テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現シンボリック表現 [ ]

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かねろうごみぶち
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1 Tsor th-ordr tsor by dcl xprsso m m Lm m k m k L mk kk quott rul by symbolc xprsso Lk X thrd-ordr tsor cotrcto j j Copyrght s rsrvd. No prt of ths documt my b rproducd for proft.

2 テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現シンボリック表現 [ ]

3 テンソル ( その ) テンソル ( その ) 階のテンソル階のテンソル j 行列表現 [ ] j シンボリック表現階のテンソル階のテンソルシンボリック表現 jk

4 テンソルの成分数個 (, m ) (, m ) 個 m 方向個 m 方向スカラー ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) テンソル (m 階のテンソル ) 次元 () ( ) ( ) 階数 m 以上成分数 m (, m ) 個個個 (, m ) m 方向

5 テンソルの和と差和 jk + jk + 差シンボリック表現 + 同じ階数のテンソルについてのみ和が取れるシンボリック表現 jk jk 同じ階数のテンソルについてのみ差が取れる.

6 テンソルのスカラー倍スカラー倍シンボリック表現 c jk c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

7 テンソルの内積 ( テンソル同士の積 ) テンソルの内積 ( テンソル同士の積 ) C j について総和を取る C k j jk シンボリック表現 C テンソル交換法則は成り立たない. ( ( ) T ) T T C C C C C C C C C 行列表現 C 階のテンソル同士の内積と行列の積は形式的に等しい.

8 テンソルの内積 ( テンソル同士の積, 複内積 ) テンソルの内積 ( テンソル同士の積, 複内積 ) すべての j の組と j の両方について総和を取る c j j : シンボリック表現 c : テンソル c 展開表現 c L

9 テンソルの内積 ( ベクトルとテンソルの積 ) テンソルの内積 ( ベクトルとテンソルの積 ) について総和を取る j について総和を取る c j j ベクトル c j b j シンボリック表現 c テンソル c b c c b c c b c c b 行列表現 c c c b b b 正しくは, c ( T ) T

10 テンソル積 ( テンソル同士の積 ) テンソル積 ( テンソル同士の積 ) C C C jkl j kl シンボリック表現 C テンソル C C C C C C C C C C C C テンソル積によって得られた新しいテンソルの階数は, 元のテンソルの階数の和になる. C C C

11 テンソル積 ( ベクトルとテンソルの積 ) テンソル積 ( ベクトルとテンソルの積 ) C C C jk jk シンボリック表現 C ベクトルテンソル C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

12 階のテンソルの成分一覧表示階のテンソルの成分一覧表示固体力学では,, 階のテンソルを取り扱うことが多い. 便宜上便宜上,, 階のテンソルの成分一覧を示す場合は, 行列と同じの形式で表示することとするが, 基本的に行列とテンソルは異なるものであるである.

13 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) x O x 座標変換 x' ' x ' O ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x' x x x x' テンソルの定義 j k jl kl

14 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換とテンソル ( テンソルの定義, その ) 座標変換 kl jl k j 行列表現シンボリック表現 T T ( ) ( ) j T lj T kl k kl jl k j

15 座標変換とテンソル ( 階のテンソル ) 座標変換とテンソル ( 階のテンソル ) 個個座標変換 ' k k L k ' ' m m L m k k L Lk k k k L m m Lm m m m m m Lm m k m k L mk kk Lk 個 m k m k m k

16 テンソルの成分と基底階のテンソルの成分を j, j j j とするとき, は j を係数とする j の次結合で表される. j j + + L+ 基底 + L+ ベクトル階のテンソル jk j k

17 対称テンソルと逆対称テンソル対称テンソルと逆対称テンソル ( ) ( ) T T S ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j S j 対称テンソル逆対称テンソルシンボリック表現例 ( 階のテンソル ) ( ), T S T

18 等方テンソル座標変換に対して成分の変わらないテンソル. x O k k L k x x' x ' O ' ' m m L m x' x x x x' 等方ベクトル ( 階等方テンソル ) 階等方テンソル零ベクトル j α δ j ( α : スカラー ) 階等方テンソル jk α jk ( α : スカラー ) 4 階等方テンソル jkl α δ j δ kl + β δ k δ jl + γ δ l δ jk ( α, β, γ : スカラー )

19 テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソルが応力テンソルやひずみテンソルの場合, 法線ベクトルがの面における垂直応力あるいは垂直ひずみの値が f() に相当する. f() f() を階の対称テンソルと単位ベクトル ( ( の関数 ) の関数 f ( ) j j とするとき,, を変化させたときの f() f() の極値の極値 λ をテンソルの主値の主値と言うと言う. またまた, λ ( λ) となる単位ベクトルが決定する方向をテンソルの主軸と言う. が階対称テンソルであるときは, 主値主値固有値固有値 ( 実数実数 ) 主軸主軸固有ベクトルの方向 ( 互いに垂直 ) となるとなる.

20 テンソルの主値と主軸 ( その ) テンソルの主値と主軸 ( その ) 主値主値 x 主軸 x' x ' ' O x 座標変換 ' ' O ' ' ' 主値 x' x x 主軸 x x' 主軸 j k jl kl : 直交テンソル ( T I, I: 単位テンソル )

21 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ T Α 行列の対角化とテンソルの主値, 主軸との関係行列の対角化とテンソルの主値, 主軸との関係座標変換テンソル主軸 ( 新たな座標軸の基本ベクトル ) 主値固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列を用いて行列は対角化される. 行列の対角化 λ λ λ P P T () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) P 対角化固有ベクトル固有値行列主値と主軸 ( ) ( ) ( ) ( ) () () () 転置関係行列の積テンソルの内積

22 テンソルの不変量 ( その ) テンソルの不変量 ( その ) テンソルの個々の成分は座標変換によって変化するが, 座標変換によって変わらないいくつか ( 次元の場合個 ) のスカラー ( 成分の演算結果結果 ) を作ることができる. これらの量を不変量と言う. 第不変量 ( + ) I + tr 第不変量 I { ( tr ) + tr( )} ( + ) ( ) jj j j 第不変量 I dt 6 jk rst r js kt

23 テンソルの不変量 ( その ) テンソルの不変量 ( その ) x x' x ' ' ' O x 座標変換 ' ' O ' ' ' ' ' ' ' ' x' x x x x' j 変化 j k jl kl I I 不変 I I I I

24 縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 縮約とは, テンソルの成分のつの添字 ( 自由指標 ) を等しいとおいて ( 自由指標擬指標擬指標 ), ), それらについて和をとる操作である. 縮約によって, テンソルの階数は階低くなる. 例 j 縮約 ( j ) 階のテンソル (-) 階のテンソル ( スカラー ) + + tr

25 縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 例内積内積テンソル積 + 縮約縮約階のテンソル ( ベクトル ) b テンソル積 (+) 階のテンソル b b b b b b b b b b 縮約 (-) 階のテンソル ( スカラー ) b + b + b b

26 縮約 ( その ) 縮約 ( その ) 例複内積複内積テンソル積 + 縮約縮約 + 縮約縮約 : 回階のテンソルテンソル積 : + + L+ j kl 縮約 4(+) 階のテンソル (4-) 階のテンソル j l 縮約 ( k ) ( l j ) j j (-) 階のテンソル ( スカラー ) ドットの個数は, テンソル積を取った後の縮約の回数を表す ( 参考 )4 階のテンソルの 4 重内積 :: + + L+ jkl jkl

27 商法則ある量ある量 X と任意のテンソルとの内積がテンソルであるならば,X,X はテンソルである. X 階のテンソル X の階数 k k + m m 階のテンソル

28 テンソル場の勾配 ( 微分 ) テンソル場の勾配 ( 微分 ) grd k j k j 階のテンソル階のテンソル j j k k 勾配任意のテンソルを微分すると, 階数が階増加する. 正確には, この勾配を右形の勾配と言う. 左形は, jk j k. grd は, 階のテンソルであるから, 座標変換において r pq を満たす. ( ) k j rk p x x x 階のテンソル階のテンソル qj j k j x x x x x k x x

29 ガウスの発散定理 ( その ) ガウスの発散定理 ( その ) 面積分面積分体積分体積分スカラー場 S ds V ( ) dv V dv x 表面積 S 体積要素単位法線ベクトル面要素 dv ds S ds V dv シンボリック表現 x O x 体積 V + + ベクトル場 S ds V dv ( ) dv V ds dv S V ( ) dv dv V シンボリック表現

30 ガウスの発散定理 ( その ) ガウスの発散定理 ( その ) 階のテンソル場右形の発散 S j j ds V j j dv ( ) dv V j j S ds dv V シンボリック表現左形の発散 S j ds V j dv ( ) dv V j S ds dv V シンボリック表現

31 ストークスの定理ベクトル場面積分面積分線積分線積分 k jk ds S j ( rot ) ds tds S C C dx シンボリック表現単位法線ベクトル + + 面要素ベクトル ds 大きさが ds で向きが面の法線方向であるベクトル線要素ベクトル ds 大きさが ds で向きが線の接線方向であるベクトル曲面 S 閉曲線 C x x O x rot ds ds t 面要素線要素単位接線ベクトル t t + + t t

32 スカラー場とベクトル場とテンソル場スカラー場ベクトル場 x x x x O O x x 場所大きさ場所大きさと方向テンソル場 x x O x 場所方向毎の大きさと方向 ( 場所と方向大きさと方向 )

Matrix and summation convention Kronecker delta δ ij 1 = 0 ( i = j) ( i j) permutation symbol e ijk = (even permutation) (odd permutation) (othe

Matrix and summation convention Kronecker delta δ ij 1 = 0 ( i = j) ( i j) permutation symbol e ijk = (even permutation) (odd permutation) (othe Matr ad summato covto Krockr dlta δ ( ) ( ) prmutato symbol k (v prmutato) (odd prmutato) (othrs) gvalu dtrmat dt 6 k rst r s kt opyrght s rsrvd. No part of ths documt may b rproducd for proft. 行列行正方行列

テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数 ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現 シンボリック表現 [ ]

テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現シンボリック表現 [ ]