Mathmaticaの特徴

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ゆみかすすむ
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8. Mathematica を使ってみよう 8.. Mathmatica の特徴数式処理数値ではなく, 数式を使った演算が可能である. グラフィックス数式をすぐにグラフ化できるプログラミング今回の授業では扱わないが, プログラミングが可能である.( プログラミングの文法は C 言語とほぼ同じです.C 言語をある程度しっていて興味のある人は, 試してみてください ) 8.

1 8. Mathematica を使ってみよう 8.. Mathmatica の特徴数式処理数値ではなく, 数式を使った演算が可能である. グラフィックス数式をすぐにグラフ化できるプログラミング今回の授業では扱わないが, プログラミングが可能である.( プログラミングの文法は C 言語とほぼ同じです.C 言語をある程度しっていて興味のある人は, 試してみてください ) 8.. クイックスタート 8... Mathematica の起動 Mathematica を起動するには,[ スタート ] メニューから [ プログラム ] [Mathematica4] [Mathematica4] をクリックします. すると右図のように Mathematica が起動します数式の入力と評価まず, + と入力して,[Shift] キーを押しながら [Enter] キーを押してみましょう. 初めだけ少し時間がかかりますが, In[]:= + Out[]= と表示されるはずです. ( 注意 ) 入力した数式の評価を行うためには, 常に [Shift] キーを押しながら [Enter] キーを押します. 単に [Enter] キーを押すと前の行からの入力の続きと判断されます. In[]:= 等は Mathematica が勝手に表示するもので入力してはいけません. 次に + と入力して,[Shift] キーを押しながら [Enter] キーを押して見ましょう. 今度は, In[]:= + Out[]= と表示されるはずです. このように Mathematica は数値以外の数式を扱うことができます計算結果の保存計算結果を初めて保存する時は, プルダウンメニューの [File] から [Save As ] をクリックします. すると図 8- の [ 名前を付けて保存 ] ダイアログが開くので, 適当な名前をつけて ( 図 8- の例では, test にしてあります), [ 保存する場所 ] で自分のホームディレクトリである [Nafs の S(Y:)] が選択されていることを確かめてから, 8-

[ 保存 ] ボタンをクリックします. 回目以降, 保存する場合はプルダウンメニューの [File] から [Save] をクリックします. 図 8-8..4. Mathematica の終了 Mathematica を終了するためには, プルダウンメニューの [File] から [Eit] をクリックするか, タイトルバー ( 右図 ) の左上の [X] ボタンをクリックします. 8.3.

2 [ 保存 ] ボタンをクリックします. 回目以降, 保存する場合はプルダウンメニューの [File] から [Save] をクリックします. 図 Mathematica の終了 Mathematica を終了するためには, プルダウンメニューの [File] から [Eit] をクリックするか, タイトルバー ( 右図 ) の左上の [X] ボタンをクリックします Mathematica のコマンド演算コマンド四則演算足算, 引き算, 掛け算, 割り算はそれぞれ +,-,*,/ で行える. また ( ) も使うことができる. 但し [ ] は関数の引数とみなされるので使ってはいけない. ( 例 ) +,/3,*,/y,(+)*3 冪級数は ^ を使う ( 例 ) ^4 その他の組み込み関数関数 Mathematica の表記関数 Mathematica の表記 Sqrt[] log Log[] e Ep[] sin sin Sin[] cos cos Cos[] tan tan Tan[] ArcSin[] ArcCos[] ArcTan[] Abs[] Mathematica は大文字小文字を区別する. 組み込み関数は全て大文字で始まることに注意. 8-

3 組み込まれている定数定数 Mathematica の表記定数 Mathematica の表記 Pi Infinity 次元グラフィックス陽関数のグラフ Plot[f,{,min,ma}(,option-> value)] これは, の関数 f をの値が min から ma までプロットすることを示します. ( ) 内は作図のオプションで省略できることを示します. ( 例 ) sin のプロット Plot[ Sin[], {,, Pi} ] ( 例 ) 上と同じで,y 方向の範囲を - からにした例 Plot[ Sin[], {,-Pi,Pi}, PlotRange->{-,} ] ( 例 ) 外枠をつけて,,y というラベルをつけた例 Plot[ Sin[], {,, *Pi}, Frame->True,FrameLabel->{,y} ] [ 問題 ] () y e のグラフを 4 4 で書きなさい. sin () y のグラフを 4 4 で書きなさい ( グラフ全体が入るようにすること ). 8-3

4 陰関数のグラフ陰関数をプロットするコマンドは, ContourPlot[ f, {, min, ma}, {y,ymin,yma},(options) ] です. ( 例 ) y のグラフ ContourPlot [^+y^ ==, {, -, },{y,-,} ]. プロットする数式の等号はつ重ねる ( = = と書く) ことに注意. コンピュータでは = は右辺を左辺に代入するという意味で使うのでこれと区別するために, 等号を重ねて書く [ 問題 ] 4 () y ( ) のグラフをで書きなさい. 4 () y 6 y y のグラフを 4 4 で書きなさい. 4 4 (3) 4 y y のグラフを 4 4 で書きなさい. 4 4 (4) y y のグラフを 4 4 で書きなさい. - 次元アニメーションの作成アニメーションを作るためのコマンドは, Animate[ 変数を含んだ描画関数,{ 変数名, 変数の最小値, 変数の最大値, 変数の増分 }] です. ( 例 ) 半径がからまで. づつ増えていく円のアニメーションを作る Animate[ContourPlot[^+y^==a^,{,-,},{y,-,}], {a,,,.}] 解説 : ContourPlot[^+y^==a^,{,-,},{y,-,}] この部分はすでに勉強した円を各部分です. ただし半径は a で変数になっています. Animate 関数の中で半径をからまで. づつ増やして行きます. それを指定しているのが, {a,,,.} の部分ですこのままでは, 図がカクカクするのでもう少し描画するメッシュを細かくしましょう. そのためのオプションが PlotPoints です Animate[ContourPlot[^ + y^ = = a^, {, -, }, {y, -, }, PlotPoints -> ], {a,,,.}] 8-4 -

5 [ 問題 3] 陽関数のアニメーション. 波の伝播 ( f ( でかける関数は波の伝播を示すことを目で確かめる ) () sin ( のグラフを,. y. の範囲で時間 t をからまで. づつ増やした時の変化をアニメーションにしなさい. () e ( のグラフを,. y. の範囲で時間 t をから 4 まで. づつ増やした時の変化をアニメーションにしなさい. [ 問題 4] 陰関数のアニメーション 3 () y a のグラフを 4 4, y の範囲で a を- からまで. づつ増やした時の変化をアニメーションにしなさい. () ( y ) 4 b のグラフを, y の範囲で b を. からまで. づつ増やした時の変化をアニメーションにしなさい. 8-

8.3.3. 3 次元グラフ 3 次元グラフ Plot3D[f,{,min,ma},{y,ymin,yma},(,option-> value)] これは,,yの関数 f をの値が min から ma まで, yの値が ymin から yma までの範囲で計算し z=f(,y) のグラフをかきます. ( ) 内は作図のオプションで省略できることを示します.

6 次元グラフ 3 次元グラフ Plot3D[f,{,min,ma},{y,ymin,yma},(,option-> value)] これは,,yの関数 f をの値が min から ma まで, yの値が ymin から yma までの範囲で計算し z=f(,y) のグラフをかきます. ( ) 内は作図のオプションで省略できることを示します. ( 例 ) z=sin*cos を -< <,-< y < の範囲でプロットする. Plot3D[Sin[]*Cos[y],{,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}] 密度グラフ DensityPlot[f,{,min,ma},{y,ymin,yma}(,option->value)] 密度グラフは値の大きさを色の濃淡で表すことで 3 次元のグラフを次元にプロットするグラフです. 上のコマンドは,,yの関数 f をの値が min から ma まで, yの値が ymin から yma までの範囲で計算し z の値の大きさを濃淡で示すことで次元グラフをかきます. ( ) 内は作図のオプションで省略できることを示します. ( 例 ) z=sin*cos を -< <,-< y < の範囲でプロットする. DensityPlot[Sin[]*Cos[y],{,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}] 等高線グラフ ContourPlot[f,{,min,ma},{y,ymin,yma}(,option -> value)] 等高線グラフは密度グラフに似ていますが, 値の大きさが同じ点を結んだ線を引くことで 3 次元のグラフを次元にプロットするグラフです. 上のコマンドは,,yの関数 f をの値が min から ma まで, y の値が ymin から yma までの範囲で計算し z=f(,y) の値の大きさが同じ点を結んだ線を引き次元グラフをかきます. ( ) 内は作図のオプションで省略できることを示します. ( 例 ) z=sin*cos を -< <,-< y < の範囲でプロットする. ContourPlot[Sin[]*Cos[y],{,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}]

7 ( 問題 ) e ( y ) の 3 次元グラフを - < <,- < y < の範囲で書きなさい. また等高線図を書きなさい. ( 応用例 ) 点電荷の作るポテンシャルと電場以下では, 原点にC の電荷を置いたときにできる -y 面内のポテンシャルと電場の図を作成する例を示す. 簡単のために, 4 とする. ポテンシャルは, (, y, z) で与えられるので, 4 r -y 面内では, (, y, z) となる ( 但し,.4 y 4 とした ). これを 8 8, 8 y 8で 3 次元でプロットする. Phi=/Sqrt[^+y^] Plot3D[Phi,{,-8,8},{y,-8,8}] このままでは, 値域が狭いのででプロットすることにしよう. Plot3D[Phi,{,-8,8},{y,-8,8},PlotRange->{,}] さらに, メッシュが荒いので,-y 面を 44 で切って表示することにする. Plot3D[Phi,{,-8,8},{y,-8,8},PlotRange->{,}, PlotPoints->4] 等高線図を書いてみよう. ContourPlot[Phi,{,-8,8},{y,-8,8}, PlotRange->{,},PlotPoints->4]

8 等高線が見やすいように色塗りをやめる. 後で電場と重ねて描くために, g という名前をつけておく. g=contourplot[phi,{,-8,8},{y,-8,8}, PlotRange->{,},PlotPoints->4, ContourShading->False] 電場を書いてみよう. 電場 E は, E grad で与えられる.Mathematica では関数の勾配を描画するために, GradientFieldPlot[] という関数が用意されている. これを使うためには最初に一度だけ, <<VectorFieldPlots` とする必要がある. ここで [ ` ] はバッククウォートでクウォート [ ](7の上のキー) ではありません. バッククウォートはキーを押して入力します ( 注 ) General::obspkg: VectorFieldPlots`はサポートされなくなりました. ロードしようとしているレガシーバージョンは, 現在の Mathematica 機能と衝突を起す可能性があります. 更新情報については Compatibility Guide をご覧ください. >> というエラーメッセージが出ますが, 新しいバージョンのバグなので気にしないで下さい. ここではメッシュをに切って勾配をプロットすることにする. g=gradientfieldplot[-phi,{,-8,8},{y,-8,8}, ScaleFunction->(.6&),PlotPoints->] 最後に, ポテンシャルと電場を重ねて描いてみよう. Show[g,g,PlotRange->{{-8,8},{-8,8}}] ( 問題 6) 上の例に倣って, とにそれぞれC の電荷を置いたときの -y 面内でのポテンシャルの等高線と電場を重ねて描きなさい. 但し 4 とする. ( 問題 7) 上の例に倣って, とにそれぞれ-C とC の電荷を置いたときの -y 面内でのポテンシャルの等高線と電場を重ねて描きなさい. 但し 4 とする. 8-8

9 式の変換式の展開 Epand[epr] 式 epr を展開する. ( 例 ) ( ) を展開する Epand[(+)^] + + 因数分解 Factor[epr] 式 epr を因数分解する. ( 例 ) を因数分解する式の簡約 Simplify[epr] 式 epr をなるべく簡単な形に変換する. ( 例 ) を簡単にする通分 Together[epr] 分数式の和 epr を通分する ( 例 ) / / y を通分する部分分数展開 Apart[epr] 分数式 epr を部分分数に変換する 3 y ( 例 ) を部分分数に展開する y y Factor[ + + ^] ( + ) Simplify[ + + ^] ( + ) Together[/ + /y] y y Apart[(3++y)/(++y+ y)] y ( 問題 8) 次の式を因数分解しないさい () a a b b () a b c 3abc (3) ( a b c) a b c 関数の極限 Limit[f,->] はの関数 f の -> の極限 lim f ( 例 ) lim e を求める. を求めます. Limit[*Ep[-],->Infinity] ( 問題 9) ( 問題 ) sin lim を求めなさい. lim を求めなさい. 8-9

10 テーラー展開 Series[f(),{,,n}] はの関数 f() の = の周りのテーラー展開を n 次まで求めます. ( 例 ) sin を = のまわりに次まで展開し, その結果をグラフにして sin のグラフと比較する. In[]:= u=series[sin[],{,,}] Out[]= 3 6 O 6 In[]:= u=normal[u] Out[]= In[3]:=Plot[{Sin[],u},{,,Pi}] Out[3]= -Graphics- ( 問題 ) e の = のまわりでのテイラー展開を次から3 次まで求め, e と一緒にプロットし展開次数が上がれば近似が良くなることを確認しなさい級数和 Sum[f,{i,imin.ima}] 級数 f(i) を i が imin から ima までの合計をもとめる. ( 例 ) 自然数をからまで合計する. Sum[i,{i,,}] ( 問題 ) ( 問題 3) i n を n=,,3,4 についてもとめ,n= の時だけ発散することを確認しなさい n i n を求めなさい微分積分偏微分 D[f,] 関数 f のについての偏微分を求める. 高階偏微分 D[f,{,n}] 関数 f のについての n 階微分 ( 例 ) sin のについての偏微分 D[Sin[],] Cos[] ( 例 ) n のについての 3 階微分 D[^n,{,3}] n n n 3 n 8-

11 多重偏微分 D[f,,y,...] 関数 f の,y,... についての多重偏微分不定積分 Integrate[f,] 関数 f のについての不定積分定積分 Integrate[f,{,min,ma}] 関数 f の min から ma までの定積分数値定積分 NIntegrate[f,{,min,ma}] 関数 f の min から ma までの数値定積分 ( 例 ) sin y の,y についての多重偏微分 D[Sin[*y],,y] Cos[ y] - y Sin[ y] ( 例 ) sin のについての不定積分 Integrate[Sin[],] -Cos[] ( 例 ) sin のでの定積分 Integrate[Sin[]^,{,,Pi}] ( 例 ) sin のでの定積分 NIntegrate[Sin[]^,{,,Pi}].78 ( 問題 4) 関数 f ( ) について次の偏微分を求めなさい. y () f () f y (3) f (4) f y () f yy ( 問題 ) 以下の不定積分を求めなさい. () log d () e sin d (3) d ( 問題 6) 以下の定積分を求めなさい () e d () d sin 方程式の解元方程式 Solve[{lhs == rhs},] は lhs=rhs という方程式を変数について解きます. == は = をつ書くことに注意 ( 例 ) をについて解く. Solve[^++==,] 3, 3 8-

12 多元連立方程式 Solve[{lhs == rhs,lhs==rhs,...},{,y,...}] は lhs=rhs,lhs=rhs,... という,y,... についての連立方程式を解きます. 3 y ( 例 ) 連立方程式を解く y 3 Solve[{3 +y==,+y==3},{,y}] {{ ->, y -> }} ( 問題 7) 質量 m の質点が速さ v で, 静止している質量 m の質点に完全弾性衝突し, それぞれ v と v 3 の速さで動き始めた時, 運動量保存則と運動エネルギー保存則から, mv mv mv3 mv mv mv3 が成り立つ. この方程式を解いて v と v 3 を求めなさい微分方程式 DSolve[eqns,y[],] はの関数 y についての微分方程式 eqns を解きます. 単振動の例 ( 例 ) 微分方程式 ' ' ( を解く. '' はダブルクオーテーションではなく, ' をつ書く DSolve[''[t]==-[t],[t],t] {[t] -> C[] Cos[t] + C[] Sin[t]} ( 例 ) 微分方程式 ' ' ( を初期条件 ( ), ' () のもとに解いて答えを u に代入する. u=dsolve[{''[t]==-[t],[]==,'[]==}, [t],t] {{[t] -> Cos[t] + Sin[t]}} 結果をでプロットする. Plot[Evaluate[[t]]/.u, {t,, Pi}]

13 ( 例 3) 連立微分方程式 y' ( (, ' ( y( ) を初期条件 y ( ), ( ) のもとに解く DSolve[{y'[t]==[t],'[t]==-y[t],[]==, y[]==},{[t],y[t]},t] {{[t] -> Cos[t], y[t] -> Sin[t]}} ( 問題 8) ' '( '( ( を初期条件 ( ), ' () の下で解き, 結果を t 4 でプロットしなさい. グラフが全て見えるように工夫すること. ( 問題 9) ' '(.4( sin t を初期条件 ( ), ' () の下で解き, 結果を t でプロットしなさい. 8-3

Chap2

Chap2 逆三角関数の微分 Arcsin の導関数を計算する Arcsin I. 初等関数の微積分 sin [, ], [π/, π/] cos sin / (Arcsin ) 計算力の体力をつけよう π/ π/ E. II- 次の関数の導関数を計算せよ () Arccos () Arctan E. I- の解答不定積分あれこれ () Arccos n log C C (n ) n e e C log (log