学術俯瞰講義 数学を創る - 数学者達の挑戦 年度冬学期 第 13 回 文化と数学 2010/1/21 岡本和夫

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1 学術俯瞰講義 数学を創る - 数学者達の挑戦 年度冬学期 第 回 文化と数学 00// 岡本和夫

2 数学に関する余談 ( 常識 ヨーロッパ中世の自由 7 学科 論理学 文法 修辞学 マテマ 4 学科 幾何学 算術 天文学 音楽 解析 (analysis と総合 (synhesis

3 Pierre de Ferma フェルマーも 間違えた!

4 素数 n は素数か? F(n n 0 F( 5 F( 0 F( 7 F( 5 F( 4 57 F( 7 F( F( 57 F( F( 6

5 F( オイラーが 証明した

6 F(5 a 7, b 5, c ab, 8 4, 8 a 4, 8 5 a b, 4 6 5

7 F (5 4 a (( a b b 4 a ( c c 4, c 4 ( c ( c ( c F ( 5 は c 64 で割り切れる

8 Leonhard Euler

9 何のために証明するのか F(8 は で 割り切れる F (0 は5 で割り切れる 注意! 素数であることは比較的簡単に判定できるが, 素因数を見つけることは飛躍的に困難

10 数学に期待されていること 明晰であること 想像力をゆたかにすること 知的好奇心を身につけること 数学を使うことの楽しみ

11 数学を創るとは? 数理モデル 言語 数学 事実を発見し世界を創る 道具 数学 数学

12 純粋数学と応用数学 数学から数学を創る 純粋数学 自然現象や社会現象から数学を創る 応用数学

13 数学についてもう一言 学ぶ立場から言えば それから こっち あっち これ 数学 あれ

14 数学の役割 科学技術の中で見れば あっち こっち 数学 あれやこれやどれや

15 新しい使い道 ここで数学を少々 曲線を描く CAD の基礎にある数学

16 曲線 ( x, y ( x (, y ( の接線ベクトル y v dx dy ( 0, ( 0 d d 0 v x の増える方向

17 ベジエ 次曲線 a ( ( 0 x a ( a a b ( ( 0 y b ( b b

18 dx d dy d 0 dx d dy d ( 0 a a ( 0 a a ( 0 b b ( 0 b b における接線ベクトルは a0 a b b 0

19 P ( a, b P0 ( a0, b0 P ( a, b P ( a, b

20 ベジエ 次曲線 P P P P 0

21 0 ( ( ( ( ( ( b b b b a a a a x 0 ( ( ( b b b b y ( v u v v u uv u より ( ( ( ( 因数分解

22 0 ( ( ( ( ( ( a a a a x a x ( ( ( a a a a a ( ( ( ( 0 ( ( ( a a a a a a a a a x b y ( ( ( ( 0 ( ( ( b b b b b b b b

23 平行移動しても図形は変わらない 平行移動

24 出典 hp://de.wikipedia.org/w/index.php?iledaei:avignon_panorama.jpg&fileimesamp Pierre Bézier Phoo from Syseme d'informaion sur le parona français hp://sippaf.ishlyon.cnrs.fr/daabase/aceurs_fr.php?idac

25 まず歴史から学ぼう 元来私の教育主義は自然の原則に重きをおいて 数と理とこの二つのものを本にしのものを本にして 人間万事有形の経営はすべてソレカラ割り出して行きたい 都て事物を詮索するには 枝末を払いてその本源に遡り 止る所の本位を求めざるべからず かくの如くすれば 議論の箇条は次第に減じて その本位は益確実なるべし

26 学ぶ とはどういうことか 太極旗太極と卦

27 泰 卦と爻

28 易経

29 學 教

30 私は自分のもっている ものしか教えることは できないが 相手は それ以上のことを學ぶ ことができる

31 科学の発展 表示を変える 見方を変える

32 調和振動の方程式 d x d ω x 0 単独 階微分方程式 dx d v v dx d dv ω x d 連立微分方程式

33 フックの法則 kx d x d ω x 0 X m d d x kx ω 0 x k m

34 全エネルギー全ネルギ v dx d v dv x v H ω x d dv ω 0 ( xv x v d dx x d dv v d dh ω ω ω d d d ( ( x v h ω H h 0 0 ( ( x v h ω

35 H h は xv 座標平面内の楕円を表す v v x h ω 0 x x 軸方向をみれば振動している 相空間という

36 ハミルトニアン H v ω x dx d v dv ω x d dx H H d v dv d H x 力学の方程式の基本形

37 調和振動子ものの見方を変える H p x これは単なる記号で 関数 ψ 意味を持つと考える に対して Hψ だけが d ψ H ψ dx x ψ

38 p x Hψ において H p ψ : d ψ dx x ψ : x ψ x は掛けられるだけだが p x は掛けられるだけだが は微分になる d H dx d p : i dx x 量子化 と言う

39 シュレーディンガー方程式 d x H dx H ψ Eψψ バネの運動から形式的にではあるが量子力学に発展している ψ dx < この条件を実現する E を固有値という

40 ψ exp d H dx ψ 0 x Hψ 0 ψ 0 H ψ Eψ ψ dx < が成り立つのは E n n n H n ( x ψ 0 H n (x となる の場合だけ は x の多項式 x

41 若者に求められる能力 大学が求めるもの 企業が求めるもの 専門職能力 共通な能力 コミュニケーション能力 みんな勝手なこと言ってる!

42 プレゼンテーション 送り手 受け手 P C T M C 伝えたい内容 T 伝える技術 0 T M 受け手の意欲 M

43 で おまえはどうなんだ! 数学の中から問題を発見し数学を使って数学で表現している 普通の純粋数学者 ( のつもり

44 私の数学 可積分系 パンルヴェ方程式

45 少しだけ専門の話をしますと 可積分系の理論です u u u x 6 u x これは非線型の波を表す KdV 方程式です 津波に関係しています

46 0 世紀後半に 数学に新しい視点が 復活します 標語的に言うと カオス ソリトン フラクタル です KdV 方程式はソリトン方程式です イメージをつかむため KdV 方程式をデジタルで表すと

47 右側と左側はずっと 0 が並んでいる ルール 左から順番に を次の 0 の場所に移す 空いた場所は 0 を書く

48 箱球系のソリトン

49 個の固まりが追いついて

50 追い越す

51

52

53 個の固まりが追いついて追い越す

54 状況が逆転している

55 d y dx y xy α これはパンルヴェ方程式です

56 Paul Painlevé 86-9 初めて飛行機に乗った数学者 首相 大統領選挙は落選

57 パンルヴェ方程式 微分方程式で定義される 新しい 超越関数を発見すること超幾何関数族や楕円函数族を含むこと対象は 非線型可積分系 一般化よりも特殊化を互いに双対だから同じこと しかし

58 パンルヴェ方程式の歴史 900 年頃パンルヴェ方程式の発見 907 年モノドロミー保存変形 9 年 ガルニエ系 976 年頃 次元イージング模型 この頃から ソリトン カオスカオス 非線型可積分系の復興

59 パンルヴェ方程式の現在 特殊関数として一応は認知された 物理数学先行 数学は数学は? 初期値空間の幾何学 変換群とルート系 特別解の構造 ガルニエ系と野海 山田系への拡張

60 純粋 数学と 応用 数学 数学を通したインターフェイスを数理科学と言イスを数理科学と言うならば 純粋数学も応用数学もその一部で数学を構成している 数学から外へ すべての数学者が指向する必要はないけれど 孤立してはいけない 数学を取り巻く世界が大切 応用研究も そして教育も

61 一番大切なこと! あなたは 数学が好きですか?