = f ( x)h I = f a h h I = h

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x = f x= x t f c x f = [1] c f x= x f x= x 2 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考える まず 初期時刻 t=t に f =R f exp [ik x ] [3] のような波動を与えたとき どのように時間変化するか調べる

3. :, c, ν. 4. Burgers : t + c x = ν 2 u x 2, (3), ν. 5. : t + u x = ν 2 u x 2, (4), c. 2 u t 2 = c2 2 u x 2, (5) (1) (4), (1 Navier Stokes,., ν. t +

B: 2016 12 2, 9, 16, 2017 1 6 1,.,,,,.,.,,,., 1,. 1. :, ν. 2. : t = ν 2 u x 2, (1), c. t + c x = 0, (2). e-mail: iwayama@kobe-u.ac.jp,. 1 3. :, c, ν. 4. Burgers : t + c x = ν 2 u x 2, (3), ν. 5. : t +

error_g1.eps

Runge-Kutta Method Runge-Kutta Method x n+ = x n +hf(t n x n ) dx dt dx x(t+h) x(t) (t) = lim dt h h t = t n h > dx dt (t x(t n +h) x(t n ) n) = lim x(t n+) x(t n ) h h h x = f(tx) x(t n+ ) x(t n ) f(t

DVIOUT-SS_Ma

第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり

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制御工学 I 第二回ラプラス変換 平成 年 4 月 9 日 /4/9 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し

PowerPoint プレゼンテーション

復習 ) 時系列のモデリング ~a. 離散時間モデル ~ y k + a 1 z 1 y k + + a na z n ay k = b 0 u k + b 1 z 1 u k + + b nb z n bu k y k = G z 1 u k = B(z 1 ) A(z 1 u k ) ARMA モデル A z 1 B z 1 = 1 + a 1 z 1 + + a na z n a = b 0

09.pptx

講義内容 数値解析 第 9 回 5 年 6 月 7 日 水 理学部物理学科情報理学コース. 非線形方程式の数値解法. はじめに. 分法. 補間法.4 ニュートン法.4. 多変数問題への応用.4. ニュートン法の収束性. 連立 次方程式の解法. 序論と行列計算の基礎. ガウスの消去法. 重対角行列の場合の解法項目を変更しました.4 LU 分解法.5 特異値分解法.6 共役勾配法.7 反復法.7. ヤコビ法.7.

C 言語第 8 回 複素微分方程式の解法 1 1 複素数の係数を持つ 1 階の微分方程式 複素数を z として 微分方程式は dz dt = である 特に とする f ( z, t) ( ) 実際には が含まれていないので ( ) f ( z, t) = i z Ü t f (

C 言語第 8 回 複素微分方程式の解法 複素数の係数を持つ 階の微分方程式 複素数を z として 微分方程式は dz dt = である 特に とする f ( z, t) ( ) 実際には が含まれていないので ( ) f ( z, t) = - 0.+ 0.5 i z Ü t f ( z) = - 0.+ 0.5i z Ruge-Kutta( ルンゲ クッタ ) 法 解くべき差分方程式は オイラー法で

x ( ) x dx = ax

x ( ) x dx = ax 1 dx = a x log x = at + c x(t) = e at C (C = e c ) a > 0 t a < 0 t 0 (at + b ) h dx = lim x(t + h) x(t) h 0 h x(t + h) x(t) h x(t) t x(t + h) x(t) ax(t) h x(t + h) x(t) + ahx(t) 0, h, 2h,

Microsoft PowerPoint - H21生物計算化学２.ppt

演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A

KENZOU

KENZOU 2008 8 2 3 2 3 2 2 4 2 4............................................... 2 4.2............................... 3 4.2........................................... 4 4.3..............................

<4D F736F F D2094F795AA95FB92F68EAE82CC89F082AB95FB E646F63>

力学 A 金曜 限 : 松田 微分方程式の解き方 微分方程式の解き方のところが分からなかったという声が多いので プリントにまとめます 数学的に厳密な話はしていないので 詳しくは数学の常微分方程式を扱っているテキストを参照してください また os s は既知とします. 微分方程式の分類 常微分方程式とは 独立変数 と その関数 その有限次の導関数 がみたす方程式 F,,, = のことです 次までの導関数を含む方程式を

Ｐ１〜１４／稲　〃

4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t : sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t

1 1.1 sin 2π [rad] 3 ft 3 sin 2t π 4 3.1 2 1.1: sin θ 2.2 sin θ ft t t [sec] t sin 2t π 4 [rad] sin 3.1 3 sin θ θ t θ 2t π 4 3.2 3.1 3.4 3.4: 2.2: sin θ θ θ [rad] 2.3 0 [rad] 4 sin θ sin 2t π 4 sin 1 1

C 言語第 6 回 1 数値シミュレーション :2 階の微分方程式 ( シラバス10 11 回目 ) 1 2 階の微分方程式と差分方程式微分方程式を 2 d x dx + c = f ( x, t) 2 dt dt とする これを 2 つの 1 階の微分方程式に変更する ìdx = y 2 2 d

C 言語第 6 回 1 数値シミュレーション : 階の微分方程式 ( シラバス10 11 回目 ) 1 階の微分方程式と差分方程式微分方程式を d x dx + c = f ( x, t) とする これを つの 1 階の微分方程式に変更する ìdx = y d x dx d x dx ï dt c f ( x, t) c f ( x, t) + = Þ = - + Þ í ï dy = - cy +

..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A

.. Laplace ). A... i),. ω i i ). {ω,..., ω } Ω,. ii) Ω. Ω. A ) r, A P A) P A) r... ).. Ω {,, 3, 4, 5, 6}. i i 6). A {, 4, 6} P A) P A) 3 6. ).. i, j i, j) ) Ω {i, j) i 6, j 6}., 36. A. A {i, j) i j }.

Microsoft Word - 03-数値計算の基礎.docx

δx f x 0 + δ x n=0 a n = f ( n) ( x 0 ) n δx n f x x=0 sin x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +... x ( ) = a n δ x n ( ) = sin x ak = (-mod(k,2))**(k/2) / fact_k 10 11 I = f x dx a ΔS = f ( x)h I = f a h I = h b (

ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応 として与えられる 周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる 長さ L の有限

: Email: mizushima@mp.es.osaka-u.ac.jp, D38 0 08 5 S = k B ln W ) W n [] [] 5 N. 6 d h m dx ϕ nx) = E n ϕ n x) ) L 5 ϕ n x = 0) = ϕ n x = L) = 0, N k n ϕ n = N sink n x), E n = h k n m 3) k n = nπ, n =,,

<4D F736F F D2089F082AF82E997CD8A7796E291E A282EB82A282EB82C8895E93AE2E646F63>

いろいろな運動. 自由落下. 投げ上げ 3. 放物運動 4. 標的にボールを当てる 5. 斜面に向かって投げ上げる 6. ブレーキをかけた自動車 7. 摩擦のある斜面上を滑り落ちる物体 8. ばね振り子 ( 単振動 ) 9. 摩擦を受けるばね振り子. 補足 : 微分方程式の解き方 自由落下質量 の質点を高さ h の地点から初速 で落とした. 鉛直上向きを 軸正 の向き, 地表を原点とし, 重力加速度の大きさを

最新耐震構造解析 ( 第 3 版 ) サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 第 3 版 1 刷発行時のものです.

最新耐震構造解析 ( 第 3 版 ) サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/052093 このサンプルページの内容は, 第 3 版 1 刷発行時のものです. i 3 10 3 2000 2007 26 8 2 SI SI 20 1996 2000 SI 15 3 ii 1 56 6

1 2 3 4 5 6 0.4% 58.4% 41.2% 10 65 69 12.0% 9 60 64 13.4% 11 70 12.6% 8 55 59 8.6% 0.1% 1 20 24 3.1% 7 50 54 9.3% 2 25 29 6.0% 3 30 34 7.6% 6 45 49 9.7% 4 35 39 8.5% 5 40 44 9.1% 11 70 11.2% 10 65 69 11.0%

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別冊　各分野における虐待事例と分析

学術俯瞰講義 数学を創る - 数学者達の挑戦 年度冬学期 第 13 回 文化と数学 2010/1/21 岡本和夫

学術俯瞰講義 数学を創る - 数学者達の挑戦 - 009 年度冬学期 第 回 文化と数学 00// 岡本和夫 数学に関する余談 ( 常識 ヨーロッパ中世の自由 7 学科 論理学 文法 修辞学 マテマ 4 学科 幾何学 算術 天文学 音楽 解析 (analysis と総合 (synhesis Pierre de Ferma 60-665 フェルマーも 間違えた! 素数 n は素数か? F(n n 0

3. :, c, ν. 4. Burgers : u t + c u x = ν 2 u x 2, (3), ν. 5. : u t + u u x = ν 2 u x 2, (4), c. 2 u t 2 = c2 2 u x 2, (5) (1) (4), (1 Navier Stokes,.,

B:,, 2017 12 1, 8, 15, 22 1,.,,,,.,.,,,., 1,. 1. :, ν. 2. : u t = ν 2 u x 2, (1), c. u t + c u x = 0, (2), ( ). 1 3. :, c, ν. 4. Burgers : u t + c u x = ν 2 u x 2, (3), ν. 5. : u t + u u x = ν 2 u x 2,

Microsoft PowerPoint - prog11.ppt

プログラミング言語 第 回 (7 年 7 月 6 日 今日の配布物 片面の用紙 枚 今日の課題が書かれています 本日の出欠を兼ねています /33 今日やること http://www.tnlab.ice.uec.ac.jp/~s-okubo/class/language/ にアクセスすると 教材があります 7 年 7 月 6 日分と書いてある部分が 本日の教材です 本日の内容 前回の課題の解答 Romberg

() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi)

0. A A = 4 IC () det A () A () x + y + z = x y z X Y Z = A x y z ( 5) ( s5590) 0. a + b + c b c () a a + b + c c a b a + b + c 0 a b c () a 0 c b b c 0 a c b a 0 0. A A = 7 5 4 5 0 ( 5) ( s5590) () A ()

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2 : n =1, 2,, 10000 0.5125 0.51 0.5075 0.505 0.5025 0.5 0.4975 0.495 0 2000 4000 6000 8000 10000 2 weak law of large numbers 1. X 1,X 2,,X n 2. µ = E(X i ),i=1, 2,,n 3. σi 2 = V (X i ) σ 2,i=1, 2,,n ɛ>0

Numerical Analysis II, Exam End Term Spring 2017

H. Ammari W. Wu S. Yu Spring Term 2017 Numerical Analysis II ETH Zürich D-MATH End Term Spring 2017 Problem 1 Consider dx = f(t, x), t [0, T ] dt x(0) = x 0 R [28 Marks] with f C subject to the Lipschitz

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する

微分代数方程式とINDEXの低減

SICE プラントモデリング研究会 微分代数方程式と INDEX の低減 2009/09/25 モデルベース開発推進室石塚真一 . 準備体操 2. 微分代数方程式とは? 3. INDEX の概念 4. INDEX の低減 5. ベンチマーク まとめ 発表内容 2009 CYBERNET SYSTEMS CO.,LTD. All Rights Reserved. 2 . 準備体操 : 初期値問題と境界値問題

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東京大学本郷キャンパス 工学部8号館2階222中会議室 13:30-14:00 FrontISTRと利用可能なソフトウェア 2017年4月28日 第35回FrontISTR研究会 FrontISTRの並列計算ハンズオン 精度検証から並列性能評価まで 観測された物理現象 物理モデル ( 支配方程式 ) 連続体の運動を支配する偏微分方程式 離散化手法 ( 有限要素法, 差分法など ) 代数的な数理モデル

<4D F736F F F696E74202D20906C8D488AC28BAB90DD8C7689F090CD8D488A D91E F1>

人工環境設計解析工学構造力学と有限要素法 ( 第 回 ) 東京大学新領域創成科学研究科 鈴木克幸 固体力学の基礎方程式 変位 - ひずみの関係 適合条件式 ひずみ - 応力の関係 構成方程式 応力 - 外力の関係 平衡方程式 境界条件 変位規定境界 反力規定境界 境界条件 荷重応力ひずみ変形 場の方程式 Γ t Γ t 平衡方程式構成方程式適合条件式 構造力学の基礎式 ひずみ 一軸 荷重応力ひずみ変形

Gmech08.dvi

145 13 13.1 13.1.1 0 m mg S 13.1 F 13.1 F /m S F F 13.1 F mg S F F mg 13.1: m d2 r 2 = F + F = 0 (13.1) 146 13 F = F (13.2) S S S S S P r S P r r = r 0 + r (13.3) r 0 S S m d2 r 2 = F (13.4) (13.3) d 2

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SPring-8 RFgun JASRI/SPring-8 6..7 Contents.. 3.. 5. 6. 7. 8. . 3 cavity γ E A = er 3 πε γ vb r B = v E c r c A B A ( ) F = e E + v B A A A A B dp e( v B+ E) = = m d dt dt ( γ v) dv e ( ) dt v B E v E

ギリシャ文字の読み方を教えてください

埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー ( 小西克享 ) 単振り子の振動の近似解と厳密解 -/ テーマ H: 単振り子の振動の近似解と厳密解. 運動方程式図 のように, 質量 m のおもりが糸で吊り下げられている時, おもりには重力 W と糸の張力 が作用しています. おもりは静止した状態なので,W と F は釣り合った状態注 ) になっています. すなわち, W です.W は質量 m と重力加速度

取扱説明書

ED-601 ED-501 ED-401 2 3 4 23 14 5 6 18 10 7 1 2 6 3 4 8 9 16 16 16 12 1 2 18 10 2 1 5 12 11 1 2 1 2 12 1 2 13 16 14 3 2 4 1 1 2 16 3 4 18 15 1 2 16 2 3 1 1 2 3 18 17 18 22 19 D A C 20 A B 22 B C D 22

(1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10)

2017 12 9 4 1 30 4 10 3 1 30 3 30 2 1 30 2 50 1 1 30 2 10 (1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10) (1) i 23 c 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b d e f g h i (2) 23 23 (3) 23 ( 23 ) 23 x 1 x 2 23 x

偏微分方程式の差分計算 長岡技術科学大学電気電子情報工学専攻出川智啓

偏微分方程式の差分計算 長岡技術科学大学電気電子情報工学専攻出川智啓 今回の内容 差分法 階微分 階微分に対する差分法 次元拡散方程式 guplot による結果の表示 分岐の書き方による実行時間の変化 高速化に利用できるいくつかのテクニック 7 前回授業 ビットマップを使った画像処理 配列の 要素が物理的な配置に対応 配列の 要素に物理的なデータが定義 B G R 7 数値計算 ( 差分法 ) 計算機を利用して数学

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20 7 1 22 7 1 1 2 3 7 8 9 10 11 13 14 15 17 18 19 21 22 - 1 - - 2 - - 3 - - 4 - 50 200 50 200-5 - 50 200 50 200 50 200 - 6 - - 7 - () - 8 - (XY) - 9 - 112-10 - - 11 - - 12 - - 13 - - 14 - - 15 - - 16 -

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19 1 19 19 3 8 1 19 1 61 2 479 1965 64 1237 148 1272 58 183 X 1 X 2 12 2 15 A B 5 18 B 29 X 1 12 10 31 A 1 58 Y B 14 1 25 3 31 1 5 5 15 Y B 1 232 Y B 1 4235 14 11 8 5350 2409 X 1 15 10 10 B Y Y 2 X 1 X

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17 1 25 http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/pub/people/makino/kougi/stellar_dynamics/index.html http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/pub/people/makino/talks/index-j.html d 2 x i dt 2 = j i Gm j x j x i

2.2 ( y = y(x ( (x 0, y 0 y (x 0 (y 0 = y(x 0 y = y(x ( y (x 0 = F (x 0, y(x 0 = F (x 0, y 0 (x 0, y 0 ( (x 0, y 0 F (x 0, y 0 xy (x, y (, F (x, y ( (

(. x y y x f y = f(x y x y = y(x y x y dx = d dx y(x = y (x = f (x y = y(x x ( (differential equation ( + y 2 dx + xy = 0 dx = xy + y 2 2 2 x y 2 F (x, y = xy + y 2 y = y(x x x xy(x = F (x, y(x + y(x 2

今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講?

今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講? 数理生物学演習 第 11 回パターン形成 本日の目標 2 次元配列 分子の拡散 反応拡散モデル チューリングパタン 拡散方程式 拡散方程式 u t = D 2 u 拡散が生じる分子などの挙動を記述する.

(1) (2) (3) (4) 1

8 3 4 3.................................... 3........................ 6.3 B [, ].......................... 8.4........................... 9........................................... 9.................................

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1.1 ft t 2 ft = t 2 ft+ t = t+ t 2 1.1 d t 2 t + t 2 t 2 = lim t 0 t = lim t 0 = lim t 0 t 2 + 2t t + t 2 t 2 t + t 2 t 2t t + t 2 t 2t + t = lim t 0

A c 2008 by Kuniaki Nakamitsu 1 1.1 t 2 sin t, cos t t ft t t vt t xt t + t xt + t xt + t xt t vt = xt + t xt t t t vt xt + t xt vt = lim t 0 t lim t 0 t 0 vt = dxt ft dft dft ft + t ft = lim t 0 t 1.1

微分方程式補足.moc

Bernoulli( ベルヌーイ ) の微分方程式 ' + P( ) = Q() n ( n 0,) 微分方程式の形の補足 ( 階 ) 注意 : n =0 のときは 階線形微分方程式 n = のときは変数分離形となる 解法 : z = -n とおいて関数 z の微分方程式を解く z' =( - n) -n ' よりこれを元の微分方程 式に代入する - n z' + P() = Q() n 両辺を n

2 1 κ c(t) = (x(t), y(t)) ( ) det(c (t), c x (t)) = det (t) x (t) y (t) y = x (t)y (t) x (t)y (t), (t) c (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2. c (t) =

1 1 1.1 I R 1.1.1 c : I R 2 (i) c C (ii) t I c (t) (0, 0) c (t) c(i) c c(t) 1.1.2 (1) (2) (3) (1) r > 0 c : R R 2 : t (r cos t, r sin t) (2) C f : I R c : I R 2 : t (t, f(t)) (3) y = x c : R R 2 : t (t,

Microsoft Word - ９章（分子物性）.doc

1/1/6 9 章分子物性 1 節電気双極子モーメント (Electric Dipole Moment) 電子双極子モーメント とは 微小な距離 a だけ離れて点電荷 q が存在する状態 絶対値は aq で 負電荷 q から正電荷 q へ向かうベクトルである 例えば 水分子は下右図のような向きの電気双極子モーメントをもち その大きさは約 1.85D である このように元々から持っている双極子モーメントを

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Laplace2.rtf

=0 ラプラスの方程式は 階の微分方程式で, 一般的に3つの座標変数をもつ. ここでは, 直角座標系, 円筒座標系, 球座標系におけるラプラスの方程式の解き方を説明しよう. 座標変数ごとに方程式を分離し, それを解いていく方法は変数分離法と呼ばれる. 変数分離解と固有関数展開法. 直角座標系における 3 次元の偏微分方程式 = x + y + z =0 (.) を解くために,x, y, z について互いに独立な関数の積で成り立っていると考え,