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2 Archimedes 3 Euler [] [] i

3 . Archimedes Gauss Buffo Viète Wallis Stirlig Gregory Leibiz Euler arcta Machi arcta + arcta + + arcta p Broucker Regular cotiued fractio) Bailey,Borwei,Plouffe Euler e Fourier ii

4 Euler Papadimitriou Fejèr Matsuoka The dilogarithm fuctio) The Möbius fuctio) Euler Beroulli Beroulli ta cot cot Euler Euler Euler Euler Maclauri The Gamma fuctio) The Beta fuctio) e Lambert Beukers ζ) ζ3) e Borwei Abel Jacobi Ramauja iii

5 5.7 Ramauja Borwei iv

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7 Archimedes C N N N N N a N b N a b b < a Archimedes A B Γ Γ AB D Γ Γ M, M M M D A B Γ Γ Γ D Γ LegthΓ) LegthΓ) LegthΓ ). 6. Γ A B Γ D D Γ AB LegthAB) < LegthΓ) kk ) Γ Γ Γ k Γ Γ k + AM M M k B AM Γ N M M M k B M B k M M M k B k LegthM M M k B) M N + LegtharcNB))

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13 Archimedes δ a b.3) a b a + b + + cos θ ta θ δ + a + b + ta θ ) δ a b + cos θ ) cos θ + cos θ ) x cos θ δ + δ x x + x) yx) cos θ cos θ + cos θ ) θ 6 x cos yx) < ycos ) < yx) δ + δ < y) 4 δ 4 yx) Archimedes Archimedes < b 4 < < a 4 < < < b 4 a < < b 4 a < 3 < > 983 Archimedes 3.) a + a b + b 8

14 NN 3) N s N N N t N N AB N CD AOH θ s N AB AH ta θ t N CD CK si θ N s N ta θ t N si θ < θ < 3 si θ >, cos θ > s N ta θ s N ta θ cos θ + cos θ ta θ ta θ ta θ ) ta θ + cos θ + + ta θ + cos θ cos θ si θ + s N ) s N s N + + s N ) t N ) 4 si θ cos θ + ) si θ) t N 4 ) 4 t N 4 t N t N s N 4 t N s N + + s N ) t N 4 t N.7) N N 6,, ) N a N b a Ns N b Nt N 9

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18 R R Euclid x x x y yx) x x, x x, x, y yx) x x yx)dx x yx) x x dx x dx x dx.).) Archimedes N 6 N 6 u N 6 v. u 6 OAB 6 AB OH 6 AH 6 ta θ.6) 6 ta θ a u a v 6 OCD 6 OC OD si θ 6 si θ 6 + v + 6 si θ.6) 6 si θ b v + b u a v + b.3) 3

19 . Archimedes Archimedes.. O D D O A, B D AOB D AB radias) 3, 45, 6 6, 4, 3 Thales R θ ) Rθ R θ x OH OH x OH R x Rθ R θ Hippocrates A ABC AB, BC, CA L, L, L 3, L 4 AreaL ) + AreaL ) Area ABC) 4

20 S, S, S 3 S AreaL ) + AreaL 3 ) AB ) S AreaL ) + AreaL 4 ) CA ) S 3 AreaL 3 ) + AreaL 4 ) + Area ABC) BC ) S AB ) 8 AB S CA ) 8 CA S 3 ) BC 8 BC AreaL ) + AreaL ) S + S + Area ABC) S 3 AreaL ) + AreaL ) S + S + Area ABC) S 3 8 AB + CA BC ) + Area ABC) Phythagoras AB + CA BC 8 AB + CA BC ) + Area ABC) Area ABC) AreaL ) + AreaL ) Area ABC) ABC AB CA L L AreaL ) + AreaL ) AreaL ) Area ABC) AB AreaL ) AreaL ) 4 AB L L ) AB 4 4 5

21 .. ellipse) x a + y b ab Archimedes R a b R R Wallis I 3 5 ) 4 6 ) I I 3 5 ) 4 6 ) I ) ) 3 5 ) 4 6 ) 4 6 ) 4 6 ) 3 ) 4 6 ) )! ) ) 3) ) )! { ) ) 3) )} )! {!)} )!!) I + I ) ) 4 6 ) ) 4 6 ) 4 6 ) { 4 6 )} { ) ) 3) )}!) 3 + ) + )! + )! I )!!) I +!) + )!.3 Gauss.4 Buffo 6

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24 N 4 N 4 θ 4 A 4.5) A 4 A 8 cos 4 A 6 cos 4 cos 8 A + cos 4 cos 8 cos A + cos 4 cos 8 cos.3) θ cos φ + cos φ) + +.) + Euler si θ θ cos θ cos θ 4 cos θ 8 cos θ siθ/ ) θ/ < θ 4 logsi θ) log θ k log cos θ ) k + log ) θ si lim lim θ logsi θ) log θ + k log log cos θ ) k θ cos θ si θ θ + si θ k k cos θ k k θ si θ si ) ) θ θ θ ta θ + k ta θ k k 9

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51 x > I x I e xt si tdt e xt si tdt e xt cos t) dt [e xt cos t] t t x e xt cos tdt { } e xt si t) dt x [e xt si t] t t + x e xt si tdt x I I + x e xt si tdt x > ).33) + x e yx si ydxdy.33) ) e yx si ydxdy e xy si ydy dx + x 4 dx.3) e yx si ydxdy + x 4 dx x u dx du y y e yx si ydxdy Gauss e u du si y y ) si y si y e yx dx dy ) si y e u du dy dy y y t t > ) dy tdt si y dy y sit ) tdt t y sit )dt ) e u du dy e yx si ydxdy sit )dt 46

52 sit )dt six )dx.34).35) x tx si t e dt arcta x.35) t si t dt t.36) si t t dt si t cos t dt t si t ) [ si t dt t t ] t t + si t cos t dt t t x si t cos t si x dt cos x t x si t t dt dx si x x dx.9 Machi 7 Archimedes.8) Gregory-Leibiz.) Euler arcta Joh Machi Machi arcta arcta x x 4.8).) Machi 4 4 arcta 5 arcta )

53 ta α 5 α ta θ ta α ta 4α ta ta 4α ) 4 ta θ ta θ ta θ ta α ta α ta α ta α taα β) ta 4α ta 4 ta α ta β + ta α ta β + ta 4α ta α 4 arcta 39 ta α 5 α arcta arcta 5 arcta 39 Machi.37) 39 Euler 4 5 arcta 7 + arcta 3.38) 79 Euler.).38) arcta arcta + p + arcta p + p +.39) 48

54 ta α, ta β + p α arcta, β arcta + p ta taα β) ta α ta β + ta α ta β + p + p) + arcta p + p + p + p + α β arcta arcta + p arcta arcta + p + arcta p + p +.39).39) p, p arcta 4 arcta + arcta 3, p 4 arcta + arcta 3 arcta arcta 3 + arcta 7.4).4).4).4) 4 arcta + arcta 3 arcta 3 + arcta 7 4 arcta 3 + arcta 7.4) 3, p 4, p 3 arcta 3 arcta 7 + arcta.43) arcta arcta arcta arcta 7 + arcta

55 arcta arcta 7 + arcta ).43).44) 4 arcta 3 + arcta 7 arcta 7 + arcta ) + arcta 7 3 arcta 7 + arcta 3 arcta 7 + arcta 7 + arcta 3 ) 79.44) 5 arcta 7 + arcta ) 4 4 arcta 5 arcta 7 + arcta 99 4 arcta + arcta 5 + arcta arcta 4 + arcta + arcta arcta arcta 57 5 arcta arcta 8 + arcta 57 + arcta 39.45).46).47).48).49) arcta arcta + arcta.5) + d + d. 4 arcta + arcta + + arcta p 4 arcta + arcta + + arcta p.5).5).53).54) 5

56 .55).56).57) P65... a b b + b + a a. b +... a b + a b q Wallis Broucker p q.58) a ), b, b ) p q ) + ) 5

57 p 3 q 3 p q, p q + 3, p q Broucker.58) 5 3, p 3 q lim p q.58).. a b b + b + b + a a b + a b + a b a b + + a b +.59) p q b + a a b +. b +... a b + a b.6) p q b + a b + a b + a + b q p q x.59) x x b + a b + a b + b + a b + a b + + a b + 5

58 ..3 p q b + a b + a b + a + b { p + b + p + a + p q + b + q + a + q ).6) p b, q, p b b + a, q b.6) p p q b + a b + a b + a + b q b p b, q p q b + a b b b +a b p b b + a, q b.6).6) p b + a q b + a a b b + b b b + b a + a b b b + a b b + a b p b b b + b a + a b q b b + a b p + a p b b b + a ) + a b b b b + a b + a b p b q + a q b b + a q.6) kk ).6) p k+ q k+ b + a a b +. b +... a k b k + a k+ b k+ ) 53

59 { p k+ b k+ p k + a k+ p k q k+ b k+ q k + a k+ q k ) p k+ q k+ b + b + a a.. b +... a k b k + a k+ b k+ + a k+ b k+ b k+ b k+ + a k+ p k+ q k+ b + b k+ a a b +. b +... a k b k + a k+ b k+ ) p k+ p k+ q k+ q k+ b k+ b k+ ) { p k+ b k+ p k + a k+ p k q k+ b k+ q k + a k+ q k b k+ b k+ + a k+ b k+ ) p k+ b k+ p k + a k+ p k q k+ b k+ q b a k+ + k+ b k+ )p k + a k+ p k k + a k+ q k b k+ + a k+ b k+ )q k + a k+ q k b k+b k+ p k + a k+ p k + b k+ a k+ p k b k+ b k+ q k + a k+ q k + b k+ a k+ q k b k+p k+ + a k+ p k b k+ q k+ + a k+ q k b k+b k+ p k + a k+ p k ) + a k+ p k b k+ b k+ q k + a k+ q k ) + a k+ q k p k+ b k+ p k+ + a k+ p k, q k+ b k+ q k+ + a k+ q k k +.6) λ ).59) b + a b + a b + + a b + b + λ a λ λ a λ λ a.63) λ b + λ b + + λ b + 54

60 .63) λ a a, λ λ a a ), λ b b ).63) b + λ a λ λ a λ λ a b + a λ b + λ b + + λ b + a b + b + a + b + p q b + a b + a b + + a b, p q b + a a b + b + a + b p λ λ λ p q λ λ λ q p q b + a b b b + a b p b b + a, q b p q b + λ a λ b λ b b + a ) λ b λ p λ q p λ p, q λ q p b + a q b + a b b b + b a + a b b b + a b p b b b + b a + a b, q b b + a p q b + λ a b λ b λ b + b λ λ a + λ a λ b λ b + λ λ a λ b λ b + λ λ a λ b λ λ b b b + b a + a b ) λ λ b b + a ) λ λ p λ λ q p λ λ p, q λ λ q k k + k ) { { p k λ λ λ k p k p k+ q k λ λ λ λ k+ p k+ λ λ k q k q k+ λ λ λ k+ q k+ ) 55

61 .6) p k+ b k+p k+ + a k+p k, p k+ b k+ p k+ + a k+ p k q k+ b k+q k+ + a k+q k, q k+ b k+ q k+ + a k+ q k λ λ a a, λ b b ) p k+ b k+p k+ + a k+p k λ k+ b k+ λ λ λ k+ p k+ + λ k+ λ k+ a k+ λ λ λ k p k λ λ λ k+ b k+ p k+ + a k+ p k ) λ λ λ k+ p k+ q k+ b k+q k+ + a k+q k λ k+ b k+ λ λ λ k+ q k+ + λ k+ λ k+ a k+ λ λ λ k q k λ λ λ k+ b k+ q k+ + a k+ q k ) λ λ λ k+ q k+ p k+ λ λ λ k+ p k+, q k+ λ λ λ k+ q k+ k + p λ λ λ p q λ λ λ q p q λ λ λ p λ λ λ q p q x b + a b + a b + x ) x b + a b + a b a b + a b + p q b + a b + a b + a + b p q + b + a b + a b + a + b p q, q p 56

62 p q b, a, b b, a a ) p q + b + a b + a b + + a b b + a a b + b + a + b p q b p b, q p q b + a b b p q, q b p p q b + a b b b + a b p b b + a, q b p q b + a b + a b b + a b q b b + a p b p q, q p k k + k ) p k q k, p k+ q k, q k p k, q k+ p k.6) p k+ b k+p k+ + a k+p k b k+ q k + a k+ q k q k+ q k+ b k+q k+ + a k+q k b k+ p k + a k+ p k p k+ k + p q, q p p x lim p q lim q lim q p x b + a a b + b + a + b + b + a b + a b + a + b + x 57

63 3 k k x b + a b + a b + + a k b k + a k+ b k+ + a k+ + b k+ + x k b k + a k+ x y a k+ b k+ + b k+ + y b + a b + a b + x k b k + a k+ a k+ b k+ + b k+ + a k+ + b k+ + a k a k + b k + x k a k+ + b k+ + y x k y b + b + a a. b +... a k b k + a k x k b + b + a a. b +... a k b k + a k b k + a k+ b k+ + x..4 Broucker.58) Broucker u + u + u + + u +.64) u s k b + a b + a b + u k + a p q b + a b + a b + b + a + b a u, a u u,, a u u ), 58

64 b u, b, b + u,, b + u ), u u p s q q.6) q, q b, k, k + k ) q k q k+.6) q k+ b k+ q k+ + a k+ q k + u k+ u k+ u k+ u k+ k + q p s ) p q s p s ).6) p b u s, p b b + a u + u s, k, k + k ) p k s k, p k+ s k+.6) p k+ b k+ p k+ + a k+ p k + u ) k+ s k+ u k+ s k u k+ u k+ + u k+ u k+ s k + u k+ + u k+ s k+ ) s k + u k+ ) u k+ u k+ s k s k + u k+ u k+ s k + u k+ + u k+ u k+ u k+ s k k + p s ) 59

65 p q s p s q.64) Gregory-Leibiz.8) arcta x x x3 3 + x5 x+ + ) + x ) 5 + u u, u x, u x3 3,, u x ) ), a u x, a u u x 3,, a u u 3 x, b u, b, b + u u x 3,, b + u u 3 x, b + a b + a b + + a b +..3 λ ) b + a b + a b + + a x x 3x) + 3 x + 5 3x + b + λ a λ λ a b + λ b + λ b + + 3) x ) 3)x + + λ λ a λ b + x arcta x x 3x) + 3 x + 5 3x + + 3) x ) 3)x x ) + x arcta ) ) + + 6

66 ..3 x b + a b + a b + + a x b + a a b + b + b + + a b + x ) ) Broucker arcta x.5 Stirlig Mercator log + x) x x x + + ) + < x ) u, u x, u x,, u x ), a u x, a u x u,, a u x, ) u b u, b, b + u x u,, b + u u x,..3 λ ) b + a b + a b + + a x x x + x + 3 x + b + λ a λ λ a b + λ b + λ b + + ) x x )x + + x + + λ λ a λ b + log + x) x x x + x + 3 x + + x + x + x log e x + x! + x! + + x! + u, u x!, u x!,, u x!, 6

67 a u x!, a u x u,, a u x, ) u b u, b, b + u + x u,, b + u + x u,..3 λ ) a b + a a b + λ a λ λ a b + b + + b + λ b + λ b + + x x x )x + + x x x + + λ λ a λ b + e x + x x x + + x x + + )x + x + xe x e x y x e x xe x e x x e x + x y + x y x ex ) { + x x x x + + x x + + ) x x x )x x + + x x x + x x x x + + x x + x + + x x x )x + + x x x ) } )x + x +..3 x b + a b + a b + + a x b + a a b + b + b + + a b + x ) y + x x )x + x x x + xe x e x y + x + x + x x )x + x x x + 6

68 x e e e e + + e e..5 + u ) + u ) + u ) + u ).66) u u t + u k ) k b + a b + a b + + a p q b + a b + a b + b + a + b a + u )u, a + u ) u u,, a + u ) u u ), b + u, b, b a,, b a ), p t q q 63

69 .6) q, q b, k, k + k ) q k q k+.6) q k+ b k+ q k+ + a k+ q k a k+ ) + a k+ k + q p t ) p q t.6) p b + u t, p b b + a + u ) + + u )u + u ) + u ) t, k, k + k ) p k t k, p k+ t k+.6) p k+ b k+ p k+ + a k+ p k a k+ )t k+ + u k+ ) u k+ t k u k+ a k+ )t k+ u { k+ t k+ + + u k+ ) u } k+ t k+ u k+ t k+ u k+ u k+ u k+ + u k+ u k+ + u k+ ) t k+ u k+ u k+ t k+ + u k+ )t k+ t k+ k + p t ) p q t.3) Euler six) x ) x x) + x) x ) + x { x ) + x )} ) x 3 ) + x ).67) 3.67)

70 u, u x, u x, u 3 x, u 4 x,, u x, u x ), a + u )u x, b + u, b a + u ) u u x, a + + u ) u + u b a x, b + a + x + + x ) +..3 λ, λ, λ + + ) b + a b + a b + + a b + λ a λ λ a b + λ b + λ b + + λ λ a λ λ + a + λ b + λ + b + + six) x + x x + x + + x x) x + x + + x) + x).68) x + x + x ) si ) ) + ) λ ) ) ) + ) + + ) + + ) ).69) ) ex ).7)

71 ..6 Regular cotiued fractio) b + a b + a b + + a b + a b + b + b + + b + b + b + b b + b, b Z b ) [b, b, b,, b, ] b + b + b + [b, b, b,, b ] b + b + b ) b +.7) b p x q > ) < q q q q p q p q x p q < x p q p q < q q q p q p q qx p < q x p p q qx p < q x p x p qx p q < q x p q x p q q q q x p q < x p q 66

72 y y y Ity) ).7) x ) x b Itx) x Itx) x b b Itx ) x x b b Itx ) x b Itx), x b + x ; b Itx ), x b + x ; ; b Itx ), x b + x + ;.73) 3) x x x [b, b, b,, b ] p [b, b, b,, b ] q p x q x Itx) q p.74).75).76).77).78).79).8).8) 67

73 .8).83).84).85).86). Bailey,Borwei,Plouffe 997 D.H.Bailey P.B.Borwei Plouffe ) ) S k k).87) S 4 S ) ) 4S S 4 S 5 S ) ) ) S k S k k) ) k [ x 8+k 8 + k ] x x ) k x 8+k dx x 8+k x Lebesgue S k ) k x 8+k dx ) k x 8+k dx ) k x k x 8 dx 68

74 S k ) k x k x 8 dx ) k x k x 8 dx ) k x k x 8 dx S 4S S 4 S 5 S 6 4 x 8 dx 8x 3 x 8 dx 4 8x 3 4 x 4 8x 5 x 8 dx S 4 x 4 x 8 dx 8x x 4 + 8x 3 4 x 8 dx 8x 5 x 8 dx P x) 8x x 4 + 8x 3 4 ) P i), P i), P x i)x+i) x ) x + ) x ) P x) P x) x + ) x ) 8x + 8 x + 8) 8x + ) x ) x + x + ) x 8 x 4 )x 4 + ) x )x + ){x + ) x } x )x + )x + x + )x x + ) x 8 x, x x 8x x 4 + 8x 3 4 x 8 8x x 4 + 8x 3 4 S x 8 dx 8x + ) x ) x + x + ) x )x + )x + x + )x x + ) dx 8 x x )x x + ) dx 69

75 x t x t ) dx dt x t S 8 x x )x x + ) dx 8 t S 6 t t + )t ) dt t ) ) t t t + 6t ) t t + )t ) At + B t t + + Ct + D t t t + )t ) dt 6t 6 A + C)t 3 + B C + D)t + A + C D)t + B + D) A + C, B C + D, A + C D 6, B + D 6 A 4, B 8, C 4, D 6t ) t t + )t ) 4t + 8 t t + + 4t t ) + 4 t t + 4t t + t t ) t t t ) + + t) t t S 6 t t + )t ) dt t t t + dt + 4 dt t ) + dt + t t dt [ logt t + ) + 4 arctat ) + log t )] t t + + ) log + 4 arcta ) + log ) ) ) 4 7

76 ) ) S S ) 4 S k ) ) + S + S + S 3 S k ) k ) k) ) ) k) ) k ) ) ) + [ x ) 4+k 4 + k x 4+k dx ) k ) ) ] x x ) x 4+k dx ) x 4+k x Lebesgue S k ) k ) k x k ) x 4+k dx ) k x 4 ) dx ) k x k + x 4 dx ) x 4+k dx S S + S + S 3 + x 4 dx + 4x + x 4 dx + x + x + x 4 dx + x x + dx x + x 4 dx + 4x + x + x 4 dx x + x + x + x + )x x + ) dx 7

77 x t x t ) dx dt x t S 4 x x + dx t t + dt 4 ) 4 t t + dt t ) dt 4[arctat )]t t ) ).87) 7

78 3 Euler 3. e Euler e e e 3.. Euclid R A, ) Γ P x P, y P ) Q x Q, y Q ) Γ P Q y y Q )x P x Q ) x x Q )y P y Q ) P Q y y Q )x P x Q ) x x Q )y P y Q ) x, y) P Q P Q P P Q Q B, ) AB AB y yx) x x ) AB.) dx dx x x 73

79 Γ A, ) Γ M AM θ θ < θ θ < AM θ Γ M M x cos θ y si θ cos θ si θ θ θ cos θ cos θ, si θ si θ θ θ θ θ < θ θ AM θ θ si θ dy y x y y 5 si θ cos θ AM θ M x cos θ y si θm si θ + cos θ A θ + θ M si θ cos θ siθ + ) si θ, cosθ + ) cos θ θ AB B x y si, cos siθ + ) si θ, cosθ + ) cos θ, si θ + cos θ si θ) si θ, cos θ) cos, si θ) si θ, cos θ) cos θ ) ) si θ cos θ, cos θ si θ ) ) sik), cosk) ) k, si + k ) k, cos + k si 4 cos 4, si 6 cos 3, cos 6 si

80 3.. z C cos z ) )! z eiz + e iz ), si z ) + )! z+ i eiz e iz ) z C, k Z, z / + k ta z si z cos z eiz e iz ie iz + e iz ) z C cosh z z )! ez + e z ), sih z tah z sih z cosh z ez e z e z + e z z + + )! ez e z ) coshiz) eiz + e iz ) cos z sihiz) eiz e iz ) i si z tahiz) eiz e iz e iz i ta z + e iz 3. Fourier x R fx) fx + T ) fx) T cosx) six), Z) fx) fx) a + {a cosx) + b six)} 3.) Fourier fx) 75

81 fx) a fx) cosx)dx, b Fourier) fx) six)dx 3.) ) x x fx) x fx ) a + {a cosx ) + b six )} 3.3) )f R R R x fx) a + {a cosx) + b six)} 3.4) R 3)Parseval a + a + b ) {fx)} dx 3.5) 3.) 3.5) [, ] [a, a + ] [, ] [, ] Odx) Evx) Od x) Odx), Ev x) Evx), Z six) cosx) Ax) Odx)Odx), Bx) Evx)Evx), Cx) Odx)Evx) A x) Od x)od x) Odx)Odx) Ax) B x) Ev x)ev x) Evx)Evx) Bx) C x) Od x)ev x) Odx)Evx) Cx) 76

82 Ax), Bx) Cx) ) ) ), ) ) ), ) ) ) a R a a a Odx)dx, a Evx)dx a Evx)dx fx) fx) x x ) fx) x 3.) a b fx) cosx) ) ) ) a fx) six) ) ) ) b fx) six)dx x six)dx x{cosx)} dx [x cosx)] + ) + [six)] ) x six)dx cosx)dx x < fx) x x x ) 3.3) a b fx) x a + {a cosx) + b six)} ) six) x six) ) x < ) 3.6) x < x Gregory-Leibiz 4 ) si ) ) + + 3) Parseval a b a + { a + b ) ) } {fx)} dx x dx x dx 3 [x3 ] 3

83 6 Euler fx) 3.7) fx) x x ) fx) x x six) b x cosx) 3.) a a a 4 x cosx)dx a x cosx)dx x cosx)dx x dx 3 [x3 ] 3 x{cosx)} dx 4 ) 4 ) [six)] ) 4 x {six)} dx 4 cosx)dx x six)dx ) fx) R a b x fx) x a + {a cosx) + b six)} ) cosx) x ) cosx) x ) 3.8) x x 3.8) x ) )

84 Euler 3.8) x ) ) 3) Parseval a b a {fx)} dx + a + b ) x 4 dx x 4 dx 5 [x5 ] ) 3.) ζ) ζ4) 3 θ < θ < fx) { θ < x < θ) fx) x < θ, θ < x ) fx) θ < x < θ fx) six) b cosx) 3.) a a fx) cosx)dx a θ a θ θ θ cosx)dx dx θ θ cosx)dx [six)]θ siθ) cosx)dx x fx) ) 3.3) x x ) a b fx) a + {a cosx) + b six)} θ + 79 siθ) cosx)

85 θ + siθ) cosx) { θ < x < θ) x < θ, θ < x ) 3.) x θ + siθ) cos) θ + {siθ)} ) θ x x six) ) 3.6) 3.) x θ + siθ) siθ) θ 3.) 3) Parseval a b a + a + b ) θ + 4 si θ) θ + 4 si θ) {fx)} dx θ dx θ θ θ ) θ si θ) θ si θ) θ θ) si ) ) ) Gregory-Leibiz 3.3) θ si ) { si ) } ) + 8 8

86 ) 8 S S p p) + 3.4) p p ) 3.4) S p p) + p ) 4 p p p S + 8 S 6 Euler 3.6) x θ 3.) siθ) ) θ siθ) θ { si θ + si3θ) } si{ + )θ} si θ + si3θ) si{ + )θ} < θ < ) 3.5) Euler 6 Fourier 8

87 3.3. Euler Euler fx) a x + a x + + a x + a α, α,, α fx) fx) a x α )x α ) x α ) α + α + + α a a α α + α α 3 + α α a a α α α + α α α α + + α α 3 α ) a a α α α ) a a x si x si x ) + )! x+ x x3 3! + x5 x+ + ) 5! + )! + x si x x fx) fx) si x x 3! + x4 5! + ) x + )! + x x ±, ±, ±3, y x y, 4, 9, y y 3! + y 5! + ) y + )! + 3.6) y 3! + y 5! + ) y + )! α, α,, α α α α + α α α α + + α α 3 α ) 3! ) +)! + )! 3! α α α ) ) +)! + )! 8

88 + + + α α α + + α α 3 α α α α α α α + )! 3! + )! 3! α α α 6 3.6) y, 4, 9, Euler Euler 3.3. Papadimitriou 973 I.Papadimitriou < θ < cot θ < θ < + cot θ < θ < {ta θ θ} cos θ > ta ta θ θ > θ < ta θ < θ < {θ si θ} cos θ > si θ si θ > si θ < θ si θ < θ < ta θ 83

89 si θ < θ < ta θ ta θ < θ < si θ ta θ cot θ, si θ si θ + cos θ si + θ ta θ + cot θ < θ < cot θ < θ < + cot θ k,, 3,, θ k + < θ k k + < k θ k ) cot k + + < < + cot k k + k,,, cot k + < ) + ) < + cot k k + k k k cot k + ) < + k k k < + cot k k + 3.7) cot k + P x) + ) k x + 3 ) x ) x + ) k ) P x) x k cot θ k cot k + k,,, ) de Moivre m, m Z cosmθ) + i simθ) cos θ + i si θ) m {si θcot θ + i)} m si m θcot θ + i) m ) m si m θcot θ + i) m si m θ k m k ) i k cot m k θ 84

90 ) m cosmθ) + i simθ) si m m θ i k cot m k θ k k k, 3, 5, { ) } m Im si m m θ i k cot m k θ k k [ { ) ) ) }] Im si m m θ i cot m m θ i cot m 3 m θ + i cot m 5 θ 3 5 { ) ) simθ) si m m θ cot m m θ cot m 3 θ + 3 m 5 ) cot m 5 θ } m + { ) ) } si{ + )θ} si + + θ cot + θ cot θ + 3 P x) x cot θ ) ) P cot + θ) cot + θ cot θ + 3 si{ + )θ} si + θp cot θ) + 5 ) cot 4 θ < θ < si+ θ θ k + k,,, ) < θ < { } k si{ + )θ k } si + ) si k si + θp cot θ k ) + si + θ k P cot θ k ) k,, 3, ) P x) cot θ k cot k + k,,, ) k + P x) cot k,,, ) ) + + ) ) cot k + 3 ) 3 ) k k 85

91 cot k ) + 3 k 3.7) 3.8) ) 3 < + ) k ) < + k 3 ) < 3 + ) k < + ) 3 k ) 3 3, + ) ) k k k 4 k 6 k k k + P x) θ k θ k < x k cot θ k cot ) x k 3 h<k k,,, ) < k + k,,, ) P x) k + ) 5 x h x k ) + ) ) 3) 6 < θ < cot θ < θ < + cot θ cot 4 θ < θ 4 < + cot θ + cot 4 θ + ) ) ) 3)

92 k θ k + cot 4 k + < + k ) 4 < + cot k + + k cot4 + k,,, cot 4 k + < ) 4 + { } < + cot k k + + k cot4 + k x k cot k + k k k 3.8) cot k + k k k k cot 4 k + x k ) 3 x k k ) 4 ) k k 4 k { } + cot k + + k ) cot ) 4 + x ) k < < + + k4 3 k k 4 4 x k < 4 + ) 4 k k k 4 < ) k x k k + 4 k x k x k ) x k x k k k { } ) 3 ) 9 h<k x h x k ) ) 3) 6 ) ) 3) 3 4 x k k { ) } ) ) 3) ) ) ) 3 )

93 4 x k ) 9 3 k k ) 4 k ) x k < 4 + ) 4 k ) ) 3 ) k k k k 4 x k 8 45 k 4 < ) k k k x k k k Fejèr Fejèr Fejèr F x) + k k ) coskx) + Dirichlet Dirichlet D x) k e ikx e i x D x) e ikx ix ei+)x e e ix e ix e i+)x e ix e i+ )x e i+ )x e i x e i x k si ) + x si x si ) + x si x 88

94 l l e ikx F x) e ikx + l k l l e l e ix + e + e ix l e ix + e ix + e + e ix + e ix. l e ix + + e ix + e ix + e + e ix + e ix + + e ix e + ) e ix e ix e ix e ix k e ikx + k ) l k l l e ikx + k )e ikx k + k )e ikx k + k m k k m m > ) k l + m )e imx ++ m )e imx + m)e imx +e imx ) + m) cosmx) l k l l e ikx + + l k l + k )e ikx k) coskx) k l k l l e ikx + k k k ) coskx) F x) + l e ikx Dirichlet F x) l e ikx D l x) si l + ) x si x l k l l l { + ) si x si lx + x ) si x } + ) si x {coslx) coslx + x)} l l + ) si x {coslx) cosl + )x} + ) si x { cos + )x} si +) x + ) si x l 89

95 Fejèr F x) + k ) +) si x coskx) + + ) si x 3.9) k I xf x)dx 3.9) 3.9) x coskx)dx k [x sikx)] k sikx)dx k [coskx)] k + )k k I xf x)dx { x + k ) } coskx) dx + k xdx + k ) x coskx)dx + k 4 + k ) { k + + k } )k k )} 4 + k 4 k { k + )k k + + k + )k k { k + ) k k + } + k + ) k k k Olog ) k k I 4 k + ) k ) log k + O k k k k 3.) 3.9) x x si x si x x si x I x) + ) si + +) si x x + ) si x dx x x dx x + + ) x si xdx + + dx x t dx dt x dt t si + x + si t dx dt + ) x + ) t 9

96 { + ) si t dt + t + } si t dt t si t t si t si t) t + ) ) log O { si t dt + t + } si t dt t ) log I x) O { dt + + ) + } t dt lim I x) 3.) lim I 4 k k ) k k k k p ) q 4 q 3 q q k + ) k k k p + ) q q q q q ) q) lim I 4 3 k k k 6 k Matsuoka Matsuoka Wallis cos cos tdt 3 5 ) 4 6 ) 9

97 cos tdt [t cos t si t] 3 5 ) 4 6 ) t) cos tdt [t cos t] + t cos t si tdt t {cos t ) cos t si t}dt t {cos t ) cos t cos t)}dt t { cos t ) cos t}dt t { cos t ) cos t}dt 3 5 ) 4 6 ) J t { 4 6 ) 4 6 ) 3 5 ) cos t 3 5 3) cos t}dt J [t si t] 4 6 ) 3 5 ) t cos tdt ) t cos tdt k J J ) J J ) 4 t cos t + )dt t si tdt k [t cos t] t cos tdt + t dt cos tdt J J 4 J 3 4 J J 4 J J 4 J k J k ) ) 4k 4 k J J 4 k k k 9

98 J J 4 k k k ) k 4 6 k k t t si t Wallis si x 4 J 4 6 ) 3 5 ) ) 3 5 ) t cos tdt 4 6 ) 3 5 ) { 4 6 ) 3 5 ) 4 { + ) + ) } si t cos tdt cos tdt cos + tdt ) } t cos tdt J 4 6 k k 4 lim J ) ) 6 k k k k The dilogarithm fuctio) 76 Euler Lade x x Lix) Lix) x + x + + x + 3.) 3.7) Euler Lix) 6 Lix) 3.4 Lix) x + x + + x + 3.) 93

99 The Möbius fuctio) Euler 3.6 Beroulli ta Beroulli Beroulli 3.6. Beroulli z e z z e z z i Z {}) z < z e z z k B k k! k B k Beroulli B k fz) z e z + z fz) z e z + z z + zez ) e z zez + ) ) e z ) + ) ze z e z ) fz) zez + ) e z ) ze z + ) e z ) f z) 3.3) fz) 3.3) fz) z e z + z z + z k B k k! fz) f z) z k B, B +, Z) 3.4) 94

100 z e z z ) e z ez 3.3) { ) } z e z z ) e z z p z k B k p! k! z p+ z k B k p + )! k! p k p k z p z k z B k p + )! k! p k p z p p + )! k B k z k k! z ) p, k B z z z k z k k k B k k + )!k! + )! ) + B k ) 3.5) k k 3.5),, 3, B k k B k ta cot Beroulli ta z cot z φz) z e z 3.3) 3.4) k φz) z e z z k B k k! z + z k B k k! z + z B z < ) )! k z lim z e z φ) 95

101 coth z tah z z coth z z + z) + z tah z z ez + e z e z e z z ez + z coth z + B z) )! e z z + z + B )! z e z z + φz) z B z < ) 3.6) )! cot z ta z 3.6) z iz 3.6) 3.6) iz) cothiz) iz taiz) iz i ta z z cot z + B iz) )! z cot z + + tah z B ) z )! ) z B z < ) 3.7) )! tah z ez e z e z + e z ez e z + e4z e z + e 4z e4z ) e z + ) + 4 e 4z ) 4 + e 4z e z + 4z z e 4z z ) e z + {φ4z) φz)} z [{ } { }] + z 4z + 4z) B )! z + z) B )! [{ }] + 4 z z 4 z + B B B z z )! )! )! 4 tah z B z z < ) )! 3.8) z iz tahiz) i ta z ta z B 4 )! iz) i ) 4 B )! ) 4 B z z < ) )! 96 z 3.8) 3.9)

102 i ta z e iz e iz e iz + e iz eiz + e iz e iz e iz eiz + e iz e iz e iz e iz e iz i ta z i si z ta z cot z + si z 3.7) 3.9) z si z z cot z + z ta z ) z + B + z ) 4 z B )! )! ) ) + z + B + z ) + + B z )! )! ) + + B z + + ) )! ) + + B z ) + ) B z ) )! )! z si z ) + ) B z z < ) 3.3) )! Beroulli φz) z ) e z x log e x x x < { )} x log e x {log x loge x )} x ex e x x { )} t x ) log e t dt t et e t dt ) t l Hospital lim log t + e t x lim t + e t { )} ) ) ) t x t x log e t dt log e x lim log t + e t log e x 97

103 x ) x ) t et t x e t dt t e t dt { φ t)} dt t [ { }] x + t t + t) { } x B dt )! t t t B dt )! { } x t B dt )! x x B )!) ) x log e x x B x )!) Beroulli Euler cosh z e z + e z z ez e z + e z e z + + ) i Z) z < cosh z z k E k k! k 3.3) E k Euler cosh z z E +, Z) 3.3) cosh z k E k z k k)! cosh z cosh z cosh z z p z k E k p)! k! z ) p, k ) E p z z E k k)!k)! k k k E k k)!k)! 98

104 )! ) E k ) 3.3) k k,, 3, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, cot Euler 3.7) cot Beroulli cot Fourier ζp) ζp) x t cosxt) Fourier cosxt) 3.) b 3. cosxt) a + a cost), a a cosxt) cost)dt [ si{x + )t} si{x )t} + x + x six) cos) x + + ) x ] t a six) x cosxt) six) x + t cosxt) cost)dt t ) {cosxt + t) + cosxt t)}dt { si{x + )} + x + x six) ) x ) x six) } si{x )} x ) cost) x 3.33) x t t < 3.33) t cosx) six) x x six) x cosx) six) + x + x six) ) cos) x ) cos) x + x ) ) x + x x 99

105 x t < x x cotx) + x 3.34) 3.34) cot Euler Fourier cot 3.7) 3.33) t six) x + x six) x six) 3.34) x 4 ) x x six) + ) x x 3.35) ) 4 cot ) Gregory-Leibiz x 3 ) 3 cot ) x ) si 4 + ) 6 + ) 4 + )

106 p Euler Euler Euler Maclauri 3.7 The Gamma fuctio)! Wallis Stirlig x > Γx) e t t x dt 3.36) Γx) Euler s Gamma fuctio Γx + ) e t t x dt Γx + ) xγx) 3.37) e t ) t x dt [e t t x ] t t + x e t t x dt xγx) x < Γx) x Γx). Γ3.48).48 Γ.48) Γ.48) Γ.7).7 Γ.7) Γ.48) Γ.7).. x.99 Γx) 4

107 x d Γx),. x.99 x Γ.48).8857 Γ.8).9368 Γ3.48) Γ.48) Γx + ) x > x x > lim Γx + ) Γ) x + Γx) x > Γx) x x > 3.37) lim Γx) Γx + ) + x + x Γx) x x.46 Γ) 3.37) Γ + ) Γ) )Γ ) ) Γ)! Γ + )! 3.38) p 3.37) Gauss e tx dt Γ + ) x

108 t u x t x u) dt x u x du e tx dt e u x u x du x e u u x du x Γ x ) Γ + ) x Gauss x 3 e t3 dt Γ + ) Γ.33) ) Γ t u Gauss e x dx Γ ) e t t dt e u u udu Γ ) e u du 3.39) Γ + ) ) Γ ) ) 3 ) Γ 3 ) ) 3 ) 3 ) ) ) 3 Γ ) 3 5 ) 4 ) 4 ) )!!) Γ + ) 3 5 ) )! 3.4)!) x Stirlig.7) Γx + ) x ) x x 3.4) e Log 3.89) 79 Euler x! Γx) lim x > ) 3.4) xx + ) x + ) Γx + + ) 3.37) Γx + + ) x + )Γx + ) x + )x + ) x + )xγx) 3.4) Γx + + ) x + x + ) e ) x+ 3

109 Stirlig.7)! ) e lim x + ) lim + x ) x x e x ) x + e x Γx + + )! x + x + ) e ) e ) x+ x + ) x ) x + x + e e e ) x ) ) x ) ) x x x + x + x + x + x + + e x e e e x + ) x x Γx + + )! x + )x + ) x + )xγx)! xx + ) x + )Γx) lim x! x! Γx) lim xx + ) x + ) 3.4) x Γ ) lim +!) )!) +!) lim lim )! + ) + ) lim +!) )! + ) Γ!) lim )! x +!) ) ) lim!) )! ) 4

110 lim!) )! )!!).5) Wallis 3.4) Weierstrass Γx) xeγx γ Euler γ lim ) log 3.4) Γ x) Γ x) + x ) e x 3.43) x! xx + ) x + ) Γx) lim Γ x) x! xx + )x + ) x + ) e x log e x e x e x x ) x ) x ) e x e x e x x x e x+ + + log ) e x k k + x k γ Γx) e γx x x e x k + x k k e x log x ) x ) x ) Γx) xeγx + x ) e x 3.43) x Γ ) e γ + ) e 5

111 < x < Γx)Γ x) six) 3.44) 3.4) Γx) lim xx + ) x + ) x x ) x ) x ) x lim! x Γ x) lim lim x x x) x + ) x + ) x! ) x ) x ) + x) Γx)Γ x) x x ) x ) x ) lim x x x ) x ) x ) + x) ) ) ) x lim x x x + x) x lim + x ) ) x k six) k k )??) x k six) x Γx)Γ x) six) 3.44) Ix) t x dt < x < ) + t Γx)Γ x) e u u x du e v v x dv e u+v) u x v x dudv s u + v, t v u s u + t, v st ) u, s + t v s u t v t s + t) 6

112 e u+v) u x v x dudv e s t x dsdt + t e s ds ) x s st e s + t + t t x + t dt t x dt Ix) + t ) x s + t) dsdt 3.44) t x + t dt six) 3.45) ta θ) x dθ < x < ) ta θ t ta θ cos θ dθ t + t)dθ dt ta θ) x dθ t x t + t) dt t x + t dt six) 3.8 The Beta fuctio) Euler x >, y > Bx, y) Euler s Beta fuctio) Bx, y) t x t) y dt 3.46) Bx, y) Γx)Γy) Γx + y) 3.47) Γx)Γy) e u u x du u t, v s u t v t 4 e v v y dv e u+v) u x v y dudv e s +t ) t x s y dsdt u s v 4st s 7 e u+v) u x v y dudv e s +t ) t x s y 4stdtds

113 s r cos θ, t r si θ 4 e s +t ) t x s y dsdt 4 4 e r r x+y ) rdr si θ) x ) cos θ) y ) si θ cos θdθ r w si θ p 4 4 rdr dw, cos θ p), si θ cos θdθ dp e r r x+y ) rdr e w w x+y dw e r r si θ) x r cos θ) y rdrdθ si θ) x ) cos θ) y ) si θ cos θdθ p x p) y dp Γx + y)bx, y) Γx)Γy) Γx + y)bx, y) Bx, y) Γx)Γy) Γx + y) 3.47) ν > ) ν + cos ν Γ θdθ si ν θdθ ν ) 3.48) Γ + θ t si ν θdθ cos ν θdθ si ν ) t dt cos ν tdt si ν θdθ s si θ ds si θ cos θdθ s s) dθ si ν θdθ ν + B, ) Γ s ν s s) ds ) ) ) ν + ν + Γ Γ ν ) ν ) Γ + Γ + s ν+ s) ds 8

114 cos ν θdθ ) ν + Γ si ν θdθ ν ) Γ + Wallis cos ν θdθ si ν θdθ ν 3.48) ν ν > µ >, ν > ) ) µ + ν + Γ Γ cos µ θ si ν θdθ ) 3.49) µ + ν Γ + t cos θ dt si θ cos θdθ t t) cos µ θ si ν θdθ ) ) µ + ν + Γ ) µ + ν Γ + µ + B, ν + ) Γ m B, ) m B, ) 3.47) t µ ν t) t t) dt ) ) µ + ν + Γ Γ cos µ θ si ν θdθ ) µ + ν Γ + t µ+ t) ν+ dt t s t m t) dt m B, ) Γ s m s ) s s m ds ds s m ) ) Γ m Γ + ) Γ m ) Γ ) m + s m ) m Γ ds s m Γ + ) 3.5) 9

115 m, 3 ) ) ) 4 Γ Γ 5Γ dt t 3 3Γ 3 + ) ) ) 5Γ.33) Γ.83) 3Γ 6Γ 6 6 m, ) t 4 dt {4Γ.5)} 4 Γ ) 3 4 Γ ) si 4 4 Γ ) ) Γ Γ 4 4 4Γ 4 + ) ) 3 4Γ 4.3 ) 4 { Γ )} 4 4 { )} 5 4Γ 4 4 α α > x α + y α < x > y > ) x > y > x α α + y α y x α t x α α ydx Γα)Γα + ) Γα + ) ) α x α dx α t) α t α dt αbα, α + ) α Γα)αΓα) αγα) α{γα)} Γα) α x + y < x > y > 4 α { )} 4Γ) Γ 4 x α + y α < a α a > ) x > y > x a X, y a a Y ydx a ydx a ay dx ay adx a Y dx

116 X α + Y α < X > Y > Y dx X α + Y α < X > Y > a ydx a Y dx a α{γα)} Γα) α 3 x 3 + y 3 < a 3 a > ) x > y > a Γ3) 3 { )} 3 Γ x α + y α < a α a Γ) 3 { Γ )} 3a 3 α α { Γα + ) a α{γα)} a α α lim lim α Γα) α Γα + ) α a } a {Γ)} Γ) 4 x y 3 4 {ρθ)} a cosθ), θ 4 ρ θ) a siθ){cosθ)} 4 4 {ρθ)} + {ρ θ)} 4 dθ 4 a cosθ) + a si θ){cosθ)} dθ 4a 4 {cosθ)} {cos θ) + si θ)}dθ 4a 4 a {cosθ)} dθ θ t 3.48) ν ) 4 4a {cosθ)} Γ a ) Γ dθ a cos t) 4 4 dt a ) ) 3 3 Γ Γ ) m, 4 4a 4 ) a Γ {cosθ)} 4 dθ Γ ) 4a 3 4 t 4 dt 5.439a

117 e p.34,35 Napier e! Lambert) e e e p q p q ) p q q!e q! p q q )!p Z q! +! +! + + q! ) Z q!e q! +! +! + + q! ) Z e q!e q! +! +! + + q! )

118 q! + { } q! q + )! + q + )! +! +! + + q! + ) q! +! +! + + ) q! q + + q + )q + ) > ) q + )q + ) q + k) q q + k q + k > q+)q+) q+k) < k q + + q + )q + ) + + q + )q + ) q + k) + < k + < q + + q + )q + ) + + q + )q + ) q + k) + < q + + q + )q + ) + + q + )q + ) q + k) + e 4.3 Lambert 4.4 Beukers ζ) ζ3) e

119 Borwei 5.5 Abel 5.6 Jacobi Ramauja 5.7 Ramauja 5.8 Borwei 4

120 6,,, Excel Excel Excel Archimedes a + a b b + a + b a + b a 3 b 3 a b N a b

121 Archimedes Viète Viète v + + +, > v + v ) lim v v v ) lim v v v ) /v v v Wallis k k 4k

122 4!) 4 lim {)!} !) 4 {)!} Gregory Leibiz ) k )k k Euler arcta 4!) + )!!) + )! ) 3 3 k k!) k k+)! Newto arcsi 3 )! 4!) + ) 3)! 4!) + ) 7

123 3 3 3k)! k k k!) k+) 5 3 Broucker Bailey,Borwei,Plouffe ) k 6 k ) ) k 3 4 ) k 4 k ζs) s > ) s Euler ζ)

124 k k ζ4) ζ4) k k ζ) ζ4) ζ6) 6.4 Excel 9.Archimedes 6).Viète 6) 7.Euler arcta 3) 8.Newto arcsi 3).Bailey,Borwei,Plouffe 6) 4). ζ4)39) Archimedes 9

125 [] Pierre Eymard, Jea-Pierre Lafo traslated by Stephe S. Wilso), THE NUM- BER, AMS, 4 [],,, 999 [3],,, 999 [4], I,, 979 [5], II,, 985 [6] Lars V. Ahlfors,,, 979 [7],,, 966 [8],,, [9],,, 97 [],,, 999