Chapter 版 Maxima を用いたダイオード トランジスタの解析について [ 目的 ] 電気通信大学 Ⅲ 類の2 年次後期に実施される理工学基礎実験において ダイオード トランジスタ を実施している この実験項目について 無料ソフトの Maxima を用いることで

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1 Chapter 版 Maxima を用いたダイオード トランジスタの解析について [ 目的 ] 電気通信大学 Ⅲ 類の2 年次後期に実施される理工学基礎実験において ダイオード トランジスタ を実施している この実験項目について 無料ソフトの Maxima を用いることで 理論解析と実験値の比較が可能である また 近年のパソコンの性能の向上により Maxima の実行処理速度が大幅に改善された Maxima を用いて計算方法と計算結果を示すことで 実験レポートの考察のヒントにして 実験内容の理解を深めることが目的である [ 目次 ] 以下の節から構成されています 5-1 ダイオードのIV 特性について 5-2 ダイオード特性方程式と負荷線について 5-3 ダイオード特性の実験データの解析 5-4 トランジスタ特性 :IC-VCEについて 5-5 Ebers-Mollモデルを用いたIB-IC 特性グラフの表示 5-6 アーリー効果を考慮した静特性のEbers-Moll Modelについて 5-7 Ebers-Moll model と実験データの比較について 課題について ( 準備中 ) 付録.1 単位の解析について 付録.2 熱電圧 (Thermal Voltage) について

2 5-1 ダイオードの IV 特性について [ 目的 ] ダイオードの特性方程式について調査する [ 手順と結果 ] 変数を初期化する (%i1) kill(all); 計算で必要な物理定数を定義する 素電荷 q [C] を定義する (%i1) q: *10^-19; ボルツマン定数 k [J/K] を定義する (%i2) k: *10^-23; Fig.1 ダイードと抵抗の直列回路 動作温度 T[K] を定義する (%i3) T:300; 室温 (T=300K) での熱温度電圧 :Vroom を定義する (%i4) Vroom:k*T/q; 飽和電流 Is[A] を定義する (( 注 )) 今回は 式の特性をグラフ化が目的なので 以下の数値とした (%i5) Is:1*10^-12; 拡散電流が支配的である場合と仮定して 理想係数 N=1 とする (%i6) Id:Is*(exp(V/Vroom)-1);

3 ダイオードの特性方程式を定義する (%i7) define(idiod(v),%); 定義した関数の動作を確認する (%i8) Idiod(1); 定義した関数をグラフ表示する (%i9) wxplot2d(idiod(v),[v,0.001,0.7], /* [logy],*/ [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 飽和電流 Is[A] の影響を確認するために Is1=1*10^-11[A] を代入する (%i10) Is1:1*10^-11; Fig.2 ダイオード特性の理論グラフ (%i11) Id1:Is1*(exp(V/Vroom)-1);

4 定義した関数の計算確認する (%i12) define(idiod1(v),%); 異なる Is のグラフ表示する (%i13) wxplot2d([idiod(v),idiod1(v)],[v,0.001,0.7], /* [logy], */ [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [legend,"is:1pa","is:10pa"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.3 異なる Is のダイオード特性の理論グラフ ダイオード特性の特徴を確認するために 縦軸を log グラフに変更する 表示されるグラフが直線であることが確認できる (%i14) wxplot2d([idiod(v),idiod1(v)],[v,0.001,0.7], [logy], [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [legend,"is:1pa","is:10pa"], [gnuplot_preamble,"set grid"]);

5 Fig.4 Semi-log グラフでの異なる Is のダイオード特性の理論グラフつぎに 0.7V での接線から立ち上がり電圧を求める V=0.7[V] での電流値を計算する (%i15) Ico:Idiod(0.7); 傾きを求めるために ダイオード特性の理論線から微分式を求める (%i16) di:diff(idiod(v),v); 定義した関数の動作確認する (%i17) dico:ev(%,v:0.7); 接点の値を定義する (%i18) xpoint:[0.7];ypoint:[ico];

6 接線 : I-Ico=dIco*(V-0.7) で計算できる この式を変形すると以下の式となる I=dIco*(V-0.7)+Ico Ref. [1] example site 接線を定義する (%i20) expr:dico*(v-0.7)+ico; Maxima の関数として再定義する (%i21) define(icon(v),expr); ダイオード特性式と接線を同時に表示する (%i22) wxplot2d([idiod(v),icon(v),[discrete,xpoint,ypoint]],[v,0.001,0.75], /* [logy],*/ [x,0.5,0.75], [y,-1,1], [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [color,blue,red,green], [style,lines,lines,points], [point_type,circule], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.5 ダイオード特性の理論グラフと接点と接線のグラフ

7 立上り電圧は x 軸との交点を求める 接線において I=0 となる電圧であるので以下で計算できる (%i23) solve(icon(v),v); 出力結果を実数で表示する (%i24) float(%); 以上から 立ち上がり電圧は 以下となる (%i25) xzero:[rhs(%[1])];yzero:[0.0]; 最後に ダイオード特性 接点 接線そして 立ち上がり電圧を 同時に表示する (%i27) wxplot2d([idiod(v),icon(v),[discrete,xpoint,ypoint],[discrete,xzero,yzero]], [V,0.001,0.75], /* [logy],*/ [x,0.5,0.75], [y,-1,1], [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [color,blue,red,green,black], [style,lines,lines,points,points], [point_type,circule], [legend,"diode","contact line","contact point","cross Point"], [gnuplot_preamble,"set key left bottom;"], [gnuplot_preamble,"set grid"]);

8 Fig.6 ダイオード特性の理論グラフ 接点と接線のグラフ 立ち上がり電圧の関係 グラフから 計算できていることが確認できる

9 5-2 ダイオード特性方程式と負荷線について [ 目的 ] ダイオード特性をグラフ表示して 負荷線とダイオード方程式の交点を求める [ 手順と結果 ] 変数を初期化する (%i1) kill(all); 計算で必要な物理定数を定義する 素電荷 q [C] を定義する (%i1) q: *10^-19; ボルツマン定数 k [J/K] を定義する (%i2) k: *10^-23; Fig.1 ダイードと抵抗の直列回路 動作温度 T[K] を定義する (%i3) T:300; 室温 (T=300K) での熱温度電圧 :Vroom を定義する (%i4) Vroom:k*T/q; 飽和電流 Is[A] を定義する (( 注 )) 今回は 式の特性をグラフ化が目的なので 以下の数値とした (%i5) Is:1*10^-12; 拡散電流が支配的である場合と仮定して 理想係数 N=1 とする (%i6) Id:Is*(exp(V/Vroom)-1); ダイオードの特性方程式を定義する (%i7) define(idiod(v),%);

10 定義した関数の動作を確認する (%i8) Idiod(1); 定義した関数をグラフ表示する (%i9) wxplot2d(idiod(v),[v,0.001,0.7], /* [logy],*/ [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); ダイオード特性方程式のグラフ表示ができたので 次に 負荷線方程式を定義して グラフ表示する 回路の抵抗 R0 を定義する (%i10) R0:1*10^3; Fig.2 ダイオード理論グラフ 式を定義する (%i11) I(E,V):=E/R0-V/R0; 関数の動作を確認する (%i12) I(5,1);

11 電源電圧を 5V のときの負荷線を定義する (%i13) define(ir(v),i(5,v)); 定義した負荷線をグラフ表示する (%i14) wxplot2d(ir(v),[v,0.001,5], /* [logy],*/ [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.3 負荷線のグラフ 以上で負荷線の表示を確認できた 次に 負荷線とダイオード特性方程式の交点を確認する

12 以上の定義した関数を同時に表示する (%i15) wxplot2d([idiod(v),ir(v)],[v,0.001,0.6], /* [logy],*/ [xlabel,"voltage[v]"], [ylabel,"current [A]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 交点が存在することが確認できたので 交点を求める 定義式を確認する (%i16) Id; Fig.4 負荷線とダイオード特性のグラフの交点近傍 Solve 関数で解を求める (%i17) solve(id-(5-v)/r0=0,v); Solve 関数では 解が得られないので 数値解析のニュートン ラプソン法を用いて交点を求める basic package:newton を読み込みます (%i18) load(newton);

13 (( 注 )) 以下はテスト関数です (%i19) /* newton(2^(-x)-x,1); */; (%i19) /* float(%); */; 交点を求めるために 初期値を 0.3 として解を求める (%i19) newton(id-(5-v)/r0,0.3); 精度を指定可能なニュートン ラプソン法を用いる Check another function:newton for package:newton1 Package を読み込みます (%i20) load(newton1); (%i21) newton(id-(5-v)/r0,v,0.4,1/100000); 連立方程式を解くニュートン ラプソン方法を用いる package:mnewton を読み込む (%i22) load(mnewton); (%i23) mnewton([id-(5-v)/r0],[v],[0.5]); 解が小数点 5 ケタまでは一致していることが確認できました

14 解を求めるときに 初期値が適切なのか判断できない場合は 初期値を変更しながら計算させることもできます (%i24) for i:1 thru 5 step 1 do( x:i*0.1, kai:mnewton([id-(5-v)/r0],[v],[x]), print(kai) );

15 5-3 ダイオード特性の実験データの解析 [ 目的 ] 測定データを入力確認後 近似したダイオードの特性式に fitting した近似式を求める [ 手順と結果 ] 変数の初期化を実行する (%i1) kill(all); 測定した電流値のデータを設定する (%i1) datax:[0,0.001,0.005,0.01,0.02,0.05,0.1,0.2,0.5,1,2,5,10,14]; 測定した電圧値のデータを設定する (%i2) datay:[0,0.24,0.34,0.36,0.39,0.43,0.46,0.49,0.53,0.57,0.6,0.65,0.68,0.69]; 電流値は ma なので 10^-3 倍して A にする (%i3) dataxa:datax*10^-3;

16 実験データを表示し確認する (%i4) wxplot2d([discrete,datay,dataxa], /* [x,2000,200*10^3], */ /*[logx],*/ /*[logy],*/ [style,points], [color,red], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 近似式を求めるために 電流値を log に変換する 入力した電流値を確認する (%i5) dataxa; Fig.1 実験データのグラフ Log 変換するので ゼロは 削除する (%i6) dataxa1:rest(dataxa);

17 参考文献 [1] Wollett_mbe1strt.pdf (%i7) dataxalog:map(log,dataxa1); 変換したデータを表示して確認する (%i8) wxplot2d([discrete,rest(datay),dataxalog], /* [x,2000,200*10^3], */ /*[logx],*/ /*[logy],*/ [style,points], [color,red], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.2 Log 変換した実験データのグラフ

18 近似式を求めるために x-y 形式のデータリストに変換する (%i9) dataxy:map("[",rest(datay),dataxalog); 最小自乗法行列形式に変更する (%i10) datam:apply('matrix,dataxy); 最小二乗法の Package: lsquares を読み込む (%i11) load(lsquares);

19 Fitting を計算を実行する 計算結果を kai に代入する 解として a,b がリスト形式で出力される (%i12) kai:lsquares_estimates(datam,[x,y],y=a*x+b, [a,b],iprint=[-1,0]); 得られたリスト形式の解を myfit 関数に代入する 以下の様にすると 関数の a, b に代入されます (%i13) myfit:a*x+b,%;

20 Fitting 関数とデータを同時表示して確認する (%i14) wxplot2d([myfit,[discrete,dataxy]], [x,0,1], [style,[lines,5],[points,4,2,1]], [legend,"myfit","data"], [gnuplot_preamble,"set key bottom;"] ); Fitting した関数を再確認する (%i15) myfit; Fig.3 Log 変換した実験データと近似線のグラフ

21 計算結果の kai から値を取り出す リスト形式であるので 以下で取り出すことができる (%i19) A:rhs(kai[1][1]); (%i20) B:rhs(kai[1][2]); 係数 A,B を実数表示する (%i21) float(a); (%i22) float(b);

22 係数 A,B と ダイオード特性式の関係を以下に示す exp(qv/kt)>>1 のとき 特性方程式は以下の式に近似できる I = Is* Exp(q*V/N*k*T -1) Is*Exp(q*V/N*k*T) ----(1) (1) 式の両辺の自然対数をとる log(i) = log(is) + q*v/n*k*t (2) (2) 式は 以下の (3) 式の形式であることが確認できる y = B + A*x (3) この (3) 式において y=log(i) で x=v とすると A=q/(k*T)*1/N (4) B=log(Is) (5) に対応していることが確認できる kt/q は 室温電圧と呼ばれている T=300K のとき, kt/q は約 26mV である (4) 式から 理想係数 N が得られる (%i23) N:1/(A*0.026); 実数表示する (%i24) float(%); 同様に (5) 式から Is が求められる (%i25) Is:exp(B); 計算結果を実数表示する (%i26) float(%);

23 近似したダイオード特性式を電圧 V の関数として定義する (%i27) define(id(v),is*exp(v/(0.026*n))); 実験データと近似したダイオード特性式を同時に表示して確認する (%i32) wxplot2d([id(v),[discrete,datay,dataxa]], [V,0,0.5], [style,[lines,5],[points,4,2,1]], [legend,"myfit","data"], [gnuplot_preamble,"set key top;"] ); Fig.4 実験データと fitting したダイオード特性方程式のグラフ 以上で 実験データに 近似したダイオード特性式が fitting できていることが確認できる

24 5-4 トランジスタ特性 :IC-VCE について [ 目的 ] トランジスタの特性の中の Ic-Vce 特性についての理論グラフを表示する ここで 使用する理論は 最もシンプルな回路モデルの Ebers-Moll モデルを使用する 参考文献 [1]G. Massobrio, and P. Antognetti, "Semiconductor Device Modeling with SPICE 2nd" McGraw Hill,1933 [ 手順と結果 ] すべての変数を初期化する (%i1) kill(all); 参考文献 [1] にある SPICE2 BJT Ebers-Moll static model の式を定義する Fig.1 Run - Mode Is, など主要な定数は Block 関数を用いて以下の様に定義する (%i1) Ic(Vbe,Vbc,Is,betaF,betaR):=block( [Ic, q:1.602*10^-19, k:1.38*10^-23, Fig.2 Ebers-Moll Model T:300, GMIN:1.0*10^-12, Isf:1.0*10^-16], /* Active */ if (Vbe>-5*k*T/q) and (Vbc<=-5*k*T/q) then Is*Isf*(exp(q*Vbe/(k*T))+1/betaR)+(Vbe-(1+1/betaR)*Vbc)*GMIN /* Inverse */ elseif (Vbe<=-5*k*T/q) and (Vbc>-5*k*T/q) then -Is*Isf*(exp(q*Vbc/(k*T))+1/betaR*(exp(q*Vbc/(k*T))-1))+(Vbe- (1+1/betaR)*Vbc)*GMIN /* Satrurate */ elseif (Vbe > -5*k*T/q) and (Vbc>-5*k*T/q) then Is*Isf*(exp(q*Vbe/(k*T))-exp(q*Vbc/(k*T))-1/betaR*(exp(q*Vbc/(k*T))-1))+(Vbe- (1+1/betaR)*Vbc)*GMIN /* Off */ elseif (Vbe <= -5*k*T/q) and (Vbc <= -5*k*T/q) then Is*Isf/betaR+(Vbe-(1+1/betaR)*Vbc)*GMIN );

25 Vbc=-Vce+Vbe を用いて 変数変換を実行する (%i2) subst(-vce+vbe,vbc,ic(vbe,vbc,is,betaf,betar)); 出力された式を Vbe,Vce,Is,betaF,betaR の関数として定義する (%i3) define(ic(vbe,vce,is,betaf,betar),%o2);

26 関数の動作確認するために 値を代入する (%i4) Ic(0.78,6,1,150,0.001); つぎに 関数を確認する (%i6) wxplot2d(ic(0.8,x,1,180,0.001),[x,0.001,10], [y,0,0.01], [xlabel,"vce"], [ylabel,"ic"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.1 Ic-Vce 特性のグラフ

27 実験では Ib を一定の値として実験しているが 定義した関数は Vbe 一定の関数であることに注意する Vbe=0.8 と Vbe=0.75 の関数を定義する そして 定義した関数について グラフ表示する (%i7) define(ic0_8(x),ic(0.8,x,1,180,0.001))$ (%i8) define(ic0_75(x),ic(0.75,x,1,180,0.001))$ (%i9) wxplot2d([ic0_75(x),ic0_8(x)],[x,0,10], [y,0,0.01], [xlabel,"vce"], [ylabel,"ic"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.2 異なる Ib での Ic-Vce 特性のグラフ このグラフと実験データを比較すると Ebers-Moll モデルの問題点が確認できます

28 5-5 Ebers-Moll モデルを用いた IB-IC 特性グラフの表示 [ 目的 ] Ebers-Moll モデルを用いたときの IB-IC 特性のグラフを表示する 参考文献 [1]p224, R. C. Jaeger & T. N. Blaloac, MicroElectronic circuit design,4th" 参考文献での設定値を以下に示す ideal coefficient:n=1.4 Is:10^-13 [A] betaf:170 betar:170 Vt:0.026[V] VCC:12 [V] [ 手順と結果 ] 参考文献の計算を確認する はじめに 上記の設定値を定義する (%i27) Vt:0.026; (%i28) Is:10^-15; (%i29) betaf:50; (%i30) betar:1; (%i31) Vcc:5; (%i32) Vbe:0.75; (%i33) Vbc:Vbe-Vcc; Ic の計算を実行する (%i34) Ic:Is*(exp(Vbe/Vt)-exp(Vbc/Vt))-Is/betaR*(exp(Vbc/Vt)-1); Ie の計算を実行する

29 (%i35) Ie:Is*(exp(Vbe/Vt)-exp(Vbc/Vt))+Is/betaF*(exp(Vbe/Vt)-1); 最後に Ib についの計算を実行する (%i36) Ib:Is/betaF*(exp(Vbe/Vt)-1)+Is/betaR*(exp(Vbc/Vt)-1); (%i37) Ic+Ib; 以上より 使用する式について計算ができることが確認できたので 以下に使用する式についてまとめる 電圧条件 :Vbe>4Vt=0.1V and Vbc<-4Vt=-0.1V, この場合は exp(-vbc/vt)<<1 をもちいて 次の関係が成立する ic=is*exp(vbe/vt)+is/betar ie=is/betaf*exp(vbe/vt)+is/betaf ib=is/betaf*exp(vbe/vt)-is/betaf-is/betar => ib=1/betaf(exp(vbe/vt)+is/(betar*betaf))-is/betaf-is/betar-is/betar =1/betaF*Ic-Is/betaF-2Is/betaR 以上で Ic, Ie と Ib の関係式が定義できたので 再計算する すべての変数を初期化する (%i38) kill(all); Ic の関数を定義する (%i1) Ic:Is*(exp(Vbe/(N*Vt))-exp(Vbc/(N*Vt)))-Is/betaR*(exp(Vbc/(N*Vt))-1); Ie の関数を定義する (%i2) Ie:Is*(exp(Vbe/(N*Vt))-exp(Vbc/(N*Vt)))+Is/betaF*(exp(Vbe/(N*Vt))-1);

30 最後に Ib の関数を定義する (%i3) Ib:Is/betaF*(exp(Vbe/(N*Vt))-1)+Is/betaR*(exp(Vbc/(N*Vt))-1); Vbc=Vbe-Vcc の関係を用いて 変数変換する (%i4) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ic); 得られた数式に 値を代入する (%i5) ev(%,is:10^-13,vt:0.026,betaf:170,betar:170,vcc:12,n:1.4); 値を代入した数式を関数として定義する (%i6) define(icc(vbe),%); 関数の動作を確認する (%i7) ICC(0.75); つぎに Ie に対して (%i8) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ie);

31 得られた数式に 値を代入する (%i9) ev(%,is:10^-13,vt:0.026,betaf:170,betar:170,vcc:12,n:1.4); IEE の関数を定義する (%i10) define(iee(vbe),%); 関数の動作を確認する (%i11) IEE(0.75); 最後に Ib に対して (%i12) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ib); 数値を代入する (%i13) ev(%,is:10^-13,vt:0.026,betaf:170,betar:170,vcc:12,n:1.4); IBB 関数を定義する (%i14) define(ibb(vbe),%);

32 IBB 関数の動作を確認する (%i15) IBB(0.75); 計算できたので 関数をセミログのグラフで表示する (%i16) wxplot2d([icc(x),iee(x),ibb(x)], [x,0.3,0.8], [logy], [xlabel,""], [ylabel,""], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); 得られたグラフは セミロググラフ上で直線的に変化しているので 指数関数的に変化することが確認できる Ib-Vbe の関数 IBB をグラフ表示する Fig.1 ICC,IEE,IBB のグラフ表示 (%i17) wxplot2d(ibb(x), [x,0.3,0.8], /* [logy], */ [xlabel,"vbe[v]"], [ylabel,"ibb[a]"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] );

33 Fig.2 IBB-Ibe, のグラフ表示 ここで Ib の方程式を確認する (%i18) Ib; トランジスタのバイアス関係 :Vbc=Vbe-Vcc を用いて 変数変換する (%i19) Ibb:ratsubst(Vbe-Vcc,Vbc,Ib); Ic と Ib のグラフを表示する 解析解は得られないので Vbe のリストに対応した Ib と Ic のリストを作成する はじめに Vbe の変化に対応する xdata のリストを作成する (%i20) xdata:makelist(x,x,7,9,0.02)$ (%i21) xxdata:xdata*0.1;

34 IBB に代入して IBB の計算を実行する (%i22) ydata:maplist(ibb,xxdata)$ hfe=icc(x)/ibb(x) を定義して グラフ表示する 横軸 X が Vbe に相当する (%i24) wxplot2d(icc(x)/ibb(x), [x,0.7,1.0], /* [logy],*/ [xlabel,"vbe"], [ylabel,"ibb"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid;set yrange[150:200]"] ); Fig.3 IBB-Ibe, のグラフ表示 このグラフから hfe が一定値の 170 を表示することが確認できる Vbe データリストを ICC 関数に代入して ICC をリストデータとして求める (%i25) y3data:maplist(icc,xxdata)$ 得られたリストをグラフ表示する (%i26) wxplot2d([discrete,ydata,y3data], /* [logy], */ [xlabel,"ib[a]"], [ylabel,"ic[a]"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] );

35 Fig.4 Icc-Ibb, のグラフ表示

36 5-6 アーリー効果を考慮した静特性の Ebers-Moll Model について [ 目的 ] トランジスタのモデルにおいて アーリー効果を考慮した Ebers-moll モデルのグラフを表示する [ 参考文献 ] [1]p325, Sima Dimitrijev, "Understanding Semiconductor Devices", Oxford University Express., 2000 [ 手順と結果 ] 変数を初期化する (%i1) kill(all); アーリー効果を考慮した飽和電流 :Is を定義する [1] VA: アーリー電圧 for Active 領域, VB: アーリー電圧 for Reverse 領域 Fig.1 Ebers Moll Model (%i1) Is:Is0*(1-Vbc/VA-Vbe/VB); Ic を定義する (%i2) Ic:Is*(exp(Vbe/Vt)-1)-(1+1/betaR)*Is*(exp(Vbc/Vt)-1); Fig.2 Early Voltage Vbc=Vbe-Vcc を用いて 変数を変換する (%i3) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ic);

37 出力した式に 値を代入する (%i4) ev(%,is0:10^-15,vt:0.026,betaf:170,betar:5,va:50,vb:50); 値を代入した式を 電流 ICC を Vcc と Vbe の関数として定義する (%i5) define(icc(vcc,vbe),%); 定義の確認するために 数値を代入する (%i6) ICC(5,0.8);

38 電流 ICC のグラフを表示する (%i7) wxplot2d(icc(x,0.8), [x,0.01,6],[y,0,0.1], /* [logy], */ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"icc[a]"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); つぎに 電流 Ib を定義する Fig.3 定義した関数のグラフ (%i8) Ib:Is/betaF*(exp(Vbe/Vt)-1)+Is/betaR*(exp(Vbc/Vt)-1); Vbc=Vbe-Vcc の関係を用いて 変数変換する (%i9) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ib);

39 出力された数式に 値を代入する (%i10) ev(%,is0:10^-15,vt:0.026,betaf:170,betar:5,va:50,vb:50); 出力された数式を Vcc と Vbe を変数とする関数 IBB(Vcc,Vbe) として定義する (%i11) define(ibb(vcc,vbe),%); 定義の確認のために 数値を代入する (%i12) IBB(5,0.8);

40 定義した IBB(Vcc,Vbe) をグラフ表示する (%i13) wxplot2d(ibb(5,x), [x,0.01,0.8], /* [logy], */ [xlabel,"vbe[v]"], [ylabel,"ibb[a]"], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.4 定義した関数のグラフ 以上で トランジスタの Active 領域での Ic-Vce グラフと Ib-Vbe グラフが表示できました

41 5-7 Ebers-Moll model と実験データの比較について [ 目的 ] Ebers-Moll モデルを用いた計算値と実験データを比較する [ 参考文献 ] [1]p325, Sima Dimitrijev, "Understanding Semiconductor Devices", Oxford University Express., 2000 [ 手順と結果 ] 変数の初期化する (%i32) kill(all); ベース電流 Ib = 15uA の実験データについて 印加電圧 :Vcc を datax に格納する (%i1) datax:[0.05,0.1,0.2,0.3,0.5,0.6,0.7,1,2,2.5,3,4,5]; datay に測定電圧 Vce を格納する (%i2) datay:[0.038,0.06,0.089,0.11,0.15,0.18,0.24,0.53,1.53,2.03,2.53,3.53,4.52]; dataz に 測定電流 Ic[mA] を格納する (%i3) dataz:[0.082,0.238,0.653,1.117,2.047,2.447,2.689,2.739,2.76,2.769,2.776,2.792,2.806]; 実験データの電流値の ma を A に変換する (%i4) datazma:dataz*10^-3;

42 実験データをグラフ表示する (%i5) wxplot2d([discrete,datay,datazma], /* [x,2000,200*10^3], */ /*[logx],*/ /*[logy],*/ [style,points], [color,red], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.1 実験値のグラフ 同様に Ib=30uA のときのデータをリスト格納する (%i6) datay30u:[0.0306,0.0478,0.0706,0.0868,0.1121,0.1365,0.1909,0.5770,1.0733,1.5685,2.064,3.0554,4.0478]; 電流値を格納する (%i7) dataz30u:[0.123,0.31,0.764,1.258,2.285,3.318,4.76,5.428,5.46,5.485,5.506,5.558,5.605]; 電流値の ma を A に変換する (%i8) dataz30uma:dataz30u*10^-3;

43 格納したデータをグラフ表示する (%i9) wxplot2d([discrete,datay30u,dataz30uma], /* [x,2000,200*10^3], */ /*[logx],*/ /*[logy],*/ [style,points], [color,red], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 格納した実験データのすべてを表示する Fig.2 異なる Ib の実験値のグラフ (%i10) wxplot2d([[discrete,datay,datazma],[discrete,datay30u,dataz30uma]], /* [x,2000,200*10^3], */ /*[logx],*/ /*[logy],*/ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"ic[a]"], [style,points,points], [color,red,blue], [legend,"ib:15ua","ib:20ua"], [gnuplot_preamble,"set grid"], [gnuplot_preamble,"set key right bottom;"]); Fig.3 異なる Ib の実験値のグラフの同時表示

44 Ebers-Moll のトランジスタのモデルを定義する (%i11) Is:Is0*(1-Vbc/VA-Vbe/VB); 電流値 :Ic を定義する (%i12) Ic:Is*(exp(Vbe/Vt)-1)-(1+1/betaR)*Is*(exp(Vbc/Vt)-1); 電圧 Vbc=Vbe-Vcc を用いて 変数の変換する (%i13) ratsubst(vbe-vcc,vbc,ic); 実験データを用いて Is0 を求める Vbe は 測定していないので Vbe=0.8[V] と仮定する (%i14) lnis:log(5.6*10^-3)-0.8/0.026; 以上から 飽和電流 :Is00 は以下となる (%i15) Is00:exp(%); 得られた値を SPICE モデル式に代入する (%i16) ev(%o13,is0:is00,vt:0.026,betaf:185,betar:5,va:50,vb:50);

45 Vcc と Vbe の関数として ICC を定義する (%i17) define(icc(vcc,vbe),%); 計算の確認のため数値を代入する (%i18) ICC(5,0.8); 電流関数 ICC のグラフを表示する (%i19) wxplot2d(icc(x,0.8), [x,0.01,6],[y,0,0.01], /* [logy], */ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"icc[a]"], [style,points,points], [color,red,blue], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.4 Ic-Vce の理論のグラフ

46 SPICE モデルのグラフと実験データを同時に表示する (%i20) wxplot2d([[discrete,datay30u,dataz30uma],icc(x,0.8)], [x,0.01,5],[y,0,0.007], /* [logy], */ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"ic[a]"], [style,points,points], [color,red,blue], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.5 Ic-Vce の実験値と理論のグラフ相違を確認するために 電流値の一部分を拡大表示する (%i21) wxplot2d([[discrete,datay30u,dataz30uma],icc(x,0.8)], [x,0.01,4],[y,0.004,0.007], /* [logy], */ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"ic[a]"], [style,points,points], [color,red,blue], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.6 Ic-Vce の拡大したグラフ

47 拡大したグラフにおいて Vce=0.5 以下で不一致であることが確認できる さらに 実験データと計算グラフでのアーリー電圧が一致していないことがわかる つぎに 実験データを用いて アーリー電圧を求める VB の項を無視すると 以下で Ic と AV は計算できる Ic1=Ic(0)(1+Vcb1/VA) Ic2=Ic(0)(1+Vcb2/VA) 以上の 2 式から VA は以下の式となる (%i22) VA0:(Vcb2-Vcb1)*(Ic2/Ic1)/(Ic2/Ic1-1); I C ( V BC = 0) V A = I C( V BC ) V A + V BC Early 電圧と電流の関係式 Vcb=Vce-Vb を用いて 変数変換する ただし Vbe を測定していないので Vbe=0.8[V] と仮定して計算する 使用データは Ib=30uA のとき (Ic,Vce)=(5.605mA,4.0478V),(5.506mA,2.064V) を使用する (%i23) Vcb20: ; Vce=2.064 のときも同様に計算する (%i24) Vcb10: ; すべての計算した値を代入する アーリー電圧 :VA は以下の値となる (%i25) ev(va0,vcb2:vcb20,vcb1:vcb10,ic2:5.605*10^-3,ic1:5.506*10^-3); 得られたアーリー電圧を用いて 新しい ICC 定義をする 数値をもう一度代入する (%i26) ev(%o13,is0:is00,vt:0.026,betaf:185,betar:5,va:112,vb:50);

48 表示された数式を ICC0 関数として定義する (%i27) define(icc0(vcc,vbe),%); 実験データと定義した関数のグラフを同時に表示する (%i28) wxplot2d([[discrete,datay30u,dataz30uma],icc0(x,0.8)], [x,0.01,4],[y,0.004,0.007], /* [logy], */ [xlabel,"vce[v]"], [ylabel,"ic[a]"], [style,points,points], [color,red,blue], [legend,false], [gnuplot_preamble,"set grid"] ); Fig.7 アーリー効果ありの Ic-Vce グラフを拡大したグラフ

49 付録. 1 単位の解析について [ 目的 ] 室温電圧 :Vrm について Maxima で使用可能である単位計算 Package を使用して計算する 参考サイト : [1] [2] Essentials of the SI (%i1) kill(all); 単位計算可能 Package を読み込む (%i1) load(ezunits); Ref. [3] 45.2 Introduction to physical_constants [4]

50 物理定数の Package を呼び出す (%i2) load(physical_constants); 電子の電荷量を確認する (%i3) %%e; 数値表示する (%i4) constvalue(%); ボルツマン定数を数値表示する (%i5) constvalue(%%k); 室温熱電圧を計算する 単位を含まない 300 の値を用いる (%i6) %%k*300/%%e; 数値で表示する (%i7) vrm:constvalue(%); (%i8) vrm; 室温 Trm を 300K とする (%i9) Trm:300 ` K;

51 単位を含む変数を用いて計算する (%i10) %%k*trm/%%e; 数値で表示する 単位計算も実行されます 単位が J/C となる (%i11) constvalue(%); [J/C] は W[J/s]=V[V]*I[A] から [J]=[V]*[C] となるので [J/C]=[V] であることが確認できます 参考文献 : [6] p2-11, Gilberto E. Urroz, MaximaBook.pdf, 2008

52 付録. 2 熱電圧 (Thermal Voltage) について [ 目的 ] 熱電圧 (thermal Voltage) は kt/q で定義される 熱電圧の室温での値 単位について確認する [ 手順と結果 ] 変数の初期化する (%i14) kill(all); 電子の電荷量 :q(charge of the electron)[c] (%i1) q:1.6*10^-19; ボルツマン定数 :k[j/k] (%i2) k:1.38*10^-23; 熱電圧 (Thermal Voltage):VT を以下で定義する 温度 [K] を室温として 熱電圧を求める (%i3) VT:k*300/q; 飽和電流 :Is [A] (%i4) Is:0.1*10^-12; 使用例を示す ダイオードの電流 ID = Is*exp(VD/(N*VT)-1) VD: ダイオードに印加される電圧 理想係数 :N として 1 N 2 の間の値を取る VD>0.2[V] の場合は, ID exp(vd/(n*vt)) と近似できるダイオード電流 :ID を定義する (%i5) ID:Is*exp(VD/VT); VD の関数を IDD(VD) を定義する --> define(idd(vd),id);

53 定義したダイオードの電流関数 IDD をグラフ表示する --> wxplot2d(idd(vd),[vd,0.001,0.8], /* [logy], */ [xlabel,"vd[v]"], [ylabel,"id[a]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); 電流の縦軸をログ表示にして 表示する Is と VD の関係が直線表示されることが確認できる --> wxplot2d(idd(vd),[vd,0.001,0.8], [logy], [xlabel,"vd[v]"], [ylabel,"id[a]"], [gnuplot_preamble,"set grid"]); Fig.1 ダイオード特性 Fig.2 Semi-Log グラフでのダイオード特性

54 最後に 熱電圧の単位を確認する (%i25) load(unit); 準単位系を定義する (%i28) setunits([j,v,ohm,farad,henry,coulomb]); 熱電圧の単位を計算させる (%i29) (J/K)*K/coulomb; 電圧の単位の V が得られることが確認できた