Information is physical. Rolf Landauer It from bit. John Wheeler I think there is a world market for maybe five computers. Thomas Watson

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りさここやぎ
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1 量子情報基礎阿部英介慶應義塾大学先導研究センター応用物理情報特別講義 A 216 年度春学期後半金曜 4

2 Information is physical. Rolf Landauer It from bit. John Wheeler I think there is a world market for maybe five computers. Thomas Watson

3 講義内容量子ビットと 1 量子ビットゲート 2 量子ビットゲートと量子もつれ量子計算とデコヒーレンス ( 注 ) 本講義では最低限の用語の概念の説明のみなので本格的に量子計算に興味にある方は次ページの参考書を精読して下さい

4 参考書 M. A. Nielsen & I. L. Chuang (2) Quantum Computation and Quantum Information ( 邦訳あり ) Keisuke Fujii (215) Quantum Computation with Topological Codes: From Qubit to Topological Fault- Tolerance arxiv: 量子コンピュータ授業 324F235C28F7

5 講義内容量子ビットと 1 量子ビットゲート 2 量子ビットゲートと量子もつれ量子計算とデコヒーレンス

6 量子ビット g Ψ = α + β 1 e 1 重ね合わせ

7 量子ビット定義 : 計算基底のベクトル表示 = 1 1 = 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 = 公準 : 許される状態はヒルベルト空間内 ψ = α + β 1 = α 2 + β 2 = 1 α β α, β C

8 ブロッホ球 1 量子ビットの状態の記述 Ψ = α + β 1 = α β α 2 + β 2 = 1 Ψ = e ii cos θ 2 + eii sin θ 2 1 Ψ 測定に影響しない ɸ θ Y Ψ = cos θ 2 + eii sin θ 2 1 X 1

9 ブロッホ球 1 量子ビットの状態の記述 Ψ = cos θ 2 + eii sin θ 2 1 例 : Z 軸上 (θ =,π) Ψ, 1 例 : X,Y 軸上 (θ = π/2, ɸ =,π,±π/2) 12 ( ± 1 ) 1 2 ( ± i 1 ) X θ ɸ 1 Y

10 ユニタリ発展定義 : エルミート共役 A = A T 定義 : 自己共役 A = A a c b d = a c b d 定義 : ユニタリ UU = I 公準 : 量子状態の時間発展はユニタリシュレディンガー方程式の解 Ψ(t + t) = exp ii t ħ Ψ(t) ハミルトニアン H を指数演算子化した e ih はユニタリ

11 ユニタリ発展定義 : エルミート共役 A = A T 定義 : 自己共役 A = A a c b d = a c b d 定義 : ユニタリ UU = I 公準 : 量子状態の時間発展はユニタリ ψ(t 2 ) = U 1 ψ(t 1 ) 入力 U 1 ψ(t 1 ) ψ(t 2 ) Time 出力

12 ユニタリ発展定義 : エルミート共役 A = A T 定義 : 自己共役 A = A a c b d = a c b d 定義 : ユニタリ UU = I 公準 : 量子状態の時間発展はユニタリ ψ(t 2 ) = U 12 ψ(t 1 ) U n U 2 U 1 ψ ψ U 1 U 2 U 3 U n = ψ 1 量子ビットゲート列 ( 量子回路 )

13 パウリゲート α + β 1 σ i α(σ i ) + β(σ i 1 ) パウリ行列 σ 1 = σ x = 1 1 σ 2 = σ y = i i σ 3 = σ z = i i 1 1 α β = β α α β = i β α α β = α β σ i 2 = I [σ i, σ i+1 ] = 2iσ i+2 {σ i, σ i+1 } =

14 回転ゲート指数演算子 e iii n= iii n n! = cos x I + i sin x A Z n = n X n Y n Z A 2 = I 任意の軸周りの回転 Y R n φ e iin σ/2 X = cos φ 2 I i sin φ 2 (n Xσ X + n Y σ Y + n Z σ Z )

15 回転ゲート X,Y,Z 軸周りの回転 R X φ e iiσ X/2 = cos φ 2 i sin φ 2 Z i sin φ 2 cos φ 2 R Y φ e iiσ Y/2 = cos φ 2 sin φ 2 sin φ 2 cos φ 2 Y R Z φ e iiσ Z/2 = e iφ/2 e ii/2 X

16 ZX 分解任意のユニタリ行列は X 軸と Z 軸の回転の組み合わせで実現 U = e i(α β/2 δ/2) cos γ 2 ie i(α+β/2 δ/2) sin γ 2 ii i(α β/2+δ/2) sin γ 2 e i(α+β/2+δ/2) cos γ 2 γ = e ii e ii/2 cos 2 e ii/2 i sin γ 2 i sin γ 2 cos γ 2 e iδ/2 e iδ/2 = e ii R Z β R X γ R Z δ ( 分解の仕方は一意ではない )

17 アダマールゲート H H = 基底の変換 H 1 2 ( + 1 ) + 1 H ( 1 ) = = 1 + = =

18 アダマールゲート n 軸周りの回転 H = 1 2 H = σ x + σ z 2 R n φ = cos φ 2 I i sin φ 2 (n Xσ X + n Y σ Y + n Z σ Z ) φ = π n = 1 2 R n π = i 2 σ X + σ Z 1 1 H Z n = X

19 アダマールゲート H ZX 分解 H = H = e iπ 2R Z π 2 R X π 2 R Z 3π 2 (α, β, γ, δ) = π 2, π 2, π 2, 3π 2 Z = e i(π 2 +π 4 3π 4 ) cos π 4 ie i(π 2 π 4 3π 4 ) sin π 4 ii i(π 2 +π 4 +3π 4 ) sin π 4 e i(π 2 π 4 +3π 4 ) cos π 4 X = 1 2 e i ii i3π 2 ie iπ 2 e ii

20 測定 α + β 1 確率 α 2 で確率 β 2 で 1 を出力 ( 注 ) 計算基底による測定を行う測定器 ± 基底での測定 = α + β 2 α + β α β 2 ± 確率 α + β 2 /2 で + 確率 α β 2 /2 でを出力 α + β 1 H α + β 2 確率 α + β 2 /2 で確率 α β 2 /2 で 1 を出力 α β 基底変換 + 計算基底による測定で任意の基底による測定が可能

21 講義内容量子ビットと 1 量子ビットゲート 2 量子ビットゲートと量子もつれ量子計算とデコヒーレンス

22 複数量子ビット 2 量子ビットの状態の記述 Ψ = α + β 1 + γ 1 + δ 11 α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = 1 公準 : 複合系の状態はテンソル積で表される ( 注 )2 量子ビットの状態の計算基底は 4 つ = 1, 1 = 1, 1 = 1, 11 = 1 定義 : テンソル積 ( 行列表示 ) a b = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 1 b 2 a 2 b = 1 b 2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2

23 2 量子ビット 2 量子ビットの計算基底 2 量子ビット状態 = = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = = = Ψ = α β δ γ 11 = 1 1 = 1 1 = = 1

24 複数量子ビットゲート a 1 a 2 a 3 U U a 1 a 2 a 3 a n a n ( 注 ) n ビット目は量子ゲートでは上から n 番目ケットの左から n 番目を指すのが通例 a 1 a 2 a 3 a n U : 2 n 次元の状態ベクトル : 2 n x2 n のユニタリ行列

25 複数量子ビットゲート a 1 a 2 U 1 U a 1, a 2, a 3 = (U 1 I U 3 ) a 1 a 2 a 3 a 3 U 3 U 定義 : テンソル積 ( 行列表示 ) A B = a 1 a 3 a 2 a b 1 b 3 = a 1 B a 3 B 4 b 2 b 4 a 2 B a 4 B ビットごとに計算して OK = a 1 b 1 a 1 b 3 a 3 b 1 a 3 b 3 a 1 b 2 a 1 b 4 a 3 b 2 a 3 b 4 a 2 b 1 a 2 b 3 a 4 b 1 a 4 b 3 a 2 b 2 a 2 b 4 a 4 b 2 a 4 b 4

26 n 量子ビットの重ね合わせ H H H H 3 = 1 ( + 1 )( + 1 )( + 1 ) 23 = 1 ( ) 重ね合わせ状態を用いて並列計算が可能 ( 高速?)

27 制御 U ゲート制御ビットの状態に応じて標的ビットに U が作用制御ビット a a 標的ビット b U U a b b (a = ) U b (a = 1)

28 制御 NOT ゲート制御ビットが 1 のとき標的ビットを反転制御ビット a a 標的ビット b σ X σ X a b σ X = 1 1 CNOT = CNOT 1 = 1 CNOT 1 = 11 CNOT 11 = 1 CNOT =

29 ベル状態アリス (Alice) a H ボブ (Bob) b σ X 12 ( ± 1 ) ( ± 1 1 ) 計算基底 12 ( ± 1 ) ( 1 ± 1 ) ベル基底

30 量子もつれベル状態 (Entanglement) Φ AA = 1 2 ( A 1 B 1 A B ) アリスがを得るとボブは 1 アリスが 1 を得るとボブは箱の中のボールアリスが赤玉を得るとボブは青玉アリスが青玉を得るとボブは赤玉

31 量子もつれベル状態 Φ AA = 1 2 ( A 1 B 1 A B ) 基底の変換 {, 1 } { +, } Φ AA = [ ] = ( ) = 1 2 A + B + A B )

32 量子もつれベル状態 Φ AA = 1 2 ( A 1 B 1 A B ) Φ AA = 1 2 A + B + A B ) もつれた状態は基底を変えてももつれているアリスとボブが異なる基底で測定すると相関はない ( 例 : アリスが計算基底でを得たのちボブが ± 基底で測定を行うと + もも 5% の確率で得られる )

33 講義内容量子ビットと 1 量子ビットゲート 2 量子ビットゲートと量子もつれ量子計算とデコヒーレンス

34 量子計算のアイディア重ね合わせ状態から始めて解の状態の確率振幅が大きくなるよう ( 量子干渉 ) にアルゴリズムを実行して測定を行うアルゴリズム : ドイチェジョザグローバーショアなど量子アルゴリズム H n n U 各状態の確率振幅 n 測定

35 ユニバーサル量子ゲート 1 量子ビットゲートと CNOT 1 量子ビットゲートと CNOT さえ実現できればほかの全ての n 量子ビットゲートはその組み合わせで実行可能 H,S,T と CNOT 耐故障性 (fault tolerance) を付与できる S = 1 i T = 1 e ii/4

36 密度行列純粋状態 ( r = 1) Ψ Ψ = α 2 αβ α β β 2 = cos 2 θ 2 e ii cos θ 2 sin θ 2 e ii cos θ 2 sin θ 2 sin 2 θ 2 = I + r σ 2 r = r X ry rz = cos θ sin θ cos φ sin θ sin φ θ Ψ Y Ψ = α β = cos θ 2 ɸ e ii sin θ 2 X Ψ = α β = cos θ 2 e ii sin θ 2 1

37 混合状態ブロッホ球の内側 ( r < 1) ρ t = I + r σ 2 1 純粋状態 (!) エネルギー緩和 (T 1 ) r = r X e t/2t 1 r Y e t/2t 1 r Z e t/t e t/t 1 1 Y 非ユニタリ過程から純粋状態を生成する ( リザバーエンジニアリング ) X 1

38 デコヒーレンス (T 2 ) 環境との結合 s E e U t s E t e 1 s E e U t 1 s E 1 t e 環境との量子もつれ Ψ() = (α + β 1 ) E U t Ψ t = α E (t) + β 1 E 1 (t) 縮約密度行列 ρ s t = Tr e ( Ψ Ψ ) = α 2 αβ E E 1 α β E E 1 β 2 多くの場合 E (t) E 1 (t) = e t/t 2 系の情報 (which-path information) が環境へ漏れ出る

39 デコヒーレンス (T 2 ) ブロッホ球での描像混合状態 ρ t = α 2 αβ e t/t 2 α βe t/t 2 β 2 α 2 β 2 かつ 1 の状態または 1 の状態 r = r X e t/t 2 r Y e t/t 2 r Z r Z Y X

40 シュレディンガーの猫 Ra Ra Google Ψ = 1 2 ( alive + dead 1 ) Ψ Ψ = 1 ( alive, alive, + dead, 1 dead, alive, dead, 1 + dead, 1 alive, ) 猫の which-path information( 体温心音など ) が環境へ漏れることで生きた猫と死んだ猫の間のコヒーレンスが失われる ( 注 ) 猫の基底とは何だろうか?

41 ディビンチェンゾの要請量子計算の要素技術 1. スケーラブルな量子ビット列 2. 初期化 3. ユニバーサル量子ゲート 4. 長いコヒーレンス時間 5. 射影測定量子通信の要素技術 6. 物質量子ビットと飛行量子ビットの接続 7. 遠隔地間での飛行量子ビットのやり取り arxiv:cond-mat/ (1996) Topics in Quantum Computers DiVincenzo

42 参考書 M. A. Nielsen & I. L. Chuang (2) Quantum Computation and Quantum Information ( 邦訳あり ) Keisuke Fujii (215) Quantum Computation with Topological Codes: From Qubit to Topological Fault- Tolerance arxiv: 量子コンピュータ授業 324F235C28F7

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Microsoft PowerPoint - qcomp.ppt [互換モード] 量子計算基礎東京工業大学河内亮周概要計算って何? 数理科学的に計算を扱うには量子力学を計算に使おう! 量子情報とは? 量子情報に対する演算 = 量子計算一般的な量子回路の構成方法計算って何? 計算とは? 計算 = 入力情報から出力情報への変換入力計算機構 ( デジタルコンピュータ,etc ) 出力計算とは? 計算 = 入力情報から出力情報への変換この関数はどれくらい計算が大変か??