6. コーシーリーマンの方程式 ( 準備 : 複素関数を実変数関数を用いて表示すること ) 複素関数 f (z) は, 実変数, 実数値の 2 つの関数 u (x, y), v( x, y) により f (z) = u( x, y) + i v(x, y) (z=x+i y) x+i y と (x

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かつかげさくもと
1 years ago
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1 6. コーシーリーマンの方程式 ( 準備 : 複素関数を実変数関数を用いて表示すること ) 複素関数 f (z) は実変数実数値の 2 つの関数 u (x y) v( x y) により f (z) = u( x y) + i v(x y) (z=x+i y) x+i y と (x y) をと表すことができる対応させている例題 6. 次の f (z) を u (x y) +i v(x y) と表すときの u(x y) v( x y) を求めよ () f (z)=z 2 f (z)= z (3) f (z)= z 2 ( 指針 ) z= x+i y とおくことにより f (z) を x y の式で表し整理して標準形に表し実部を u(x y) 虚部を v( x y) とおく ( 解 ) () z= x+i y とおくとき z 2 = ( x+i y) 2 = x 2 y 2 +2i x y x y は実数であることに注意 u(x y)=x 2 y 2 v( x y)=2 x y z = x+i y = x i y x 2 + y = x 2 x 2 + y + i y 2 x 2 + y 2 u(x y)= x v( x y)= y x 2 + y 2 x 2 + y 2 (3) z 2 = x 2 + y 2 u(x y)=x 2 + y 2 v( x y)=0 例題 6.2 複素関数 f (z)=e z2 を u(x y) + i v( x y) ( z= x+i y ) と表すときの u(x y) v( x y) を求めよ ( 指針 ) 指数関数 e z を標準形で表すには z を標準形で x+i y と表し e z =e x (cos y+i sin y) とするこの例題は e z 2 なので z 2 を標準形で表せばよい ( 解 ) z= x+i y とおくとき e z2 = e x2 y 2 +2 i x y // まず z 2 を展開して標準形で表し = e x2 y 2 (cos(2 x y)+i sin(2 x y)) // 指数関数の定義にあてはめる u(x y)=e x2 y 2 cos(2 x y) v( x y)=e x2 y 2 sin(2 x y)

2 コーシーリーマンの方程式 ( ここから本題 ) 前述のとおり複素関数 f (z) が複素微分可能であるなら複素数 h が f ( z+h) f (z) どの方向から 0 に近づいてもの極限が同じである h そこで f (z)=u(x y)+i v( x y) とし実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致するために u(x y) や v( x y) が満たすべき条件を調べてみると次の重要な式を得る u = ( コーシーリーマンの方程式 ) 連立であるやは偏微分他の変数を定数と考えて微分すること ( 下を参照 ) はでえとかでるとか読むらしい複素微分可能であるという条件からコーシーリーマンの方程式を導くことは難しくはないがすこしなじんでからにしよういったん複素微分から離れてコーシーリーマンの方程式そのものに注目してみる例題 6.3 次の複素関数を u(x y)+i v(x y) の形に表しコーシーリーマンの方程式を満たすかどうか調べよ () z 2 (3) z 2 z ( 解 ) 例題 6. の結果をそのまま用いてつづきを述べることにする () z 2 =x 2 y 2 +2i x y より u(x y)=x 2 y 2 v(x y)=2 x y =2 x u = 2 y =2 y =2 x ゆえに u = より u(x y)= x x 2 + y 2 となりコーシーリーマンの方程式を満たす z = x i y v( x y)= y x 2 + y 2 x 2 + y 2 = ( x2 + y 2 ) x (2 x) = x2 + y 2 u x (2 y) = (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) = 2 x y 2 (x 2 + y 2 ) 2 y (2 x) = (x 2 + y 2 ) = 2 x y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 = + y 2 ) y (2 y) (x2 = x2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 u =. コーシーリーマンの方程式を満たす (3) z 2 =x 2 + y 2 より u(x y)=x 2 + y 2 v( x y)=0 = 2 x u = 2 y = 0 = 0 x= y=0 のときは u となりコーシーリーマンの方程式を = 満たすが (x y) (00) のときは満たさない

3 例題 6.4 指数関数 e z がコーシーリーマンの方程式を満たすかどうか調べよ ( 解 ) e z = e x (cos y+isin y) = e x cos y + i e x sin y ( z= x+i y ) u (x y)=e x cos y v( x y)=e x sin y とおく =e x u cos y = e x sin y =e x sin y ゆえに =ex cos y u =. コーシーリーマンの方程式を満たす例題 6.5 () 正弦関数 sin z を u(x y)+i v(x y) の形に表せ u v の偏導関数を求めコーシーリーマンの方程式を満たすかどうか調べよ ( 解 ) () sin z = sin( x+i y) = sin x cos(i y) + cos x sin(i y) 複素変数に拡張された = sin x cosh y + i cos xsinh y 三角関数の加法定理 = u + i v ( u = sin xcosh y v = cos x sinh y ) = cos xcosh y u = sin x sinh y = sin x sinh y = cos xcosh y u = 微分の公式 (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (sinh x)' = cosh x (cosh x)' = sinh x. コーシーリーマンの方程式を満たす ( 記号の説明 : 偏微分係数偏導関数について ) 関数 ϕ(x y) は (x y)=(a b) の近くで定義されているとする ϕ はファイ定義 ( 偏微分係数 ) ϕ(a+hb) ϕ(a b) (a b) = lim h 0 h // b は固定して変数 x について微分 ϕ ϕ(a b+h) ϕ(a b) (a b) = lim h 0 h // a は固定して変数 y について微分これら ( 存在するとき ) を ϕ(x y) の (a b) における偏微分係数とよぶ定義 ( 偏導関数 ) 各点 (x y) において ϕ の偏微分係数が存在するときは関数としてやが定義されるこれらを ϕ の偏導関数とよぶ式で書くと ϕ(x+h y) ϕ( x y) (x y) = lim h 0 h 一方の変数を一時的に ϕ ϕ(x y+h) ϕ( x y) ( x y) = lim h 0 h 定数と考えて微分している各点ごとに定まる値が偏微分係数各点に偏微分係数を対応させる関数が偏導関数 ( 例 ) ϕ(x y) = x 2 y+3 x+5 y の場合は = 2x y+3 ϕ = x2 +5

4 ( 複素微分可能性からコーシーリーマンの方程式を導く ) 例題 6.6 複素関数 f (z)=u(x y)+i v( x y) ( z= x+i y ) は複素微分可能であるとする () ϵ ( イプシロン ) は実数を表すとして lim f ( z+) f ( z) 同様に lim を u v (3) 次の等式が成り立つことを示せ u = f ( z+ϵ) f ( z) ϵ を u v を用いて表せを用いて表せ ( コーシーリーマンの方程式 ) ( 解 ) () f (z)=u(x y)+i v( x y) また ϵ が実数のとき z+ϵ=(x+ϵ)+i y より f (z+ϵ)=u(x+ϵ y)+i v( x+ϵ y) // z+ϵ には (x+ϵ y) が対応したがって f ( z+ϵ) f (z) u( x+ϵ y) u( x y) v( x+ϵ y) v( x y) ϵ = ϵ + 仮定より ϵ 0 のときの極限が存在するから実部虚部ともに極限が存在しその極限がそれぞれである ( 偏微分係数の定義 ) f ( z+ϵ) f ( z) ゆえに lim ϵ = + i z+ = x+i y+ = x+i( y+ϵ) より f (z+)=u(x y+ϵ)+i v( x y+ϵ) // z+ には (x y+ϵ) が対応したがって f ( z+) f ( z) u( x y+ϵ) u( x y) i(v(x y+ϵ) v( x y)) = + = i u( x y+ϵ) u( x y) ϵ + v( x y+ϵ) v ( x y) ϵ // f ( z+) f ( z) ゆえに () と同様に lim = i u + (3) f (z) が複素微分可能であることより () との極限が一致するゆえにその実部と実部虚部と虚部がそれぞれ等しいしたがって u = が成り立つ i = i ( 助言 ) この手の議論にまだなれていないと何をやっているかわからんと感じると思うがもうしばらくしてなれればわかってくるはずであるここでは複素微分可能性からコーシーリーマンの方程式がちゃんと導かれることをチェックしたらもやもやしながらでも先へ進むといいと思う

5 ( おまけ : コーシーリーマンの方程式から複素微分可能性を導く ) 複素関数 f =u+i v がコーシーリーマンの方程式を満たすときには実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致することまではわかるすなわち f ( z+ϵ) f ( z) f (z+) f (z) lim ϵ = lim ( ただし ϵ は実数を表す ) では複素微分可能とまでいえるだろうか答はほぼイエスで次の同値関係が成り立つ f (z) が複素微分可能 u(x y) v( x y) がともに全微分可能であってコーシーリーマンの方程式を満たす ( 補足 : 全微分可能 ) 関数 ϕ(x y) が (x y)=(a b) の近くで定義されているとする ϕ(a+h 定数 c c 2 があって lim b+h 2 ) ϕ(a b) c h c 2 h 2 = 0 であるとき h h 2 0 +h 2 ϕ(x y) は (x y)=(a b) において全微分可能であるというこのとき必然的に c = (a b) c 2= ϕ (a b) となる (a b) の近くで ϕ が存在して連続であれば ϕ は (a b) において全微分可能となるしたがって大した条件ではない ( 通常成り立つ ) 上の同値関係の証明は今すぐ必要ではないしたぶんついに必要にならない必要になったとしてもそのころには理解が進んでいて簡単に証明できると思うところが困ったことに入門段階から本来は不必要なこの同値関係を前提にして話が進められすぐにも証明しておかないと気持ち悪いことがあるゆえに蛇足ではあるが略証明を書いておくご入用になったら見てください ( の証明) f (z) が z=α において複素微分可能とし f ' (α)= p+qi とおくとき f (α+h) f (α) f (α+h) f (α) h( p+qi) lim { ( p+qi)}= 0 より lim = 0 h 0 h h 0 h 分母の h を h に変えても大きさが同じなので極限が 0 であることは変わらない f (α+h) f (α) h( p+qi) lim = 0 h 0 h f =u+i v h=h +h 2 i とおき整理する実部と虚部それぞれ極限が 0 であることより h h 2 0 のとき u(a+h b+h ) u(a b) h p+h q h 2 v(a+h b+h 2 ) v(a b) h q h 2 p 0 +h 2 よって u v は (a b) において全微分可能で = p u = = q ( の証明) コーシーリーマンの方程式より = l u = = m とおけるそこで今述べたの証明中の p q をそれぞれ l m におきかえて下から逆にたどればよい

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<4D F736F F D F2095A F795AA B B A815B837D839382CC95FB92F68EAE2E646F63> 1/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシーリーマンの方程式 10 複素微分 : コーシーリーマンの方程式 9 複素微分 : 正則関数で正則性は複素数 z の関数 f ( z) の性質として導き出しました複素数 z はつの実数, で表され z i 数 u, v で表され f ( z) u i 複素数 z とつの実数, : z + i + です

6. コーシー リーマンの方程式 ( 準備 : 複素関数を実変数関数を用いて表示すること ) 複素関数 f (z) は, 実変数, 実数値の 2 つの関数 u (x, y), v( x, y) により f (z) = u( x, y) + i v(x, y) (z=x+i y) x+i y と (x

6. コーシーリーマンの方程式 ( 準備 : 複素関数を実変数関数を用いて表示すること ) 複素関数 f (z) は, 実変数, 実数値の 2 つの関数 u (x, y), v( x, y) により f (z) = u( x, y) + i v(x, y) (z=x+i y) x+i y と (x