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ありあのえ
5 years ago
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1 1/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分ストークスの定理はガウスの定理とともに非常に重要な定理であり線積分と面積分の関係を表しますつまりガウスの定理 : 面積分と体積分 ( 体積を囲む閉じた面 = 表面 ) の関係ストークスの定理 : 線積分と面積分 ( 面積を囲む外周の線 ) の関係になりますこの違いはベクトルの積に 2 種類の積 : 内積 AB d 内積 : dv V 外積 : d ( ガウスの定理 ) (7.1) 外積ベクトル AB d ( ストークスの定理 ) (7.2) 内積があることにも関連していますまず (7.2) の Ⅰ. グリーンの定理 d d (7.3) d を計算する事から始めます面を決める式は 05 2 重積分と面積分 -Ⅳ. 面積分 : 平面上と曲面上の (4.52): f,,, 0 (7.4) になりますこの時 03 微分ベクトル -Ⅰ. 一般曲面と微分ベクトルより f,, は曲面の垂直方向を向くと分かっています d は面に垂直なので d f,, (7.5) です従って面の方向の単位ベクトルを n (norml: 垂直の ) とすると d dndn (7.6) で与えられ n は A n= A= f,, A で計算できます (7.6) の d は 05 2 重積分と面積分 -Ⅳ. 面積分 : 平面上と曲面の (4.56) よりグリーンジョージグリーン (George Green 1793 年 7 月 14 日年 3 月 31 日 ) は 19 世紀のイギリスの物理学者数学者グリーン関数やグリーンの定理で知られるパン屋の息子として生まれ正規の教育をほとんど受けずに粉挽きの仕事をしながら独学でポテンシャル理論の論文を書いたという経歴の持ち主である ( 出典 : ウィキペディア日本語版 ) (7.7)

2 2/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分,, 2 2 d 1 dd です (7.4) を用いて i j k なので (7.8) A= f,, i j k f,, i j k, i,,, j k,,,, i j k i jk,, 2 2 A 1 とか計算できるので (7.7) は,, (7.9) i j k n= (7.10), 2, 2 1 で与えられます従って (7.8) と (7.10) を用いて (7.6) は従って,, 2 2 i j k,, d dn 1 dd (7.11) 2 2,, 1,, d i jk dd (7.12) と計算できます次には外積 A B の公式成分 : の順成分 : の順成分 : の順 AB : AB AB, AB AB, AB AB (7.13) A i B j の時 A B を求め i, j との位置関係を図示 ) に注意して ( 問題 1: : 1,0,0, : 0,1,0

3 3/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分 A i j k:,, :,, B i j k (7.14) と置けば i j k (7.15) と計算されます d 以上から (7.3) のd d 被積分関数は,, i jk dd i j k となります, グリーンの定理まず簡単な場合の証明から入ります曲面ではなく平面上のみで成立する公式になります平面を平面にすると方向が存在しないのででは 0 です従って, dd (7.16),,0 0 dd (7.17) になりますこの場合をグリーンの定理といい (7.16) は 0 とすればにある平面上の領域と閉じた外周 0, P, として,,, 0,,, Q P dd P, d Q, d (7.18) Q 0 になります以下で (7.18) を証明します図 1 のような領域と閉じた外周に於いて領域がにあるとします (7.18) を色分けして 0 0の場合 0 図 1

4 4/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分, P, Q dd Q dd,, P dd (7.19) f1 図 1 としますまず第 2 項から計算します図 1 のように平面上の積分経路を決めるのに f1 : 下側 : 上側 (7.20) 上側図 1c としますこのとき積分範囲は図 1c から下側 f1 になります図 1c を参考にして (7.21) f1 f1 より公式 f 1 f, 2 P, P dd d d (7.22) 2 1 を用いて f1 P, 2 d P, P, 1 2 P, 1 (7.23) P, d d d P, d, 2, f P f P f1 (7.24) 1 と計算できますこの積分領域を図示すると図 1d dp, f 2 dp, f 1 2 dp, f dp, f 1, 2 1 (7.25) d P f P, f, 2 dp, f1 dp f, d, 1 dp P f dp, になります積分を経路に沿った積分に変更するします積分経路は 1 周するのでの積分領域ではとなります積分表記では d d d (7.25)

5 5/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分の形式になりますこの方針で図 1d のように曲線上の積分領域へ変更していくと, 2, 1 dp, P, f1 dp, d P f P f d を得ることができますつまり (7.26) P, dd dp, (7.27) と計算できました負符号に注意しましょう次に図 1e に従って同様な計算を (7.19) の第 1 項今度は積分経路を決めるのに g1 : 下側 g2 : 上側になり積分範囲は図 1e から g1 g2 になりますその結果 (7.28) (7.29) Q, dd に行うことができます Q, dd dq, (7.30) と計算できます ( 問題 2:(7.22) 以下の導出方法に習って (7.30) を導け ) 以上からグリーンの定理 :, P, Q dd P, d Q, d (7.31) を導けました次に Ⅱ. ストークスの定理平面上の積分から導かれたグリーン定理 (7.18): 注意の増加方向との回る方向が逆,, 0,, 0 dd,, 0d,, 0d g2 g1 g2 1 g 上側下側図 1e を曲面上の積分に拡張されたストークス定理に拡張 d d しますまず d は (7.16) で与えられ

6 6/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分ストークスジョージガブリエルストークス (ir George Griel tokes, 1819 年 8 月 13 日年 2 月 1 日 ) はアイルランドの数学者物理学者である流体力学光学数学などの分野で重要な貢献をした 1885 年から 1890 年まで王立協会会長を務めたストークスの名前を冠した事柄にはつぎのようなものがある流体力学の分野粘性流体の式 : ナビエ=ストークスの式流体の中で落下する粒子の速度 : ストークスの式水面波のストークス波粘度の単位ストークス光学の分野ストークス散乱 - ラマン散乱に詳しく説明がある数学の分野ストークスの定理 - ストークスの定理の初出はケンブリッジ大学の数学の優等試験 ( トライポス ) でありストークスは旅行中の友人の物理学者ウィリアムトムソンが書き送った手紙を受け定理を知り試験に出題したものとされるまたこのときの数学優等試験では電磁気学で有名なジェームズクラークマクスウェルが ( 力学で有名なラウスと共に ) 首席で合格している ( 出典 : ウィキペディア日本語版 ),, d dd です更に,, を含む項に整理すると,, d dd,, (7.32) と整理します,, で書き換えて (7.4):, に注意して,,,,,,,,, d dd (7.33),,,,,, ですここで以下の裏技 (?) を使いましょう (7.33) の第 1 項と第 2 項は

7/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 :

36) Q,,, に対応することがわかります以上から (7.33) は,,,,,, d dd (7.

dd なので平面上の領域になります ( 図 2) です第 1 項と第 2 項はすぐに積分できて積分,,,

7 7/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分,,,,,,,, とまとめられます第 3 項は,,,,,,,, P, Q,,,,,,,,, (7.34) (7.35) と整理できます ( 問題 3:(7.35) を示せ ) この式はグリーンの定理において P,,, Q, P, dd (7.36) Q,,, に対応することがわかります以上から (7.33) は,,,,,, d dd (7.37) Q, P, とまとめられた項から成り立ちます従って求める積分は,,,,,, Q, P, d 積分領域 dd なので平面上の領域になります ( 図 2) です第 1 項と第 2 項はすぐに積分できて積分,,, を実行 dd,,, d,, 0 d 図 2 dd (7.38) (7.39) 積分,,, を実行 d d,,, d,, d それぞれ図 1c((7.40) の積分 ) と 1e((7.39) の積分 ) を用いて c (7.40) にする積

8 8/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分分経路の向きを間違えないようにするになります第 3 項は (7.36) のグリーンの定理よりですがに注意して,, Q P dd P, d Q, d,, d,, d d d d, P,,, d d (7.41) Q dd,, d d,, d になります以上から,,,,,, d,, d,, d,, d d d d と計算できました最終的にベクトル表記にしてなので,,,,,, (7.42) d d d d (7.43) d d になりますこれがストークスの定理です Ⅲ. と回転 (rottion) ストークスの定理は面積を囲む外周の線に関連していますそこで一番簡単な長方形の外周に沿った線積分 d において d (7.44) を考えますそこで外周に沿った線積分からが自動的に現れることを示します微小な部分を考えていきます図 3 のように平面上に微小長方形をとります線積分は閉じた積分経路が長方形の外周になり d は線の方向により変化するので注意しましょう平面上なので平面 dj di di 図 3 dj

9 9/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分 0 :,,0 (7.45) です図 1 で示した積分経路との対応より d は 4 つのパートに分かれ,,0 i i,,0 j j,,0i i,,0 j d i d j d i d j j d,,0 i,,0 j,,0 i,,0j (7.46) と表せます ij k なのでより i, j (7.47),,0,,0,,0,,0 d (7.48) になりますここで微小長方形が限りなく小さくなる時を考え 0 と 0 で f のテーラー展開 : f n n d f n n0 n! d 2! ! ! df d f d f d f f d 2 d 6 d 24 d において ( 問題 4: n! を説明せよ ) の項までとります : (7.49) df f f (7.50) d 例えば 11 億とすると億 11億なので 2 も非常にいい精度で (7.50) が成り立ちます (7.50) を (7.48) の,,0,,,0 に適用しての項を無視して

10 10/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分多変数のときは偏微分にする,,0,,0,,0 + 多変数のときは偏微分にする,,0,,0,,0 + です従って (7.48) は d,,0,,0,,0,,0 と計算でき,, 0,,0 +,,0,,0,, 0+,,0,,0,,0,,0,,0,,0,,0 (7.51) (7.52) d (7.53) となりますこれを (7.15) の成分成分成分と比較して i j k (7.54),,0 d,,0 微小長方形 (7.55) が得られます (7.55) の結果積分経路が 1 周するとが現れることがわかります図 3 のように積分経路に沿って回転 (rottion) しながら積分するのでこの rot を用いて rot rottion: 回転 (7.56) とも表します図 3

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<4D F736F F D20824F F6490CF95AA82C696CA90CF95AA2E646F63> 1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの重積分と面積分 5 重積分と面積分 Ⅰ. 重積分とで回積分することを重積分といいますこの重積分は何を意味しているのでしょう? 通常の積分 (1 重積分 ) では C d 図 1a 1 f d (5.1) 1 f d f ( ) は図形的には図 1a のように面積を表していますつまり 1 f ( ) を高さとしてプロットすると図