数学○　学習指導案

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1 第 1 学年数学科数学 Ⅰ 学習指導案 1 単元名 二次方等式 二次不等式 2 単元の目標 二次方程式を因数分解や解の公式で導くことができるようにする 二次関数のグラフと 軸との共有点の個数を判別する方法を理解する 一次不等式や二次不等式の解法を 一次関数や二次関数のグラフを利用して理解する 二次不等式を含んだ連立不等式の解法を理解する 判別式をさまざまな事象の考察に応用することができるようにする 二次不等式をさまざまな事象の考察に応用することができるようにする 3 評価規準 関心 意欲 態度 : 関数学的な見方や考え方 : 考数学的な技能 : 技知識 理解 : 知 二次関数のグラフと 軸 二次関数のグラフと 軸 二次関数のグラフと 軸 二次関数のグラフと 軸 の位置関係を基に, 二次 の位置関係を二次方程式 の位置関係を二次方程式 の位置関係と二次方程 方程式や二次不等式の解 の解に対応させて考察す の解を用いて求めること 式の解との関係を理解 について考察しようとし ることができる ができる している ている 二次不等式の解を二次関 二次関数のグラフを活用 二次不等式の解の意味を 数のグラフを用いて考察 して二次不等式の解を求 二次関数のグラフとの することができる めることができる 関係から理解している 4 指導計画 時学習内容学習の目標 1 因数分解を使う解き方 二次方程式の解の公式 因数分解や解の公式等を用いて 二次方程式を解くことができる 解の公式の根号の符号により 実数解の個数の変化を調べことができる 二次方程式の実数解の個数を 判別式を利用して調べることができる 2 二次方程式の係数と実数解 判別式を用いて 二次方程式が実数解や重解をもつよう変数の値の範囲 を求めることができる 3 さまざまな二次方程式を解く 既習の学習内容を用いて 応用問題等の解法に活用できる 4 二次関数のグラフと 軸との共有点の座標 二次関数のグラフと 軸との位置関係 二次関数と二次方程式の関係性を理解して 共有点の座標を求めることができる 判別式を利用して 軸との共有点の個数の変化に応じて 変数の値の範囲を求めることができる

2 5 6 一次不等式と一次関数 二次不等式と二次関数 二次不等式の解き方 1 二次不等式の解き方 1 二次不等式の解き方 2 一次関数のグラフを利用して 不等式に対応するの値の範囲を求めることができる 二次関数のグラフを利用して 不等式に対応するの値の範囲を求めることができる 判別式を利用して 二次不等式の解を求めることができる 与えられた条件をもとにmの値の範囲を求めることができる 7 さまざまな二次不等式を解く 既習の学習内容を用いて 応用問題等の解法に活用できる 判別式 D を利用してグラフと 軸との位置関係を調べ 二次不等式を解 8 二次不等式の解き方とまとめ くことができる 条件を満たす判別式の符号を確認し 定数の値の範囲を求めることがで 9 二次不等式の応用 連立不等式 きる 条件を満たす判別式の符号を確認し 定数の値の範囲を求めることができる 二つの二次不等式の解を数直線で表し 共通部分を求めることがきる 10 さまざまな二次不等式を解く 既習の二次不等式の学習内容を用いて 応用問題等の解法に活用できる 11 連立不等式 1 12 連立不等式 2 連立不等式を求めやすい形に変形し解くことができる 変数を設定し 条件を満たすように式を立て 解を求めることができる 題意のグラフを満たすよう条件を設定し 定数の値の範囲を求めることができる 13 さまざまな二次不等式を解く 既習の学習内容を用いて 応用問題等の解法に活用できる 全 13 時間のうち 太枠の 6 時間が実証授業となります なお 第 8 時 第 10 時の 学習指導案 活用シート 授業プリント 本時の振り返りシート を 掲載しています

3 1 年 二次方程式 二次不等式 高等学校数学 Ⅰ( 数研出版 ) P108~P111 (8 時間目 / 全 13 時間 ) 1 本時の目標 与えられた学習課題を 相手に分かりやすく説明することができる 判別式 Dを利用してグラフと 軸との位置関係を調べ 二次不等式を解くことができる 条件を満たす判別式の符号を確認し 定数の値の範囲を求めることができる グループ学習の活動の中で 自分の考えを述べるなど意欲的に意見交流できる 2 本時の展開 関考技知評価の観点 は評価の方法を示す 時間 主な学習活動 指導内容 指導上の留意点と評価 導入 10 分 1. 学習課題の目標の提示 (2 分 ) 本時の学習内容を提示し 目標を明ら 前の時間に配った 活用シート1 で 調べてき かにする た内容を説明してもらいます 相手に分かりやす 発表順は特に指定しない 慣れるまで く説明することで 考える力や表現する力を高め は誕生日順などとする たいと思います 活用シート1 による意見交流 グループ学習 1(4 人グループ ) 2. 学習課題に取り組む (4 分 ) 活用シート1 を準備して4 人で向き合ってください それでは 調べてきたことを説明してください 3. 学習課題の解説 (2 分 ) 課題の問いに対して解説をします 解説 4. 学習課題に取り組む (2 分 ) 4 人で向き合ってもらいます 分からないところや疑問に感じたところを再確認して グループで解決してください 4 人の集まり ( お互いが向き合う ) の形を指示する 不明なところがあれば記録し 疑問点を解消するために 後で質問するよう指示する 机間指導し 生徒たちの活動状況を把握する 問題によっては 解答の 一例 であることをおさえる 活動が停滞しているグループには助言を行う 関 : 積極的に意見交流をしている 学習活動の観察 考 : 根拠をもとに 自分の考えを述べることができる 学習活動の観察 フ リント記述の分析 展開 15 分 5. 学習課題の提示 (5 分 ) 配付した授業プリント1の まとめ を確認します 説明 例題 11 を考えていきましょう 説明 授業プリント1を配布する グラフの向きに注意する 判別式の符号の変化による 軸とグラフの位置関係をおさえる 判別式が有効な利用手段であることをおさえる

4 6. 学習課題に取り組む プリントの 練習 37 に取り組んでください (7 分 ) 解答の配付 解答を配付します なぜ そのような解答になるのか 各自で考えてみてください (3 分 ) 2 の係数の符号に注意し 求めやすい形に変形するよう指導する グラフを利用することを強調する 配布した解答を使い 答え合わせをさせる 必要に応じ解説する 技 : 判別式を利用することができる 学習活動の観察 フ リント記述の分析 20 分 7. 学習課題の提示 (5 分 ) 応用例題 6 を考えていきましょう 説明 授業プリント1 による話し合い グループ学習 2(4 人グループ ) 8. 学習課題に取り組む 4 人グループになります 分からない所などは 先生に質問しないで グループの中で解決してください プリントの 練習 38 と 類題 と チャレンシ 問題 に取り組んでもらいます それでは 机を移動させてください (10 分 ) 配付済みの解答より なぜ そのような解答になるのか 根拠をグループの中で考えてみてください (5 分 ) 実数解の意味をおさえる 実数解と判別式の符号との関係をおさえる 4 人 1 組のグループになるよう指示する 問題文の解の条件から判別式の符号の向きに注意するよう促す 生徒からの質問は 話し合いが進むようグループの人に聞いて解決するように促す 配布した解答を使い 答え合わせをさせる 必要に応じ解説する 関 : 積極的に話し合いをしている 学習活動の観察 考 : 問題を考察し 判別式を利用することができる 学習活動の観察 フ リント記述の分析 まとめ 5 分 活用シート1 の 本時の振り返りシート による振り返り 一斉の形に戻る 9. 本時を振り返る (3 分 ) 本時の学習内容を振り返ります 振り返りシート に 学習活動や内容を振りかえって気付いたことを書いてください もとの形に机を戻すよう指示する 学習態度や学習内容を振り返ることで今後の授業へつなげる 理解が不十分な生徒には必要に応じて個別指導を行う 10. 回収と配付 (2 分 ) プリントを回収します 授業プリント1 と 活用シート1および本時の振り返りシート を後ろの人が回収してきてください 活用シート2 を配付します 次の時間までに課題の内容を調べておいてください プリントが途中までの生徒は次回までに提出するよう指示する ただし チャレンシ 問題 については 全部できていなくてもよいことを伝え回収する

5 活用シート 1 ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) [ 課題 ]P109 次の解答の下線部 1で 判別式 Dとは何か 説明しなさい また どのような特性がありますか 相手に伝わるように自分の考えを説明しなさい [ 例題 11] ( 説明文 ) 次の 2 次不等式を解け >0 [ 解答 ] 2 次方程式の判別式をDとすると 1 D=(-3) =-23 2 の係数が正であることから この 2 次不等式 の解はすべての実数 a>0 D<0 ( 例 ) 判別式 D は 解の公式 の根号の中 b 2-4ac を置き換えたものである また 2 次方程式の実数解の個数を判別するときに有効で D>0 のとき 実数解の個数は 2 個 D=0 のとき 実数解の個数は 1 個 D<0 のとき 実数解の個数は 0 個である ( 説明文 ) 以上です 質問があれば言ってください 本時の振り返り 1 グループ活動を通してできたこと ( に印をする ) わからないところを質問する 教える 説明する 自分の意見を言う 2 今日の授業でわかったこと 3 今日の授業の重要ホ イント 4 今日の授業で疑問に思ったこと 5 その他 ( 自由に書いてください )

6 ~ 授業プリント 1 教科書 P108~ ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) まとめ a>0 のとき 判別式のまとめ ( 説明例 ) D=b 2-4ac の符号 D>0 D=0 D<0 y=a 2 +b+c のグラフと 軸の位置関係 a 2 +b+c=0 の実数解の個数 2 個 1 個 0 個 [ 例題 11] 次の 2 次不等式を解け >0 2 次方程式 =0 の判別式を D とすると D=(-3) =-23<0 2 の係数が正であるから この 2 次不等式の解は すべての実数 [ 練習 37] 次の2 次不等式を解け (1) 2-3+5>0 (3) =0 とおく =0 とおく D=( 2 3) =0 D=(-3) =-11< =0 の 実数解は存在する 2 の係数が正であるから この 2 次不等式の解はすべての実数 解の公式より = 3 3 したがって この 2 次不等式の解は = (2) (4) 2-3+2> =0 とおく > <0 D=(-1) =-3<0 2 の係数が正であるから この 2 次不等式の解はない =0 とおく D= (-2)=12>0 よって =0 の実数解が存在する 解の公式より =1 ± 3 よって << 1+ 3

7 ~ 授業プリント 1 教科書 P110~ ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) [ 応用例題 6] 2 次方程式 m+1=0 が実数解をもつとき 定数 m の値の範囲を求めなさい この 2 次方程式の判別式を D とすると D=(2m) =4(m 2-2) 2 次方程式が実数解をもつのは D 0 のときであるから m m 2-2=0 を解くと m=± 2 よって 求める m の値の範囲は m m 2, 2 m [ 練習 38] 2 次関数 y=2 2 +m+1 のグラフが 軸と共有点をもつとき 定数 m の値の範囲を求めなさい 2 次方程式 2 2 +m+1=0 の判別式をDとすると D=m =m 次関数のグラフと 軸が共有点をもつのは D 0のときであるから m m 2-8=0とおくと m m=± よって 求める m の値の範囲は m 2 2,2 2 m [ 類題 ] [ 練習 38] で 軸と共有点をもたないとき 定数 m の値の範囲を求めなさい D<0 であればいい [ 練習 38] より 2 2<m<2 2 [ チャレンシ 問題 ] 2 次関数 y= 2 +m+9 のグラフについて 次の問いに答えなさい (1) 判別式 D を求めなさい 2 次方程式 2 +m+9=0 の判別式を D とすると D=m =m 2-36 (2) 軸と共有点の個数は 定数 m の値によってどのように変わるか D=m 2-36 =(m+6)(m-6) この符号を調べると 1 D>0 すなわち m<-6,6<m のとき 2 個 2 D=0 すなわち m=±6 のとき 1 個 3 D<0 すなわち -6<m<6 のとき 0 個

8 1 年 二次方程式 二次不等式 高等学校数学 Ⅰ( 数研出版 ) 授業プリント3 (10 時間目 /13 時間 ) 1 本時の目標 与えられた学習課題を 相手に分かりやすく説明することができる 既習の二次不等式の学習内容を用いて 応用問題等の解法に活用できる グループ学習の活動の中で 自分の考えを述べるなど意欲的に意見交流をしている 2 本時の展開 関考技知評価の観点 は評価の方法を示す 時間 主な学習活動 指導内容 指導上の留意点と評価 導入 10 分 1. 学習課題の提示 (3 分 ) 本時の学習内容を提示し 目標を明ら 前の時間に配った 活用シート3 で 作ってき かにする た問題について意見交流をしてもらいます 問題作成 で気づいたことや発見し たことなどを伝えるよう指示する 活用シート 3 による意見交流 グループ学習 1(4 人グループ ) 4 人の集まり ( お互いが向き合う ) の形 を指示する 2. 学習課題の取り組み (7 分 ) 活用シート 3 を準備して 4 人で向き合ってく ださい それでは 意見交流してください 不明なところがあれば記録し 疑問点を解消するために 後で質問するよう指示する 机間指導し 生徒たちの活動状況を把握する 生徒同士の話し合いが進むように生徒からの質問には答えず グループで解決するよう促す 関 : 積極的に問題に取り組んでいる 学習活動の観察 展開 35 分 3. 学習課題の目標の提示 (3 分 ) 今日は 演習の時間とします 単に問題を解くだけではなく 別の解き方はないかなども考えてもらいたいと思います 4. 学習課題の提示 (2 分 ) 配付した授業プリント3をみてください 本時の学習内容を提示し 目標を明らかにする 本時の学習活動の動機付けをねらい 将来はセンター試験などの入試問題も変わることに触れる 授業プリント3を配付する

9 授業プリント 3 による話し合い グループ学習 2(4 人グループ ) 4 人 1 組のグループになるよう指示す る 5. 学習課題に取り組む プリントの 課題 1 と 課題 2 に取り組みます 4 人グループになります 分からない所などは先生に質問しないで グループ内で解決してください 出来た人は チャレンシ 1 チャレンシ 2 に取り組んでください (20 分 ) 解答の配布 なぜそのような解答をしたか 各自が説明して 解法についてグループの中で話し合ってください (10 分 ) グループで課題の解決に向けて話し合いができるよう生徒からの質問はグループの人に聞いて解決できるように促す 生徒のつぶやきを大切にし 話し合いが停滞しているグループには助言を行う 余裕のあるグループについては 他の解き方について考えるよう指示する 答え合わせをするよう指示する 必要に応じて解説をする 関 : 積極的に話し合いをしている 学習活動の観察 考 : 既習の二次不等式の学習内容を活用することができる フ リント記述の分析 まとめ 活用シート 3 の 本時の振り返りシート による振り返り 一斉の形に戻る もとの形に机を戻すよう指示する 5 分 6. 本時を振り返る (3 分 ) 本時の学習内容を振り返ります 振り返りシート に 学習活動や内容を振りかえって気付いたことを書いてください 7. 回収と配付 (2 分 ) プリントを回収します 授業プリント3 と 活用シート3および本時の振り返りシート を後ろの人が回収してきてください 活用シート4 を配付します 次の時間までに課題の内容を調べておいてください 学習態度や学習内容を振り返ることで今後の授業へつなげる 理解が不十分な生徒には必要に応じて個別指導を行う プリントが途中までの生徒は次回までに提出するよう指示する ただし チャレンシ 1 2 については 全部できていなくてもよいことを伝え回収する

10 [ 課題 ] 問題の作成 P110: 応用例題 6 の内容をもとに 自分で問題と解答を作ることになりました ( 例 ) 1 すべての実数である 重解である 2 2m -3m 3 オリジナル問題など 活用シート 3 ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) ( 問題文 ) ( 解答 ) 問題の作成 を通して気づいたことや発見したことを書いてください 本時の振り返り 1 グループ活動を通してできたこと ( に印をする ) わからないところを質問する 教える 説明する 自分の意見を言う 2 今日の授業でわかったこと 3 今日の授業の重要ホ イント 4 今日の授業で疑問に思ったこと 5 その他 ( 自由に書いてください )

11 ~ 授業プリント3~ ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) [ 課題 1] 2 次方程式 m+1=0 が実数解をもつとき 定数 mの値の範囲を求めなさい の問題に対する解答がある 次の問に答えなさい [ 課題 2] 2 次不等式 2 +2m+m+2>0 の解がすべての実数であるとき 定数 mの値の範囲を求めなさい の問題に対する解答がある 次の問に答えなさ い 解答 この 2 次方程式について 判別式を D とすると D=(2m) =4(m 2-2) 2 次方程式が実数解をもつのは D 0 のときであるから m m 2-2=0 を解くと m = ± 2 よって 求める m の値の範囲は m 2, 2 m 1 解答 2 次方程式 2 +2m+m+2=0 の判別式を D とすると D=(2m) (m+2)=4(m 2 -m-2) 2 次不等式の 2 の係数が正であるから D<0 であればよい m 2 -m-2<0 から (m+1)(m-2)<0 これを解いて -1<m<2 問下線部 1 で 解を 2<m< 2 にしたい 問題文をかえてできるだろうか 説明しなさい ( 一例 ) できる D=4m 一方で 2<m< 2 の解になるには 2 次不等式が (m + 2)(m 2) < 0 m 2-2<0 4m 2-8<0 2 1 と 2 から D=4m 2-8<0 となる D<0 となるのは実数解をもたないときである 以上から 実数解をもつ を 実数解をもたない にかえればよい ( 問 ) 判別式 D を使わずに 別の方法でこの問題を解けるだろうか 説明しなさい ( 一例 ) できる 2 次関数 y= 2 +2m+m+2 とおく 平方完成すると y=(+m) 2 -m 2 +m+2 頂点の座標が (-m,-m 2 +m+2) となる すべての について y>0 となるには 頂点の y 座標が常に正であればよいので -m 2 +m+2>0 m 2 -m-2<0 m 2 -m-2=0 とおく (m+1)(m-2)=0 m=-1,2 よって -1<m<2

12 [ チャレンシ 1] 次の事柄が成り立つように 定数 a,b の値を定めよ (1) 2 次不等式 a 2 +8+b<0 の解が -3<<1 である -3<<1 を解とする 2 次方程式の 1 つは (+3)(-1)<0 すなわち <0 両辺に 4 を掛けて <0 a 2 +8+b<0 と係数を比較して a=4,b=-12 [ チャレンシ 2] 0 8 のすべての の値に対して不等式 2-2m+m+6>0 が成り立つ このとき 次の各問い答えよ (1) f()= 2-2m+m+6 とおくとき 頂点と軸を求めよ 求める条件は 0 8 における f()= 2-2m+m+6 の最小値が正となることである f()=(-m) 2 -m 2 +m+6 より頂点 (m, -m 2 +m+6), 軸 =6 (2) 不等式が成り立つ定数 m の値の範囲を求めよ [1] m<0 のとき f() は 0 8 で増加より 最小値は f(0)=m+6 ゆえに m+6>0 よって m>-6 m<0 より -6<m<0 1 (2) 2 次不等式 2a 2 +2b+1 0 の解が 1,3 である 2 1 2,3 を解とする 2 次不等式の 1 つは (2+1)(-3) 0 すなわち 両辺に 1 3 を掛けて a 2 +2b+1 0 と係数を比較して 2a= 2 3, 2b= 5 3 [2] 0 8 のとき最小値は f(m)=-m 2 +m+6 ゆえに -m 2 +m+6>0 m 2 -m-6<0 よって (m+2)(m-3)<0-2<m<3 0 8 より 0 m<3 2 [3]8<m のとき f() は 0 8 で減少より最小値は f(8)=-15m+70 ゆえに -15m+70>0 m < 14 3 これは 8<m を満たさない 求める m の値の範囲は 1 と 2 を合わせて -6<m<3 a= 1 3, b= 5 6 [1] [2] [3] m m m