座標変換におけるテンソル成分の変換行列

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1 座標変換におけるテンソル成分の変換行列座標変換におけるテンソル成分の変換関係は次元数によらず階数によって定義される変換行列で整理することができる位置ベクトルの変換行列を D としてそれを示そう D の行列式を ( = D ) とするとき鏡映や回映といった pseudo rotation に対しては = -1 であるが問題になる基底は対称操作に含まれる pseudo rotation に依存する ( 別ファイルテンソルの基底で * 印を付けてある ) T = T (0) + T (1) + T () + T (3) + T (4) + と表し変換後のテンソル成分を T' とする点群 ( 原点は移動しない対称操作から作られる群 ) ではすべての対称操作は座標回転または座標回転と反転の積として定義することができる座標系の回転と鏡映操作にについて xy 面での鏡映は x 軸まわりの 180 回転 (R ( ) と表す ) に続けて反転を行うことで表されこの 180 回転とオイラー角の間には下のような対応関係がある ( 回目の回転を y 軸まわりに行うとして ) R x ( ): = 0 = = 同様にして xy 面に垂直で x 軸との角をなす面での鏡映は xy 面上の x 軸との角がの軸のまわりでの 180 回転 (R ( )) と反転の積に対応するこのとき R ( ): = 0 = = - であるこのように鏡映及び回映操作は回転と反転の積である反転はすべての座標の符号を逆転する例えば xy 面での鏡映には R z ( ) xz 面での鏡映には R y ( ) に yz 面での鏡映には R x ( ) がそれぞれ対応する C v 対称の C,b ab bc はそれぞれ R b ( ) R c ( ) R a ( ) に対応付けられる C 3v の C 3 と 3 v はそれぞれ R z ( /3) と R y ( ) であるこのようにしてすべての点群及びより一般化した置換反転群の対称操作は回転操作と対応付けることが出来る従って以下に示す変換行列は使いでのあるものである本稿で示す変換行列はユニタリー行列になっているよって転置行列が逆行列に等しいので逆変換に利用できる変換行列 ( 基底 ) - 1

2 座標ベクトル ( テンソルとして扱うときには 1 次元テンソルの 1 階成分である ) の変換に対する変換行列を上で示したように D とするときに座標の乗積が作る次元テンソルの 1 階成分 ( 角運動量ベクトル ) に対する変換行列 D は下のようになる D = D Yy D Zz - D Yz D Zy D Yz D Zx - D Yx D Zz D Yx D Zy - D Yy D Zx D Zy D Xz - D Zz D Xy D Zz D Xx - D Zx D Xz D Zx D Xy - D Zy D Xx D Xy D Yz - D Xz D Yy D Xz D Yx - D Xx D Yz D Xx D Yy - D Xy D Yx この行列要素は行列 D の行列要素を倍したものであることが次のようにしてわかる (1)D の転置行列と D の積を作ってみると対角要素が非対角要素がゼロとなることがわかるであろう即ち D の転置行列は D の逆行列に定数倍したものである () 行列の教科書で言えば D i,j は D の余因子行列の (j,i) 成分になっているが余因子行列は D の逆行列に行列式を掛けたものであるよって行列 D は D の逆行列の転置行列になっている変換行列 D はユニタリー行列で転置行列は逆行列に等しいしたがって D は D を倍したものであるゼロ階テンソルの変換係数は偶数次元のときには 1 になり成分はスカラー量であるしかし奇数次元の場合には (D による変換と D の D による変換の重ね合わせになるので ) 倍になり対称操作によっては 1 倍となる擬スカラーになる ( 全対称ではなくなる ) 次元テンソル以上での変換についてはこれらを 1 次元テンソルの積み上げとして作る操作から変換性を導くことが出来る以下に示す変換行列はこの様な考察によって整理したものである変換行列 ( 基底 ) -

3 (0 階テンソル ) T' (0) 0 = T (0) 0. (3 次元 5 次元 7 次元テンソルでは倍になる但し = D ) (1 階テンソル ) T (1) 1b T (1) 1a T (1) 0 T' (1) 1b D Xx D Xy D Xz T' (1) 1a D Yx D Yy D Yz T' (1) 0 D Zx D Zy D Zz ( 次元 4 次元 6 次元テンソルでは倍になる ) ( 階テンソル ) T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b ( /)(D Xx + D Yy - D Xy - D Yx ) (D Xx D Xy - D Yx D Yy ) (D Xz D Xx - D Yz D Yx ) (D Xy D Xz - D Yy D Yz ) ( 3/)(D Xz - D Yz ) T' () a (D Xx D Yx - D Xy D Yy ) (D Xx D Yy + D Xy D Yx ) (D Xz D Yx + D Xx D Yz ) (D Xy D Yz + D Xz D Yy ) 3D Xz D Yz T' () 1b (D Zx D Xx - D Zy D Xy ) (D Zx D Xy + D Zy D Xx ) (D Zz D Xx + D Zx D Xz ) (D Zy D Xz + D Zz D Xy ) 3D Xz D Zz T' () 1a (D Yx D Zx - D Yy D Zy ) (D Yx D Zy + D Yy D Zx ) (D Yz D Zx + D Yx D Zz ) (D Yy D Zz + D Yz D Zy ) 3D Yz D Zz T' () 0 ( 3 /)(D Zx - D Zy ) 3D Zx D Zy 3D Zx D Zz 3D Zy D Zz ( /)(3D Zz - 1) (3 次元 5 次元 7 次元テンソルでは倍になる ) 変換行列 ( 基底 ) - 3

4 3 4 階テンソルの変換行列を簡略化する都合上上で示した T () に対する変換行列を次のように略記する T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b (XX/xx) (XX/xy) (XX/zx) (XX/yz) (XX/zz) T' () a (XY/xx) (XY/xy) (XY/zx) (XY/yz) (XY/zz) T' () 1b (ZX/xx) (ZX/xy) (ZX/zx) (ZX/yz) (ZX/zz) T' () 1a (YZ/xx) (YZ/xy) (YZ/zx) (YZ/yz) (YZ/zz) T' () 0 (ZZ/xx) (ZZ/xy) (ZZ/zx) (ZZ/yz) (ZZ/zz) (3 階テンソル -1)(4 次元 6 次元テンソルでは倍になる ) T (3) 3b T (3) 3a T (3) b T (3) a T' (3) 3b ( /4){D Xx [1-5D Zz + 8(XX/xx)+(D Xz - D Yz ) ( /4){D Xy [1-5D Zz - 8(XX/xx) + (D Xz - D Yz ) ( 6/)[D Xz (XX/xx) - D Yz (XY/xx)] -( 6/)[D Xz (XX/xy) - D Yz (XY/xy)] + (D Zx - D Zy )] +6D Xz D Zx D Zz } - (D Zx D Zy )] + 6D Xz D Zy D Zz } T' (3) 3a ( /4){D Yx [1-5D Zz - 8(XX/xx) - (D Xz - D Yz ) ( /4){D Yy [1-5D Zz + 8(XX/xx) - (D Xz - D Yz ) -( 6/)[D Xz (XY/xx) + D Yz (XX/xx)] ( 6/)[D Xz (XY/xy) + D Yz (XX/xy)] + (D Zx -D Zy )] + 6D Yz D Zx D Zz } - (D Zx -D Zy )] + 6D Yz D Zy D Zz } T' (3) b ( 6/) [D Zx (XX/xx) - D Zy (XX/xxy)] -( 6/)[D Zx (XX/xy) + D Zy (XX/xx)] D Zz [(XX/xx) - (D Xz -D Yz )] - D Zy (XX/yz) T' (3) a ( 6/)[-D Zx (XY/xx) + D Zy (XY/xy)] ( 6/)D Zx (XY/xy) + D Zy (XY/xx)] Zz(XY/xx) + D Zx (XY/zx) + D Xz D Yz D Zz ] [D Zz (XX/xy) + D Xz (Zx/xy) + D Zx D Zy D Zz ] [D Xz (YZ/xy) + D Yz (ZX/xy) + D Zz (XY/xy)] T' (3) 1b -( 15/4){D Xx [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] ( 15/4){D Xy [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 10/4)[D Xz (D Zx - D Zy ) ( 10/)[D Xz D Zy D Zx + D Zz (ZX/xy)] + D Xz D Zx D Zz } - D Xz D Zy D Zz } + D Zz (ZX/xx)] T' (3) 1a -( 15/4){D Yx [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 15/4){D Yy [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 10/4)[D Yz (D Zx - D Zy ) ( 10/)[D Yz D Zx D Zy + D Zz (YZ/xy)} +D Yz D Zx D Zz } + D Yz D Zy D Zz } + D Zz (YZ/xx)] T' (3) 0 -( 10/4)[D Zx [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 10/4){D Zy [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] ( 15/)[D Zz (D Zx - D Zy )] -( 15)D Zx D Zy D Zz 変換行列 ( 基底 ) - 4

5 (3 階テンソル -)(4 次元 6 次元テンソルでは倍になる ) T (3) 1b T (3) 1a T (3) 0 T' (3) 3b -( 15/4){D Xx [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zx D Zz } T' (3) 3a -( 15/4){D Yx [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] + D Yz D Zx D Zz } -( 15/4){D Xy [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zy D Zz } -( 15/4){D Yy [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] + D Yz D Zy D Zz } -( 10/4) D Xz [1 - D Zz - (D Xz - D Yz )] -( 10/4) D Yz [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] T' (3) b -( 10/4)[D Zx (D Xz - D Yz ) + D Zz (XX/zx)] -( 10/4)[D Zy (D Xz - D Yz ) + D Zz (XX/yz)] ( 15/)D Zz (D Xz - D Yz ) T' (3) a ( 10/)[D Xz D Yz D Zx + D Zz (XY/zx)} ( 10/)[D Xz D Yz D Zy + D Zz (XY/yz)] -( 15)D Xz D Yz D Zz T' (3) 1b -( /4)[D Xx (1-5D Zz ) - 10D Xz D Zx D Zz } -( /4)[D Xy (1-5D Zz ) - 10D Xz D Zy D Zz }] ( 6/4)D Xz (1-5D Zz ) T' (3) 1a -( /4)[D Yx (1-5D Zz ) - 10D Yz D Zx D Zz } -( /4)[D Yy (1-5D Zz ) - 10D Yz D Zy D Zz ] ( 6/4) D Yz (1-5D Zz ) T' (3) 0 ( 6/4)D Zx (1-5D Zz ) ( 6/4)D Zy (1-5D Zz ) -( /)D Zz (3-5D Zz ) 変換行列 ( 基底 ) - 5

6 (4 階テンソル -1)(5 次元 7 次元 9 次元テンソルでは倍になる ) T (4) 4b T (4) 4a T (4) 3b T (4) 3a T' (4) 4b (1/8){1 + 6D Zz + D Zz 4-8(XX/xy) (1/){D Zx D Zy (D Zx - D Zy ) ( /4){(XX/zx)[(D Xz - D Yz ) + 4(XX/xx)] ( /4){(XX/yz)[(D Xz - D Yz ) - 4(XX/xx)] - 8(XY/xx) } - 4(XX/xy)(XX/xx)} + D Zx D Zz [5 - D Zz - (D Zx - D Zy )]} + D Zy D Zz [5 - D Zz + (D Zx - D Zy )]} T' (4) 4a (1/){D Xz D Yz (D Xz - D Yz ) -(1/){D Zz (1 + D Zz ) ( /4){(XY/zx)[(D Xz - D Yz ) - 8(XX/xx)] ( /4){(XY/yz)[(D Xz - D Yz ) - 4(XX/xx)(XY/xx)} - 4(XY/xy)(XX/xx)} - 6D Xz D Yz (XX/zx) + 8(XX/xx)]-6D Xz D Yz (XX/yz) - D Zy [1 + D Zz - (D Zx - D Zy )]} + D Zx [1 + D Zz + (D Zx - D Zy )]} T' (4) 3b ( /4){(XZ/xx)[ (D Zx - D Zy ) ( /4){(ZX/xy)[(D Zx - D Zy ) (1/4){(ZX/zx)[11 + D Zz + 16(XX/xx) (1/4){(ZX/yz)[11 + D Zz - 16(XX/xx) + 4(XX/xx)] - 8(XX/xx)] - 6D Zx D Zy (ZX/xx) + 4(D Xz - D Yz ) + 4(D Zx - D Zy )] + 4(D Xz - D Yz ) - 4(D Zx - D Zy )] + D Xz D Zz [5 - D Zz - (D Xz - D Yz )]} - D Yz [1 + D Zz - (D Xz - D Yz )]} + D Yy [8-5D Zz - 8(XX/xx) - D Yx [8-5D Zz + 8(XX/xx) + 10(D Xz - D Yz ) + 10(D Zx - D Zy )]} + 10(D Xz - D Yz ) - 10(D Zx - D Zy )]} T' (4) 3a ( /4){(Yz/xx)[(D Zx - D Zy ) ( /4){(YZ/xy)[(D Zx - D Zy ) (1/4){(YZ/zx)[11 + D Zz - 16(XX/xx) (1/4){(YZ/yz)[11 + D Zz + 16(XX/xx) - 4(XX/xx)] + 8(XX/xx)] - 6D Zx D Zy (YZ/xx) - 4(D Xz - D Yz ) + 4(D Zx - D Zy )] -4(D Xz - D Yz ) - 4(D Zx - D Zy )] + D Yz D Zz [5 - D Zz + (D Xz - D Yz )]} + D Xz [1 + D Zz + (D Xz - D Yz )]} - D Xy [8-5D Zz + 8(XX/xx) + D Xx [8-5D Zz - 8(XX/xx) - 10(D Xz - D Yz ) + 10(D Zx - D Zy )]} - 10(D Xz - D Yz ) - 10(D Zx - D Zy )]} T' (4) b ( 7/){D Zx D Zy (XX/xy) ( 7/){D Zx D Zy (XX/xx) -( 14/4){(XX/zx)[1 + D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 14/4){(XX/yz)[1 + D Zz - (D Zx - D Zy )] - (D Zx - D Zy )(XX/xx)} + (D Zx - D Zy )(XX/xy)} + D Zx D Zy [4(XX/xx) + (D Xz - D Yz )]} - D Zy D Zz [4(XX/xx) - (D Xz - D Yz )]} T' (4) a ( 7/){D Xz D Yz (1 + D Zz ) ( 7/){D Zx D Zy (XY/xx) -( 14/4){(XY/zx)[1 + D Zz + (D Zx - D Zy )] -( 14/4){(XY/yz)[1 + D Zz - (D Zx - D Zy )] - (D Zx - D Zy )(XY/xx)} + (D Zx - D Zy )(XY/xy)} + D Zx D Zz [4(XY/xx) + D Xz D Yz ]} - D Zy D Zz [4(XY/xx) - D Xz D Yz ]} T' (4) 1b ( 14/4){D Xz D Zz (1 - D Zz ) -( 14/4){(ZX/xy)(D Zx - D Zy ) -( 7/4){(ZX/zx)[1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 7/4){(ZX/yz)[1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] + (D Zx - D Zy )(ZX/xx)} + (D ZX D Zy (ZX/xx)} - D Zx D Zz [4(ZX/xx) + D Xz D Zz ]} + D Zy D Zz [4(ZX/xx) - D Xz D Zz ]} T' (4) 1a ( 14/4){D Yz D Zz (1 - D Zz ) -( 14/4){(YZ/xy)(D Zx - D Zy ) -( 7/4){(YZ/zx)[1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] -( 7/4){(YZ/yz)[1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] + (D Zx - D Zy )(YZ/xx)} + (D ZX D Zy (YZ/xx)} - D Zx D Zz [4(YZ/xx) + D Yz D Zz ]} + D Zy D Zz [4(YZ/xx) - D Yz D Zz ]} T' (4) 0 - ( 35/8)[(1 - D Zz ) - 8D Zx D Zy ] ( 35/)D Zx D Zy (D Zx - D Zy ) ( 70/4)D Zx D Zz [1 - D Zz - (D Zx - D Zy )] ( 70/4)D Zy D Zz [1 - D Zz + (D Zx - D Zy )] 変換行列 ( 基底 ) - 6

7 (4 階テンソル -)(5 次元 7 次元 9 次元テンソルでは倍になる ) T (4) b T (4) a T (4) 1b T (4) 1a T (4) 0 T' (4) 4b ( 7/){D Xz D Yz (XY/xx) ( 7/){D Zx D Zy (1 + D Zz ) ( 14/4){(XX/zx)(D Xz - D Yz ) ( 14/4){((XX/yz)(D Xz - D Yz ) -( 35/8)[(1 - D Zz ) - (D Xz -D Yz )(XX/xx)} - (D Xz - D Yz )(XX/xy)} - D Xz D Yz (XY/zx)} - D Xz D Yz (XY/yz)} - 8D Xz D Yz ] T' (4) 4a ( 7/){D Xz D Yz (XX/xx) ( 7/){D Xz D Yz (XX/xy) ( 14/4){(XY/zx)(D Xz - D Yz ) -( 14/4){((XY/yz)(D Xz - D Yz ) ( 35/)D Xz D Yz (D Xz - D Yz ) + (D Xz - D Yz )(XY/xx)} + (D Xz - D Yz )(XY/xy)} + D Xz D Yz (XX/zx)} + D Xz D Yz (XX/yz)} T' (4) 3b -( 14/4){(XZ/xx)[1 + D Zz -( 14/4){(ZX/xy)[1 + D Zz -( 7/4){(ZX/zx)[1 - D Zz -( 7/4){(ZX/yz)[1 - D Zz ( 70/4)D Xz D Zz [1 - D Zz + (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] + D Xz D Zz [4(XX/xx) + (D Zx - D Zy )]} + D Xz D Zz [4(XX/xy) + (D Zx - D Zy )]} - D Xz D Zz [4(XX/zx) + D Zx D Zz ]} - D Xz D Zz [4(XX/yz) + D Zy D Zz ]} T' (4) 3a -( 14/4){(Yz/xx)[1 + D Zz -( 14/4){(YZ/xy)[1 + D Zz -( 7/4){(YZ/zx)[1 - D Zz -( 7/4){(YZ/yz)[1 - D Zz ( 70/4)D Yz D Zz [1-D Zz - (D Xz - D Yz )] - (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] + (D Xz - D Yz )] +(D Xz -D Yz )] - D Yz D Zz [4(XX/xx) - (D Zx - D Zy )]} - D Yz D Zz [4(XX/xy) - D Zx D Zy ]} + D Yz D Zz [4(XX/zx) - D Zx D Zz ]} + D Yz D Zz [4(XX/yz) - D Zy D Zz ]} T' (4) b (1/4){7(D Zx - D Zy )(D Xz - D Yz ) (1/){7D Zx D Zy (D Xz - D Yz ) ( /4){(1-7D Zz )(XX/zx) ( /4){(1-7D Zz )(XX/yz) -( 5/4)(1-7D Zz )(D Xz - D Yz ) + (7D Zz - 5)(XX/xx)} - (5-7D Zz )(XX/xy)} - 7D Zx D Zz (D Xz D Yz )} - 7D Zy D Zz (D Xz - D Yz )} T' (4) a (1/){7D Xz D Yz (D Zx - D Zy ) (1/){14D Xz D Yz D Zx D Zy ( /4){(1-7D Zz )(XY/zx) ( /4){(1-7D Zz )(XY/yz) -( 5/)(1-7D Zz )D Xz D Yz - (5-7D Zz )(XY/xx)} - (5-7D Zz )(XY/xy)} - 14D Xz D Yz D Zx D Zz } - 14D Xz D Yz D Zy D Zz } T' (4) 1b ( /4){(1-7D Zz )(ZX/xx) ( /4){(1-7D Zz )(ZX/xy) -(1/4){(3-7D Zz )(ZX/zx) -(1/4){(3-7D Zz )(ZX/yz) ( 10/4)(3-7D Zz )D Xz D Zz - 7D Xz D Zz (D Zx - D Zy )} - 14D Xz D Zx D Zy D Zz } - 14D Xz D Zx D Zz } - 14D Xz D Zy D Zz } T' (4) 1a ( /4){(1-7D Zz )(YZ/xx) ( /4){(1-7D Zz )(YZ/xy) (1/4){(3-7D Zz )(YZ/zx) -(1/4){(3-7D Zz )(YZ/yz) ( 10/4)(3-7D Zz )D Yz D Zz - 7D Yz D Zz (D Zx - D Zy )} - 14D Yz D Zx D Zy D Zz } - 14D Yz D Zx D Zz } - 14D Yz D Zy D Zz } T' (4) 0 -( 5/4)(1-7D Zz )(D Zx - D Zy ) -( 5/)(1-7D Zz )D Zx D Zy ( 10/4)(3-7D Zz )D Zx D Zz ( 10/4)(3-7D Zz )D Zy D Zz (1/8)(3-30 D Zz + 35 D Zz 4 ) (AB/cd) = D Ac D Bd + D Ad D Bc, (AB/xx) = D Ax D Bx - D Ay D By, (XX/ab) = D Xa D Xb - D Ya D Yb, (XX/xx) = (1/)(D Xx + D Yy - D Xy - D Yx ) 変換行列 ( 基底 ) - 7

8 座標回転 ( オイラー角で表したとき ) における変換行列 : D = R Z ( ) R y ( ) R z ( ) (1 階テンソル ) T (1) 1b T (1) 1a T (1) 0 T' (1) 1b cos cos cos - sin sin cos sin cos + sin cos -cos sin T' (1) 1a -sin cos cos - cos sin -sin sin cos + cos cos sin sin T' (1) 0 cos sin sin sin cos ( 階テンソル ) T () b T () a T () 1b T () 1a T () 0 T' () b (1/4){cos cos (cos + 3) (1/4){cos sin (cos + 3) -(1/){cos cos sin -(1/){cos sin sin -( 3/4){cos (cos - 1)} - 4sin sin cos +4sin cos cos - sin sin sin + sin cos sin T' () a -(1/4){sin cos (cos + 3) -(1/4){sin sin (cos + 3) (1/){sin cos sin (1/){sin sin sin +( 3/4){sin (cos - 1)} +4cos sin cos - 4cos cos cos + cos sin sin - cos cos sin T' () 1b (1/){cos cos sin (1/){cos sin sin cos cos cos cos sin cos -( 3/) cos sin - sin sin sin + sin cos sin - sin sin cos + sin cos cos T' () 1a -(1/){sin cos sin -(1/){sin sin sin -sin cos cos -sin sin cos ( 3/) sin sin + cos sin sin - cos cos sin - cos sin cos + cos cos cos T' () 0 -( 3/4){cos (cos - 1)} -( 3/4){sin (cos - 1)} ( 3/) cos sin ( 3/) sin sin (1/4)(3 cos + 1) 変換行列 ( 基底 ) - 8

9 (3 階テンソル -1/) T (3) 3b T (3) 3a T (3) b T (3) a T' (3) 3b (1/16){cos3 cos3 (cos3 + 15cos ) -(1/16){cos3 sin3 (cos3 + 15cos ) -( 6/16){cos3 cos (sin3 + 5sin ) ( 6/16){cos3 sin (sin3 + 5sin ) - sin3 sin3 (6cos + 10)} + sin3 cos3 (6cos + 10)} - sin3 sin (4sin )} + sin3 cos (4sin )} T' (3) 3a (1/16){sin3 cos3 (cos3 + 15cos ) -(1/16){sin3 sin3 (cos3 + 15cos ) -( 6/16){sin3 cos (sin3 + 5sin ) ( 6/16){sin3 sin (sin3 + 5sin ) + cos3 sin3 (6cos + 10)} -cos3 cos3 (6cos + 10)} + cos3 sin (4sin )} - cos3 cos (4sin )} T' (3) b ( 6/16){cos cos3 (sin3 + 5sin ) -( 6/16){cos sin3 (sin3 + 5sin ) (1/8){cos cos (3cos3 + 5cos ) -(1/8){cos sin (3cos3 + 5cos ) - sin sin3 (4sin )} + sin cos3 (4sin )} - sin sin (8cos )} + sin cos (8cos )} T' (3) a ( 6/16){sin cos3 (sin3 + 5sin ) -( 6/16){sin sin3 (sin3 + 5sin ) (1/8){sin cos (3cos3 + 5cos ) -(1/8){sin sin (3cos3 + 5cos ) + cos sin3 (4sin )} - cos cos3 (4sin )} + cos sin (8cos )} - cos cos (8cos )} T' (3) 1b ( 15/16){cos cos3 (cos3 - cos ) -( 15/16){cos sin3 (cos3 - cos ) -( 10/16){cos cos (3sin3 -sin ) ( 10/16){cos sin (3sin3 - sin ) - sin sin3 (cos - )} + sin cos3 (cos - )} - sin sin (4sin )} + sin cos (4sin )} T' (3) 1a -( 15/16){sin cos3 (cos3 - cos ) ( 15/16){sin sin3 (cos3 - cos ) ( 10/16){sin cos (3sin3 -sin ) -( 10/16){sin sin (3sin3 - sin ) + cos sin3 (cos - )} - cos cos3 (cos - )} + cos sin (4sin )} - cos cos (4sin )} T' (3) 0 -( 10/16)cos3 (sin3-3sin ) ( 10/16)sin3 (sin3-3sin ) -( 15/8)cos (cos3 - cos ) ( 15/8)sin (cos3 - cos ) 変換行列 ( 基底 ) - 9

10 (3 階テンソル -/) T (3) 1b T (3) 1a T (3) 0 T' (3) 3b ( 15/16){cos3 cos (cos3 - cos ) - sin3 sin (cos - )} T' (3) 3a ( 15/16){sin3 cos (cos3 - cos ) + cos3 sin (cos - )} T' (3) b ( 10/16){cos cos (3sin3 - sin ) - sin sin (4sin )} T' (3) a ( 10/16){sin cos (3sin3 - sin ) + cos sin (4sin )} T' (3) 1b (1/16){cos cos (15cos3 + cos ) - sin sin (10cos + 6)} T' (3) 1a -(1/16){sin cos (15cos3 + cos ) + cos sin (10cos + 6)} ( 15/16){cos3 sin (cos3 - cos ) + sin3 cos (cos - )} ( 15/16){sin3 sin (cos3 - cos ) - cos3 cos (cos - )} ( 10/16){cos sin (3sin3 -sin ) + sin cos (4sin )} +( 10/16){sin sin (3sin3 - sin ) - cos cos (4sin )} (1/16){cos sin (15cos3 + cos ) + sin cos (10cos + 6)} -(1/16){sin sin (15cos3 + cos ) - cos cos (10cos + 6)} ( 10/16)cos3 (sin3-3sin ) ( 10/16)sin3 (sin3-3sin ) -( 15/8){cos (cos3 - cos )} -( 15/8){sin (cos3 - cos )} ( 6/16)cos (5sin3 + sin ) -( 6/16)sin (5sin3 + sin ) T' (3) 0 -( 6/16)cos (5sin3 + sin ) -( 6/16)sin (5sin3 + sin ) (1/8)(5cos3 + 3cos ) 変換行列 ( 基底 ) - 10

11 (4 階テンソル -1/3) T (4) 4b T (4) 4a T (4) 3b T (4) 3a T' (4) 4b (1/64){cos4 cos4 (cos4 + 8cos + 35) -(1/64){cos4 sin4 (cos4 + 8cos -( /3){cos4 cos3 (sin4 + 14sin ) ( /3){cos4 sin3 (sin4 + 14sin ) - sin4 sin4 (8cos3 + 56cos + 35) + sin4 cos4 (8cos3 + 56cos - sin4 sin3 (6sin3 + 14sin )} + sin4 cos3 (6sin3 + 14sin )} T' (4) 4a (1/64){sin4 cos4 (cos4 + 8cos + 35) -(1/64){sin4 sin4 (cos4 + 8cos -( /3){sin4 cos3 (sin4 + 14sin ) ( /3){sin4 sin3 (sin4 + 14sin ) + cos4 sin4 (8cos3 + 56cos + 35) - cos4 cos4 (8cos3 + 56cos + cos4 sin3 (6sin3 + 14sin )} - cos4 cos3 (6sin3 + 14sin )} T' (4) 3b ( /3){cos3 cos4 (sin4 + 14sin ) -( /3){cos3 sin4 (sin4 + 14sin ) (1/16){cos3 cos3 (cos4 + 14cos ) -(1/16){cos3 sin3 (cos4 + 14cos ) - sin3 sin4 (6sin3 + 14sin )} + sin3 cos4 (6sin3 + 14sin )} - sin3 sin3 (9cos3 + 7cos )} + sin3 cos3 (9cos3 + 7cos )} T' (4) 3a ( /3){sin3 cos4 (sin4 + 14sin ) -( /3){sin3 sin4 (sin4 + 14sin ) (1/16){sin3 cos3 (cos4 + 14cos ) -(1/16){sin3 sin3 (cos4 + 14cos ) + cos3 sin4 (6sin3 + 14sin )} - cos3 cos4 (6sin3 + 14sin )} + cos3 sin3 (9cos3 + 7cos )} - cos3 cos3 (9cos3 + 7cos )} T' (4) b ( 7/3){cos cos4 (cos4 + 4cos - ) -( 7/3){cos sin4 (cos4 + 4cos -( 14/16){cos cos3 (sin4 + sin ) ( 14/16){cos sin3 (sin4 + sin ) - sin sin4 (4cos3-4cos )} - ) + sin cos4 (4cos3-4cos )} - sin sin3 (3sin3 - sin )} + sin cos3 (3sin3 - sin )} T' (4) a -( 7/3){sin cos4 (cos4 + 4cos - ) ( 7/3){sin sin4 (cos4 + 4cos ( 14/16){sin cos3 (sin4 + sin ) -( 14/16){sin sin3 (sin4 + sin ) + cos sin4 (4cos3-4cos )} - ) - cos cos4 (4cos3-4cos )} + cos sin3 (3sin3 - sin )} - cos cos3 (3sin3 - sin )} T' (4) 1b -( 14/3){cos cos4 (sin4 - sin ) ( 14/3){cos sin4 (sin4 - sin ) -( 7/16){ cos cos3 (cos4 - cos ) ( 7/16){ cos sin3 (cos4 - cos ) - sin sin4 (sin3-6sin )} + sin cos4 (sin3-6sin )} - sin sin3 (3cos3-3cos )} + sin cos3 (3cos3-3cos )} T' (4) 1a ( 14/3){sin cos4 (sin4 - sin ) -( 14/3){sin sin4 (sin4 - sin ) ( 7/16){ sin cos3 (cos4 - cos ) -( 7/16){ sin sin3 (cos4 - cos ) + cos sin4 (sin3-6sin )} - cos cos4 (sin3-6sin )} + cos sin3 (3cos3-3cos )} +cos cos3 (3cos3-3cos )} T' (4) 0 ( 35/64)cos4 (cos4-4cos + 3) ( 35/64)sin4 (cos4-4cos + 3) ( 70/3)cos3 (sin4 - sin ) -( 70/3)sin3 (sin4 - sin ) 変換行列 ( 基底 ) - 11

12 (4 階テンソル -/3) T (4) b T (4) a T (4) 1b T (4) 1a T' (4) 4b ( 7/3){cos4 cos (cos4 + 4cos - ) - sin4 sin (4cos3-4cos )} ( 7/3){cos4 sin (cos4 + 4cos - ) + sin4 cos (4cos3-4cos )} ( 14/3){cos4 cos (sin4 - sin ) - sin4 sin (sin3-6sin )} ( 14/3){cos4 sin (sin4 - sin ) + sin4 cos (sin3-6sin )} T' (4) 4a ( 7/3){sin4 cos (cos4 + 4cos - ) + cos4 sin (4cos3-4cos )} ( 7/3){sin4 sin (cos4 + 4cos - ) - cos4 cos (4cos3-4cos )} -( 14/3){sin4 cos (sin4 - sin ) + cos4 sin (sin3-6sin )} ( 14/3){sin4 sin (sin4 - sin ) - cos4 cos (sin3-6sin )} T' (4) 3b ( 14/16){cos3 cos (sin4 + sin ) - sin3 sin (3sin3 - sin )} ( 14/16){cos3 sin (sin4 + sin ) + sin3 cos (3sin3 - sin )} -( 7/16){cos3 cos (cos4 - cos ) - sin3 sin (3cos3-3cos )} -( 7/16){cos3 sin (cos4 - cos ) + sin3 cos (3cos3-3cos )} T' (4) 3a ( 14/16){sin3 cos (sin4 + sin ) + cos3 sin (3sin3 - sin )} ( 14/16){sin3 sin (sin4 + sin ) - cos3 cos (3sin3 - sin )} -( 7/16){sin3 cos (cos4 - cos ) + cos3 sin (3cos3-3cos )} -( 7/16){sin3 sin (cos4 - cos ) + cos3 cos (3cos3-3cos )} T' (4) b (1/16){cos cos (7cos4 + 4cos ) - sin sin (14cos3 + cos )} (1/16){cos sin (7cos4 + 4cos ) + sin cos (14cos3 + cos )} ( /16){cos cos (7sin4 - sin ) - sin sin (7sin3 + 3sin )} ( /16){cos sin (7sin4 - sin ) + sin cos (7sin3 + 3sin )} T' (4) a -(1/16){sin cos (7cos4 + 4cos ) + cos sin (14cos3 + cos )} -(1/16){sin sin (7cos4 + 4cos ) cos cos (14cos3 + cos )} -( /16){sin cos (7sin4 - sin ) + cos sin (7sin3 + 3sin )} -( /16){sin sin (7sin4 - sin ) - cos cos (7sin3 + 3sin )} T' (4) 1b -( /16){cos cos (7sin4 - sin ) - sin sin (7sin3 + 3sin )} -( /16){cos sin (7sin4 - sin ) + sin cos (7sin3 + 3sin )} (1/16){cos cos (14cos4 + cos ) - sin sin (7cos3 + 9cos )} (1/16){cos sin (14cos4 + cos ) + sin cos (7cos3 + 9cos )} T' (4) 1a ( /16){sin cos (7sin4 - sin ) + cos sin (7sin3 + 3sin )} ( /16){sin sin (7sin4 - sin ) - cos cos (7sin3 + 3sin )} -(1/16){sin cos (14cos4 + cos ) + cos sin (7cos3 + 9cos )} -(1/16){sin sin (14cos4 + cos ) - cos cos (7cos3 + 9cos )} T' (4) 0 -( 5/3)cos (7cos4-4cos - 3) -( 5/3)sin (7cos4-4cos - 3) - ( 10/3)cos (7sin4 + sin ) -( 10/3)sin (7sin4 + sin ) 変換行列 ( 基底 ) - 1

13 (4 階テンソル -3/3) T (4) 0 T' (4) 4b ( 35/64)cos4 (cos4-4cos + 3) T' (4) 4a -( 35/64)sin4 (cos4-4cos + 3) T' (4) 3b -( 70/3)cos3 (sin4 - sin ) T' (4) 3a -( 70/3)sin3 (sin4 - sin ) T' (4) b -( 5/3)cos (7cos4-4cos - 3) T' (4) a ( 5/3)sin (7cos4-4cos - 3) T' (4) 1b ( 10/3)cos (7sin4 + sin ) T' (4) 1a -( 10/3)sin (7sin4 + sin ) T' (4) 0 (1/64)(35cos4 + 0 cos + 9) 変換行列 ( 基底 ) - 13

<4D F736F F D E4F8E9F82C982A882AF82E98D7397F1>

<4D F736F F D E4F8E9F82C982A882AF82E98D7397F1> 3 三次における行列要旨高校ではほとんど 2 2 の正方行列しか扱ってなく三次の正方行列について考えてみたかったため数 C で学んだ定理を三次の正方行列に応用して自分たちで仮説を立てて求めていったら空間における回転移動を表す行列三次のケーリーハミルトンの定理三次における逆行列を求めたり仮説をたてることができた. 目的数 C で学んだ定理を三次の正方行列に応用する 2. 概要目的の到達点として